INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR. (Exercícios)

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1 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR (Exercícos) ( Texto revsto para o ano lectvo ) Antóno Carlos Moras da Slva Professor de I.O.

2 Recomendações 1. Fazer dez exercícos ou o mesmo exercíco 10 vezes? Em regra obtém-se melhor rendmento executando váras vezes o mesmo exercíco, com crtéro e sentdo da descoberta, do que resolvendo város exercícos com o obectvo enganador de acertar na solução. 2. Exercíco feto, tarefa pronta? Rever crtcamente a hstóra da execução de um exercíco melhora substancalmente a capacdade pessoal de dentfcação dos problemas e de arqutectar o plano de aplcação do ferramental técnco necessáro (o quê ; quando ; como). A Programação Matemátca apela ao engenho e arte de quem quer mesmo utlzá-la. 3. Sm ou não ao software da dscplna? O passado escolar ensna que o recurso ntensvo ao software académco, desenhado especfcamente para apoo do ensno desta dscplna, traduz-se rapdamente na melhora do rendmento porque além de permtr exerctar a curosdade ntelectual (vertente fundamental) garante a obtenção rápda de respostas rgorosas e detalhadas para exercícos propostos pelo professor ou gzados pelo própro aluno (aumento da produtvdade).

3 Exercícos de PNL 1. Métodos da Bssecção e do Gradente 1.1. Calcular o Máxmo lvre de f(x) = - 2x 6-3x x pelo Método da Bssecção ( tolerânca = 0.01) 1.2. Calcular o Máxmo lvre de f(x) = x 4 + x 3-2x 2 + 2x pelo Método da Bssecção ( tolerânca = 0.02) 1.3. Calcular o Máxmo lvre de f(x 1,x 2 ) = 4x 1 + 6x 2-2x 2 1-2x 1 x 2-2x 2 2 pelo Método do Gradente 1.4. Calcular o Máxmo lvre de f (x 1, x 2 ) = 2x 1 x 2 + 2x 2 - x 2 1-2x 2 2 pelo Método do Gradente Calcular o Máxmo lvre de f (x 1, x 2 ) = 8x 1 - x x 2-2x x 1 x 2 pelo Método do Gradente Calcular o Mínmo lvre de f (x 1, x 2 ) = x 2 1 x x x 2 2-4x 1 + 4x 2 pelo Método do Gradente Elabore um fluxograma do Método da Bssecção Fundamente e descreva o Método do Gradente. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 1-1

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5 Exercícos de PNL 2. Método dos Multplcadores de Lagrange 2.1. Descrever o Método dos Multplcadores de Lagrange à luz do respectvo Teorema Se (X,λ) são soluções das condções de Lagrange para um problema de PNL (maxmzação) só com restrções de gualdade, pode conclur-se que são todos pontos onde a função atnge o máxmo? 2.3. Calcular pelo Método dos Multplcadores de Lagrange: Max f(x 1,x 2 ) = x 1 x 2 + 2x 1 s.a. 4x 1 + 2x 2 = Deduza as condções de 1ª ordem para extremo de: Max f(x) s.a. x Usando o Método dos Multplcadores de Lagrange deduza as condções de 1ª ordem para extremo de: Max f(x) s.a. g(x) b 2.6. Calcular pelo Método dos Multplcadores de Lagrange: Max f(x 1,x 2 ) = 5x 1-2x x 1 x 2-2x 2 2 s.a. x 1 + x Calcular pelo Método dos Multplcadores de Lagrange: Max f(x 1,x 2 ) = 3x x x 1 x 2 + 6x 1 + 2x 2 s.a. 2x 1 - x 2 = 4 O ponto óptmo é extremo global da função? 2.8. Calcular pelo Método dos Multplcadores de Lagrange o extremo da função: Mn f(x 1,x 2 ) x 1 - x 2 s.a. x x 2 2 = 1 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 2-1

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7 Exercícos de PNL 3. Programação Não Lnear (alguns concetos fundamentas) 3.1. Classfque e compare as soluções de modelos de PL e de PNL A solução óptma de um modelo de PNL pode ser atngda em ponto da frontera do convexo de soluções? 3.3. A solução óptma de um modelo de PNL pode ser atngda em ponto nteror do convexo de soluções? 3.4. Em PNL o espaço de solução pode não ser convexo? 3.5. Partndo das respostas ás 4 questões anterores, aponte as prncpas dferenças entre soluções de PL e PNL Consdere o modelo de PNL: Max f(x 1, x 2,.... x n ) s.a. g 1 (x 1, x 2,.... x n ) (, =, ) b 1 g 2 (x 1, x 2,.... x n ) (, =, ) b g m (x 1, x 2,.... x n ) (, =, ) b m Admtndo que o espaço de soluções é convexo em que crcunstâncas pode afrmar-se que um máxmo local da função-obectvo é solução óptma do modelo de PNL? 3.7. Apresente a matrz Hessana da função f = (x x 1 x 2 + x 4 2 ) 3.8. Consdere a função não lnear f(x 1, x 2,.... x n ) com segundas dervadas parcas contínuas no conunto S. Indque as condções a que deve obedecer a matrz Hessana da função para poder conclur que esta é côncava Consdere a função não lnear f(x 1, x 2,.... x n ) com segundas dervadas parcas contínuas no conunto S. Indque as condções a que deve obedecer a matrz Hessana da função para poder conclur que esta é convexa Uma empresa produz dos modelos M 1 e M 2 da mesma máquna. As funções de procura são as seguntes: modelo M 1 : 150-2p 1 - p 2 modelo M 2 : p 1-3p 2 em que p 1 e p 2 são os preços de venda de cada um dos modelos. Calcular os preços de venda que maxmzam a receta Verfcar se a função f= x x x x 1 x 2 - x 2 x 3 - x 1 x 3 é convexa Consdere a função quadrátca f(x 1,x 2 ) = 2x 1 x 2 + 3x 2 - x x 2 2 a. Calcular o gradente da função no ponto X 1 = (2,3) T. b. Sendo f= 8 no ponto anteror, calcular o valor aproxmado da função no ponto X 2 = (2.1,3.2) T com uma sére de Taylor. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 3-1

8 Exercícos de PNL Consderar a função quadrátca anteror. Calcular o vector V resultante da dferença dos gradentes da função nos pontos X 1 e X 2 do problema anteror recorrendo exclusvamente à matrz hessana da função Consdere a função f (x 1,x 2 ) = 15x x 2-4x 1 x 2-2x 2 1-4x 2 2 a. Apresentar a função na forma quadrátca. 3-2 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

