Sumarização dos dados

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1 Inferênca e Decsão I Soluções da Colectânea de Exercícos 22/3 LMAC Capítulo 2 Sumarzação dos dados Nota: neste capítulo é apresentada a resolução apenas de alguns exercícos e a título ndcatvo. Exercíco 2.1 Comecemos por determnar a f.d.p. conjunta do vector aleatóro X 1,...,X n. Fazendo f X (x ) f X (x ) e n! x I (, ) (mn x ) h(x) x, g(mn X,) en! I (, ) (mn x ) decorre do crtéro de factorzação que T(X) mn X é efectvamente uma estatístca sufcente para. Exercíco 2.2 A f.d.p. conjunta correspondente a este vector aleatóro é dada por: pelo que fazendo T(x) (mn f X (x ) 1 2 I (,)(x ) 1 (2) n n! I (,)(mn x )I x (,)(max ) x,max x ), h(x) 1, g(t(x),) 1 (2) n n! I x (,)(mn )I x (,)(max ) X vem que, usando o crtéro da factorzação, T(X) (mn,max X ) é efectvamente uma estatístca sufcente para. 1

2 Exercíco 2.3 Notemos que a f.d.p. conjunta das n estatístcas ordnas provenentes de uma amostra a.a. de dmensão n é dada por Logo dado que f (X(1),X (2),...,X (n) (x (1),x (2),...,x (n) ) n! f X (x ) f ( x ) f X (x () )δ {x(1) x (2)... x (n) } 1 n n! n! f X (x () ) f X (x () )δ {x(1) x (2)... x (n) } 1 n! f (X (1),X (2),...,X (n) )(x (1),x (2),...,x (n) ) multplcação é comutatva consderando h(x) 1 n! e g((x (1),X (2),...,X (n) ),) f (X(1),X (2),...,X (n) )(x (1),x (2),...,x (n) ), decorre do crtéro de factorzação que as n estatístcas ordnas de uma a.a. de dmensão n consttuem efectvamente uma estatístca sufcente para o parâmetro da correspondente f.d.p. da população. Note-se porém que, à semelhança do que se passa com a própra amostra, esta estatístca não opera qualquer redução na própra amostra. Exercíco 2.4 Para resolver este exercíco vamos recorrer sstematcamente ao crtéro da factorzação (para provar a sufcênca) e ao teorema da Lehman-Scheffé (para provar a mnmaldade), excepto na prmera alínea (onde nvocaremos resultados respetantes à famíla exponencal). Seja anda X uma amostra aleatóra de dmensão n de X e x uma sua concretzação. (a) Note-se que a f.d.p. ndcada corresponde a uma N(, 1), que pertence à famíla exponencal, uma vez que f X (x ) 1 2π e x2 /2 2 /2+x 1 2π e x2 /2 e 2 /2 e x pelo que, usando a defnção e notação de famíla exponencal, segue-se que h(x) 1 2π e x2 /2, c() e 2 /2, k 1, w 1 () e t 1 (x). Logo segue-se que a estatístca T(X) n X é uma estatístca sufcente completa e, consequentemente, é uma estatístca sufcente mínma. (b) Dado que a exponencal deslocada não pertence à famíla exponencal (por causa da função ndcatrz), teremos de usar o crtéro da factorzação. f X (x ) x e n I (, ) (mn x ) pelo que fazendo T(x) x (1) vem que f X (x ) h(x)g(t(x),), com h(x) x e g(t(x),) e n I (, ) (x (1) ). Logo T(X) (X (1) ) é uma estatístca sufcente. Resta ver 2

3 se é mínma. Para sso vejamos que para y (y 1,...,y n ): f X (x ) f X (y ) e n x y I (, ) (x (1) ) I (, ) (y (1) ) que não depende de se e só se y (1) x (1). Logo T(X) (X (1) ) é efectvamente uma estatístca sufcente mínma. (c) Como vmos no exercíco 2.3, a estatístca correspondente às n estatístcas ordnas de uma a.a. T(X) (X (1),...,X (n) ) é uma estatístca sufcente para qualquer famíla de f.d.p. pelo que, em partcular, é sufcente para o modelo logístco aqu apresentado. Vejamos pos se nesta stuação anda é estatístca sufcente mínma. Consdere-se a f.d.p. conjunta de uma amostra f X (x ) (x ) n (1 + e (x ) )) 2 Seja agora y (y 1,...,y n ) outra amostra, e consdere-se o ráco das f.d.p. conjuntas assocadas às duas amostras: n f X (x ) f X (y ) e (x ) n (1 + e (y ) ) 2 (y ) n (1 + e (x ) ) 2 n x n (1 + e y e ) 2 e y n n e x y (1 + e x e ) 2 ( ) λu 1 + λv com λ e,u e y e V e x. Então a questão da mnmaldade passa por ndagar em que condções o quocente dos polnómos [ n ( )] 1+λU 1+λV é ndependente de λ. Note-se que se trata do quocente de dos polnómos de grau n, pelo que o quocente é ndependente de λ se e só se as raízes forem guas,.e., se e só se {1,2,...,n}, k {1,2,...,n} : U V k pelo que efectvamente T(X) (X (1),...,X (n) ) é uma estatístca sufcente mínma. (d) A resolução é dêntca à da alínea anteror, deduzndo-se gualmente que as estatístcas ordnas correspondentes a uma amostra aleatóra de dmensão n consttuem uma estatístca sufcente mínma. (e) Idem. Exercíco 2.5 (a) Uma f.d.p. pertence à famíla da Exp(1,λ) se a sua f.d.p. for da forma: f X (x λ) e (x λ) I (λ, ) (x) Utlzando o crtéro da factorzação, vem que uma estatístca sufcente é T(X) X (1) 3

