AULA 4. Segundo Quartil ( Q observações são menores que ele e 50% são maiores.

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1 Estatístca Aplcada à Engenhara AULA 4 UNAMA - Unversdade da Amazôna.8 MEDIDA EPARATRIZE ão valores que separam o rol (os dados ordenados) em quatro (quarts), dez (decs) ou em cem (percents) partes guas. Note que para a sua correta aplcação, ege-se que os dados estejam organzados num rol. QUARTI ( ) Q DECI ( ) D PERCENTI OU CENTI ( ) C.8. Quarts ( ) Q guas. ão valores que dvdem o conjunto de dados ordenados (rol) em 4(quatro) partes Prmero Quartl ( Q ) - valor stuado de tal modo na sére de dados que % das observações são menores que ele e 7% são maores. egundo Quartl ( Q ) - valor stuado de tal modo na sére de dados que 0% das observações são menores que ele e 0% são maores. Tercero Quartl ( Q 3 ) - valor stuado de tal modo na sére de dados que 7% das observações são menores que ele e % são maores. Q Q Q 3.8. Decs ( ) D guas. ão valores que dvdem o conjunto de dados ordenados (rol) em 0(dez) partes Prmero Decl ( D ) - valor stuado de tal modo na sére de dados que 0% das observações são menores que ele e 90% são maores. egundo Decl ( D ) - valor stuado de tal modo na sére de dados que 0% das observações são menores que ele e 80% são maores. Nono Decl ( ) 9 D - valor stuado de tal modo na sére de dados que 90% das observações são menores que ele e 0% são maores.

2 .8.3 Percents ou Cents ( ) C guas. ão valores que dvdem o conjunto de dados ordenados (rol) em 00(cem) partes Prmero Percentl ( C ) - valor stuado de tal modo na sére de dados que % das observações são menores que ele e 99% são maores. egundo Percentl ( C ) - valor stuado de tal modo na sére de dados que % das observações são menores que ele e 98% são maores. egundo Percentl ( C 3 ) - valor stuado de tal modo na sére de dados que % das observações são menores que ele e 98% são maores Nonagésmo Nono Percentl ( C 99) - valor stuado de tal modo na sére de dados que 99% das observações são menores que ele e % são maores. fórmulas. Cálculo dos Quarts, Decs e Percents Rotero para o cálculo: º (Passo) Determnar as freqüêncas acumuladas (fac) da dstrbução. º (Passo) Calcular a posção do Quartl, Decl ou Percentl desejado, por uma das. f P 4 (,,3) Quartl. f P 0 (,, 3,..., 9) Decl. f P 00 (,, 3,..., 99) Percentl 3º (Passo) Identfcar a que classe que contém o Quartl, Decl ou Percentl desejado por meo da freqüênca acumulada smples (f ac ).

3 fórmulas: 4º (Passo) Calcular o Quartl, Decl ou Percentl desejado por meo de uma das Para o Quartl: P fant Q l +. h f Q onde: l lmte nferor da classe do quartl fant frequênca acumulada anteror a classe do quartl fq frequênca smples da classe do quartl h ampltude de classe do quartl Para o Decl: P fant D l+. h fd l lmte nferor da classe do decl fant frequênca acumulada anteror a classe do decl onde: fd frequênca smples da classe do decl h ampltude de classe do decl Para o Percentl: P fant C l +. h fc l lmte nferor da classe do percentl fant frequênca acumulada anteror a classe do percentl onde: fc frequênca smples da classe do percentl h ampltude de classe do percentl Eemplo: os saláros (em saláro mínmo) de 60 professores de uma escola estão dstrbuídos conforme a tabela a segur. Calcule o Q, D 4 e o C 8 e nterprete os resultados. aláro N. º de prof. fac (f) Total

