Modelo de Programação Estocástica

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1 Modelo de Programação Estocástca 23 2 Modelo de Programação Estocástca 2.. Concetos báscos A programação estocástca (PE) é defnda como um modelo de otmzação que apresenta um ou mas parâmetros estocástcos chamados de fatores de rsco. O objetvo é encontrar uma solução ótma dadas todas as possíves realzações desses fatores. A classe de modelos de PE consderada como a mas mportante dentro do ALM são os modelos de recurso. Um modelo de recurso é aquele em que uma decsão de prmero estágo é tomada sem o conhecmento dos valores futuros dos fatores de rsco e, em seguda, uma decsão de recurso é efetuada dependendo da realzação obtda. No ALM sso ocorre, por exemplo, quando é escolhda uma cartera de alto rsco que nos pores cenáros é ncapaz de pagar todos os benefícos futuros. A decsão de recurso neste caso é a tomada de um empréstmo que, por sua vez, terá um custo de captação. Um modelo de recurso de dos estágos é caracterzado pelo prmero estágo onde se tomam decsões sem saber o valor futuro dos fatores de rsco no futuro e pelo segundo onde as decsões de recurso são tomadas tendo toda a nformação necessára. Para esse tpo de problema temos a segunte formulação: mn s. a x 0 z c'. x E A. x b f x,

2 Modelo de Programação Estocástca 24 Onde a f(x,) é a função de segundo estágo dada por: f x, mn d'. y s. a W. y y 0. x Nesta formulação x representa as decsões de prmero estágo e y() as decsões de recurso. A varável y() é dependente do conjunto de valores dos fatores de rsco. A matrz A é a de coefcentes determnístcos e as matrzes W e dos estocástcos, sendo x e y varáves não-negatvas. O problema apresentado pode ser reescrto como uma otmzação lnear únca: mn s. a z c'. x A. x b. x W Q. x. y x, y Q p. d'. y W,, y Q Q. y Q 0 r r Q Onde r = realzação de e p = P( = r ), =,..., Q Uma programação estocástca de dos estágos é representada por um vetor x de solução ncal a pror e um vetor y() de ajuste a posteror, onde os acontecmentos futuros já são conhecdos. No caso mult-estágo, os acontecmentos futuros são revelados progressvamente de forma que haja um vetor de ajuste para cada novo estágo do problema.,, E y y y,,, E Onde E é o número de estágos do problema.

3 Modelo de Programação Estocástca 25 Além dsso, a formulação apresentada pode ser classfcada como uma programação estocástca lnear, já que sua função objetvo e suas restrções são funções lneares das varáves do problema. A utlzação de uma abordagem lnear vablza a solução de problemas de grande porte, em termos de número de varáves e restrções. Utlzando uma abordagem lnear mult-estágo, mutos artgos desenvolvem modelos de ALM com programação estocástca para fundos de pensão. Nestes trabalhos, formas dferentes de modelagem são utlzadas para representar a realdade do fundo e da economa como um todo Revsão da lteratura Os artgos dedcados à descrção dos modelos de ALM com programação estocástca apresentam algumas característcas que dferencam o tpo de modelagem adotada: o horzonte de planejamento, a função objetvo, as varáves de decsão e as restrções. A escolha do horzonte de planejamento depende da aplcação do modelo ALM. Horzonte de médo prazo se relacona a aplcações para bancos, como Kusy e Zemba (986), ou seguradoras, como Carño e Zemba (998). Horzontes de longo prazo, por sua vez, são escolhdos para modelos aplcados aos fundos de pensão como Dert (998), Drjver, Haneveld e Vlerk (2000), Kouwenberg (200) e Kovu, Pennanen e Ranne (2004). No caso dos modelos aplcados aos fundos de pensão, a função objetvo apresenta duas lnhas claras de modelagem: A prmera, Kusy e Zemba (986), Carño e Zemba (998) e Kovu, Pennanen e Ranne (2004) maxmzam a rqueza (ou lucro) esperada ao fnal do horzonte. Especfcamente para os fundos de pensão, nsttuções sem fns lucratvos, maxmzar o lucro é equvalente a mnmzar as contrbuções pagas. A mnmzação do conhecdo cost of fundng é adotada por Dert (998), Drjver, Haneveld e Vlerk (2000) e Kouwenberg (200). As duas lnhas de modelagem da função objetvo têm como varáves de decsão a polítca de nvestmento dos atvos, no entanto para a segunda lnha são acrescdas varáves relaconadas à polítca de contrbuções do fundo.