9 Exercícos de PNL 4. Condções de Karush-Kuhn-Tucker (condções KKT) 4.1. Deduza as condções KKT a partr da função de Lagrange: Max f(x 1,x 2 ) = 2x 1 + 3x 2 - x x 2 2 s.a. 2x 1 + 2x Deduza as condções KKT a partr da função de Lagrange: Max f(x 1,x 2 ) = 2x 1 + 3x 2 - x x 2 2 s.a. 2x 1 + 2x 2 = Deduza as condções KKT a partr da função de Lagrange e calcule a solução óptma. Mn f(x 1,x 2 ) x x 1 + x 2 2-4x s.a. x x x 1,x Consdere o segunte problema de programação não lnear : Max f(x 1,x 2 ) = l n (x 1 +1) + x 2 s.a. x x 2 2 = 1 x 1, x 2 0 a. Estabeleça as condções KKT b. Calcule a solução óptma Consdere o segunte problema de programação não lnear : Max f(x 1,x 2 ) 2x 1 + 3x 2 - x x 2 2 s.a. 2x 1 + 2x 2 4 x 1,x 2 0 a. Demonstre que o problema é de programação convexa. b. Calcule a solução óptma pelo Método do Smplex modfcado por Wolfe. c. Verfque geometrcamente a solução calculada (a fgura apresenta a proecção horzontal das curvas de nível da função). INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 4-1

10 Exercícos de PNL 4.6. Consdere o segunte problema de programação não lnear : Max f(x 1,x 2 ) = 15x x 2 + 4x 1 x 2-2x 2 1-4x 2 2 s.a. x 1 + 2x 2 30 x 1,x 2 0 a. Demonstre que o problema é de programação convexa. b. Calcule a solução óptma pelo Método do Smplex modfcado por Wolfe. c. Verfque geometrcamente a solução calculada (a fgura apresenta a proecção horzontal das curvas de nível da função) Consdere o segunte problema de programação não lnear : Max f(x 1,x 2 ) = l n (x 1 +1) - x 2 2 s.a. x 1 + 2x 2 3 x 1, x 2 0 a. Demonstre que o problema é de programação convexa. b. Estabeleça as condções KKT. c. Demonstre que o ponto de coordenadas (3,0) é o ponto onde f(x 1,x 2 ) atnge o máxmo Consdere o segunte problema de programação convexa : Mn f(x 1,x 2 x 3 ) = 2x 1 + x x 2 3 s.a. x x x x 0 (=1 a 3) a. Recorrendo ás condções KKT verfque se x 1 =1, x 2 =1, x 3 =1 pode ser a solução óptma. 4-2 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

11 Exercícos de PNL 4.9. Descrever a solução óptma de Max f(x) para a x b recorrendo ás condções KKT sabendo que f (x) exste para qualquer valor no ntervalo [ a,b ] Consdere o segunte problema de programação não lnear : Mn f(x 1,x 2 ) = (x 1-1) 2 + (x 2-2) 2-3(x 1 +x 2 ) s.a. 4x 1 + x 2 20 x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 a. Sabendo que o ponto óptmo X* não pertence à frontera do convexo de soluções, calcule a solução óptma com base nas condções KKT. b. Verfque geometrcamente a solução calculada (a fgura apresenta a proecção horzontal das curvas de nível da função) Consdere o segunte problema de programação convexa : Mn f(x 1,x 2 ) = x x 1 + 2x 1 x 2 + 4x 2 2 s.a. 2x 1 + x 2 10 x 1 + 2x 2 10 x 1,x 2 0 a. Calcule a solução óptma pelo Método do Smplex modfcado por Wolfe. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 4-3

12 Exercícos de PNL Consdere o segunte problema de programação não lnear : Mn f(x 1,x 2 ) = 2x x 2 2 s.a. x 1 + x 2 = 10 x 1,x 2 0 a. Demonstre que o ponto de coordenadas (10/3, 20/3) é o ponto onde f(x 1,x 2 ) atnge o mínmo. b. Calcule a solução óptma pelo Método do Smplex modfcado por Wolfe. c. Verfque geometrcamente a solução calculada (a fgura apresenta a proecção horzontal das curvas de nível da função) Consdere o segunte problema de PNL : Max f(x 1,x 2 ) = 3x 1 + x 2 s.a. x x x 1 - x 2 1 a. Calcule a solução óptma recorrendo exclusvamente ás condções KKT Consdere o segunte problema de PNL : Max f(x) = x 1 s.a. x 2 - (1 - x 1 ) 3 0 x 1,x 2 0 a. Verfque que as condções KKT falham no ponto óptmo e explque porquê. 4-4 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

13 Exercícos de PNL Descreva o Método de Lemke (utlzado na Programação Quadrátca.) Calcule a solução óptma do exercíco 4.5 utlzando o Método de Lemke Calcule a solução óptma do exercíco 4.6 utlzando o Método de Lemke Calcule a solução óptma do exercíco 4.11 utlzando o Método de Lemke. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 4-5

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15 Exercícos de PNL 5. Métodos de Frank-Wolfe e SUMT 5.1. Descreva e fundamente o método de Frank-Wolfe (drecções váves) Consdere o segunte problema de programação convexa : Mn f(x 1,x 2 ) = x 2 1-6x 1 + x 3 2-3x 2 s.a. x 1 + x 2 1 x 1,x 2 0 a. Determne a solução óptma pelo método de Frank-Wolfe Consdere o segunte problema de programação não lnear: Max f(x 1,x 2 ) = 15x x 2 + 4x 1 x 2-2x 2 1-4x 2 2 s.a. x 1 + 2x 2 30 x 1,x 2 0 a. Consdere x 1 =5 e x 2 =5 como ponto tentatva ncal. Efectue 3 terações do método de Frank-Wolfe Consdere o segunte problema de programação não lnear : Max f(x 1,x 2 ) = 32x 1 - x x 2 - x 2 2 s.a. 3x 1 + x 2 7 x 1 - x 2 1 x 1,x 2 0 a. Calcule a solução óptma recorrendo ao método de Frank-Wolfe, utlzando o programa dstrbuído (BL.EXE) Descreva e fundamente o método SUMT (Sequental Unrestrcted Mnmzaton Technque) Consdere o segunte problema de programação não lnear : Max f(x 1,x 2 ) = 32x 1 - x x 2 - x 2 2 s.a. 3x 1 + x 2 7 x 1 - x 2 1 x 1,x 2 0 a. Calcule a solução óptma recorrendo ao método SUMT, utlzando o programa dstrbuído (BL.EXE). INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 5-1

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17 Exercícos de PNL 6. Modelos de Programação Não Lnear 6.1. Uma empresa pretende ncar a produção e venda de dos novos computadores A e B com preços de venda p1 e p2 respectvamente. A relação entre o número de computadores a produzr do tpo A e os preços de venda é a segunte: x 1 = p 1 + p 2 Notar que se o preço de venda p 1 sobe 1 undade o total da produção reduz-se em 10 computadores; se no computador do tpo B aumenta o preço de venda em 1 undade, tal conduz à produção de mas um computador do tpo A. A relação entre o número de computadores a produzr do tpo B e os preços de venda é a segunte: x 2 = p p 1 Das dsponbldades escassas ndcam-se as necessdades para cada um dos tpos de aparelho: Mão de obra (horas) Chps Tpo A 2 3 Tpo B 3 1 Dsponbldade a. Calcular o Plano Óptmo de Produção ( e respectvos preços de venda) recorrendo ás condções KKT. b. Indcar o contrbuto nterno de 1 hora adconal de mão de obra. c. Se a empresa decdr não produzr e vender o stock de chps qual o preço a pratcar? Justfque Uma empresa pretende ncar a produção e venda de três novos tpos de secretára A, B e C com preços de venda respectvamente de p 1,p 2 e p 3 para o que pode dsponblzar, mensalmente, 150 horas/máquna e 280 horas de mão de obra. As relações entre nível da produção e preços de venda são as seguntes: nível da produção de A = 18 - p 1 nível da produção de B = 9 + 1/3 p 1 - p 2 nível da produção de C = 13 - p 3 Os consumos por undade produzda são os seguntes: Tpo Horas/máquna Mão de obra (horas) A B C Os preços untáros de produção são, respectvamente, 5, 12 e 9 u.m. a. Apresentar o modelo de PNL para calcular o Plano Óptmo de Produção Uma empresa tem dsponíves T horas de trabalho e C undades monetáras sendo seu obectvo produzr T 2/3.C 1/3 máqunas. O custo a suportar por hora de trabalho é de 2 u.m. sendo de 1 u.m. por cada undade de captal aplcado. Dsponblzando 30 u.m. para a produção quantas máqunas podem ser produzdas? 6.4. Consdere-se que no problema anteror se pretende produzr apenas 6 máqunas. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 6-1