4 Vajamos agora se a famíla em questão é completa. Para tal seja h(.) : [λ, ) IR uma função e calculemos: E[h(T(X)) λ] n λ λ λ h(x)f X(1) (x λ)dx h(x)n (f X (x λ)) n dx h(x)e n(x λ) dx Dado que e n(x λ) >, n IN,x (λ, ) e que n >, então E[h(T(X)) λ] se e só se h(x) para x λ quase em toda a parte (note-se que X (1) λ q.c.) donde se conclu que a famíla da Exp(1,λ) é completa para a f.d.p. assocadas à estatístca X (1). Logo T(X) X (1) é completa para λ pelo que, dado que é sufcente, é também estatístca mínma. (b) Dado que a famíla da Posson pertence à famíla exponencal, uma estatístca sufcente completa é dada por T(X) pelo que também é estatístca sufcente mínma. Exercíco 2.6 Uma estatístca sufcente mínma para a famíla F é X T(X) X (1) Note-se que a f.d.p. assocada a esta estatístca é dada por Seja h : [, + 1] IR. Então f T (t ) n [1 F X (t )] n 1 f X (t ) n(1 x + ) n 1 I (,+1) (t) E[h(T(X)) ] E[h(X (1) ) ] +1 se e somente se +1 h(x)(1 x + ) n 1 dx Dervando a expressão anteror em ordem a, tem-se h(x)n(1 x + ) n 1 dx h( + 1)(1 1 + ) n 1 h()(1 + ) n h() pelo que T(X) X (1) é uma estatístca sufcente completa e, consequentemente, é estatístca sufcente mínma. Exercíco 2.7 Dado que a famíla de dstrbuções geométrca pertence à famíla exponencal, então T(X) n X é seguramente uma estatístca sufcente completa e, consequentemente, T(X) é uma estatístca sufcente mínma. Vejamos agora qual a dstrbução da soma de n v.a...d. a uma v.a. geométrca de parâmetro p (,1). Note-se que {Geo(p),p (,1)} {BN(1,p),p (,1)}. Além dsso 4

5 sabemos que a bnomal negatva tem a propredade reprodutva,.e., se X, 1,...,n são v.a...d. a X com X BN(m,p) então n X (nm,p). Logo Exercíco 2.8 X BN(n,p). (a) Seja N o número de provas de Bernoull..d., com parâmetro, e X 1,...,X N a respectva amostra. Então f X (x ) N x (1 ) (N N x ) N x (1 ) ( N x) (1 ) N ( ) N x (1 ) N 1 pelo que pelo frtéro de factorzação, decorre que ( n X,N) (X,N) (onde X é o número total de sucessos em N provas) é efectvamente uma estatístca sufcente. Além dsso decorre da defnção que N pode ser escolhdo aleatoramente e ndependentemente de pelo que se trata de uma estatístca anclar. (b) Os resultados são trvas se N for uma v.a. degenerada. Vejamos o que se passa se for uma v.a. não degenerada. Já vmos na alínea anteror que (X,N) é uma estatístca sufcente. Vejamos agora se é completa. Para tal seja h : (IN,IN) IR uma função qualquer. E[h(X,N) ] n IN h(x,n)( n x) x (1 ) n x P(N n) x Então dado que n IN : ( n x) x (1 ) n x P(N n) >, E[h(X,N) ] > para todo o (,1) se só se h(x,n) para todos os pontos onde P(N n) >, pelo que a famíla Bernoull é efectvamente uma famíla completa para a famíla de f.d.p. assocadas a (X,N). Logo (X,N) é uma estatístca sufcente completa e, consequentemente, é uma estatístca sufcente mínma. Note-se que E [E [X N]] E [X], pelo que E [X] E[N]. Por outro lado decorre do teorema de Basu que (X, N) é ndependente de qualquer estatístca anclar; em partcular é ndependente de N (que já vmos ser estatístca anclar) e de 1 N (pos é uma estatístca equvalente, pelo que é também anclar). Logo E[X] E E [N] E [ ] X N N E [ ] X E [N] N [ ] X E [N] N pelo que E [ ] X N 5