4 Modelo de Programação Estocástca 26 Duas restrções báscas são usadas em todos os modelos ALM va programação estocástca. A prmera delas trata da conservação de rqueza de cada nvestmento, ou seja, o valor de cada nvestmento cresce com sua rentabldade e vara de acordo com as transações realzadas. A segunda é o balanço de caxa, sto é, a soma das entradas de caxa (venda de atvos, contrbuções, dvdendos,...) deve ser gual à soma das saídas (compra de atvos, benefícos, custos de transação,...). Lmtes na alocação e na polítca de contrbuções também são bastante comuns nos artgos da lteratura. Além de adotarem estes lmtes, Dert (998), Drjver, Haneveld e Vlerk (2000), Kouwenberg (200) e Kovu, Pennanen e Ranne (2004) utlzam equações para modelar o estado de solvênca da nsttução. Dert (998), Drjver, Haneveld e Vlerk (2000) utlzam uma chance constrant para mpor um lmte máxmo de probabldade de nsolvênca. Sendo assm, o problema é transformado numa programação estocástca mult-estágo msta ntera, sto é, varáves bnáras são ncluídas para contar os cenáros que caracterzam nsolvênca. Duas crítcas podem ser fetas aos trabalhos ctados no parágrafo anteror. Prmeramente, o esforço computaconal de uma programação ntera é muto maor, além de só permtr a escolha de um lmte superor para a probabldade de nsolvênca. A segunda dz respeto ao cálculo da reserva técnca (R). Dert (998), Drjver, Haneveld e Vlerk (2000) e Kouwenberg (200) fazem esse cálculo usando a taxa de desconto atuaral determnada por le. Kovu, Pennanen e Ranne (2004), por sua vez, usam a denomnada techncal nterest rate calculada como uma proporção das rentabldades dos atvos dependente do nível de solvênca do fundo. Esta proporção é estmada externamente já que o nível de solvênca é uma varável de decsão obtda a posteror. odas essas modelagens não utlzam a taxa de desconto adequada. Segundo Vega (2003), o cálculo da reserva técnca deve consderar a rentabldade de cartera como taxa de desconto para representar corretamente o custo de oportundade do fundo. A escolha de uma taxa de desconto fxa ndependente da polítca de nvestmentos pode ser nterpretada como uma aproxmação do portfólo por um únco contrato de renda fxa sem rsco. Esta aproxmação é adotada devdo a uma dependênca crcular de algumas varáves aleatóras que devem ser conhecdas a pror com outras obtdas a partr da reposta

5 Modelo de Programação Estocástca 27 do modelo. A reserva matemátca, que representa um parâmetro ncal do modelo de PE, é função da rentabldade da cartera que, por sua vez, é calculada a partr da alocação ótma obtda como solução do modelo de PE. No entanto, a alocação ótma depende do conhecmento prévo da reserva matemátca. Por sso, a escolha de uma taxa de desconto fxa torna possível o cálculo de um valor aproxmado a pror da reserva matemátca. Este valor pode ser subestmado ou superestmado dependendo do valor da taxa escolhda. Outra crítca mportante aos trabalhos ctados é a ausênca de uma medda do rsco de equlíbro (nsolvênca) dos fundos de pensão. Nesses artgos, o rsco de nsolvênca pode ser aproxmado pela probabldade de uma rqueza fnal negatva ou por um patrmôno menor que a R calculada com uma taxa de desconto fxa. Entretanto, as duas formas não representam a verdadera probabldade de nsolvênca do fundo. A medda do rsco de equlíbro é ncluída no presente trabalho de forma novadora. Os fluxos reas do passvo (até a extnção do fundo) são descontados pela rentabldade da cartera, ou seja, consderando o real custo de oportundade da nsttução. A dstrbução de probabldades desta rentabldade é aproxmada pelas observações contdas no horzonte de planejamento. Para efetos de comparação, calcula-se também a reserva técnca com a taxa de desconto determnada pela legslação braslera (IGP-M+6%) - como é feto nos artgos da lteratura.

