Lista de Exercícios #3 Assunto: Variáveis Aleatórias Multidimensionais Discretas

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Levi Costa Esteves
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1 1. ANPEC Questão 07 Em um problema envolvendo variáveis aleatórias independentes, um estudante calculou corretamente que E(Y) = 2, E(X 2 )E(Y) = 6, E(X)E(Y 2 ) = 8 e E(X) 2 E(Y) 2 = 24. Avalie as respostas se verdadeiras (V) ou falsas (F): (0) Var(X) = 2 e Cov(X, Y) = 0 (1) E(X 2 ) = 4 (2) E(Y 2 ) = 8 (3) E(X) = 0 (4) Var(X + Y) = 6 2. ANPEC 2017 Questão 2 Seja X uma variável aleatória com média μ X e variância σ X 2, e seja Y uma variável aleatória com média μ Y e variância σ Y 2. Considere que σ X > 0 e σ Y > 0. Sendo cov(x,y) a covariância entre X e Y e corr(x,y) a correlação entre X e Y, podemos afirmar que: (0) cov(x,y) = E[(X-μ X )(Y-μ Y )]; (1) Se μ Y = 0 ou μ X = 0, então cov(x,y) = E(XY); (2) Se μ Y = 0 e μ X = 0, então corr(x,y) = 0; (3) Se E(Y X) = μ Y, então cov(x,y) = 0; (4) Se cov(x,y) > 0, então 0 corr(x, Y) ANPEC 2017 Questão 10 Considere a distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y, de acordo com a tabela abaixo: (0) E(X) = 3/2. (1) Var(X) = 1.

2 (2) cov(x,y) = 0. (3) Var(X Y = 2) = 1. (4) Se Z = 2X + 4Y, então Var(Z) = ANPEC 2016 Questão 11 Sendo X, Y e Z três variáveis aleatórias, julgue as proposições abaixo: (0) E[h(X) X] = h(x) para qualquer função h(x); (1) Para as funções f(y) e g(y), temos E[f(Y)X + g(y) Y] = f(y)x + g(y); (2) E(Y X) = E[E(Y X, Z) X]; (3) Se Y e X são independentes e E(Y) = 0, então E(Y X) = 0; (4) Se E(Y X) = 0, então E(Y) = ANPEC Questão 02 Considere a distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y: X /5 0 1/5 Y 0 0 1/ /5 0 1/5 Com base nessas informações, é correto afirmar: (0) E[X]=0; (1) A covariância entre X e Y é igual a zero; (2) As variáveis aleatórias X e Y são independentes; (3) Se T = X+5, a covariância entre T e Y é maior do que zero; (4) Defina V = 2X e Z = 3Y. Então, podemos dizer que a correlação entre V e Z é igual a zero. 6. ANPEC 2015 Questão 10 Considere a seguinte função de massa de probabilidade: f(x, y) = (x+y2 ), para x (1,2,3) e y (1,2) Julgue as seguintes afirmativas: (0) A distribuição marginal de X é Pr[X=1] = 1/3 e Pr[X=2] = 2/3; (1) E[Y] = 5/3; (2) Var[Y]= 3; 27

3 (3) Cov[X,Y] = 0; (4) X e Y são variáveis aleatórias independentes. 7. ANPEC 2015 Questão 14 Dois números são selecionados de forma aleatória entre 0 e 1. Os dois eventos independentes são definidos da seguinte forma: A Pr [X 0,5] e B Pr [Y 0,5]. Qual a probabilidade Pr [A B]? Multiplique o resultado por ANPEC 2014 Questão 7 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, enquanto a, b, c e d são quatro constantes diferentes de zero. Julgue as proposições: (0) Var (ax+b)=a 2 Var(X) ; (1) Var (ax - cy) = avar(x) + cvar(y) - 2Cov(X,Y) ; (2) Cov(aX+bY, cx+dy)= acvar(x)+bdvar(y)+(ad+bc) Cov(X,Y) ; (3) Corr(aX+b, cx+d)= Corr(X,Y) ; (4) Se X e Y são independentes, então Var(Y/X)=Var(Y). 9. ANPEC 2013 Questão 6 Considere X,Y e Z variáveis aleatórias com distribuição conjunta caracterizada por f X,Y,Z (x, y, z) e distribuições marginais caracterizadas por f X (x), f Y (y) e f Z (z). Sejam a, b, c e d constantes. Julgue as seguintes afirmativas: (0) O resultado g(e[x]) = E[g(X)] se verifica para g(x ) = X 2. (1) Se X e Y são independentes, E[aX + by + c] = ae[x] + be[y] + c. (2) Se X, Y e Z são independentes, Var[aX + by + c + d + Z] = a 2 Var[X] + b 2 Var[Y] +Var[Z]. (3) Cov(X, ay + bz) = Cov(X,Y) + Cov(X,Z). (4)E[(aX) (cy)] = ac E[XY] 10. ANPEC 2013 Questão 8 Em um dia de verão, você está sentado em um parque olhando as pessoas passarem. A probabilidade de uma pessoa estar andando de bicicleta é p, e a probabilidade de uma pessoa estar andando a pé é 1-p. As probabilidades dos eventos são independentes. Defina Y como o número de pessoas andando de bicicleta até que n pessoas passem por você. Defina Z como o número de pessoas andando de bicicleta que passam por você antes da primeira pessoa andando a pé passar por você. Com base nas informações acima, podemos afirmar que:

