CONCEITOS BÁSICOS. Podemos assim caracterizar três áreas de interesse (ramos) da Estatística: Estatística Inferencial ESTATÍSTICA

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1 1 Estatístca CONCEITOS BÁSICOS 6 É uma metodologa ou conjunto de técncas que utlza a coleta de dados, sua classfcação, sua apresentação ou representação, sua análse e sua nterpretação vsando a sua utlzação dentro de um processo decsóro. Estatístcas É um conjunto ou coleção de dados numércos que fornecem nformações acerca de um fenômeno observado: estatístcas econômcas (que fornecem dados sobre preços, vendas, produção, etc.), estatístcas demográfcas (que fornecem dados sobre nascmentos, mortes, etc.). 3 Estatístca Descrtva É a parte da Estatístca que procura descrever e analsar um certo grupo de observações, normalmente denomnado de amostra, procurando expressar estas observações através de meddas e formas de representação (tabelas, gráfcos, curvas, etc.). É também denomnada Estatístca Dedutva. 4 Estatístca Inferencal É a parte da Estatístca que compreende um processo de generalzação, a partr da análse e nterpretação de dados amostras. É também denomnada Estatístca Indutva. 5 Teora da Probabldade Como todo processo de generalzação envolve uma margem de rsco ou ncerteza, temos então a parte da Estatístca que se ocupa em estudá-la utlzando métodos e técncas apropradas, o que consttu os fundamentos da Teora da probabldade. 6 Ramos da Estatístca Podemos assm caracterzar três áreas de nteresse (ramos) da Estatístca: Estatístca Descrtva Estatístca Inferencal Probabldade ESTATÍSTICA 7 - População ou Unverso Estatístco É o maor conjunto tomado como referênca na observação de um fenômeno. Pode ser fnta ou nfnta. Por exemplo, a produção dára de uma fábrca de determnados componentes (população fnta) ou o conjunto de todos os resultados (cara ou coroa) em segudos lançamentos de uma moeda não vcada (população nfnta).

2 8 Amostra 7 É qualquer subconjunto não vazo de uma população, excetuando-se a própra população. É, portanto, uma parte da população. Podemos representá-la conforme a fgura a segur: Amostra A Amostra B Amostra C População 9 Amostragem Aleatóra É um plano ou técnca de amostragem, onde cada elemento de uma população tem a mesma probabldade de ser ncluído na amostra. Uma técnca de obtenção de uma amostragem aleatóra é o sorteo dos elementos. A fm de garantr uma proteção maor contra a tendênca ou víco, utlza-se atualmente tabelas de números aleatóros, que são geradas a partr de algortmos em computadores. 10 Expermento Aleatóro É uma experênca ou observação estatístca de um fenômeno qualquer em estudo. Esta experênca pode ser, por exemplo: - lançar um dado e observar o número obtdo; - trar uma carta de um baralho e observar o resultado; - retrar uma bola de uma sacola e observar sua cor; - anotar o número de chamadas telefôncas em uma central telefônca, em um determnado horáro; - regstrar o número de acdentes de trânsto em uma determnada rodova, em um determnado período de tempo. Uma característca mportante de um expermento aleatóro é a sua possbldade de repetção contínua, observando-se as mesmas condções de expermentação. A outra característca mportante é aleatoredade do expermento, não podendo exstr vícos ou tendêncas na obtenção de resultados. 11 Dados Contínuos Neste tpo de dados exstem varáves que podem assumr qualquer valor num ntervalo de valores, nclusve valores quebrados. Normalmente, assocamos a estes dados a característca de meddas. Exemplo: altura, peso, comprmento, temperatura, etc. Desta manera, podemos dzer que as varáves contínuas podem assumr qualquer valor num ntervalo contínuo. INTERVALO CONTÍNUO 0 x 1 A varável contínua x pode assumr qualquer valor no ntervalo consderado.

