CAPÍTULO 11 JOGOS REPETIDOS

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1 CAPÍTULO 11 JOGOS REPETIDOS Objetvos: Defnr o conceto de jogo repetdo, desenvolver as noções de equlíbro perfeto em subjogos para esses jogos e mostrar, por meo de uma versão do Teorema Popular, que o comportamento cooperatvo pode ser conseqüênca de attudes não cooperatvas INTRODUÇÃO Até o momento, estudamos dos modelos báscos de jogos não-cooperatvos: os jogos nos quas os agentes decdem smultaneamente os jogos estátcos e aqueles nos quas os jogadores se alternam em suas tomadas de decsão os jogos dnâmcos. Em ambos os casos, os agentes dervam utldade do jogo apenas quando este se encerra. No entanto, exstem stuações nas quas conseqüêncas parcas são dervadas ao longo do jogo. Por exemplo, uma dona de casa que va à fera toda semana, negoca com os vendedores os preços das frutas que compra a cada ocasão; uma vez concluída uma negocação, a dona de casa derva utldade do consumo das frutas, enquanto o vendedor recebe o valor de sua venda. Esse processo se repete, gerando payoffs para os jogadores a cada semana. Numa stuação de duopólo de Cournot, duas empresas devem decdr smultaneamente quanto produzr a cada período de produção. Uma vez tomadas essas decsões, as empresas realzam os lucros da venda de seus produtos. Esse processo, no entanto, se repete no período produtvo segunte e, de fato, enquanto as empresas estverem no mercado. As stuações acma são chamadas de jogos repetdos. Na análse dessas stuações, que tem smultaneamente característcas de um jogo estátco e de um jogo dnâmco, surgem algumas questões fundamentas: Dado que os jogadores auferem utldade a cada etapa, como se calcula a utldade total do jogo? Como se defnem as estratégas? Como se calculam os equlíbros? Neste capítulo estudaremos como modelar essas stuações e responderemos essas questões. 1

2 11.2-UM MODELO HÍBRIDO Defnção 11.1-Um jogo repetdo é caraterzado por um jogo base, denotado por, que geralmente é um jogo na forma normal, e que é repetdo um número T de etapas (T, em geral, é nfnto). Cada etapa t=1,,t corresponde a um período ou um estágo do jogo. O jogo resultante é denotado por T ou anda por, quando se tratar de um jogo nfnto. Uma forma genérca de se descrever o jogo é apresentada abaxo. As setas que partem de cada cópa do jogo base correspondem aos dferentes perfs de estratégas que podem ser escolhdos nesse jogo base. Cada escolha de um perfl de estratéga em um jogo base, corresponde a uma hstóra dstnta do jogo, no período segunte; sto é formalzado consderando dferentes cópas do jogo base, uma para cada perfl. Exemplo 11.2-Dlema dos Prsoneros. Para lustrar, apresentaremos a forma do jogo repetdo do dlema dos prsoneros com dos períodos. O jogo base é: 2

3 c n C 6,6 0,9 N 9,0 1,1 O jogador 1 tem as opções confessar (C) e não confessar (N), assm como o jogador 2 (c e n). O jogo 1 corresponde ao jogo ncal, jogado no prmero período. O jogo 21 é a cópa do jogo orgnal que será jogada caso o perfl de estratégas escolhdo no período ncal tenha seja (C, c), e assm sucessvamente. Observe que todas as cópas do jogo básco são dêntcas; o que dferenca duas cópas de é, por um lado, o período em que cada uma está sendo jogada e, se ambas estão sendo jogadas no mesmo período, o que as dferenca são as escolhas fetas nos períodos anterores Observação 11.3-Pelo teorema de Kuhn, o jogo base pode ser vsto como um jogo estátco sob certas condções. Assm, o modelo apresentado tem característcas de um jogo estátco o jogo base, assm como característcas de um jogo dnâmco os dferentes períodos. Em geral, os jogos repetdos se encaxam na categora dos jogos com estágos múltplos. Nesses jogos mas geras, os jogadores se encontram repetdas vezes, mas podem estar jogando jogos dstntos a cada período. Nessa perspectva, os jogos repetdos são um caso partcular de jogo com estágo múltplo no qual todos os estágos são guas. Para maores desenvolvmentos sobre jogos com estágos múltplos favor consultar Fudenberg e Trole (1992). 3

