Análise de Variância. Comparação de duas ou mais médias

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1 Análse de Varânca Comparação de duas ou mas médas

2 Análse de varânca com um fator Exemplo Um expermento fo realzado para se estudar dabetes gestaconal. Desejava-se avalar o comportamento da hemoglobna (HbA) em gestantes normas (N), com tolerânca dmnuída (TD) e dabétcas (D). Foram escolhdas 10 gestantes de cada tpo e meduse suas HbA. normal Tpos de gestante tolerânca dmnuída dabétca

3 Varável Resposta Y ( ou Varável Dependente) : Hemoglobna glcoslada (HbA) Tpo de gestante N TD D 7,86 6,20 9,67 6,38 7,82 8,08 6,90 8,50 9,25 7,78 6,50 8,20 8,17 8,09 8,64 6,26 6,90 9,67 6,30 7,82 9,23 7,86 7,45 10,43 7,42 7,75 9,97 8,63 7,43 9,59 Fazer análse descrtva

4 Modelo: observação Y = sstemátca + aleatóra componente sstemátca (prevsível): ncorpora o conhecmento que o pesqusador tem sobre o fenômeno componente aleatóra: representa varações ndvduas e fatores que não são explcados pela parte sstemátca Subpopulações: P 1, P 2,..., P k representadas por um nível do fator No exemplo: fator tpo de gestante 3 níves Suponha que : P 1 méda de Y : 1 P 2 méda de Y : 2 P k méda de Y : k

5 Queremos testar: H 0 : 1 = 2 = = k H A : pelo menos uma das médas é dferente das demas Análse de Varânca : compara a varabldade entre as médas amostras dos grupos e a varação dentro dos grupos. Se H 0 é verdadera, a varabldade entre as médas dos grupos deve ser pequena

6 Em cada nível do fator : uma amostra de observações k amostras ndependentes Nível 1 Nível 2... Nível k y 11 y 21 y k1 y 12 y y k2 y 1n1 y 2n2 y knk médas: y 1. y 2. y k. n=n 1 +n n k

7 Modelo estatístco (1): Y j = + e j =1,...,k; j =1,...,n onde: : méda do nível (efeto do nível ) e j : efeto aleatóro do j-ésmo ndvíduo do nível Y j : varável resposta do j-ésmo ndvíduo do nível Se a hpótese H 0 for verdadera, o modelo pode ser reescrto: Modelo estatístco (0): Y j = + e * j =1,...,k; j =1,...,n

8 Informação que não é explcada pela parte sstemátca Modelo 1: k n 1 j 1 e 2 j k n 1 j 1 ( y j ) 2 Modelo 0: k n 1 j 1 ( e * j ) 2 k n 1 j 1 ( y j ) 2

9 Modelo 1 (médas dferentes): n 1 n 1 Modelo 0 (mesma méda): y k n 1 n 1 j 1 j y j y. y.. Substtundo temos: SQD k 1 n j 1 ( y j y. ) 2 SQT k 1 n j 1 ( y j y.. ) 2

10 SQE = SQT - SQD SQE k 1 n (y y ) 2.. Varabldade Total = Varabldade entre grupos + Varabldade dentro dos grupos SQT = SQE + SQD

11 Cada uma das somas de quadrados envolve um certo número de quantdades que estão sendo estmadas. Então defnmos os correspondentes quadrados médos: SQT SQD SQE QMT QMD QME n 1 n k k 1 Se H 0 não for verdadera modelo 1 é mas adequado do que o modelo 0 (resíduos do modelo 1 são menores) QME: nformação dos dados captada pelo modelo 1 QMD: nformação que não é explcada pelo modelo1 F QME QMD Se QME for grande comparado à QMD, parte sstemátca do modelo 1 está captando grande parte da nformação. Quanto maor for o valor de F, maores as evdêncas contra H 0.

12 Para realzarmos o teste, precsamos da dstrbução da estatístca F Suposções 1) As amostras são ndependentes 2) Dentro de cada amostra as observações são ndependentes. 3) As observações são seleconadas de uma população na qual a varável resposta tem dstrbução Normal com varâncas guas. Y j ~ N(, 2 ), para todo e j.