3 1 Dados Dscretos 8 Neste tpo de dados exstem varáves que só podem assumr valores nteros num ntervalo de valores. Normalmente, assocamos a estes dados a característca de contagem. Exemplos: número de lvros em uma bbloteca, número de alunos numa sala de aula, etc. 13 Dados Nomnas (ou Categórcos) Estes dados ocorrem quando são defndas categoras tas como sexo (masculno ou femnno), cor dos olhos (pretos, azus, etc.), campo de estudo (Engenhara, Dreto, Economa, etc.). É comum assocar-se a estes dados varáves não-quanttatvas e sm (qualtatvas) que são denomnadas varáves nomnas. Antes de serem processadas estatstcamente devem ser atrbuídos valores numércos a tas varáves. 14 Dados por Postos São os dados que, de um modo geral, são sujetos a avalações subjetvas quanto à preferênca ou desempenho em um conjunto de observações. Exemplos: competções de beleza, concursos de modas, concursos de canto, etc. As varáves utlzadas podem receber valores, normalmente, nteros como, 1º, º, 3º, etc... ou então os atrbutos o mas, o menos, o melhor, o por, etc. 15 Método Estatístco É uma técnca utlzada, normalmente, na área da Estatístca Descrtva que vsa estruturar e organzar as fases ou etapas que devem ser estabelecdas na abordagem de uma observação estatístca. Suas fases ou etapas prncpas são: - defnção do problema; - planejamento; - coleta de dados; - apuração dos dados; - apresentação dos dados; - análse e nterpretação dos dados. 16 Séres Estatístcas Podemos dzer que uma sére estatístca é um conjunto de dados estatístcos referencados aos seguntes fatores: tempo, local e fenômeno. As séres estatístcas mas comuns são: - A SÉRIE TEMPORAL, CRONOLÓGICA, HISTÓRICA OU EVOLUTIVA -- VARIA O TEMPO - A SÉRIE GEOGRÁFICA, TERRITORIAL OU ESPACIAL -- VARIA O LOCAL - A SÉRIE ESPECÍFICA OU ESPECIFICATIVA -- VARIA O FENÔMENO Observação: Exstem anda outros tpos de séres estatístcas, tas como: a) séres mstas onde varam mas de um dos fatores ctados (tempo, local e fenômeno); b) dstrbuções de freqüênca que é uma representação tabular de grande utlzação na Estatístca, a qual será estudada detalhadamente mas adante; c) seqüêncas de dados numércos ou quadros com valores numércos os quas serão abordados em exercíco no decorrer do curso.

4 Assnale a alternatva correta. 1. População ou unverso é: TESTES E EXERCÍCIOS 9 a) conjunto de pessoas; b) conjunto de ndvíduos apresentando uma característca especal; c) conjunto de todos os ndvíduos apresentando uma característca comum objeto de estudo.. A sére Estatístca é chamada cronológca quando: a) o elemento varável é o tempo; b) o elemento varável é o local; c) o elemento varável é o fenômeno d) não tem elemento varável. 3. Estabelecer quas dos dados seguntes são dscretos e quas são contínuos: a) número de ações venddas daramente na Bolsa de Valores; (Dscreto) b) temperaturas regstradas em um posto de meteorologa; (Contínuos) c) vda méda das válvulas de televsão produzdas por uma determnada companha; (Contínuos) d) saláros anuas de professores do colégo; (Contínuos) e) comprmentos de 1000 parafusos produzdos pro uma fábrca. (Contínuos) 4. Dê o domíno de cada uma das seguntes varáves e dga se são contínuas ou dscretas: a) quantdade G de ltros de água numa máquna de lavar roupa; R: Domíno: 0 a G Contínua b) número B de lvros em uma estante de bbloteca; R: Domíno: 0 a B Dscreta c) Soma S de pontos obtdos ao lançar um par de dados. R: Domíno: a 1 Dscreta. 5. Consderando-se a tabela a segur ndcada, pode-se conclur que seus dados refletem uma sére: 197 PRODUTOS QUANTIDADES (ton.) CAFÉ AÇÚCAR MILHO FEIJÃO Fonte: Dados Fctícos. a) temporal; Vara o Tempo b) geográfca; Vara o Local c) especfcatva ou específca; Vara o Fenômeno d) evolutva. Vara o Tempo