6 Modelo de Programação Estocástca Modelo proposto O modelo desenvolvdo neste artgo utlza uma programação lnear estocástca mult-estágo para a gestão de atvos e passvos de fundos de pensão brasleros, em especal os de grande porte. São contempladas 4 classes de atvos: - ações, 2- móves, 3- renda fxa e 4- caxa. São ncluídas consderações de lqudez, custos de transação, empréstmos, além das restrções de balanço, de nventáro de atvos e de regulação (relatvas à legslação braslera). A defnção da notação, das varáves e dos parâmetros é o próxmo passo para a descrção do modelo de PE. Defne-se a notação N t como o número de nós no estágo t {,..., }, e n t {,..., N t } representando um nó qualquer no mesmo nstante. Defnção das varáves de decsão c (n t ) = valor (R$) comprado do atvo no nó n t v (n t ) = valor (R$) venddo do atvo no nó n t e(n t ) = empréstmo (R$) tomado no nó n t Defnção das varáves de estado a (n t ) = valor (R$) alocado no atvo no nó n t y(n ) = max [0, rqueza no nó n menos requsto de captal] w(n ) = max [0, requsto de captal menos rqueza no nó n ] Defnção dos parâmetros determnístcos pe = penalzação por uma rqueza fnal menor que o requsto de captal bo = bonfcação por uma rqueza fnal maor que o requsto de captal sp = spread da taxa de empréstmo sobre o juros ma = percentual máxmo de ações no portfólo ct = custo de transação percentual cc = capacdade máxma de compra do atvo cv = capacdade máxma de venda do atvo a (ncal) = valor (R$) alocado no atvo antes da prmera decsão L * = requsto de captal Defnção dos parâmetros estocástcos ou fatores de rsco l(n t ) = fluxo de caxa nomnal do passvo no nó n t r (n t ) = retorno do atvo entre os nós nterlgados n t- e n t

7 Modelo de Programação Estocástca Função objetvo Exstem duas formas de se representar a função objetvo de um fundo de pensão. A prmera delas é mnmzar as contrbuções do partcpante e do patrocnador, e a segunda é maxmzar a utldade esperada do patrmôno do fundo ao fnal do horzonte de estudos mantendo a polítca de contrbução constante. Intutvamente pode-se dzer que estas são equvalentes, pos quanto mas dnhero sobrando maores seram as reduções nas contrbuções. Fo escolhda para esse trabalho a segunda opção já que, na prátca, a polítca de contrbuções não é uma varável que tenha flexbldade de ser alterada pelo gestor a cada período. Sendo assm, a função objetvo do modelo é maxmzar a utldade esperada da rqueza do fundo ao fnal do horzonte de estudos. Sabendo que os fundos de pensão são nsttuções sem fns lucratvos, fca claro que a escolha de uma função utldade côncava que represente as preferêncas de um ndvíduo avesso ao rsco é a mas adequada. Devdo a algortmos de solução mas efcentes para o problema de otmzação com mutas restrções e varáves, e à facldade de nterpretação dos parâmetros, fo escolhda uma função utldade lnear por partes. A utldade do fundo relaconada à rqueza em um nó termnal n é dada por: rqueza n uyn, wn bo. yn pe wn u. Sabendo que y(n ) e w(n ) representam respectvamente o quanto à rqueza fnal excede o requsto de captal (L * ) e o quanto falta para atngr o mesmo valor (L * ), é possível afrmar que a aversão ao rsco do fundo de pensão é caracterzada pela escolha dos parâmetros pe e bo. A função de utldade será côncava se pe > bo, pos assm o portfólo escolhdo é menos arrscado evtando prejuízos nos cenáros mas pessmstas. A Fgura 5 exemplfca uma função utldade lnear por partes de um ndvíduo avesso ao rsco para um requsto de captal nulo (L * = 0).

8 Modelo de Programação Estocástca 30 Fgura 5. Função utldade lnear por partes O valor da função objetvo é a utldade esperada da rqueza ao fnal do horzonte de planejamento, ou seja, é a méda das utldades de todos os nós termnas. urqueza Ebo. y pe w E. Logo, max z N n p n. bo. y n pe. wn Onde p n é a probabldade de ocorrênca do nó termnal n Neste trabalho, os exercícos de smulação consderam que os cenáros são equprováves e que os parâmetros bo e pe são e 2, respectvamente. Sendo assm, temos que p n p e a função objetvo passa a ser: max z N n p. yn 2. wn