4 11.3-ESTRATÉGIAS Defnção 11.4-Uma estratéga para um jogador no período t do jogo repetdo, t, é uma escolha de uma ação em cada uma das cópas do jogo base que possa vr a jogar no período t. Observação 11.5-O que determnará em que cópa de estará o jogador no período t, será o hstórco do jogo, ou seja, o que fo jogado nos períodos anterores. Se a estratéga t não escolher a mesma ação para todos os jogos no período t, dzemos que t depende da hstóra do jogo, ou seja, do que ocorreu no passado. Por exemplo, no caso da dona de casa que va à fera, uma estratéga dependente da hstóra no período t pode ser não comprar nenhuma fruta cujo preço seja maor que o máxmo cobrado no passado. Defnção 11.6-Uma estratéga para o jogador, =( 1, 2,, T ) é uma escolha de uma estratéga t para cada um dos períodos t=1,,t. Chamaremos de S o conjunto de todas as possíves estratégas de. Um perfl de estratégas do jogo repetdo T é uma n-upla =( 1,, n ) onde é uma estratéga para o jogador, =1,, n. Se o jogo for nfntamente repetdo, o parâmetro T acma deve ser nterpretado como +. Exemplo 11.7-No jogo do dlema dos prsoneros nfntamente repetdo, algumas estratégas para os jogadores podem ser: 1 : o, jogador 1 escolhe sempre N; 2 : o jogador 2 escolhe n nos períodos ímpares e c nos períodos pares; 1 : o jogador 1 escolhe N no período ncal e contnua jogando N sempre que 2 tver jogado n no passado; caso contráro, 1 joga C. A estratéga 1 ndepende da hstóra. A estratéga 2 depende da hstóra de forma muto smples: apenas em que período o jogador se encontra. Fnalmente, a 4

5 estratéga 1 depende da hstóra de forma mas profunda: 1 observa a escolha de 2 no passado e toma sua decsão contngente a essa observação. A possbldade de optar por uma estratéga que depende da hstóra enrquece o unverso de perfs de estratéga em um jogo repetdo, tornando possível a exstênca de equlíbros mas sofstcados e nteressantes que nos jogos estátcos, como veremos nas próxmas seções CONSEQUÊNCIAS Consdere o dlema dos prsoneros nfntamente repetdo, descrto anterormente. Suponha que o jogador 1 escolhe a estratéga 1 enquanto o jogador 2 escolhe a estratéga 2. Então, no período ncal (t=1), as conseqüêncas são (1,1), no período 2 são (9,0), no período 3 são (1,1) e assm sucessvamente. Para podermos comparar dferentes perfs de estratéga, temos que defnr uma medda da utldade total no jogo repetdo, levando em consderação os payoffs em cada período. A manera natural de se fazer sso é consderar um fator de desconto. Assm, se u t () for a conseqüênca para no período t quando o perfl de estratégas é jogado, então o payoff de no jogo repetdo é: U ()= t1 t u t () Observação 11.8-Exstem váras maneras de se nterpretar o fator de desconto que reflete a mpacênca dos jogadores. A segur recaptulamos duas delas. () Juros. Suponha que o agente quera desfrutar hoje do valor x que receberá amanhã. Então ele pode r ao banco e pedr um empréstmo, pagando x undades amanhã. O banco cobrará uma taxa de juros r, de forma que o agente receberá y tal que y+ry =x, ou anda, y=[1/(1+r)]x. Isto quer dzer que, em termos de valores de hoje, x vale [1/(1+r)]x, ou anda, o valor presente de x é [1/(1+r)]x. Portanto, o fator de desconto é =1/(1+r). () Fm probablístco de jogo. Suponha que o agente tem uma função de utldade de von Neumann-Morgenstern u e que estma que o jogo repetdo é um processo aleatóro com probabldade de contnuar e de termnar 1. Então a utldade esperada do 5