5 (AFC 1994) A tabela abaxo apresenta a dstrbução de um grupo de 00 estudantes segundo o curso que fazem (Estatístca ou Economa) e o sexo (homem ou mulher). HOMEM MULHER ESTATÍSTICA 40 0 ECONOMIA A únca afrmação errada é: a) 60% dos estudantes são homens. b) 75% das mulheres fazem o curso de Economa. c) Dos em cada três estudantes de Estatístca são homens. d) Um em cada três homens faz o curso de Estatístca. e) 40% dos homens estudam Economa. 1. (TCDF 1995) Assnale a opção correta. a) Em Estatístca, entende-se por população um conjunto de pessoas. b) A varável é dscreta quando pode assumr qualquer valor dentro de determnado ntervalo. c) Freqüênca relatva de uma varável aleatóra é o número de repetções dessa varável. d) A sére estatístca é cronológca quando o elemento varável é o tempo. e) Ampltude Total ou Range é a dferença entre dos valores quasquer do atrbuto. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS A representação tabular é uma das modaldades mas utlzadas para a apresentação dos dados estatístcos coletados na amostragem. Para sto, nós, freqüentemente, lstamos os valores encontrados na amostra. Uma classfcação metodológca usual é verfcar a natureza dos dados estatístcos. Vejamos, o tratamento tabular dado aos dados dscretos e contínuos. 1 Representação de Dados Dscretos Exemplo: Seja a segunte amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7,4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6 onde encontramos valores dscretos. 1.1 Freqüênca smples absoluta (f ) É o número de observações correspondente a um determnado valor. Por exemplo: a freqüênca do valor 3 é 1, do valor 4 é 3, conforme podemos ver no quadro abaxo. VALOR FREQÜÊNCIA TOTAL 0

6 1. Ampltude amostral (A) 11 É a dferença entre o maor e o menor valor da amostra. A = 8 3 A = Tpos de Freqüêncas Smples relatva Absolutas Relatvas OBS.: pode-se empregar nos cálculos tanto a absoluta como a Acumuladas Abaxo de (crescente) Acma de (Decrescente) Absolutas Relatvas Absolutas Relatvas Utlzando o exemplo ctado anterormente, podemos fazer o segunte quadro: VALOR x FREQÜÊNCIA SIMPLES ABSOLUTA f FREQÜÊNCIA SIMPLES RELATIVA f r FREQÜÊNCI A ACUMULADA CRESCENTE (ABSOLUTAS ) FREQÜÊNCIA ACUMULADA DECRESCENT E (ABSOLUTAS) 3 1 1/0 = 0,05 ou 5% /0 = 0,15 ou 15% /0 = 0,5 ou 5% /0 = 0,30 ou 30% /0 = 0,0 ou 0% /0 = 0,05 ou 5% 0 1 TOTAL 0 0/0 = 1 ou 100% - Representação de Dados Contínuos Na representação de dados contínuos utlza-se a forma de ntervalos (dstrbução ntervalar) em vrtude desses dados serem obtdos, normalmente, através de meddas.isto melhora a dstrbução dos erros cometdos (erro do observador, do método utlzado, do equpamento de medda, etc). Usa-se também a representação ntervalar para dados dscretos, levando-se em conta, prncpalmente, o tratamento de grandes amostras (número de elementos 30). Desta manera poderemos encontrar os seguntes elementos nesta representação:.1. Classe É cada um dos grupos ou ntervalos obtdos a partr do agrupamento ou conjunto de dados (normalmente de um rol). Para a determnação do número de classes exstem dversos métodos, dentre os quas destacam-se: A Regra de Sturges Onde: K = 1 + 3,3 log 10 N

7 K = número de classes N = número total de observações 1 Por exemplo, se o número de observações for 500: N = 500 K = 1 + 3,3 log K = 9,906 ou K = 10 aproxmadamente A Regra do Quadrado K = N Utlzando-se o quadrado perfeto mas próxmo. Por exemplo, se N = 50: K = 50 = 7 aproxmadamente K = 7 A prátca recomenda para K a dstrbução ntervalar de 5 K 16. Representação moderna Utlza a smbologa de ntervalos abertos ou fechados. ou ou Assm, teríamos: 10 0, nclu o 10 e exclu o , nclu o 0 e exclu o 30 E assm por dante. Ampltude do Intervalo de Classe (C) É a dferença entre os lmtes superores e nferores. Exemplo: Classes Freqüêncas h = Lm superor - Lm nferor ou C = Lm superor - Lm nferor h = Ponto Médo da Classe (Pm) É a méda artmétca smples dos lmtes (superor e nferor) de cada classe.