18 Exercícos de PNL Calcular o captal mínmo a dsponblzar para a produção Uma empresa produz a mesma máquna em Portugal e Espanha. Se aplcar x 1 undades monetáras na promoção em Portugal a prevsão de vendas é de 6x 1/2 1. Se aplcar x 2 undades monetáras na promoção em Espanha a prevsão de vendas é de 4x 1/2 2. O lucro untáro é de 5 u.m. nos dos países. a. Dspondo de 100 u.m. para promoção como pode a empresa maxmzar o lucro? b. Qual é o aumento de lucro assocado ao aumento de 1 u.m. para promoção? 6.6. Uma empresa tem 2 clentes para o mesmo produto "A". Se produzr x 1 undades para o clente X, o preço de venda é de 70-4x 1 u.m. ; se produzr x 2 undades para o clente Y, o preço de venda é de x 2 u.m.. Para produzr P undades tem um custo de P (P>0). Quantas undades produzr para cada um dos clentes? 6-2 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

19 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR (Soluções dos exercícos) ( Texto revsto para o ano lectvo ) Antóno Carlos Moras da Slva Professor de I.O.

20 Controlo da Tentatva Incal Método da Bssecção OK. df/dx em A é Postva 12 OK FUNÇÃO OK. df/dx em B é Negatva -468 Coefcentes Tolerânca OK Var. Coef x 6-2 x 5 Pontos Tentatva SOLUÇÃO x 4-3 A B x f(x) = x 2 EXTREMO ÓPTIMO x Const. ABCISSA Esq(Dr) Dr(Esq) Médo ÁREA DE CÁLCULO Ponto "a" Ponto "b" M OK? Valor f( M ) K (df/dx)m Lado de Não b Não a Não a Não b Não a Não b Não a Sm Book Bssec.xls. Sheet Sol. 1.1 Analse o gráfco da função: INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 1-1

21 1.2. Controlo da Tentatva Incal Método da Bssecção OK. df/dx em A é Postva 2,00 OK FUNÇÃO OK. df/dx em B é Negatva -4,14 Coefcentes Tolerânca OK Var. Coef. 0,02 x 6 x 5 Pontos Tentatva SOLUÇÃO x 4-0,25 A B x 3 1 0,00 2,40 f(x) = 0, x 2-2 EXTREMO ÓPTIMO x 2 0, Const. ABCISSA 0, , Esq(Dr) Dr(Esq) Médo ÁREA DE CÁLCULO Ponto "a" Ponto "b" M OK? Valor f( M ) K (df/dx)m Lado de 0, , , Não 0, ,21 b 0, , , Não 0, ,46 a 0, , , Não 0, ,10 a 0, , , Não 0, ,05 b 0, , , Não 0, ,03 a 0, , , Não 0, ,01 b 0, , , Sm 0, Book Bssec.xls Sheet Sol. 1.2 Analse o gráfco da função: 1-2 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

22 1.3. Consderando como ponto tentatva ncal X 0 = (1,1) e a tolerânca de 0.01, da aplcação do Método do Gradente resulta o segunte: Quadro 1 - Determnação das coordenadas de X k+1 em ordem ao parâmetro t Ponto Tentatva X 0 Gradente em X 0 Abcssa de X k+1 Ordenada de X k+1 Iter. x 1 x 2 x 1 x 2 a bt c dt Book Gradent.xls Sheet 1.3 Na teração 9 as dervadas parcas de f(x 1,x 2 ) têm valor absoluto nferor à tolerânca 0.01 (termna processo teratvo). Solução : x 1 = ; x 2 = ; f (x 1, x 2 ) = Nota: A solução exacta é x 1 = 1/3 ; x 2 = 4/3 ; f(x 1,x 2 ) = 14/3. Para cada uma das terações fo organzada a função f (x 1,x 2 ) com x 1 e x 2 parametrzados e calculado o seu máxmo. Os resultados obtdos são apresentados no quadro segunte: Quadro 2 - Determnação do valor óptmo t * onde f (x 1,x 2 ) atnge o máxmo Iter. t 2 t Constante t* (óptmo) Valor de f(x 1, x 2 ) Book Gradent.xls Sheet 1.3 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 1-3

23 Nas fguras seguntes apresentam-se o gráfco da função e a proecção horzontal das curvas de nível da função. f(x 1, x 2 ) x 2 x 1 x2 Máxmo x1 1-4 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

24 1.4. Consderando como ponto tentatva ncal X 0 = (0.1,0.1) e a tolerânca de 0.01, da aplcação do Método do Gradente resulta o segunte: Quadro 1 - Determnação das coordenadas de X k+1 em ordem ao parâmetro t Ponto Tentatva X 0 Gradente em X 0 Abcssa de X k+1 Ordenada de X k+1 Iter. x 1 x 2 x 1 x 2 a bt c dt Book Gradent.xls Sheet 1.4 Na teração 12 as dervadas parcas de f(x 1,x 2 ) têm valor absoluto nferor à tolerânca 0.01 (termna processo teratvo) Solução : x 1 = ; x 2 = ; f (x 1,x 2 ) = Nota : A solução exacta é x 1 = 1 ; x 2 = 1 ; f(x 1,x 2 ) = 1. Para cada uma das terações fo organzada a função f (x 1,x 2 ) com x 1 e x 2 parametrzados e calculado o seu máxmo. Os resultados obtdos são apresentados no quadro segunte. Quadro 2 - Determnação do valor óptmo t * onde f (x 1, x 2 ) atnge o máxmo Iter. t 2 t Constante t* (óptmo) Valor de f(x 1, x 2 ) Book Gradent.xls Sheet 1.4 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 1-5

25 Nas fguras seguntes apresentam-se o gráfco da função e a proecção horzontal das curvas de nível da função. f(x 1,x 2 ) x 2 x 1 Máxmo 1-6 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