6 agente dado o perfl de estratégas no jogo nfntamente repetdo será: U ()=u 1 ()(1) + (u 1 ()+u 2 ()) (1) + (u 1 ()+u 2 ()+u 3 ()) 2 (1) + = u 1 ()[(1)( )] + u 2 ()[(1)( )] + = u 1 () + u 2 () + Que é exatamente a expressão usada para defnr a utldade do jogador acma. Observe que o fator de desconto pode envolver as duas nterpretações smultaneamente: = em que corresponde à nterpretação va taxas de juros e corresponde à nterpretação envolvendo o fm do jogo EQUILÍBRIO DE NASH Defnção 11.9-Um perfl de estratégas =( 1,, n ) é um equlíbro de Nash (EN) do jogo repetdo se nenhum jogador pode melhorar sua utldade no jogo desvando unlateralmente da estratéga : =1,, n, S, U (, ) U () Exemplo No dlema dos prsoneros repetdo temos: U 1 ( 1, 2 )= = 1( ) 9( ) = ( 1 9)/(1) U 1 ( 1, 2 )= = ( ) = /(1 2 )> U 1 ( 1, 2 ) Assm, ( 1, 2 ) não é um equlíbro de Nash do jogo repetdo. Verfque que ( 1, 2 ) tampouco é um EN desse jogo repetdo. Consdere agora o perfl de estratégas ( 1, 2 ) em que 2 é a segunte estratéga para o jogador 2: Escolher N no período ncal e contnuar jogando N sempre que 1 tenha jogado n no passado; caso contráro, jogar C. Então, U 1 ( 1, 2 ) = = 1( ) = 1/(1) Fxada a estratéga de 2, pode 1 encontrar uma estratéga que lhe seja favorável? Se 2 estver jogando n, 1 pode aumentar seu retorno de 1 para 0 num período jogando C. No entanto, nos períodos seguntes 2 jogará c, de forma que o melhor que 1 poderá 6

7 fazer, se desvar, é jogar C para sempre. É claro que se for convenente desvar, é melhor fazê-lo o quanto antes. Assm, o melhor desvo possível para 1 é escolher C a partr do período ncal. Sua utldade será então: = 6 /(1) Comparando as utldades com e sem desvo temos: 1/(1) 6 /(1) 1 6 1/6 Assm, se não for demasado pequeno (menor que 1/6), então o perfl de estratégas ( 1, 2 ) é um EN do jogo repetdo EQUILÍBRIOS PERFEITOS EM SUBJOGOS Defnção Assm como defnmos anterormente para jogos na forma extensva, a partr de qualquer cópa tk do jogo base em qualquer período (t), podemos construr um novo jogo repetdo, ncando-se nesse jogo tk e nclundo todas as cópas de que podem ser atngda a partr de tk. Esse novo jogo repetdo é chamado subjogo ncando em tk. Observe que o própro jogo é um subjogo trval dele mesmo. Os subjogos dstntos do jogo orgnal são chamados subjogos própros. Qualquer perfl de estratégas de T nduz um perfl de estratégas em qualquer subjogo tk de forma canônca. Defnção Um perfl de estratégas é um equlíbro perfeto em subjogos (EPS) do jogo T se a restrção de a qualquer subjogo de T é um equlíbro de Nash desse subjogo. Exemplo Seja s um EN de um jogo base, e consderemos o jogo repetdo T. Seja anda o perfl de estratégas do jogo repetdo segundo o qual os jogadores jogam segundo s em cada cópa de. Para que houvesse alguma escolha melhor que para o agente, fxadas as estratégas dos outros jogadores, sera necessáro que recebesse 7