8 13 CLASSES FREQÜÊNCIAS PONTOS MÉDIOS Passos ou rotero a ser segudo na construção de uma tabela de freqüênca que utlza dados agrupados em classes 1º PASSO Pegar os dados brutos (amostra) e defnr o rol. º PASSO Calcular a ampltude amostral. A = MAIOR VALOR MENOR VALOR 3º PASSO Calcular o número de classes K (Regra de Sturges ou Regra do Quadrado, etc.). 4º PASSO Determnar C (ampltude do ntervalo de classe): C = K A A 5º PASSO Escolher os lmtes de classe, preferndo, sempre que possível, números nteros. 6º PASSO Construr a tabela de freqüêncas. TESTES E EXERCÍCIOS 1. Dada amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se: a) construr a dstrbução de freqüênca; b) determnar as freqüêncas relatvas; c) determnar as freqüêncas acumuladas; d) qual é a ampltude amostral?; e) qual é a porcentagem de elementos maores que 5?. Dadas as notas de 50 alunos, determne os peddos. Notas: Pede-se: Construa uma tabela que possua freqüêncas : absoluta, relatva % e acumulada crescente, e anda uma coluna com os pontos médos das classes. 3. A tabela abaxo representa os saláros pagos a 100 operáros de uma empresa.

9 Nº DE SALÁRIOS Nº DE OPERÁRIOS MÍNIMOS TOTAL Pede-se: a) nº de operáros que ganham até três saláros mínmos; b) nº de operáros que ganham até ses saláros mínmos; c) porcentagem de operáros com saláro entre 6 e 8 saláros mínmos; d) porcentagem de operáros com saláro gual ou nferor a 4 saláros mínmos. Respostas: a) 55 b) 80 c) 15% d) 70% 5. Freqüênca absoluta é: a) o número de repetções de uma varável; b) a soma das freqüêncas smples; c) o número de valores que se repetem dvddo pelo total de valores; d) n.r.a. Resposta: Alternatva A 6. Freqüênca total é: a) o número de repetções de uma varável; b) a soma das freqüêncas smples absolutas; c) a soma das freqüêncas relatvas menos as freqüêncas absolutas; d) n.r.a. Resposta: Alternatva B 7. Consdere a segunte dstrbução de freqüêncas, que corresponde aos dferentes preços de um determnado produto em uma pesqusa realzada em vnte lojas: PREÇOS (R$) Nº DE LOJAS 50,00 51,00 5 5, , ,00 1 TOTAL 0 Pede-se: a) quantas lojas apresentaram um preço de R$ 5,00; b) construr uma coluna de freqüêncas smples relatvas; c) construr uma coluna de freqüêncas absolutas acumuladas; d) qual a porcentagem de lojas que apresentou um preço de até R$ 53,00; e) que porcentagem de lojas apresentou um preço maor do que R$ 51,00 e menor do que R$ 54,00. Respostas: a) 6 d) 95% e) 60%

10 14. Assnale, entre as alternatvas, aquela que contver uma afrmação verdadera. 15 a) A ampltude do ntervalo de classe é calculada pela soma entre os lmtes reas nferor e superor de uma classe. b) Obtém-se o ponto médo de uma classe pela méda artmétca dos lmtes nferor e superor. c) Um ntervalo de classe aberto em seus dos lmtes nclu ambos os números extremos. d) Intervalos de classe fechados têm seus lmtes superor e nferor reas excluídos dos números que os compõem. Resposta: Alternatva B 17. (Fscal de Trbutos de Mnas Geras / 96) Ouvndo-se 300 pessoas sobre o tema Reforma da Prevdênca, contra ou a favor?, foram obtdas 13 respostas a favor, 7 contra, 51 pessoas não quseram opnar, e o restante não tnha opnão formada sobre o assunto. Dstrbundo-se esses dados numa tabela, obtém-se: OPINIÃO FREQÜÊNCIA FREQÜÊNCIA RELATIVA FAVORÁVEL 13 X CONTRA 7 Y OMISSOS 51 0,17 SEM 54 0,18 OPINIÃO TOTAL 300 1,00 Na coluna freqüênca relatva, os valores de x e y são, respectvamente: a) 0,41 e 0,4 b) 0,38 e 0,7 c) 0,37 e 0,8 d) 0,35 e 0,30 e) 0,30 e 0,35 Resposta: Alternatva A (Fscal de Trbutos de Mnas Geras / 96) Responda às questões 18 e 19 com base na segunte stuação: a dstrbução a segur ndca o número de acdentes ocorrdos com 40 motorstas de uma empresa de ônbus. NÚMERO DE ACIDENTES NÚMERO DE MOTORISTAS O número de motorstas que sofreram pelo menos 4 acdentes é: a) 3 b) 6 c) 10 d) 7 e) 30 Resposta: Alternatva B 19. A porcentagem de motorstas que sofreram no máxmo acdentes é: a) 5% b) 3,5% c) 4,5% d) 57,5% e) 75% Resposta: Alternatva E

