2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

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1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 0

2 Varável aleatóra Ω é o espaço amostral de um epermento aleatóro Uma varável aleatóra é uma função que atrbu um número real a cada resultado em Ω Eemplo Retra- ao acaso um tem produzdo de um lote de s undades Varáves: : Número de defetos no tem leconado Y: Tempo de vda do tem em h

3 O espaço amostral assocado a este epermento aleatóro é Ω { a a L } a 6 Os possíves valores da varável são 0 e os possíves valores da varável Y são os números reas não negatvos Classfcação: Varáves aleatóras dscretas O conjunto de possíves valores é fnto ou nfnto enumerável Varáves aleatóras contínuas O conjunto de possíves valores é nfnto não enumerável um ntervalo por eemplo No eemplo acma é dscreta e Y é contínua

4 Varáves aleatóras dscretas VAD é uma VAD com possíves valores no conjunto R Uma função f é uma função de probabldade 0 f P R f f R e Eemplo Um lote de um certo produto é formado por 5 tens ndo tens do tpo H e do tpo M Uma amostra de tens rá formada sorteando- m reposção três tens do lote Qual a probabldade de encontrarmos na amostra pelo menos dos tens do tpo M? Defnmos como o número de tens do tpo M na amostra

5 Espaço amostral Probabldade HHH HHM HMH MHH HMM MHM MMH MMM P Assm P P P

6 Eemplo A demanda dára de um tem é uma varável aleatóra dscreta com a função de probabldade d C P D d ; d d! a Determnar a constante C b Calcular PD Solução a Para que PD d ja uma função de probabldade devemos ter C > 0 e PD PD PD PD Ou ja b d Logo P D R D P D P D d d P D d ; 6d! C d!! P D! C

7 unção de dstrbução acumulada de uma VAD unção de dstrbução acumulada DA é uma VAD com valores em R { } e função de probabldade f P Para qualquer a DA de denotada por é defnda como P f P em que R Eemplo Uma varável aleatóra tem função de probabldade f / 5 P 7 / 5 0 cc Determnar 7

8 8 Se f P P P P P Se P P P P P Se 5 8 P P P P Se P P P P 5 P P P Se 5 P P P Se 0 P Se

9 9 R de elementos são e ndoque então [ Em geral [então ; [então Se l l l l l Obrvação Logo a DA é dada por 8/5 /5 0

10 Propredades da função de dstrbução acumulada é uma VAD Para todo 0 é uma função monótona não decrescente lm 0 e lm Se R { } em que então f P Se a e b são tas que ab então v v P P P a P a P a a a a b b b P b a b b a a a P P a b e 0

11 Eemplo A varável aleatóra tem função de dstrbução acumulada 0 / / 5 / Determnar a pode P Usando - P c Da DA tem - que R mostrar que a / 8 / 8 0 função / b Propredad e 5 da DA : P f a a P b P propredad e 5 da {0} Pela cc DA : de e c 0 / - P probabld ade f propredad e da de - é -/ DA /

12 Eemplos

13 Varáves aleatóras contínuas VAC unção densdade de probabldade Uma função VAC f é chamada função densdade de probabldade de uma f Se f d A 0 { ; a para todo b} então P A P a b b a f d Eemplo O tempo de produção de um componente em mnutos é uma varável aleatóra com função densdade 5 f 0 caso contráro Verfcar f é uma função densdade de probabldade e calcular a probabldade que o tempo de produção de um artgo escolhdo ao acaso ja menor do que mnutos

14 Prmero notamos que f 0 para todo alta verfcar a condção ou ja a área sob o gráfco de f deve r gual a f d 5 0d d 0d 5 d 5 A probabldade de que o tempo de produção de um artgo escolhdo ao acaso ja menor do que mnutos é a probabldade do evento A {; } ou ja P A P f d 0d 5 d 5 5 8

15 Obrvação Se é uma VAC então P P a P 0 para a b P a P a P todo b b a para P a para todo a todos b a e b com a b unção de dstrbução acumulada é uma VAC com função densdade f A função de dstrbução acumulada DA de é P f t dt para todo Obs Se é um tempo de vda utlzamos a função de confabldade relablty functon: R P > Eemplo Uma varável aleatóra tem função densdade f 5 0 caso contráro Determnar 5