9 Modelo de Programação Estocástca Restrções As relações mportantes entre varáves e parâmetros são expressas pelas restrções. Foram consderados quatro tpos de restrções para o modelo: Restrção de balanço Restrção de nventáro de atvos Restrção de máxmo de alocação em ações (regulatóra) Restrção de lqudez Restrção de balanço Restrção de balanço para os prmeros estágos A restrção de balanço determna de forma coerente a evolução da rqueza do fundo ao longo do tempo. O valor total dos atvos no nstante t+ será o valor total em t rentablzado e, em seguda, subtraído das obrgações líqudas do fundo. As classes de atvos consderadas são: - ações; 2- móves; 3- renda fxa; 4- caxa. A restrção é expressa pela equação abaxo: 4 r n. a n en sp r n. en ln ct. c n v n A t a n, n, n n terlgados, t 0,,, 2 t t t t t 3 t t t 4 t t O modelo consdera que os fluxos de caxa do passvo são acumulados no fnal de cada período enquanto que os empréstmos são tomados no níco e pagos no fnal. A Fgura 6 lustra a ordem cronológca dos desembolsos e outros fatos relevantes. Fgura 6. Fluxos relatvos à restrção de balanço

10 Modelo de Programação Estocástca 32 Restrção de balanço para o últmo estágo No últmo estágo a restrção de balanço apresenta uma modfcação que defne o superávt ou défct ao fnal do horzonte. Se o valor dos atvos rentablzado e descontado das obrgações do penúltmo período é postvo caracterza-se um superávt, caso contráro um défct. 4 L r n. a n en sp r n. en ln * y n wn, n, n n terlgados 3 Se o lado esquerdo da equação for postvo logo o valor de y(n ) será maor que zero e w(n ) será nula. Da mesma forma se o lado esquerdo for negatvo w(n ) será postva e y(n ) será gual a zero Restrção de nventáro de atvos A restrção de nventáro de atvos especfca que o valor nvestdo em um atvo em t+ será o valor nvestdo em t rentablzado, somado as compras e subtraído as vendas do mesmo atvo em t+. Esta restrção garante a conservação da rqueza de cada atvo ndvdual e a coerênca do valor alocado com as transações efetuadas. a nt r nt. a nt c nt v nt,2 e3; t 0,..., 2, É mportante destacar que a classe de atvos 4- caxa não é contemplada por essa equação pela ausênca de custos de transação. Além dsso, não fara sentdo comprar ou vender caxa.

11 Modelo de Programação Estocástca 33 Nesta equação é de fácl percepção que a escolha do valor das varáves de decsão c (n t+ ) e v (n t+ ) defne completamente a varável de estado a (n t+ ), já que a (n t ) do período anteror e as rentabldades são conhecdos. Percebe-se também a necessdade de uma restrção de nventáro de atvos para a prmera decsão. a n a ncal c n v n,, e Nessa equação não é necessáro a rentabldade do atvo já que as alocações a (n 0 ) e a (ncal) estão pratcamente no mesmo nstante de tempo como pode ser vsto na Fgura 7. Fgura 7. Alocação ncal Restrção de máxmo de alocação em ações (regulatóra) A legslação braslera determna que no máxmo 50% da cartera de um fundo de pensão deve ser nvestmento em renda varável, com exceções aos casos de ações hedgadas por opções. Para efetos de smplfcação não serão consderadas opções e conseqüentemente o lmte de ma = 50% será rígdo. a 4 n ma. a n, t 0 t t,...,

12 Modelo de Programação Estocástca Restrção de lqudez A restrção de lqudez fo ncluída para evtar que o gestor do fundo possa comprar ou vender uma quantdade de títulos maor que a capacdade do mercado. Esta restrção é de suma mportânca no contexto braslero já que os grandes fundos do país conseguem movmentar o mercado de preços com suas posções em cartera. As equações defnem que o valor da varável de decsão de compra (venda) deve ser menor ou gual à capacdade de compra (venda) do mercado. Os parâmetros de capacdade de compra cc e o de venda cv não são observáves dretamente, sendo assm escolhdos de acordo com a opnão e a sensbldade do gestor do fundo. Para exercícos smulação as capacdades de compra e venda serão uma proporção da movmentação de títulos dos respectvos mercados. c v nt cc, t 0,...,,,2 e3 n cv, t 0,...,,,2 e3 t