8 um payoff maor em alguma cópa de. Como s é um EN de, sto não é possível. Assm, é um EPS do jogo repetdo. Exemplo Consdere o dlema dos prsoneros repetdo um número fnto de vezes. Então perfeção em subjogos requer que no últmo período os jogadores escolham (C, c), o únco EN do jogo, qualquer que seja a hstóra anteror do jogo. Mas então, no penúltmo últmo período os jogadores também escolherão o EN (C, c), ndependentemente da hstóra do jogo. Assm, exste um únco EPS que consste da repetção em cada período do equlíbro do jogo base. Trata-se de um resultado geral, como poderá ser mostrado nos exercícos. Observação Os exemplos anterores mostraram que os EN do jogo base geram naturalmente EPS no jogo repetdo. Além dsso, nos jogos repetdos fntos esses são os úncos EPS que podem ser construídos. O nteresse deste modelo de nteração estratégca, no entanto, está no fato de que, se os jogadores se encontram em um relaconamento repetdo, equlíbros mas sofstcados podem ser obtdos. No caso de um duopólo, por exemplo, espera-se que a perspectva de longo prazo nduza os agentes envolvdos num comportamento do tpo cartel, que lhes trará grandes benefícos. Esta questão é tratada na próxma seção O TEOREMA POPULAR Exemplo Recaptulemos o jogo do duopólo de Cournot estudado anterormente. Duas frmas decdem smultaneamente quanto produzr de um mesmo bem x: x 1 é a decsão da frma 1 e x 2 a decsão da frma 2. A demanda de mercado pelo bem x é dada pela equação p=30x. As duas frmas dspõem da mesma tecnologa de produção dada pela função de custo total c(x)=6x. Os conjuntos de estratégas dos jogadores são S 1 =S 2 =[0,30]. Portanto, se a frma produzr a quantdade x, =1,2, o lucro resultante será u (x 1, x 2 )=[24(x 1 +x 2 )]x. É fácl verfcar que este jogo possu um únco EN: 8

9 x 1 =x 2 =8, que corresponde a um lucro de 64 undades monetáras para cada frma. Se as frmas se unrem num cartel e produzrem 6 undades cada, então cada frma terá um lucro superor de 72 undades monetáras. No entanto o perfl de estratégas (6,6) não é um equlíbro de Nash pos se 1 escolher x 1 =6, a frma 2 tem uma melhor escolha, x 2 =9, que lhe dará um lucro anda maor de 81 undades monetáras. Assm, nesse jogo temos um únco EN s * =(8, 8), que é Pareto domnado pelo perfl de estratégas š=(6, 6) que, por sua vez, não é um EN, pos se um jogador escolher 6, a melhor resposta do outro é escolher 9. Suponhamos agora que se trata de um jogo nfntamente repetdo. Então, se jogarem segundo o EN as frmas estão perdendo 7264=8 undades monetáras a cada período, se compararmos com o perfl š. Se as frmas não descontam demas o futuro, não sera possível construr um EN do jogo repetdo que nduzsse as duas a jogarem de acordo do š? O teorema a segur responde a essa questão. Teorema Teorema Popular. Consdere um jogo nfntamente repetdo com jogo base. Seja s * =(s 1 *,..., s n *) um equlíbro de Nash de, e suponha que exste um perfl de estratégas ~ s ~ s,, ~ tal que u ~ s u s *, 1,, n. 1 s n seja r uma melhor resposta de a u u ~ s. Suponha que:, ~ ~ r s u s r, ~ s u s * Para cada jogador,, 1,, n. Então exste um equlíbro perfeto em subjogos do jogo repetdo tal que o perfl de estratégas s ~ é jogado em cada período. Demonstração Uma estratéga para um jogador em é chamada estratéga de gatlho se tver a segunte forma: jogar s em cada estágo enquanto uma certa condção não for atngda; jogar s para sempre se essa condção for atngda. Estratégas de gatlho são as estratégas mas smples que se pode defnr dentre as estratégas que dependem da hstóra do jogo. Para cada jogador, defna a segunte estratéga de gatlho : Jogar s~ no período ncal t=1. Num período t>1, jogar s~ se ~ s sempre tver sdo jogada anterormente. jogar s * caso contráro 9

