CURSO de ESTATÍSTICA Gabarito

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TRANSFERÊNCIA o semestre letvo de 010 e 1 o semestre letvo de 011 CURSO de ESTATÍSTICA Gabarto INSTRUÇÕES AO CANDIDATO Verfque se este caderno contém: PROVA DE REDAÇÃO com uma proposta; PROVA DE CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS com questões dscursvas, totalzando dez pontos. Se este caderno não contver ntegralmente o descrto no tem anteror, notfque medatamente ao fscal. No espaço reservado à dentfcação do canddato, além de assnar, preencha o campo respectvo com seu nome. Não é permtdo fazer uso de nstrumentos auxlares para o cálculo e o desenho, portar materal que srva para consulta nem equpamento destnado à comuncação. Na avalação do desenvolvmento das questões será consderado somente o que estver escrto a caneta, com tnta azul ou preta, nos espaços aproprados. O tempo dsponível para realzar as provas é de quatro horas. Ao termnar, entregue ao fscal este caderno devdamente assnado. Tanto a falta de assnatura quanto a assnatura fora do local aproprado poderá nvaldar sua prova. Certfque-se de ter assnado a lsta de presença. Colabore com o fscal, caso este o convde a comprovar sua dentdade por mpressão dgtal. Você deverá permanecer no local de realzação das provas por, no mínmo, noventa mnutos. AGUARDE O AVISO PARA O INÍCIO DA PROVA RESERVADO À IDENTIFICAÇÃO DO CANDIDATO RESERVADO AOS AVALIADORES REDAÇÃO rubrca: C. ESPECÍFICOS rubrca:

2 Prova de Conhecmentos Específcos 1 a QUESTÃO: (,0 pontos) Resolva no conjunto, dos números reas: a) b) 3 x(x 1) x(x 1) >0 x +x 4 cos θ 3senθ = 0, θ a) Observe que 3 x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1)[ x( x 1) ] > 0 > 0 x + x 4 x + x 4 x ( x 1)[ x x ] > 0 x ( x 1)( x x ) < 0, x + x 4 pos x + x 4< 0, x, já que Δ = 1 4( 1)( 4) = 15 < 0 e a concavdade da parábola y = x + x 4 é para baxo. Analsando o snal de cada fator ( x, x 1 e x x ) da últma expressão acma e fazendo o produto desses snas, obtem-se o conjunto solução da nequação S = (, 1) (1,). b) cos θ 3senθ= 0, θ Observe que, usando a dentdade trgonométrca fundamental cos θ + sen θ = 1, a equação dada é equvalente a sen θ + 3senθ = 0. Fazendo uma mudança de varável, a saber, y = senθ, obtem-se na nova varável y a equação do segundo grau 1 y + 3y = 0, cujas raízes são y = ou y =. Retornando à varável θ, tem-se que 1 (1) sen θ = ou () sen θ =. Note que a equação (1) não possu solução, já que 1 senθ 1, θ. A equação () tem como conjunto solução, que também será o conjunto solução da equação dada π 5π ncalmente, S = θ ; θ= + kπ ou θ= + k π, k. 6 6

3 a QUESTÃO: (,0 pontos) Esboce o gráfco de cada função real. a) f(x) = x x ; b) 3 x x 3x + f ( x) =. x a) f ( x) = x x. O domíno da f x se x é e como x =, obtem-se x se x < (1). x x se x f ( x) = x x se x < Logo, o gráfco da função f é formado pela unão das duas partes das parábolas descrtas em (1), cujo esboço segue abaxo. y=f(x)

4 b) 3 x x 3x + f ( x) = x Incalmente, note que o domíno da função f é D = \{ } e que x= é raz do polnômo presente em seu numerador, logo o numerador pode ser fatorado 3 como x x 3x + = ( x )( x + x 1). Assm, f ( x) = x + x 1, x D e, portanto, o f y = x + x 1 gráfco da consste da parábola, menos o ponto (,5), como mostra a fgura a segur. y=f(x) 3 a QUESTÃO: (,0 pontos)

5 Os dados na tabela de frequêncas abaxo representam a taxa de colesterol (mg/dl) em 80 ndvíduos. Intervalos de Freq. absoluta Freq. relatva Freq. relatva acumulada colesterol (mg/dl) , , , , ,05 TOTAL Consdere as taxas de colesterol da tabela acma e responda às questões. a) Complete a tabela e encontre o 1º quartl e o 3º quartl. b) Encontre as taxas de colesterol méda e medana. A dferença encontrada é ndcatva de algum comportamento anormal nos dados coletados? Justfque. c) Taxas de colesterol acma de 5mg/dL exgem um tratamento especal. Qual percentual esperado da amostra recebera esse tratamento? d) Podem exstr, nesses dados, valores que podem ser classfcados como dscrepantes? Justfque. a) Para completar a tabela, precsara apenas completar a coluna referente à Frequênca relatva acumulada e a lnha correspondente ao Total das colunas apresentadas. Para calcular a Freq. relatva acumulada, basta r acumulando, ao longo das lnhas, o valor da Freq. relatva (smples), garantndo que, na prmera classe o valor da Freq. relatva acumulada concda com o da Freq. relatva (smples). Além dsso, não faz sentdo totalzar a coluna referente à Freq. relatva acumulada.