13 Ou seja, Nível 1 Nível 2... Nível k y 11 y y k1 y 12 y 22 y k2 y 1n1 y 2n2 y knk amostra N( 1, 2 ) amostra N( 2, 2 ) amostra N( k, 2 )

14 Se as suposções estverem satsfetas, sob a hpótese H 0 temos que: a estatístca do teste F =QME/QMD tem dstrbução F-Snedecor com (k-1) e (n-k) graus de lberdade. F QME QMD ~ F k 1,n k Rejetamos H 0 para valores grandes de F ou seja RC = {F a} Pelo Teorema de Cochran temos que sob H 0 : SQE 2 SQD 2 ~ ~ 2 ( k 1 ) 2 ( n k ) SQE e SQD ndependen tes

15 Resumo: Tabela de Análse de Varânca - ANOVA Fonte de Graus de Soma de Quadrado F varação lberdade quadrados médo Entre k-1 SQE QME QME/QMD Dentro n-k SDQ QMD Total n-1 SQT com F~F (k-1, n-k) QMD é um estmador para a varânca populaconal 2. Combnação das varâncas amostras dentro de cada grupo Só tem sentdo se a suposção de gualdade das varâncas populaconas é verdadera

16 Analyss of Varance Source DF SS MS F P Factor 2 23,403 11,702 19,36 0,000 Error 27 16,316 0,604 Total 29 39,719 Indvdual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev C1 10 7,356 0,8469 (-----*-----) C2 10 7,446 0,7183 (-----*-----) C3 10 9,273 0,7614 (-----*-----) Pooled StDev = 0,7774 7,20 8,00 8,80 9,60 Y. ~ N(, n 2 ) Y. QMD n ~ t n k

17 Quando rejetamos a Hpótese nula Localzar as dferenças através de Técncas de Comparações Múltplas. Alguns Métodos Tukey Scheffé Bonferron Comparar os grupos dos a dos por meo de ntervalos de confança para a dferença. Se o ntervalo não contém o zero, podemos obter conclusões sobre a razão da rejeção.

18 Comparação entre os métodos a) Tukey deve ser adotado quando tvermos nteresse em todas as possíves comparações de médas duas a duas. Quando o no. for pequeno em relação a k(k-1)/2, Bonferron é mas precso que o Tukey. b) Scheffé deve ser adotado quando temos nteresse em comparações envolvendo mas de duas médas

19 Análse de Resíduos Verfcar se o modelo adotado fo adequado O resíduo da observação y j é defndo como: y j - méda amostral do grupo = j. A méda dos resíduos é zero, e a varânca é a mesma das observações. A análse descrtva dos resíduos pode sugerr a valdade das suposções de Normaldade, Igualdade de Varâncas e Independênca ( quando dspusermos da ordem em que as observações foram obtdas)

20 Teste de Igualdade de Varâncas Teste de Bartlett (dstrbução normal) Teste de Levene (qualquer dstrbução contínua) Teste de Normaldade Uma forma de se verfcar descrtvamente a suposção de normaldade das observações, é construr o gráfco de probabldade normal dos resíduos

21 Desvos das Suposções Se as suposções de Normaldade ou Igualdade de Varâncas não estverem satsfetas, podem ser fetas transformações nos dados. No caso de não ser encontrada uma transformação adequada, podem ser adotadas técncas não paramétrcas

22 Fugas da Normaldade garantr a valdade da dstrbução F O modelo de ANOVA é robusto Teorema Lmte Central ( Dstr. Amostral da Méda ) Em casos extremos Testes Não Paramétrcos

23 Heterocedastcdade Transformação dos dados orgnas Testes não paramétrcos Utlzação de modelos mas geras Lembrar que heterocedastcdade já é uma dferença mportante entre os grupos

24 2 proporconal a Y Y Y Y Y 1 ou proporconal a Y logy 2 proporconal a 2 Y 1 Y

25 Fugas da Independênca Ajuste de Modelos Específcos Stuações Expermentas Meddas Repetdas Dados Longtudnas A) Comparação das glcemas médas na população de pacentes submetdos à revascularzação do mocárdo com a utlzação de crculação extracorpórea nos períodos, pré-operatóro, prmero e segundo das do pós-operatóro B) Comparação de graus médos de melhora em pacentes Esquzofrêncos ou Depressvos submetdos a três tpos de tratamento

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