Probabilidade Aula 11

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Victor Gabriel Rodrigues Freire
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1 Probabilidade Aula 11 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Junho de 2017 A maior parte dos exemplos dessa aula foram extraídos de Jay L. Devore, Probabilidade e Estatística para engenharia e ciências, tradução da 8a edição americana, Cengage, 2014 Essa parte da matéria está no Capítulo 3 do livro do Dantas.

2 Sumário Variáveis aleatórias de distribuição conjunta Independência estatística Covariância e coeficiente de correlação

3 5.1 Mapeamento do espaço amostral S ao espaço S J (plano xy) y s 2 S s 1 (X(s 2 ),Y(s 1 )) S J função Y x função X

4 5.1 Duas variáveis aleatórias discretas Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas no espaço amostral S de um experimento. A distribuição de probabilidade conjunta p(x,y) é definida para cada par de números (x, y) por Observações: p(x, y) = P[X = x, Y = y] Como toda função de probabilidade, p(x,y) 0 e x yp(x,y) = 1. Seja A qualquer conjunto que consista em pares de valores (x,y), por exemplo, A = {(x,y) : x+y = 5}, então P[(X,Y) A] é obtida como a soma da distribuição de probabilidade conjunta com os pares em A: P[(X,Y) A] = p(x,y) (x,y) A

5 5.1 Exemplo 5.1 Uma grande agência de seguros presta serviços a diversos clientes que compraram uma apólice residencial e outra de automóvel da mesma seguradora. Para cada tipo, deve ser especificado um valor dedutível. Para uma apólice de automóvel, as opções são $100 e $250, enquanto para uma apólice residencial, as opções são $0, $100 e $200. Suponha que um indivíduo com os dois referidos tipos seja selecionado aleatoriamente nos arquivos da seguradora. Sejam e X = o valor dedutível na apólice de automóvel Y = o valor dedutível na apólice residencial. Os pares possíveis de (X,Y) são (100, 0), (100, 100), (100, 200), (250, 0), (250, 100), (250, 200)

6 5.1 Exemplo 5.1 A distribuição de probabilidade conjunta especifica a probabilidade associada a cada um desses pares, sendo que qualquer outro par tem probabilidade 0. Considere a distribuição conjunta da tabela seguinte Calcule as probabilidades P[X +Y 200] P[Y 100] p(x,y) y = 0 y = 100 y = 200 x = 100 0,20 0,10 0,20 x = 250 0,05 0,15 0,30

7 5.1 Exemplo 5.1 Resolução: p(x,y) y = 0 y = 100 y = 200 x = 100 0,20 0,10 0,20 x = 250 0,05 0,15 0,30 P[X +Y 200] = P[X = 100, Y = 0]+P[X = 100, Y = 100] = p(100,0)+p(100,100) = 0,20+0,10 = 0,30 P[Y 100] = p(100,100) + p(250,100) + p(100,200) + p(250,200) = 0,75

8 5.1 Distribuições marginais A distribuição de probabilidade marginal de X, denotada por P[X = x], é dada por P[X = x] = y p(x,y) para cada valor possível de X. Da mesma forma, a distribuição de probabilidade marginal de Y é P[Y = y] = x p(x,y) para cada valor possível de Y.

9 5.1 Distribuições marginais - Exemplo 5.2 p(x,y) y = 0 y = 100 y = 200 x = 100 0,20 0,10 0,20 x = 250 0,05 0,15 0,30 Uma vez que a distribuição conjunta das variáveis X e Y esteja disponível, podemos encontrar a distribuição de X e de Y separadamente. Por exemplo, P[X = 100] = P[(X,Y) = (100,0) ou (100,100) ou (100,200)] = p(100,0) + p(100,100) + p(100,200) = 0,20+0,10+0,20 = 0,50 e consequentemente P[X = 250] = 0,50. Para a v.a. Y temos P[Y = 0] = P[(X,Y) = (100,0) ou (250,0)] = p(100,0)+p(250,0) = 0,25, P[Y = 100] = 0,25 e P[Y = 200] = 0,50.

10 5.1 Distribuições de probabilidade marginais - Exemplo 5.2 Resumindo, e Note que como antes. P[X = x] = P[Y = y] = { 0,50, x = 100, caso contrário 0,25, y = 0, 100 0,50 y = caso contrário P[Y 100] = 0,75, (1) (2)

11 5.1 Distribuição conjunta Vamos definir um evento A por A = {X x} e um evento B por {Y y}. Esses eventos se referem ao espaço amostral S enquanto o evento {X x, Y y} se refere ao espaço amostral S J A S A = {X x} y S J B B = {Y y} x A B = {X x,y y} Define-se a função de distribuição conjunta das variáveis aleatórias X e Y como F(x,y) = P[X x,y y] = P(A B).

12 5.1 Variáveis aleatórias independentes Duas variáveis aleatórias X e Y são independentes se, para cada par de valores x e y, P[X = x, Y = y] = P[X = x] P[Y = y]. Em outras palavras, a distribuição conjunta é dada pelo produto das marginais.

13 5.1 Variáveis aleatórias independentes Duas variáveis aleatórias X e Y com função de distribuição conjunta F(x,y) são independentes se e somente se F(x,y) = F X (x) F Y (y). A função de distribuição conjunta for igual ao produto das funções de distribuição marginais. Além disso, E(XY) = E(X)E(Y). A esperança do produto das v.a. s é igual ao produto das esperanças das v.a. s.

14 5.1 Variáveis aleatórias independentes Exemplo Uma urna contém três bolas vermelhas e cinco bolas azuis. Retiram-se sucessivamente três bolas da urna, repondo-se a bola selecionada após cada retirada. Vamos definir as variáveis aleatórias para i = 1,2,3. Pede-se: X i = 1 se a i-ésima bola retirada for vermelha X i = 0 se a i-ésima bola retirada for azul. Determine a distribuição conjunta de X 1, X 2, X 3 Defina a v.a. S 3 = X 1 +X 2 +X 3 que representa o número de bolas vermelhas entre as três retiradas e calcule P[S 3 = 2].

15 Covariância e coeficiente de correlação Seja (X,Y) uma v.a. bidimensional. A covariância de X e Y é definida como Cov(X,Y) = E{[X E(X)][Y E(Y)]} = E(XY) E(X)E(Y) Se X e Y forem independentes, então Cov(X,Y) = 0 (o contrário nem sempre é verdade) O coeficiente de correlação é definido como É possível mostrar que ρ(x,y) = Cov(X,Y) σ(x)σ(y) ρ(x,y) 1

16 Covariância e coeficiente de correlação - Exemplo Considere uma urna com três bolas azuis e duas bolas vermelhas. Retiram-se duas bolas, uma após a outra sem reposição. Sejam as v.a. s X e Y tais que X = 1 se a primeira bola retirada for azul X = 0 se a primeira bola retirada for vermelha. Y = 1 se a segunda bola retirada for azul Y = 0 se a segunda bola retirada for vermelha. Calcule Cov(X,Y) e ρ(x,y).

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