11 Exercíco sobre Interpolação 16 INTERPOLAÇÃO 14. (AFRF-00) Em um ensao para o estudo da dstrbução de um atrbuto fnancero (X),foram examnados 00 tens de natureza contábl do balanço de uma empresa. Esse exercíco produzu a tabela de freqüêncas abaxo. A coluna Classes representa ntervalos de valores de X em reas e a coluna P representa a freqüênca relatva acumulada. Não exstem observações concdentes com os extremos das classes. Assnale a opção que corresponde à estmatva da freqüênca relatva de observações de X menores ou guas a 145. a) 6,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4% 3. (AFRF-00.) O atrbuto do tpo contínuo X, observado como um ntero, numa amostra de tamanho 100, obtda de uma população de 1000 ndvíduos, produzu a tabela de freqüêncas segunte: Assnale a opção que corresponde à estmatva do número de ndvíduos na população com valores do atrbuto X menores ou guas a 95,5 e maores do que 50,5. a) 700 b) 638 c) 86 d) 995 e) 900

12 1. (AFRF-000) Freqüêncas Acumuladas de Saláros Anuas, em Mlhares de Reas, da Ca. Alfa 17 Suponha que a tabela de freqüêncas acumuladas tenha sdo construída a partr de uma amostra de 10% dos empregados da Ca. Alfa. Deseja-se estmar, utlzando nterpolação lnear da ogva, a freqüênca populaconal de saláros anuas guas ou nferores a R$ 7.000,00 na Ca. Alfa. Assnale a opção que corresponde a este número. a) 150 b) 10 c) 130 d) 160 e) Gráfcos de Hastes ou Bastões REPRESENTAÇÃO GRÁFICA É muto utlzado na representação gráfca de dados não agrupados em classes, o que ocorre normalmente com dados dscretos. Dzemos que neste caso não há perda de nformação, pos os valores da varável aparecem ndvdualmente, como constam da amostra. TABELA X F Hstograma É muto utlzado na representação gráfca de dados agrupados em classes, o que ocorre normalmente com dados contínuos. Dzemos que neste caso há perda de nformação. O seu uso é recomendado quando: - os valores da varável são nteros e não-nteros, ou somente não-nteros; - a quantdade de valores da varável é grande, no caso de valores nteros (dscretos); - não for mportante a perda de nformação ocasonada pelos dados apresentados.

13 18 OBS.: O hstograma pode ser construído tanto com freqüênca absoluta como relatva É destnado a representação de freqüêncas, não se aplcando a séres temporas e geográfca. TABELA CLASSES F Polgonal Característca É o gráfco que utlza em sua representação o contorno do hstograma. 4 Polígono de Freqüêncas É o gráfco que se obtém unndo-se por lnhas retas os pontos médos das bases superores dos retângulos de um hstograma.

14 5 Curva de Freqüêncas 19 A partr do polígono de freqüêncas podemos representar contornos mas suaves (polígono de freqüêncas poldo), utlzando-se curvas para chegarmos a uma das representações de grande utldade para a Estatístca que é a curva de freqüêncas. 6 Gráfcos de Lnhas É muto utlzado na representação gráfca de dados não agrupados em classes, de valores que aumentam gradatvamente como temperatura, consumo e etc...,e também para a representação de séres temporas (cotação de ações, vendas, etc.). X TABELA F Observação: Neste gráfco são usadas lnhas retas. Quando o número de valores aumenta, podemos utlzar curvas, que rão consttur curvas de freqüênca, que desempenharão a mesma mportânca das já ctadas para dados agrupados em classes. 7 Gráfco de Colunas É o gráfco que corresponde ao hstograma, porém utlzado na representação de dados nomnas (ou categórcos) ou em séres temporas. Exemplo: Representação de algumas classes profssonas formadas por uma Unversdade em determnado ano.