26 1.5. Consderando como ponto tentatva ncal X 0 = (0.1,0.1) e a tolerânca de 0.01, da aplcação do Método do Gradente resulta o segunte: Quadro 1 - Determnação das coordenadas de X k+1 em ordem ao parâmetro t Ponto Tentatva X 0 Gradente em X 0 Abcssa de X k+1 Ordenada de X k+1 It x 1 x 2 x 1 x 2 a bt c dt 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00569 Book Gradent.xls Sheet 1.5 Na teração 33 as dervadas parcas de f(x 1,x 2 ) têm valor absoluto nferor à tolerânca 0.01 (termna processo teratvo) Solução : x 1 = ; x 2 = ; f (x 1,x 2 ) = 19, Nota : A solução exacta é x 1 = 2 ; x 2 = -2 ; f(x 1,x 2 ) = 20 Para cada uma das terações fo organzada a função f (x 1,x 2 ) com x 1 e x 2 parametrzados e calculado o seu máxmo pelo método da Bssecção. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 1-7

27 Nas fguras seguntes apresentam-se o gráfco da função e a proecção horzontal das curvas de nível da função. f(x1, x2) x2 x1 Máxmo 1-8 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

28 1.6. Consderando como ponto tentatva ncal X 0 = (0,0) e a tolerânca de 0.01, da aplcação do Método do Gradente, na função smétrca, resulta o segunte: Quadro 1 - Determnação das coordenadas de X k+1 em ordem ao parâmetro t Ponto Tentatva X 0 Gradente em X 0 Abcssa de X k+1 Ordenada de X k+1 Iter. x 1 x 2 x 1 x 2 a bt c dt Book Gradent.xls Sheet 1.6 Na teração 3 as dervadas parcas de -f(x 1,x 2 ) têm valor absoluto nferor à tolerânca 0.01 (termna processo teratvo) Solução : x 1 = ; x 2 = ; f (x 1,x 2 ) = Nota :Para cada uma das terações fo organzada a função -f (x 1,x 2 ) com x 1 e x 2 parametrzados e calculado o seu máxmo. Os resultados obtdos são apresentados no quadro segunte: Quadro 2 - Determnação do valor óptmo t * onde f(x 1,x 2 ) atnge o máxmo Iter. t 4 t 3 t 2 t Constante t* (óptmo) Valor de f(x 1, x 2 ) Book Gradent.xls Sheet 1.6 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 1-9

29 Nas fguras seguntes apresentam-se o gráfco da função e a proecção horzontal das curvas de nível da função. f(x 1,x 2 ) x 2 x INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

30 1.7. O método da bssecção determna a abcssa do extremo de uma função monovarável no ntervalo [a,b]. Fluxograma do método: Fxar tolerânca ε Escolher 2 pontos-tentatva "a" e "b" tal que: f (a).f (b) < 0 (por exº f (a) > 0 e f (b) < 0) m = a + b 2 f (m) = 0? Sm Não f (m) > 0? Sm a = m Não b = m Não a - b 2ε? Sm Abcssa óptma = m Fm A fgura segunte vsualza os pontos a, b e m da prmera teração: 1ª Hpótese Reduzr ntervalo com a = m 2ª Hpótese Reduzr ntervalo com b = m f(x) f(x) a m b a m b INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 1-11

31 1.8. Aspectos essencas que fundamentam o método: 1. O valor do gradente da função num ponto X k, ndca a drecção e sentdo de crescmento da função naquele ponto. 2. O vector-gradente, no ponto X k, é perpendcular à curva de nível da função a que pertence X k e ndca a drecção e sentdo de maor aumento da função o que não deve ser confunddo com camnho mas curto para atngr o extremo desta (ver fgura) Max X 1 0 X No ponto X k, conhecendo a drecção e sentdo de maor aumento da função, é necessáro calcular o tamanho do deslocamento (passo) para atngr o ponto X k+1 de coordenadas: X k+1 = X k + p f Xk onde a função tem o seu maor valor naquela drecção e sentdo(ver fgura). Com as coordenadas de X k+1 expressas em função de p : coloca-se f(x) em ordem a p (dspõe-se de uma função monovarável h(p) para maxmzar); pelo método da bssecção calcula-se o valor óptmo de p ; calculam-se as coordenadas de X k+1 por substtução de p. 4. Em X k+1 calcula-se o valor do gradente da função ( que se sabe ser nulo no óptmo) e compara-se com a tolerânca fxada. Se satsfaz é nterrompdo o cálculo (regra de paragem) repetndo-se o procedmento descrto no caso contráro INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

32 Fluxograma do Método do Gradente: Escolher ponto-tentatva X k Calcular f em X k X k+1 = X k + p f Xk Construr h(p) = f(x k+1 ) Max h(p) por bssecção (obter valor óptmo de "p") Calcular X k+1 Calcular f em X k+1 f Xk+1 Tolerânca? Sm Fm Não X k = X k+1 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 1-13

33 2. Exercícos de PNL Soluções detalhadas 2.1 Teorema dos multplcadores de Lagrange Dado o problema de PNL: Max f 0 (X) s.a. f (X) = 0 ( = 1,..., m) se : X * é um máxmo local, e n > m ( há mas varáves do que restrções), e f têm prmeras dervadas parcas contínuas em ordem a x, e os gradentes f (X * ) são vectores lnearmente ndependentes, então há um vector λ = [ λ 1, λ 2,...,λ m ] T tal que : m * * f ( X ) λ f ( X ) = 0 0 = 1 em que: - λ 1, λ 2,..., λ m são denomnados multplcadores de Lagrange; - a condção da ndependênca lnear de f (X * ) é denomnada restrção de qualfcação. O teorema sugere o segunte método para resolver problemas de PNL só com restrções de gualdade: Verfcar se n > m e se todas as f têm dervadas parcas contínuas Consderar a Função de Lagrange : L( X, λ) = f ( X) λ f ( X) 0 m = 1 Calcular todas as soluções (X *, λ * ) para o sstema de equações algébrcas não lneares: m L( X, λ) = f ( X ) λ f ( X ) = 0 ( n equaçõ es) 0 = 1 L( X, λ) λ = f ( X ) = 0 ( = 1,..., m) ( m equações) Estas equações representam as condções de Lagrange sendo os pontos (X,λ) os pontos de Lagrange. Analsar cada uma das soluções (X *, λ * ) para verfcar se é maxmzante. 2.2 A resposta é negatva pos que o teorema não garante que as soluções das condções de Lagrange são pontos óptmos (onde a função-obectvo atnge o máxmo) ou mesmo que seam pontos de estaconardade; o que o teorema garante é que qualquer ponto onde não se verfquem as condções de Lagrange não é garantdamente ponto-óptmo. Resumndo, as condções de Lagrange são condção necessára para uma solução ser consderada óptma mas não são condção sufcente excepto no caso de solução únca em que pode conclur-se medatamente que a mesma é óptma. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 2-1

34 n=2 e m=1 portanto tem-se n > m O gradente da restrção é: f 1 = 4 2 pelo que f / x é contínua. 2. Construr a função Lagrangeana: L (x 1,x 2,λ) = f(x 1,x 2 ) - λ ( 4x 1 + 2x 2-60 ) = x 1 x 2 + 2x 1 - λ ( 4x 1 + 2x 2-60 ) (Notar que sendo ( 4x 1 + 2x 2-60 )= 0 maxmzar L é maxmzar a função-obectvo) 3. Calcular as dervadas parcas de 1ª ordem, gualar a zero e resolver o sstema de equações: L / x 1 = x λ = 0 x 1 = 8 L / x 2 = x 1-2λ = 0 x 2 = 14 L / λ = -4x 1-2x = 0 λ = 4 A solução que satsfaz as condções de Lagrange é únca pelo que é óptma (Max f = 128): X = 8 e λ= 4 14 A fgura segunte apresenta a proecção horzontal das curvas de nível da função. x Ponto Óptmo f = x INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