6 .e., X N é um estmador centrado de. Vejamos agora a sua varânca. V ar[x] E [V ar[x N]] + V ar [E[X N]] E[N(1 )] + V ar[n] (1 )E[N] + 2 V ar[n] Por outro lado V ar[x] V ar[ X ( ) X 2 N N] E[ N 2 ] E 2 [ X N N N] ( ) X 2 E[ ]E[N 2 ] E 2 [ X N N ]E2 [N] pos são v.a. ndependentes (V ar[ XN ) ] + 2 E[N 2 ] 2 E 2 [N] pelo que Exercíco 2.9 V ar[ X N ]E[N2 ] + 2 V ar[n] (1 )E[N] V ar[ X N ]E[N2 ] V ar[ X E[N] ] (1 ) N E[N 2 ] (a) Dado que a f.d.p. conjunta de uma amostra x é dada por: ( ) 2 n n f X (x ) 2 x I (,) (x (n) ) vem, de acordo com o crtéro da factorzação, que uma estatístca sufcente para a famíla de f.d.p. é T(X) X (n) Quanto a ser completa, note-se que a f.d.p. de T é dada por f X(n) (x ) nf n 1 X (x )f X(x ) com F X (x ) mn(x,) x < f X (s )ds x 2 x 2 1 x > pelo que ( x ) 2(n 1) 2x f X(n) (x ) n 2 I (,)(x). Seja agora h : (, IR uma função mensurável em IR tal que E[h(X (n) ) ]. Então ( x ) 2(n 1) 2x E[h(X (n) ) ] n h(x) 2 dx h(x)x 2n 1 dx h(x), x (,) pelo que a estatístca sufcente é também completa. 6

7 Exercíco 2.1 (a) Seja então F {f(x ) 2x I 2 (,) (x), IR + }. Note-se que a famíla em questão não pertence à famíla exponencal, pelo que é necessáro recorrer ao crtéro da factorzação, o qual permte conclur que a estatístca T(X) X (n) é uma estatístca sufcente. Vejamos agora se é completa. Seja h : (,) uma função mensurável. Note-se que pelo que F X (x ) x2 2 I (,)(x)i (,) (x) ( x ) 2(n 1) 2x f X(n) (x ) n 2 I (,)(x) E[h(T) ] n 2n 2n 1 h(x)f X(n) (x )dx ( x ) 2(n 1) 2x h(x) h(x)x 2n 1 dx 2 dx que é gual a zero se e só se h(x) com probabldade 1. Logo T(X) X (n) é estatístca completa. Nota: outra forma de verfcar que h(x) tem de ser nula com probabldade 1 é a segunte: Seja então h(.) uma função para a qual E[g(T) ], para todo o Θ. Uma vez que E[g(T) ] é constante (como função de ), então a sua dervada em relação a tem de ser nula. Logo d d E[g(T) ] d d 2n 2n 1 2n d 2n 1 d ( d 2n + d 2n 1 h(x)x 2n 1 dx h(x)x 2n 1 dx ) h(x)x 2n 1 dx 2n 2n 1h()2n 1 + 2nh() se e só se g(), pelo que, uma vez que este resultado é váldo para todo o, T é estatístca completa. Por fm note-se que na dedução anteror utlzámos os seguntes argumentos: Permuta de dervada e ntegral d g(t)dt g() d (teorema fundamental do cálculo, só váldo para funções Remann-ntegráves, o que cobre as nossas funções, essencalmente) 7

8 Nuldade do valor esperado h(x)x 2n 1 dx pos este ntegral é, a menos de uma constante, gual a E[g(T) ] que, por hpótese, é nulo. (b) Dado que pertence à famíla exponencal, T(X) log( n (1 + X )) é uma estatístca sufcente completa. (c) Idêntco (com T(X) n X ) Exercíco 2.11 Note-se que a famíla ndcada pertence à famíla exponencal, é possível provar que T(X) ( X, X 2 ) é uma estatístca sufcente pelo que T 1 (X) ( X,S 2 ) é também sufcente pos trata-se de uma estatístca equvalente a T. Porém não se trata de uma estatístca completa. Vejamos porquê. O espaço paramétrco ncal é Θ {(µ,σ) : σ aµ} Dado que os parâmetros naturas de uma população normal são δ 1 µ σ 2, δ 2 1 2σ 2 vem que para este modelo o espaço paramétrco natural é {( 1, 2 ) : δ 1 1 a,δ 2 < } que não contém um rectângulo bdmensonal, pelo que a estatístca sufcente não é necessaramente completa. De facto neste caso não é completa. Tome-se, por exemplo, a segunte função: ( ) 2 ( ) g( X,S 2 ) k X (n + 1) Note-se que ( ) 2 ( E[g( X,S 2 ) ] E[k X (n + 1) que é gual a zero se e só se X 2 ( ) k V ar( X ) + E 2 [ X ] (n + 1)nE[X 2 ] k(nv ar[x] + (ne[x]) 2 ) (n + 1)(V ar(x) + E 2 [X]) k(na 2 + n 2 2 ) (n + 1)(a ) ) X 2 ] k 1 + n + a(1 + n), IR. n(a + n) 8

9 Note-se porém que pelo que a famíla não é completa. ( ) 2 ( P(k X (n + 1) X 2 ) ), IR 9