10 Mostremos que =( 1,..., n ) é um EPS de. () é um EN: Fxemos as estratégas. Suponha que o jogador não desva do perfl. Sua utldade será: U u s u s u s ~ ~ ~ 2 ~ u s 1 Suponha agora que decde desvar do perfl. Se houver algum desvo vantajoso para, então ele deverá fazê-lo logo no período ncal, dado o caráter estaconáro do jogo. Para ter vantagem, o melhor que pode fazer é jogar r. Se fzer sso, levará vantagem no período ncal; no entanto, nos períodos seguntes os outros jogadores escolherão s *, de acordo com. Como s * é um equlíbro de Nash do jogo base, do período 2 em dante, o melhor que pode fazer é jogar s *. Assm, no melhor desvo possível de esse jogador receberá: U u * 1 d ~ 2, * *, ~ s u r s u s u s u r s Logo, será melhor para o jogador não desvar se: U ~ d U u s 1 u r, s u s * ~ u u ~ r, s u s r, ~ s u s * Dadas as hpóteses do teorema, nenhum jogador tem nteresse em desvar unlateralmente do perfl. Trata-se pos de um equlíbro de Nash do jogo repetdo. ~ () é um equlíbro perfeto em subjogos: Dada a estrutura estaconára do jogo repetdo, exstem apenas dos tpos de subjogos a serem analsados: aqueles que se ncam no camnho de equlíbro (ou seja, nenhum jogador desvou do perfl no passado), e aqueles que se ncam fora do camnho de equlíbro (algum jogador desvou do perfl anterormente). Analsemos cada uma dessas possbldades. ()-1 Subjogos ncando-se no camnho de equlíbro. Nesse caso, a restrção de ao subjogo é dêntca a : Cada jogador nca jogando s~ e contnuar jogando s~ enquanto todos os jogadores seguem s ~. Caso contráro, mudar para s * para sempre. Mas então, aplcando o resultado de (), concluímos que se trata de um EN do subjogo. 10

11 ()-2 Subjogos ncando-se fora do camnho de equlíbro. Nesse caso alguém já desvou de no passado. Assm, a restrção de a esse subjogo dz que todos os jogadores escolherão jogar segundo s*. Como jogar um EN do jogo base é sempre um EN do jogo repetdo, temos mas uma vez um EN do subjogo (dstnto do EN anteror). Conclusão: é um EPS do jogo repetdo. Em equlíbro o perfl Pareto superor s ~ é sempre jogado COOPERAÇÃO O Teorema Popular mostra que um comportamento cooperatvo pode ser obtdo como uma conseqüênca do processo de maxmzação ndvdual em um jogo não cooperatvo. Trata-se de uma forma de trazer fundamentos não cooperatvos aos jogos cooperatvos, e mas uma vez mostrar como os dos concetos estão ntmamente relaconados, como menconado anterormente neste lvro. A versão apresentada neste lvro é uma das formas mas smples de uma classe de resultados chamados Teorema Popular (Folk Theorem) por já serem do conhecmento popular antes que suas demonstrações fossem claramente formuladas. Exstem mutas versões desse teorema que o generalzam e que mostram que, de fato, mutas outras conseqüêncas Pareto superores podem ser obtdas como resultados de EPS, se os agentes descontarem pouco o futuro. Para lustrar, consderemos o exemplo do duopólo de Cournot. O gráfco abaxo descreve os payoff assocados à produções 6, 8 e A B C D

12 O ponto A corresponde ao EN s*, o ponto C corresponde ao perfl Pareto superor ~ s e os pontos entre A, B, C e D são (essencalmente) as conseqüêncas que podem ser obtdas num jogo nfntamente repetdo, se os agentes descontarem pouco o futuro. Nos exercícos apresentados a segur são exploradas algumas generalzações do teorema popular EXERCÍCIOS Exercíco 11.1-Verfque que ( 1, 2 ) não é um EN do jogo dlema dos prsoneros repetdo. Exercíco 11.2-Seja um jogo base para o qual exste um únco EN, s. Prove que em qualquer jogo repetdo um número fnto de vezes T o únco EPS consste em jogar s em cada período em cada cópa do jogo base. Podem exstr outros EN no jogo repetdo? Exercíco 11.3-Seja um jogo base para o qual exste um número fnto de EN em estratégas puras. Suponha que o jogo seja repetdo um número fnto de vezes, T. Prove que em qualquer EPS desse jogo os jogadores escolhem um EN do jogo base em cada cópa de. Exercíco 11.4-Mostre que o EN ( 1, 2 ) do dlema dos prsoneros nfntamente repetdo não é um EPS, ndependentemente do valor de (0,1). 12