35 2.4 Sendo a varável não negatva as stuações possíves são: 1ª Stuação 2ª Stuação f(x) Max f(x) Max ou 0 x 0 x df/dx = 0 df/dx = 0 x >0 x = 0 3ª Stuação f(x) Max Max 0 df/dx < 0 x = 0 x A não negatvdade das varáves ndependentes, determna as seguntes condções de 1ª ordem para um ponto maxmzante (extremo condconado): df/dx 0 x (df/dx) = 0 Naturalmente para f( x 1,x 2,...,x n ) com x 1,x 2,...,x n 0 tem-se: f / x 0 ( =1 a n ) x ( f / x ) = 0 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 2-3

36 2.5 Consdere-se o modelo na forma: Max f(x) s.a. g(x) + s = b s 0 A função Lagrangeana é: L = f(x) - λ [(g(x) + s - b)] Atendendo a que s é varável não negatva, as condções de 1ª ordem para extremo de L (x,λ) são: L / x = 0 L / s 0 s ( L / s) = 0 L / λ = 0 (notar que L / λ = -g(x) - s + b = 0 Notar que: ( L / s) = -λ o que mplca: λ 0 (multplcador de Lagrange deve ser não negatvo) s (-λ ) = 0. Como -s = g(x) - b resulta: λ[ g(x) - b)] = 0 (note que λ é complementar da varável de folga da restrção pelo que é a varável Dual assocada...) 2.6 Verfcação da concavdade da função: f = f / x 1 = 5-4x 1 + 3x 2 f / x 2 3x 1-4x 2 H f = 2 f / x f / x 1 x 2 = f / x 2 x 1 2 f / x Na matrz Hessana os menores prncpas H k com k=1,2 são: H 1 = -4 e -4 (dagonal prncpal) ; H 2 = (-4)(-4) - (3)(3) = 7 Como os determnantes têm o snal de (-1) k (são respectvamente negatvo e postvo) a matrz é Defnda Negatva podendo conclur-se que a função é côncava. A função Lagrangeana é: L = 5x 1-2x x 1 x 2-2x λ ( x 1 + x 2 + s - 2 ) As condções a satsfazer pelo extremo (ver problema 2.5) são: L / x 1 = 0 5-4x 1 + 3x 2 - λ = 0 (1) L / x 2 = 0 3x 1-4x 2 - λ = 0 (2) L / s 0 -λ 0 (3) s ( L / s) = 0 - sλ = 0 (4) L / λ = 0 -x 1 -x 2 -s + 2 = 0 (5) Estas condções podem tomar a forma mas smples: 2-4 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

37 5-4x 1 + 3x 2 - λ = 0 (1) 3x 1-4x 2 - λ = 0 (2) λ ( x 1 + x 2-2 ) = 0 (3) λ ; s 0 (4) (Notar a condção de não negatvdade do multplcador λ ) Se λ = 0 tem-se de (1) e (2) x 1 = 20/7 e x 2 = 15/7 que não satsfaz x 1 + x 2 + s = 2 com s 0 pelo que se conclu que λ 0. Para λ 0 então em (3) tem-se x 1 + x 2 = 2 ou sea x 1 = 2 - x 2 Substtundo em (1) e (2) tem-se: x 2 + 3x 2 - λ = 0 e 6-3x 2-4x 2 - λ = 0 que permte calcular x 2 = 9/14 e λ = 3/2. Em (1) ou (2) tem-se x 1 = 19/14. O ponto ( 19/14, 9/14 ) é o ponto óptmo onde Max f(x 1,x 2 ) = 137/28. Nas fguras seguntes apresentam-se o gráfco da função e a proecção horzontal das curvas de nível da função. 5 f(x 1,x 2 ) x x A matrz Hessana é: INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 2-5

38 H f = 2 f / x f / x 1 x 2 = f / x 2 x 1 2 f / x Como os determnantes menores prncpas (1ª e 2ª ordem) são postvos a matrz é Defnda Postva podendo conclur-se que a função é convexa. A função Lagrangeana é: L = 3x x x 1 x 2 + 6x 1 + 2x 2 - λ ( 2x 1 - x 2-4 ) As condções a satsfazer pelo extremo são: L / x 1 = 0 6x 1 + 2x λ = 0 (1) L / x 2 = 0 2x 2 + 2x λ = 0 (2) L / λ = 0-2x 1 + x = 0 (3) A solução do sstema de equações é x 1 = 7/11 ; x 2 = -30/11 ; λ = 24/11. Porque a função é convexa só se pode conclur que fo atngdo um ponto de estaconardade. 2-6 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

39 Nas fguras seguntes apresentam-se o gráfco da função e a proecção horzontal das curvas de nível da função f(x 1,x 2 ) x x INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 2-7

40 2.8 A função-obectvo é lnear (côncava e convexa) A função Lagrangeana é: L = x 1 - x 2 - λ ( x x ) As condções a satsfazer pelo extremo são: L / x 1 = 0 1-2λx 1 = 0 (1) L / x 2 = λx 2 = 0 (2) L / λ = 0 -x x = 0 (3) Do sstema calcula-se λ =± 1 2 pelo que há 2 soluções: x1 = ; x2 = ; λ = ; f = x1 = ; x2 = ; λ = ; f = Da sua análse verfca-se que o valor óptmo da função é atngdo no prmero destes pontos: 2 2 x1 = ; x2 = 2 2 ; Mn f = A fgura segunte esclarece a stuação: Ponto óptmo x 2 1 (-f) 1 x INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

41 As soluções de um modelo de PL podem ser agrupadas do segunte modo: não admssível ou admssível com valor óptmo fnto atngdo no ponto óptmo ou admssível com valor óptmo lmtado Na Programação Não Lnear são possíves as 3 stuações e uma 4ª hpótese: admssível com valor lmtado para a função-obectvo mas não há ponto óptmo Vea-se por exemplo Mn f = 1/x com x 0 que tem pontos admssíves sendo zero o maor lmte nferor do valor da função-obectvo. Contudo este lmte nunca é atngdo em ponto admssível pelo que não há ponto óptmo. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 3-1

42 3.2 É possível como o exemplo segunte demonstra: Mnmzar f(x 1,x 2 ) = (x 1-4) 2 + (x 2-4) 2 s.a. 2x 1 + 3x 2 6-3x 1-2x 2-12 x 1, x 2 0 A solução óptma é x 1 =28/13, x 2 =36/13 e Mn f= 64/13. As fguras mostram que, no convexo de soluções, o Ponto óptmo NÃO É EXTREMO (o que não se passa em Programação Lnear). f(x 1,x 2 ) x 2 x Mn Lvre Mn Condconado 3-2 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

43 3.3 É possível como o exemplo segunte demonstra: Mnmzar f(x 1,x 2 ) = (x 1-4) 2 + (x 2-4) 2 s.a. x 1 + x 2 5 -x x 2-12 x 1,x 2 0 A solução óptma é x 1 = 4, x 2 = 4 e Mn f= 0. As fguras mostram que, no convexo de soluções, o Ponto óptmo É INTERIOR ( o que não se passa em Programação Lnear). f(x 1,x 2 ) x 2 x Mn Condconado INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 3-3