4 fórmulas. olução: º (Passo) Determnar as freqüêncas acumuladas (fac) da dstrbução. º (Passo) Calcular a posção do Quartl, Decl ou Percentl desejado, por uma das. f.60 P elemento. Quartl. f 4.60 P elemento. Decl P 8. f elemento Percentl 3º (Passo) Identfcar a que classe que contém o Quartl, Decl ou Percentl desejado por meo da freqüênca acumulada smples (f ac ). Quartl (segunda classe); Decl (tercera Classe); Percentl (Quarta classe). fórmulas: 4º (Passo) Calcular o Quartl, Decl ou Percentl desejado por meo de uma das Quartl: 40 0 Q aláros mínmos 40 Decl: D4 +.,3 60 aláros mínmos Percentl: 36 0 C ,07 30 aláros mínmos Interpretação: % dos professores da escola ganham até 4 saláros mínmos ou 7% dos professores ganham mas de 4 saláros mínmos.

5 Interpretação: 40% dos professores da escola ganham até,3 saláros mínmos ou 60% dos professores ganham mas de,3 saláros mínmos. Interpretação: 8% dos professores da escola ganham até 8,07 saláros mínmos ou % dos professores ganham mas de 8,07 saláros mínmos..9 MEDIDA DE DIPERÃO ão meddas estatístcas utlzadas para avalar o grau de varabldade ou dspersão dos valores em torno de um valor central; geralmente as médas. ervem para medr a representatvdade das meddas de tendênca central. Chamamos de dspersão ou varabldade a maor ou menor dversfcação dos valores de uma varável em torno de um valor de tendênca central, tomado como ponto de comparação. Consderemos os seguntes conjuntos de valores como sendo as notas de três turmas de alunos, Y e Z. Turma { 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0} 6, 0 Turma Y {,8;,9; 6,0; 6,; 6,} Turma Z {,0; 4,0; 6,0; 9,0; 0,0} Embora as tumas, Y e Z, apresentem a mesma méda artmétca, é fácl notar que o grupo é mas homogêneo em relação as notas, que os grupos Y e Z, já que todas as notas são guas a méda. O grupo Y, por sua vez, é mas homogêneo que o grupo Z, pos há menor dversfcação entre cada um dos seus valores. Podemos dzer que a grupo apresenta dspersão ou varabldade nula e que o grupo Y apresenta uma dspersão ou varabldade maor que o grupo Z. Portanto, para qualfcar os valores de uma dada varável, resultando a maor ou menor dspersão ou varabldade entre esses valores e a sua medda de posção, a Estatístca recorre às meddas de dspersão ou de varabldade. A segur vamos apresentar algumas meddas de dspersão mas usuas. _

6 .9. Varânca e Desvo Padrão Cálculo da Varânca para dados não tabulados n. n n n Varânca Desvo padrão Consderemos os seguntes conjuntos de valores como sendo amostras de rendmentos de três grupos de trabalhadores. Grupo { 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0} Grupo Y {,8;,9; 6,0; 6,; 6,} Grupo Z {,0; 4,0; 6,0; 9,0; 0,0} Eemplo: determne a varânca e o desvo padrão para as amostras dos grupos relaconadas anterormente. Para o Grupo {6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0} (rendmentos) 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 36,0 36,0 36,0 36,0 36,0 30,0 80,0 ( 30) [ 80 ].0 0 n 4 4 n 0 0

7 Para a Grupo Y {,8;,9; 6,0; 6,; 6,} (rendmentos),8,9 6,0 6, 6, 33,64 34,8 36,00 37, 38,44 30,0 80,0 ( 30) 0,0..80,0.80,0 [ 80 ].0,0 0,0 n n 0,0 0, Grupo Z {,0; 4,0; 6,0; 9,0; 0,0} (rendmentos),0 4,0 6,0 9,0 0,0 30,0,0 6,0 36,0 8,0 00,0 34,0 ( 30) [ 80 ].4 3, n n 3, 3,7 Resumo Grupo Varânca Desvo padrão 0,0 0,0 Y 0, 0, Z 3, 3,7