15 Obs.: o gráfco de barras nada mas é do que o gráfcos de colunas na horzontal. 0 8 Gráfcos em Setores Muto utlzado quando se deseja mostrar partes de um todo, conforme ocorre em orçamentos, produções, vendas, etc., e na comparação de proporções ou quantdades percentuas. Exemplo: Orçamento da Unão 9 Ogvas É obtda pelo polígono das freqüêncas acumuladas. Como se fosse um hstograma das freqüêncas acumuladas, só que no polígono da freqüênca acumulada crescente lga-se o canto superor dreto de cada coluna. TESTES E EXERCÍCIOS 1. Veja a tabela abaxo: CLASSES FREQÜÊNCIA TOTAL Σf = 0 Pede-se: a) construr o hstograma da dstrbução de freqüêncas dadas; b) construr o polígono de freqüêncas; c) construr uma curva de freqüêncas acumuladas (ogva).. Uma empresa apresentou a segunte evolução de vendas de um de seus artgos, no período de dos anos, computados trmestralmente. Período Trmestres 1º º 3º 4º 1º º 3º 4º Vendas Representar a evolução das vendas, através de um gráfco em hastes ou bastões.

16 1 3. Um produto é venddo por apenas três empresas, em um determnado mercado. Em 1993, para um total de undades venddas, tvemos a dstrbução das vendas, conforme o quadro abaxo: EMPRESA A B C VENDAS Represente grafcamente (gráfco de setores) a dstrbução das vendas de cada empresa em termos absolutos e percentuas. 4. (TCU / 93) Gráfcos são nstrumentos útes na análse estatístca. Assnale a defnção / afrmação ncorreta. a) Um hstograma representa uma dstrbução de freqüêncas para varáves do tpo contínuo. b) O gráfco de barras representa, por meo de uma sére de barras, quantdades ou freqüêncas para varáves categórcas. c) O gráfco de setores é aproprado, quando se quer representar as dvsões de um montante total. d) Um hstograma pode ser construído utlzando-se, ndstntamente, as freqüêncas absolutas ou relatvas de um ntervalo de classe. e) Uma ogva pode ser obtda lgando-se os pontos médos dos topos dos retângulos de um hstograma. Resposta: Alternatva E 6. (TCDF 95) Em relação aos tpos de gráfcos, assnale a opção correta. a) Uma sére categórca é melhor representada por um gráfco de lnha. b) Uma sére cronológca é melhor representada por um gráfco de setores. c) Se uma dstrbução de freqüêncas apresenta ntervalos de tamanhos desguas, o melhor gráfco para representá-la é um polígono de freqüêncas. d) O gráfco de barras é usado somente para séres geográfcas. e) O gráfco de setores é usado para comparar proporções. Resposta: Alternatva E MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E SEPARATRIZES 1 Méda Artmétca (X) É o quocente entre a soma dos valores observados e o seu número total. Exemplo: x = { 1, 3, 5, 7, 9} x 5 5 5

17 Méda Artmétca Ponderada É o quocente entre a soma dos produtos dos valores da varável pelos respectvos pesos e a soma dos pesos. Exemplo: Quatro provas com pesos 1,, 3, 4. Notas 8, 7, 9 e 9 (8 x 1) (7 x ) (9 x 3) (9 x 4) x Se tvermos uma representação tabular podemos consderar: pesos freqüêncas absolutas Exemplo: x f x f X 1 = 4 5 X 5 = 5 6 X 6 = 36 7 x 5 = 35 8 x 3 = 4 SOMA X = 0 x = 6, Se tvermos valores agrupados em classe, calculamos os pontos médos das classes, e estes representarão os valores de x das classes. CLASSES F x x f SOMA x = 6 x = 7 3 Propredades da Méda Artmétca 1º) Propredade: A soma algébrca dos desvos tomados em relação à méda artmétca é gual a zero. Σd = 0, onde d = x x conjunto de valores

18 Dados tabulados 3 x f x f SOMA com méda x = x = 5 19 Fazendo os desvos, teremos: x f d = x x d f = = = = = 4 8 Σ = 0 Observação: Para dados tabulados agrupados em classes o procedmento é análogo ao apresentado, devendo-se calcular os pontos médos das classes(x ) para a ncalzação dos cálculos. ª) Propredade: A soma dos quadrados dos desvos tomados em relação à méda artmétca é um mínmo. Exemplos: Conjunto de valores x = {1, 3, 5, 7, 9}, onde x = 5 x d = x x d SOMA Σ d = 40 Se escolhermos um valor arbtráro x 0 e tomarmos esta méda arbtrára para o cálculo dos desvos, teremos:

19 x d = x x 0 d = ( x x ) = = = = = 6 36 SOMA Σ =... Σ = 60 4 para x 0 = 3 Vemos que 60 é maor do que 40 da tabela anteror, assm como qualquer outra soma de desvos ao quadrado (tomados em relação a valores arbtráros) será maor do que a tomada em relação à méda. Observação: Para dados tabulados agrupados em classes é válda a mesma observação feta na propredade anteror. 3 a ) Propredade: Méda das médas. Se n 1 valores têm méda x 1 ; n valores têm méda x ;... n m valores têm méda x m, a méda do conjunto formado por todos os valores é dada pela relação: Exemplo: x1n x 1 x n n n 1 Exemplos:... x... n m m x 1 = {1, 3, 5, 7, 9} n 1 = 5 X 1 = 5 x = {, 4, 6, 8, 10, 1, 14} n = 7 X = x n m 81 6, a ) Propredade: se somarmos (ou subtrarmos) um valor constante e arbtráro K a cada um dos elementos de um conjunto de valores, a méda artmétca fca somada (ou subtraída) dessa constante. Exemplo: X = {1, 3, 5, 7, 9} com x = 5 fazendo K = 10 e somando, teremos: Y = {11, 13, 15, 17, 19} com y = 15 Podemos ver que y = 15 é gual a x = 5 acrescda de K = 10, ou seja, y = = 15.

20 5 5º) Propredade: Se multplcarmos (ou dvdrmos) cada um dos elementos de um conjunto de valores por um valor K (constante, arbtráro e 0), a méda artmétca fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. Exemplo: X = {100, 00, 300, 400, 500} com x = 300 Fazendo K = 10 e dvdndo, teremos: Y = {10, 0, 30, 40, 50} com y = 30 Da mesma forma, podemos ver que y = 30 é gual a x = 300 dvddo por K = 10, ou seja, y = Méda Geométrca Smples ( Xg ) Ela, como a méda artmétca, também pode ser smples ou ponderada. 5 Méda Geométrca Smples: É a raz índce n do produto dos n números. Exemplo: X = {1, 3, 5, 7, 9), com 5 números, portanto n = 5. Xg = Xg = Xg = 3,936 Y = {, 4 e 8} Yg = Yg = 3 64 Yg = 4 Observação: Em sua representação lteral o produto é desgnado pelo símbolo П, que representa o produtóro, assm temos: 5 Méda Geométrca Ponderada xg n Neste caso devem ser utlzadas as freqüêncas com que os números aparecem na amostra, pos elas fornecem a ponderação (peso). Exemplo: x f TOTAL 10 n 1 n = Σf e k = 4 x

21 6 X = = 3,055. assm, temos que : xg n n 1 x f Propredades da Méda Geométrca 1ª ) O produto dos quocentes de cada valor de um conjunto de números pela méda geométrca do conjunto é gual a 1. Exemplo: X = {4,9}.: x g 49 = 6 Aplcando a propredade, teremos: ª ) Séres que possuem, o mesmo número de elementos, com a mesma soma, apresentam a mesma méda artmétca e séres que possuem o mesmo número de elementos com o mesmo produto têm a mesma méda geométrca. Exemplo: X 1 = {1, 3, 9} x 4, X = {, 4, 7} x 4, São guas & 3 3 Y 1 = {1,, 8} Yg..8 Yg 56 Yg 3, Y = {, 4, 7} Yg.4.7 Yg 56 Yg 3, 85 São guas 3ª ) X g X, ou seja, a méda geométrca é menor ou gual à méda artmétca. 4ª ) Para valores próxmos, teremos X g próxmo de X, enquanto que para valores afastados, teremos X g afastado de X. Exemplo: X = {4 e 6}, valores próxmos

22 x 5 x g ,898 Médas Próxmas Se tvermos: X = {, 50}, valores afastados 50 5 x 6 x g Médas Afastadas 5 Méda Harmônca ( X h ) É o nverso da méda artmétca dos nversos dos números. 5.1 Méda Harmônca Smples Exemplo: X = {1, 4, 9} x h, Se generalzarmos, teremos: x h n 1 n 1 x 5. Méda Harmônca Ponderada As freqüêncas com que os números aparecem na amostra devem ser utlzadas, em vrtude de fornecerem a ponderação (peso). Exemplo: x f f : x : 1 = 4 : 3 = 1,33 3 : 5 = 0,6 1 : 7 = 0,143 TOTAL 10 4,073 X h = 10 =,455 4,073