6 Assm, a tabela completa passa a ser dada por: Intervalos de Freq. absoluta Freq. relatva Freq. relatva acumulada colesterol (mg/dl) ,05 0, ,5 0, ,50 0, ,15 0, ,05 1,00 TOTAL 80 1, O quantl de ordem p é um valor que acumula até ele p 100% dos dados observados. O valor de um quantl de ordem p para dados agrupados é obtdo por : ordem p p fac 1 q( p) = L + f ( L s L ) L : lmte nferor da classe que contém o quantl de ordem p L s : lmte superor da classe que contém o quantl de ordem p f : frequênca relatva da classe que contém o quantl de ordem p fac 1 : frequênca relatva acumulada da classe anteror à classe que contém o quantl de O prmero quartl corresponde ao quantl de ordem 0,5 0,5 0,05 q ( 0,5) = ( ) = 140 0,5 O tercero quartl corresponde ao quantl de ordem 0,75 0,75 0,30 q(0,75) = (00 150) = 195 0,50 a) Para o cálculo da méda para dados agrupados usa-se: k PM f = x = 1 n onde PM é o ponto médo da -ésma classe da tabela e f é a frequênca absoluta smples correspondente à mesma classe. O Ponto médo, por sua vez, corresponde à méda artmétca dos lmtes nferor e superor da classe: Nesse caso, PM = ( L + Ls)

7 Logo, Intervalos de colesterol (mg/dl) Freq. absoluta PM PM * f TOTAL x = = 170 mg/dl 80 Para o cálculo de medana de dados agrupados, basta utlzar a fórmula para obter o quantl de ordem p=0,5. 0,5 0,3 q ( 0,5) = (00 150) = 170 0,5 Assm, a Medana será gual a 170 mg/dl. Como os valores de méda e medana estão próxmos entre s, não havera motvo para suspetar da presença de comportamento anormal nos dados coletados. c) Nessa stuação, conhece-se o valor do quantl, mas não se conhece sua ordem. p 0,8 q ( p) = 00 + (50 00) = 5 0,15 Resolvendo essa equação obtém-se p=0,875, logo o percentual da amostra acma de 5 mg/dl será gual a 1,5 %, pos esse quantl acumula até ele 87,5 % das observações. d) Para saber se exstem valores dscrepantes, pode-se utlzar como crtéro a posção em relação à dstânca nterquartílca (DEQ) dada por: DEQ = Q 3 Q 1. Se consderarmos 1,5 vezes a dstânca nterquartílca (1,5 x DEQ= 1,5*( )=8,5) como crtéro para dentfcação de valores típcos, como é adotado na construção de um Box-plot, o prmero ntervalo de classe e o últmo poderam conter pontos atípcos. Isso justfca-se, pos a regão de valores atípcos será formada por valores menores que Q1-1,5*DEQ, ou seja, menores que 57,5 e valores maores que Q3+1,5*DEQ, ou seja, maores que 77,5. A prmera e a últma classes poderam, então, nclur valores que seram consderados dscrepantes. 4 a QUESTÃO: (,0 pontos)

8 Um laboratóro de análses clíncas tem um cadastro com dados de ses pacentes que apresentaram dagnóstco de dabetes e cujas dades (em anos) foram transcrtas a segur: a) Se as correspondentes meddas de taxa de glcose desses ses pacentes fossem dadas por: sera possível dzer que exste assocação do tpo lnear entre essas duas varáves? b) Construa um dagrama de dspersão correspondente e relacone seu padrão à resposta encontrada no tem (a). a) Para verfcar a presença de assocação lnear entre duas varáves quanttatvas (dade e taxa de glcose) uma prmera tentatva sera utlzar o coefcente de correlação lnear de Pearson, dado por: r = n = 1 X X Y n n X X Y Y = 1 = 1 Y para = 1,,..., 6, sendo X a sére correspondente à dade e Y a sére de dados correspondente à taxa de glcose. Para os valores observados de dade e taxa de glcose, o valor calculado de r será gual a +0,9968, que ndca forte relação lnear crescente entre as duas varáves. b) O dagrama de dspersão para a apresentação e verfcação de exstênca de assocação entre

9 as duas varáves em questão é dado por: Pelo dagrama acma, percebe-se uma a aparente relação lnear crescente entre as varáves, fato esse que é concordante com a resposta do tem a). 5 a QUESTÃO: (,0 pontos)

10 Um estudo levantou nformações sobre as rendas (em reas) de vnte e cnco trabalhadores brasleros e as rendas (em dólares) de trnta trabalhadores amercanos. A tendênca central e varabldade dos resultados estão apresentados na tabela abaxo. Meddas Brasleros Amercanos Méda R$ 1.345,00 U$.100,00 Medana R$ 841,00 U$ 1.89,00 Moda R$ 1.00,00 U$.000,00 Desvo padrão R$ 38,00 U$ 354,00 a) Calcule o coefcente de assmetra de Pearson para a dstrbução das rendas dos brasleros e para a dstrbução das rendas dos amercanos. b) É correto afrmar que as rendas dos trabalhadores brasleros são mas homogêneas do que as rendas dos trabalhadores amercanos? Justfque sua resposta. ( x Mo) a) Como o Coefcente de Assmetra de Pearson é dado por AS =, então: s para os brasleros o coefcente de assmetra é gual a : 0,44 e para os amercanos o coefcente de assmetra é gual a: 0,8 ndcando que a dstrbução de renda dos brasleros é mas assmétrca. b) O coefcente de varação é uma medda adequada para comparar as varabldades das rendas de amercanos e brasleros devdo à dferença entre as suas undades monetáras. O s coefcente de varação é obtdo por CV = 100. Para brasleros, seu valor é: 4,39% e para x os amercanos é 16,86%. Dante desses resultados, conclu-se que as rendas dos amercanos são mas homogêneas, por ter menor CV.