13 Exercíco 11.5-No enuncado do Teorema Popular fo suposto que todos os jogadores possuem o mesmo fator se desconto. Enunce e demonstre uma versão mas geral do teorema na qual cada jogador possu seu própro fator de desconto. Você pode tram alguma conclusão sobre a probabldade de exstênca um equlíbro vantajoso para os jogadores (cooperatvo) quando o número de agentes envolvdos aumenta? Exercíco 11.6-Na demonstração do teorema popular usou-se uma estratéga do gatlho extrema que prevê a reversão ao equlíbro de Nash para sempre, se houver desvo. Você consegue construr um perfl de estratégas menos radcal, no qual, se houver desvo, há reversão para o EN por um período fnto de tempo, para depos se voltar ao perfl Pareto domnante? Isto tem algum efeto sobre o camnho de equlíbro? Exercíco 11.7-Duopólo de Bertrand. Consdere duas empresas 1 e 2, revendedoras exclusvas de um mesmo produto, como por exemplo, um carro mportado. O custo untáro do produto é de 6 undades monetáras. Assm, se uma empresa adqurr x undades do produto para revendê-las, seu custo será c(x)=6x. Cada empresa rá adqurr apenas a quantdade de produto que lhe for encomendada. A demanda de mercado é dada pela equação: X=30p. A cada semana as duas empresas anuncam no jornal de domngo o preço de seus produtos. A decsão do preço a anuncar é smultânea, de forma que uma empresa não observa o preço anuncado pela outra no momento de decdr seu anúnco. A empresa que anuncar o menor preço abocanhará todo o mercado durante aquela semana. Se os preços forem guas, cada empresa suprrá metade da demanda. () Consdere o jogo de uma semana como um jogo estátco. Construa o jogo e mostre que exste um únco equlíbro de Nash no qual cada empresa termna com lucro zero. () Suponha que as duas empresas formam uma coalzão para mpor ao mercado lucros monopolístcos, dvdndo entre s esses lucros. Qual será o lucro de cada 13

14 empresa? É possível mplementar as produções correspondentes no jogo estátco? Porque? () Suponha agora que o jogo estátco acma é um jogo base, que é repetdo nfntamente. Que condções os fatores de desconto dos agentes devem satsfazer para que formar cartel corresponda a um EPS do jogo repetdo? Exercíco 11.8-Dos ndvíduos formam uma parcera produtva. Quando o parcero trabalha x horas, =1,2, eles produzem um resultado cujo valor é de 80(x 1 +x 2 ) 1/2. O custo do trabalho de cada ndvíduo é de 10 undades monetáras por hora. Assm, se os parceros dvdem gualmente o resultado do trabalho, a utldade do parcero é dada por u (x 1, x 2 )=4080(x 1 +x 2 ) 1/2 10x. Consdere o jogo estátco com nformação completa no qual os agentes escolhem smultaneamente seus esforços x. () Determne o EN smétrco (x 1 *=x 2 *) do jogo estátco. () Determne a escolha y 1, y 2 efcente de x 1, x 2 (sto é, aquela que maxmza a soma das utldades dos dos agentes) na qual y 1 =y 2 =y. () Mostre que (y 1, y 2 ) não é um EN do jogo estátco. (v) Suponha que o jogo é repetdo nfntas vezes e que os jogadores têm o mesmo fator de desconto. Determne para que valores de exste um EPS do jogo repetdo no qual os parcero sempre escolhem o nível de esforço efcente em equlíbro. Exercíco 11.9-Dos amgos moram juntos e dvdem gualmente os custos do café da manhã. O amgo 1 consome apenas suco de laranja no café da manhã, que custa um real por ltro. O amgo 2 consome apenas lete, o que também custa um real por ltro. Toda note os amgos vão ao supermercado comprar lete e suco. O amgo 1 selecona a quantdade de suco de laranja, enquanto o amgo 2 selecona a quantdade de lete a ser adqurda. Cada amgo tem um orçamento dáro de 10 reas para o café da manhã e outros gastos dversos. Se o agente 1 (respectvamente 2) consumr g 1 ltros de suco (lete) dervará uma utldade de 2(g 1 ) 1/2 (respectvamente 2(g 2 ) 1/2 ). Além dsso, o dnhero não usado para as compras do café (10(g 1 +g 2 )/2) podem ser aplcados em outros tpos de consumo ndvdual, gerando uma undade de utldade por real. 14