16 Se Se f 0; logo 0 - Se ftdt 0dt 5 t dt 5 t ftdt f t dt 0 f t dt ftdt 0 Logo a DA de é

17 7 Obrvação A DA de permte o cálculo de probabldades de eventos da forma E {; a b} com a b Isto é PE b a Eemplo Consdere a DA abao Obtenha P e P P e P Solução

18 Propredades 0 para todo é uma função monótona não decrescente é uma função contínua para todo lm lm f t dt 0 e lm lm f d d 5 Do teorema fundamental do cálculo obtemos f t dt Eemplo Suponha que o tempo de vda de um processador é uma varável aleatóra com ke Determnar a o valor de k b P P e P - e c f 8

19 Solução a Propredade de : 0 0 ke 0 0 k Logo e 0 cc 0 b P P P P e 0 c Propredad e f d d 5 e de f : e 0 cc e e 068 e e e R R

20 Valor esperado e varânca Valor esperado de uma varável aleatóra é uma varável aleatóra com função de probabldade ou função densdade de probabldade f O valor esperado ou esperança matemátca ou méda da varável aleatóra denotado por E µ é defndo como E é uma R varável f aleatóra e dscreta : é uma varável aleatóra contínua : E f d supondo que o somatóro e a ntegral estem 0

21 Valor esperado de uma função de varável aleatóra Y h ndo h uma função de O valor esperado de h é dado por é uma varável aleatóra dscreta : E é uma R h varável f e aleatóra contínua : E h f d

22 Varânca de uma varável aleatóra é uma varável aleatóra com função de probabldade ou função densdade de probabldade f e com méda E µ A varânca de denotada por Var σ é defnda como o valor esperado de - µ é uma Var varável R µ aleatóra f dscreta e : é uma varável aleatóra contínua : Var µ f d Desvo padrão É a raz quadrada da varânca: DP σ Var

23 Eemplo Suponha que a demanda dára de uma peça é uma varável aleatóra dscreta com função de probabldade f P 6! 0 cc Determnar a a demanda esperada e b o desvo padrão da demanda Solução Gráfco de f P

24 Solução a Pela defnção de valor esperado temos E R f 6 6! 6! 6! 9 9 b Var R µ 9 9 f 6! 9 9 6! 9 9 6! 80 8 DP σ Gráfco de f com µ σ µ e µ σ P

25 Moda medana e méda VAC f Moda Medana Méda f Méda Medana Moda Assmetra à dreta: Moda Medana Méda Assmetra à esquerda: Moda > Medana > Méda Smetra: Medana Méda estr 5

26 Varáves aleatóras ndependentes e Y são duas varáves aleatóras Dzemos que e Y são ndependentes e somente P Y y P P Y y Y y para todos e y ndo que e Y são as DA s de e Y Em partcular e Y são duas varáves aleatóras dscretas e Y são ndependentes e somente P Y y P P Y y para todos e y 6

27 Propredades do valor esperado e da varânca e Y são duas varáves aleatóras e a e b dos números reas E E E E 7 Var a 8Se e Y são varáves aleatóras ndependen tes então Var a ± by a Var b Var Y 9Se a Var a ± by 5 Var E 6 Var a 0 L a a ae a ± b ae a n Var são n varáves ndependen tes então L ae n ± µ Var b ± be Y Var L Var n 7

28 Eemplo O total de vendas dáras de um empresa que comercalza equpamentos eletrôncos em dezenas de mlhares de R$ é uma varável aleatóra com função densdade f cc a Para um certo da determne a probabldade de que as vendas da empresa jam maores do que R$ mas não ultrapasm R$ b A méda e o desvo padrão das vendas dáras c Se o lucro dáro é dado pela função Y 0-05 calcule a méda e o desvo padrão do lucro dáro 6 8

29 9 Solução Denotamos as vendas dáras em dezenas de mlhares de R$ por Gráfco de f: P P d d d f A a Defnmos A { 5} e calculamos V e n d a s 0 R $ Densdade

30 b Incamos calculando E e E f d f d d d 6 d d Logo σ Var 50 / 8 E µ 9 9 e σ Var 50 / c Defnmos Y 0 05 Das propredades do valor esperado e da varânca obtemos EY E E 05 0 / Var Y Var0 σ Y 05 0 Var Y 057 Var 0 50/8 0