4 (0) Y tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p. (1) Z tem uma distribuição de Bernoulli com parâmetro p. (2) A distribuição condicional de Y dado Z é 1 se y = n z f (Y Z) (y z) = n (z + 1) ( ) p y z y z (1 p) n 1 y se z y n, z n { 0 caso contrário (3) A distribuição conjunta de Y e Z é p z (1 p) se y = n z f (Y,Z) (y, z) = n (z + 1) ( ) p y z y (1 p) n y se z y n, z n { 0 caso contrário (4) X e Y são variáveis aleatórias independentes. 11. ANPEC 2012 Questão 5 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes com E[X]=4, E[Y]=5, Var[X]=1 e Var[Y]=2. São corretas as afirmativas: (0) E[XY] = 9 (1) E[1/Y] = 1/5 (2) E[X 2 ] = 16 (3) Cov[X,Y] = 0 (4) Var[XY] = (E[Y 2 ])Var[X] + (E[X 2 ])Var[Y] + Var[X]Var[Y] = ANPEC 2010 Questão 2 Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Bernoulli com parâmetros p e q, isto é, X = 1 com probabilidade p 0 com probabilidade 1-p

5 e Y = 1 com probabilidade q 0 com probabilidade 1-q Defina Z = ay +bx, para a e b constantes. E[ ] e V[ ] representam, respectivamente, expectativa e variância. Julgue as afirmativas abaixo: (0) E[Z X=2] = ap + 2b; (1) V[Z] = a 2 q + b 2 p; (2) Se p = q, o coeficiente de correlação entre Z e X é igual a b/(a 2 + b 2 ) 1/2 ; (3) Se b = 0, Z e X são independentes; (4) E[Y Z=a+b] = ANPEC Questão 1 Julgue as afirmativas que se seguem. Se X e Y são duas variáveis aleatórias, (0) V(Y X) = E(Y 2 X) - [E(Y X)] 2. (1) Se E(Y) = E(X) = E(YX) = 0, então E(Y X) = 0. (2) V(Y) > V(Y X) se Y e X forem linearmente dependentes. (3) Se E(Y X) = b0 + b1x, então E(Y) = b0. (4) Se E(Y X) = b0 + b1 X + b2 Z e Y = b0 + b1 X + b2 Z + u, em que u é uma variável aleatória, então E(u X) = ANPEC Questão 1 Sejam X, Y e Z três variáveis aleatórias. Julgue as proposições: (0) E(E(Y X)) = E(X). (1) Se Y = cx, então Var(Y) = c 2 Var(X). (2) Var (X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y). (3) Se Z = X 2 + Y, então E(Z X) = 0. (4) Se Z = X 2 + Y, então E(ZX) = ANPEC Questão 13 Seja a seguinte distribuição conjunta de probabilidade entre as variáveis aleatórias X e Y.

6 Podemos afirmar que: Y X ,1 0,2 0,3 4 0,2 0,1 0,1 (0) A distribuição marginal de X é X P(X) 0,3 0,3 0,4 (1) A variância de Y é 2,76. (2) A covariância entre X e Y é -0,56. (3) O coeficiente de correlação entre X e Y é 0,344. (4) O coeficiente de correlação exprime a medida de dependência linear entre duas variáveis e pode assumir um valor qualquer no intervalo [0; 1]. 16. ANPEC Questão 10 Considere a distribuição de probabilidade conjunta de (X,Y), de acordo com a tabela abaixo: Pode-se afirmar que : X /8 1/8 1/8 Y 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 (0) O coeficiente de correlação, xy, entre X e Y é igual a zero. (1) As variáveis aleatórias X e Y são independentes. (2) Se Z ax b e W cy d onde a, b, c e d são constantes com a 0 e c 0, então o coeficiente de correlação, ZW, entre Z e W é diferente de zero. (3) As variáveis aleatórias X e Y apresentam uma relação linear.

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