44 3.4 É possível como o exemplo segunte demonstra: Max f (x 1,x 2 ) = 2x 1 + x 2 s.a. -x x 1 - x 2 0 2x 1 + 3x 2 12 x 1, x 2 0 Nota: O espaço de solução não é convexo ( 2 conuntos : áreas I e II ). Na área I, é no ponto P que a função tem maor valor (5.508). Vea-se que tal é apenas máxmo local pos na área II a função tem maor valor em qualquer ponto sendo o ponto (6,0) o extremo onde a função atnge o máxmo(f(x)=12). 3.5 CONCLUSÕES SOBRE DIFERENÇAS ENTRE PNL E PL : Em PNL, qualquer ponto do espaço de solução pode ser óptmo. A procura do ponto óptmo não pode fcar lmtada aos extremos como na PL. O número de restrções técncas saturadas, no óptmo, pode ser nulo. (ver problema 3.3 onde nenhuma restrção é satsfeta como gualdade). O deslocamento contínuo numa dada drecção pode não conduzr a valores crescentes (ou decrescentes) da função-obectvo ao contráro do que se verfca na PL. O espaço de solução pode não consttur um conunto convexo (ver problema 3.4). Um óptmo local pode não ser um óptmo global ( ver problema 3.4). 3.6 Só no caso de f(x) ser côncava ou sea, no conunto de soluções S para qualquer par de pontos X e X do conunto S verfca-se: f(cx + (1-c)X cf(x ) + (1-c)f(X ) (1) para valores de c tal que 0 c INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

45 A fgura segunte vsualza a stuação para uma função monovarável: f(x) f(cx + (1-c)x )) C f(x ) cf(x )+ (1-c) f(x )) f(x ) A B D x cx + (1-c)x x x Nota: Coordenadas de B obtdas por combnação lnear convexa dos extremo do segmento AD. Vea-se que a função é côncava porque se verfca a condção (1) o que geometrcamente corresponde a que o segmento que une qualquer par de pontos da curva da função está sempre abaxo desta. 3.7 A matrz Hessana de f(x 1, x 2,..., x n ) é uma matrz de ordem n em que cada elemento (,) é gual a: 2 f xx Para a função proposta tem-se H = 6x x A função é CÔNCAVA em S se e só se para qualquer ponto X S, os menores prncpas não nulos da matrz Hessana têm o snal de (-1) k sendo k a ordem do menor. 3.9 A função é CONVEXA em S se e só se para qualquer ponto X S, os menores prncpas da matrz Hessana são postvos Consderando d 1 e d 2 as funções da procura, o obectvo é Maxmzar a função-obectvo f = p 1 d 1 + p 2 d 2 ou sea f= p 1 (150-2p 1 - p 2 ) + p 2 (200 - p 1-3p 2 ) = 150 p 1-2p 2 1-2p 1p p 2-3p 2 2. A matrz Hessana é: sendo os seus menores prncpas: H 1 = -4 e -6 (ambos negatvos) H 2 = 24-4 = 20 (postvo) pelo que a matrz é defnda negatva, podendo conclur-se que a função-obectvo é Côncava. Anulando o gradente da função tem-se: f = 150-4p 1-2p 2 = 0 p 1 = p 2 = 25 u.m. com Max f= p p 2 0 com d 1 = 75 e d 2 = 100 (undades) 3.11 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 3-5

46 A matrz Hessana é: Os menores prncpas são : H 1 = 2, 2, 4 (postvos) H 2 = 8-1 = 7 > 0 H 2 = 8-1 = 7 > 0 H 2 = 4-1 = 3 > 0 H 3 = 6 > 0 Dado que todos os menores prncpas de H são postvos a matrz é defnda postva pelo que a função é Convexa a. Sendo X 1 = (2,3) o valor do gradente neste ponto é: f = 2x 2-2x 1 = 2 2x x 2 1 b. A função é quadrátca pelo que a sére de Taylor terá 3 termos: T 1 T f( X2 ) = f( X1) + X fx + X HX X = +[.. ] [.. ] = [ ] 2 02 = V = fx fx = H X X = = 02. ( ) T 3.14 f = CX + 1 X H X 2 x1 = [ ] [ ] x x1 x2 x x2 em que : C = matrz dos coefcentes das varáves x, na função-obectvo H = matrz hessana de f(x) X = vector coluna das varáves de decsão 3-6 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

47 4. Exercícos de PNL Soluções detalhadas 4.1 L (x 1,x 2, λ) = 2x 1 + 3x 2 - x x λ ( 2x x 2 + s - 4) s.a. s 0 O termo -λ ( 2x x 2 + s - 4) é nulo pelo que maxmzar a função L é maxmzar a função proposta. As condções de 1ª ordem para extremo da função Lagrangeana são: L / x 1 = 0 2-2x 1-2λ = 0 L / x 2 = 0 3-2x 2-2λ = 0 L / s 0 -λ 0 s( L / s) = 0 s (-λ) = 0 L / λ = 0-2x 1-2x 2 - s + 4 = 0 As condções KKT são: 1ª condção: 2-2x 1-2λ = 0 3-2x 2-2λ = 0 2ª condção: Dado que -s = 2x 1 + 2x 2-4 e que -sλ = 0, deduz-se a condção segunte: λ(2x 1 + 2x 2-4) = 0 3ª condção: A restrção técnca do modelo 2x 1 + 2x ª condção: λ Nesta stuação, dado que a restrção é do tpo = não é utlzada qualquer varável de folga pelo que a varável λ é lvre. As condções KKT são: 1ª condção: 2-2x 1-2λ = 0 3-2x 2-2λ = 0 2ª condção: A restrção técnca do modelo 2x 1 + 2x 2-4 = 0 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 4-1

48 4.3 Consderando s 1 e s 2 varáves de folga (não negatvas) das prmera e segunda restrções técncas, a função de Lagrange é: L (x 1,x 2,s 1,s 2,λ 1,λ 2 ) = f(x 1,x 2 ) - λ 1 ( x s 1 ) - λ 2 ( x s 2 ) Nesta stuação é necessáro atender à condção de não negatvdade das varáves x 1, x 2, s 1, s 2 e ao ambente de Mnmzação. Adoptando abordagem semelhante à exposta no problema 2.4, conclu-se que as condções de 1ª ordem para extremo são: L / x 0 e x ( L / x ) = 0 L / s 0 e s ( L / s ) = 0 L / λ = 0 Da condção L / s 0 deduz-se λ 0 ( de facto λ é a varável Dual assocada à restrção ; como as duas restrções são do tpo em ambente de Mnmzação, as varáves duas assocadas são não postvas). Da condção s ( L / s ) = 0 deduz-se λ ( g (x 1,x 2 ) - b ) = 0. As condções KKT são: (1) 2x λ 1 (1) 0 (2) x 1 (2x λ 1 ) = 0 (3) 2x λ 2 (1) 0 (4) x 2 (2x λ 2 ) = 0 (5) x (6) λ 1 (x 1-2) = 0 (7) x (8) λ 2 (x 2-1) = 0 (9) x 1, x 2 0 (10) λ 1, λ 2 0 Das condções de ortogonaldade tem-se: se λ 0 então g (X) = 0 e se g (X) 0 então λ = 0 Explorando uma das condções até estabelecer ncompatbldade (contradção) com as restantes condções será possível conclur se é nulo o multplcador λ ou g (X) ou ambos. Deste modo como se va conclundo quas as restrções actvas e nactvas, as desgualdades KKT que se verfcam como gualdades e os multplcadores que são nulos a complexdade do problema reduz-se progressvamente. 4-2 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