8 Analsando os resultados obtdos com o cálculo das varâncas e dos desvos padrões, observa-se que o grupo apresenta menor dspersão dos valores em torno da méda e o grupo Z fo o que apresentou maor varabldade em torno da méda Cálculo da Varânca e do Desvo padrão para dados tabulados k f Varânca k. f k k f f Desvo padrão Eemplo: os saláros (em saláro mínmo) de 60 funconáros de uma empresa estão dstrbuídos conforme a tabela a segur. Calcule a varânca e o desvo padrão dos saláros dos funconáros. aláros N.º de func. (f).f. f Total k k f ( 900 ). f 800 k k f f 737,0.[ ,0 ].737,0 4,64alaros mnmos ,64,aláros mínmos

9 .9. Coefcente de Varação de Pearson ( CV p ) O coefcente de varação de Pearson mede percentualmente a varação ocorrda da medda de dspersão absoluta () relatvo a méda artmétca (), ndca a magntude relatva do desvo padrão quando comparado com a méda da dstrbução das meddas. CV p 00% Eemplo: determne o coefcente de varação para as amostras dos grupos relaconadas anterormente. Para o Grupo : _ 30 6pts n CV p ,0% Para o Grupo Y : _ 30 6pts n CV p 0, % Para o Grupo Z : _ 30 6pts n 3,6 360 CV p ,0%

10 Observações: alguns analstas sugerem a segunte classfcação do coefcente de varação. Baa varabldade: CV p < % Méda varabldade: % CV p < 30% Alta varabldade: CVp 30% Observando o coefcente de varação das amostras, percebemos que os grupos e Y apresentaram uma baa varabldade, enquanto que a grupo Z apresentou uma alta varabldade, portanto, o grupo Z é o grupo mas heterogêneo..0 MEDIDA DE NORMALIDADE.0. Assmetra ( ) A s Para concetuar assmetra, obvamente precsamos concetuar smetra. Dremos que este smetra quando a maora dos valores da varável se concentra no meo da dstrbução de forma smétrca. Eemplo : saláros (em saláro mínmo) dos funconáros da empresa Alfa aláros N.º de funconáros Total 30 Quando os valores da varável se concentrarem em uma das etremdades da dstrbução, dremos que este assmetra.

11 Eemplo : saláros (em saláro mínmo) dos funconáros da empresa Alfa aláros N.º de funconáros Total 0 Eemplo 3: saláros (em saláro mínmo) dos funconáros da empresa Alfa aláros N.º de funconáros Total 0.0. Tpos de curva ou dstrbução de freqüênca (a) Curva ou Dstrbução métrca Uma dstrbução é consderada métrca quando o valor da méda for gual ao da medana e moda ( M d M ), sto sgnfca que a maora dos valores se concentra no 0 meo da dstrbução. f M d M 0

12 (a) Curva ou Dstrbução Assmétrca Postva: Uma dstrbução é consderada assmétrca postva quando a o valor da moda(mo) for menor que o da medana(md) e o da medana menor que o da méda() ( M 0 < M d < ), sto sgnfca que a maora dos valores se concentram á esquerda. f M o M d (a) Curva ou Dstrbução Assmétrca Negatva: Uma dstrbução é consderada assmétrca negatva quando a o valor da méda() for menor que o da medana (Md) e o da medana menor que o da moda(mo) ou ( M d < M 0 < ), sto sgnfca que a maora dos valores se concentram à dreta. f M d M o.0.3 Coefcente de Assmetra As _ Mo Classfcação da dstrbução por meo do coefcente da assmetra: e As -,00 então a dstrbução é assmétrca negatva forte. e,00 < As < -0, então a dstrbução é assmétrca negatva fraca. e 0, As 0, e 0, < As <,00 então a dstrbução é smétrca. então a dstrbução é assmétrca postva fraca. e As ³ então a dstrbução é assmétrca postva forte.

13 Eemplo: um estudo sobre as dstrbução dos pesos dos alunos da escola FK, onde já calculamos os valores de (9,3 kg), M o (6,8 kg) e (9,0 kg). Calcule o coefcente de assmetra da dstrbução e classfque a dstrbução. _ Mo 9,3 6,8, As 0,8 9 9 Portanto, a dstrbução apresenta uma assmetra postva moderada.