15 () O problema acma descrto consttu um jogo estátco com nformação completa com conjuntos de estratéga S 1 =S 2 =[0, 10]. Determne as utldades dos jogadores u 1 (g 1, g 2 ) e u 2 (g 1, g 2 ). () Determne o únco equlíbro de Nash do jogo, (g 1 *, g 2 *). () Determne as utldades correspondentes dos amgos u 1 (g 1 *, g 2 *) e u 2 (g 1 *, g 2 *). (v) Determne as quantdades adqurdas de cada bem (g 1, g 2 ) se os amgos decdssem quanto comprar de cada bem de forma a maxmzar a soma das utldades dos dos. (v) Determne as utldades correspondentes dos amgos u 1 (g 1, g 2 ) e u 2 (g 1, g 2 ). (v) Se o amgo 1 decdr comprar a quantdade encontrada em (v), determne a melhor resposta do amgo 2, g 2, e as conseqüentes utldades u 1 (g 1, g 2 ) e u 2 (g 1, g 2 ). (v) Suponha que os amgos consderam a decsão cotdana como parte de um jogo repetdo, tendo cada um o mesmo fator de desconto. Então descreva uma estratéga do gatlho para o amgo 1, 1, que possa nduzr o equlíbro cooperatvo (jogar de acordo com (v) em cada período). (v) Se 1 jogar de acordo com 1 e 2 desvar da melhor forma possível já no prmero período, qual será sua utldade no jogo repetdo? (x) Se 1 jogar de acordo com 1 e 2 não desvar, qual será sua utldade no jogo repetdo? (x) Determne os valores do fator de desconto para os quas as estratégas do gatlho corresponderão a um equlíbro de Nash perfeto em subjogos do jogo repetdo. Exercíco Dos pescadores decdem daramente quantos qulos de lagosta pescar. Essa decsão é tomada ndvdual e ndependentemente um do outro. Cada qulo de lagosta é venddo ao preço de mercado de 24 reas. Apesar dos pescadores trabalharem separadamente, exste uma externaldade de produção presente: quanto mas um dos agentes pescar, mas dfícl fca para o outro consegur pescar a quantdade desejada. Sejam x 1 e x 2 as quantdades de qulos de lagosta pescadas pelos jogadores 1 e 2, respectvamente; então o custo para o pescador consegur pescar x 1 qulos de lagosta é c 1 (x 1 )=(x 1 +x 2 )x 1 e analogamente para 2: c 2 (x 2 )=(x 1 +x 2 )x 2. () Determne o equlíbro de Nash do jogo estátco. Qual é o lucro correspondente para cada jogador? 15

16 () Suponha que os agentes se juntam para decdr conjuntamente a quantdade de lagosta a ser pescada. Qual será a quantdade pescada por cada jogador? E o lucro correspondente? O resultado encontrado é Pareto superor ao equlíbro de Nash. Porque não se trata de um equlíbro do jogo estátco? () Suponha que cada pescador possu um mesmo fator de desconto, que é aplcado quando consdera seu retorno no da segunte. Observando que os pescadores estão de fato jogando o mesmo jogo a cada da, use a teora dos jogos repetdos para determnar um valor mínmo para o fator de desconto, a partr do qual será um equlíbro de Nash, do jogo repetdo, pescar a quantdade no tem anteror todos os das. Construa estratégas do gatlho correspondentes para o jogo repetdo e mostre que o equlíbro encontrado é um equlíbro perfeto em subjogos. REFERÊNCIAS 16