49 Tomando a condção (6) tem-se: x 1-2 = 0 x x 1 = 2 λ 1 = 0 λ 1 0 λ 1 = 0 x 1 = 0 Satsfaz (1),(2),(5),(6),(9),(10) x 1 0 Em (2): λ 1 = 6 Não admssível Em (2): x 1 = -1 Contradção Em (2): x 1 = -1 Não admssível 1ª Conclusão : x 1 = 0 ; λ 1 = 0 satsfaz as condções KKT. Tomando a condção (7) tem-se: x 2-1 = 0 x x 2 = 1 λ 2 = 0 λ 2 0 λ 2 = 0 x 2 = 0 Em (3) : Falso Em (4): λ 2 = -2 Satsfaz (3),(4),(7),(8),(9),(10) Em (4): x 2 = 2 Contradção x 2 0 Em (4) x 2 = 2 Em (7) : 1 0. Falso 2ª Conclusão : x 2 = 1 ; λ 2 = -2 satsfaz as condções KKT. A solução x 1 = 0 ; x 2 = 1; λ 1 = 0 ; λ 2 = -2 satsfaz todas as condções KKT o que é sufcente para afrmar tratar-se da solução óptma. Acresce anda que sendo Convexa a função proposta para optmzar em espaço Convexo (restrções são lneares) é condção necessára que a solução satsfaça ntegralmente as condção KKT. O ponto óptmo é pos x 1 = 0 ; x 2 = 1 sendo Mn f = 2. Nota: Poder-se-a ter optado por Maxmzar a função smétrca -x 2 1-2x 1 - x x 2-5 com o que se obtera o ponto-solução : x 1 = 0 ; x 2 = 1 ; λ 1 = 0 ; λ 2 = 2. O multplcador λ 2 é agora não negatvo porque a restrção assocada é típca no ambente de maxmzação. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 4-3

50 As fguras seguntes apresentam o gráfco da função proposta, e a proecção horzontal das curvas de nível. f = 2 Ponto óptmo 4.4 a. Substtundo a restrção de gualdade pelas desgualdades x x e -x x as condções KKT são : f x m λ g = 1 x 0 (1) (2) [1 / (x 1 + 1) ] - λ 1 (2x 1 ) - λ 2 (-2x 1 ) λ 1 (2x 2 ) - λ 2 (-2x 2 ) 0 x g f m g ( λ ) = 0 x = 1 x (3) (4) b 0 (5) λ g b (6) ( ) = 0 (7) (8) x 1 {[1 / (x 1 + 1) ] - λ 1 (2x 1 ) - λ 2 (-2x 1 ) } = 0 x 2 [1 - λ 1 (2x 2 ) - λ 2 (-2x 2 ) ] = 0 x x x x λ 1 (x x 2 2-1) = 0 λ 2 (-x x ) = 0 λ 0 (9) λ 1, λ 2 0 x 0 (10) x 1, x INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

51 b. De (1) deduz-se que λ 1 0 e x 1 0. Exercícos de PNL Soluções detalhadas De (3) deduz-se que λ 1 0 e x 2 0. Os multplcadores λ 1 e λ 2 são complementares pelo que λ 2 = 0. De facto consderando a restrção na forma de gualdade sera utlzado apenas um multplcador λ sem restrção de snal que podera ser consderado λ = λ 1 - λ 2 com λ 1, λ 2 0. Ora nesta stuação, verfca-se no óptmo, se exste, λ 1 λ 2 = 0. Tem-se assm o sstema de equações: [1 / (x 1 + 1) ] - 2λ 1 x 1 = 0 1-2λ 1 x 2 = 0 x x = 0 com solução x 1 = ; x 2 = ; λ = ; Max f = As fguras seguntes apresentam o gráfco da função proposta, e a proecção horzontal das curvas de nível. Ponto óptmo 4.5 a. No problema proposto, o espaço S de soluções admssíves é um conunto convexo pelo que se a função for côncava qualquer máxmo local é solução óptma do problema. A Hessana de f(x 1,x 2 ) é a matrz quadrada de ordem 2: H= 2 f / x f / x 1 x 2 = f / x 2 x 1 2 f / x A função f(x 1,x 2 ) é côncava no espaço de solução S se e só se para qualquer par (x 1,x 2 ) S, em H todos os menores prncpas dferentes de zero têm snal de (-1) k sendo k a ordem do menor. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 4-5

52 Nota: O menor prncpal de ordem de uma matrz quadrada de ordem n é o determnante de qualquer matrz de ordem obtda quando se elmnam n- lnhas e as correspondentes n- colunas da matrz. Na matrz H têm-se os menores prncpas: de ordem 1 : -2 e -2 (têm o snal de -1 1 ) de ordem 2: (-2)(-2) - (0)(0) = 4 ( tem o snal de -1 2 ) pelo que H é uma matrz defnda negatva, pelo que f(x 1,x 2 ) é côncava. O problema é portanto de programação convexa : função côncava e espaço de soluções convexo. b. O método do Smplex modfcado por Wolfe pode ser utlzado em programação convexa quadrátca (caso do problema proposto) sendo necessáro recorrer às condções KKT: (1) 2-2x 1-2λ 0 (2) x 1 (2-2x 1-2λ ) = 0 (3) 3-2x 2-2λ 0 (4) x 2 (3-2x 2-2λ ) = 0 (5) 2x 1 + 2x (6) λ (2x 1 + 2x 2-4) = 0 (7) x 1, x 2, λ 0 Colocando as condções (1), (3) e (5) na forma de gualdade tem-se: 2x 1 + 2λ - e 1 = 2 2x 2 + 2λ - e 2 = 3 2x 1 + 2x 2 + s 1 = 4 Atendendo a que: -e 1 = 2-2x 1-2λ, deduz-se da condção (2) que o produto x 1 e 1 = 0. -e 2 = 3-2x 2-2λ, deduz-se da condção (4) que o produto x 2 e 2 = 0. -s 1 = 2x 1 + 2x 2-4, deduz-se da condção (6) que o produto λ s 1 = 0 pode estabelecer-se a restrção de complementardade x 1 e 1 + x 2 e 2 +λs 1 = 0. As condções KKT são equvalentes a : 2x 1 + 2λ - e 1 = 2 2x 2 + 2λ - e 2 = 3 2x 1 + 2x 2 + s 1 = 4 x 1 e 1 + x 2 e 2 + λ s 1 = 0 (restrção de complementardade) x 1, x 2, λ, e 1, e 2, s 1 0 Analsando a restrção de complementardade verfca-se que não é lnear e mpõe: as varáves e, x não podem ser smultaneamente postvas; a varável auxlar (folga ou excedentára) da restrção e λ não podem ser smultaneamente postvas. 4-6 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

53 O método Smplex modfcado por Wolfe recorre ao 1º passo do Método dos 2 Passos consderando a segunte regra para calcular soluções que satsfaçam a restrção de complementardade : não formar base em que as varáves complementares e, x seam smultaneamente varáves báscas postvas (na maor parte dos casos se uma é VB a outra não pode entrar para a base); não formar base em que a varável auxlar (folga ou excesso) da restrção e λ (que são complementares) seam smultaneamente varáves báscas postvas (na maor parte dos casos se uma é VB a outra não pode entrar para a base); No exemplo proposto, é necessáro utlzar varáves Artfcas nas duas prmeras restrções e Mnmzar a sua soma executando o 1º passo do Método dos 2 Passos: 2x 1 + 2λ - e 1 + A 1 = 2 2x 2 + 2λ - e 2 + A 2 = 3 2x 1 + 2x 2 + s 1 = 4 Mn f a = A 1 + A 2 A 1, A 2 0 Aplcando o método Smplex modfcado por Wolfe tem-se: VB x 1 x 2 λ e 1 e 2 s 1 A 1 A 2 VSM Obs. A λ não pode entrar para a A base (complementardade com s s 1 ). Entra x 1 ou x 2. -f a f a x / /2 0 1 λ não pode entrar para a A base (complementardade com s s 1 ). Entra x 2. -f a x /2 0 1/2-1/2 0 1 Entra λ. x / /2 0 1 A f a λ /4-1/4-1/4 1/4 1/4 1/4 Sol. óptma. x /4-1/4 1/4-1/4 1/4 5/4 x /4 1/4 1/4 1/4-1/4 3/4 -f a Solução Óptma: x 1 = 3/4 ; x 2 = 5/4 ; Max f(x 1, x 2 ) = 25/8 Nota: λ é a varável dual assocada à restrção razão porque λs 1 = 0 (complementardade das folgas).neste caso a restrção está saturada. As fguras seguntes apresentam o gráfco da função proposta, e a proecção horzontal das curvas de nível. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 4-7

54 f(x 1,x 2 ) x 2 x 1 f=25/8 4.6 a. A Hessana de f(x 1,x 2 ) é a matrz quadrada de ordem 2: H= 2 f / x f / x 1 x 2 = f / x 2 x 1 2 f / x H 1 = -4 e -8 < 0 Matrz H é Defnda Negatva H 2 = 16 > 0 A função é Côncava O problema é de programação convexa porque: a função-obectvo é Côncava e dferencável a função da restrção técnca é convexa e dferencável ( restrção lnear função côncava e convexa) 4-8 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

55 b. Condções KKT: Exercícos de PNL Soluções detalhadas f x m λ g = 1 x 0 (1) (2) x 2-4x 1 -λ(1) x 1-8x 2 - λ(2) 0 x g f m g ( λ ) = 0 x = 1 x (3) x 1 [15 + 4x 2-4x 1 -λ(1)] = 0 (4) x 2 [30 + 4x 1-8x 2 - λ(2)] = 0 b 0 (5) x 1 + 2x λ g b ( ) = 0 (6) λ( x 1 + 2x 2-30) = 0 λ 0 (7) λ 0 x 0 (8) x 1, x 2 0 Para usar o método Smplex, estabelece-se o sstema de equações: 4x 1-4x 2 + λ - e 1 + A 1 = 15-4x 1 + 8x 2 + 2λ - e 2 + A 2 = 30 x 1 + 2x 2 + s 1 = 30 x 1 e 1 + x 2 e 2 + λs 1 = 0 (restrção de complementardade) Mn f a = A 1 + A 2 x 1, x 2, e 1, e 2, s 1, λ, A 1, A 2 0 Aplcando o método Smplex modfcado por Wolfe tem-se: VB x 1 x 2 λ e 1 e 2 s 1 A 1 A 2 VSM Obs. A Entra x 2 (pode porque e 2 é VNB) A s f a f a x 2-1/2 1 1/4 0-1/ /8 15/4 Entra x 1 (pode porque e 1 é VNB) A / /2 30 Notar que λ não é selecconável pos s /2 0 1/ /4 45/2 s 1 é VB e não sa da base por troca -f a / /2-30 com λ. x /4 0 1/8 1/2 0-1/8 45/4 Entra λ (pode porque s 1 é VNB) x /8 0-1/16 1/4 0 1/16 75/8 A /2-1 -3/ /4 15/2 -f a 0 0-5/2 1 3/ /4-15/2 λ /5-3/10-2/5 2/5 3/10 3 x /10 1/20 2/5 1/10-1/20 12 x /20-1/40 3/10-1/20 1/40 9 -f a Solução óptma. Solução Óptma: x 1 = 12 ; x 2 = 9 ; Max f(x 1, x 2 ) = 270 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 4-9

56 Nota: λ é a varável dual assocada à restrção razão porque λs 1 = 0 (complementardade das folgas).neste caso a restrção está saturada. As fguras seguntes apresentam o gráfco da função proposta, e a proecção horzontal das curvas de nível. f(x 1,x 2 ) x 2 x 1 Ponto Óptmo a. A Hessana de f(x 1,x 2 ) é a matrz quadrada de ordem 2: H= 2 f / x f / x 1 x 2 = -1/(x 1 +1) f / x 2 x 1 2 f / x H 1 < 0 Matrz H é Defnda Negatva H 2 > 0 Função Côncava 4-10 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)

57 O problema é de programação convexa porque: a função-obectvo é Côncava e dferencável Exercícos de PNL Soluções detalhadas a função da restrção técnca é convexa e dferencável ( restrção lnear função côncava e convexa) b. Condções KKT: f x m λ g = 1 x 0 (1) (2) 1/(x 1 +1) -λ(1) 0-2x 2 - λ(2) 0 x g f m g ( λ ) = 0 x = 1 x (3) x 1 [1/(x 1 +1) -λ(1)] = 0 (4) x 2 [-2x 2 - λ(2) ] = 0 b 0 (5) x 1 + 2x λ g b ( ) = 0 (6) λ(x 1 + 2x 2-3) = 0 λ 0 (7) λ 0 x 0 (8) x 1, x 2 0 Verfcação das condções KKT no ponto (3, 0); (1) 1/(x 1 +1) -λ(1) 0 1/4 - λ 0 λ 1/4 O.k. condção (7) (2) -2x 2 - λ(2) 0-2λ 0 λ 0 O.k. condção (7) (3) x 1 [1/(x 1 +1) -λ(1)] = 0 3[(1/4) - λ] = 0 λ = 1/4 O.k. condções (1),(2),(3),(7) (4) x 2 [-2x 2 - λ(2) ] = 0 0 = 0 O.k. (5) x 1 + 2x O.k. (6) λ(x 1 + 2x 2-3) = 0 1/4(3-3) = 0 0 = 0 O.k. (7) λ 0 Verfcada (8) x 1, x 2 0 Verfcada O problema é de programação convexa e as condções KKT verfcam-se no ponto (3,0) o que é condção necessára e sufcente para afrmar que (3, 0) é o ponto óptmo. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) 4-11