23 Se generalzarmos, teremos: Observação: x h k 1 n f x 8 Neste caso n = Σ f = 10 e k = 4 Propredades da Méda Harmônca 1ª ) X h X g X, ou seja, a méda harmônca é menor ou gual à méda geométrca e esta é menor ou gual à méda artmétca. ª ) Valores próxmos têm as três médas próxmas e valores afastados têm as três médas afastadas. MÉDIA PELO MÉTODO DA VARIÁVEL TRANSFORMADA 1º Devemos elaborar a coluna da varável transformada. PM 1 o PM Ampltude ( classe) Onde: PM = valores dos pontos médos; 1º PM = valor do 1º ponto médo encontrado; 14. (AFRF-00) Em um ensao para o estudo da dstrbução de um atrbuto fnancero (X) foram examnados 00 tens de natureza contábl do balanço de uma empresa. Esse exercíco produzu a tabela de freqüêncas abaxo. A coluna Classes representa ntervalos de valores de X em reas e a coluna P representa a freqüênca relatva acumulada. Não exstem observações concdentes com os extremos das classes. Assnale a opção que corresponde à méda da dstrbução. a) 14 b) 17 c) 136 d) 138 e) 140

24 TESTES SOBRE MÉDIA 9 (AFRF-000) Freqüêncas Acumuladas de Saláros Anuas, em Mlhares de Reas, da Ca. Alfa Quer-se estmar o saláro médo anual para os empregados da Ca. Alfa. Assnale a opção que representa a aproxmação desta estatístca calculada com base na dstrbução de freqüêncas. a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 1,50 8. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura méda dos sócos de um clube é 165cm, sendo a dos homens 17cm e a das mulheres 16cm. A porcentagem de mulheres no clube é de: a) 6% b) 65% c) 68% d) 70% e) 7% Para efeto das quatro próxmas questões, consdere os seguntes dados: DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/ (AFTN-96) Marque a opção que representa a méda das dades dos funconáros em 1º/1/90. a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38, anos d) 38,6 anos e) 39,0 anos Para efeto das duas questões seguntes, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa contnua o mesmo em 1º/1/ (AFTN-96) Marque a opção que representa a méda das dades dos funconáros em 1º/1/96. a) 37,4 anos b) 39,0 anos c) 43,4 anos d) 43,8 anos e) 44,6 anos

25 30 9. (Audtor do Tesouro Muncpal - Recfe 003) Em uma amostra, realzada para se obter nformação sobre a dstrbução salaral de homens e mulheres, encontrou-se que o saláro médo vale R$ 1.00,00. O saláro médo observado para os homens fo de R$ 1.300,00 e para as mulheres fo de R$ 1.100,00. Assnale a opção correta. a) O número de homens na amostra é gual ao de mulheres. b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. c) O número de homens na amostra é o trplo do de mulheres. d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. (Ofcal de Justça Avalador TJ CE 00 / ESAF) A tabela abaxo apresenta a dstrbução de freqüêncas do atrbuto saláro mensal meddo em quantdade de saláros mínmos para uma amostra de 00 funconáros da empresa X. As três próxmas questões referem-se a essa tabela. Note que a coluna Classes refere-se a classes salaras em quantdades de saláros mínmos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüênca acumulada relatvo ao total da amostra. Não exstem observações concdentes com os extremos das classes. 0. (TJ CE 00 / ESAF) Assnale a opção que corresponde ao saláro médo amostral calculado a partr de dados agrupados. a) 11,68 b) 13,00 c) 17,1 d) 16,00 e) 14,00 6 Moda (M 0 ) É uma medda de tendênca central que se caracterza pelo valor mas freqüente (maor freqüênca absoluta smples) Moda em Valores Não-Tabulados X 1 = {, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9} M 0 = 6 CONJUNTO AMODAL, não exste moda X = {,, 3, 3, 4, 4} CONJUNTO BIMODAL X 3 = {1,,,, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6} M 0 = M 0 = 5 OBS.: Três modas em dante o conjunto é multmodal.

26 6.. Moda em Valores Tabulados 31 Podemos encontrar os seguntes casos: a) valores dscretos DETERMINAÇÃO IMEDIATA Exemplo: x f b) valores contínuos ou agregados em classes: devemos usar alguns métodos Métodos I. Moda Bruta; II. Método de Kng; III. Método de Czuber. OBS.: Quando o enuncado não especfcar o método a ser usado, usaremos o método de Czuber. I - Moda Bruta - determnação da classe modal; - moda bruta = ponto médo da classe modal. Exemplo: CLASSES F Classe Modal : 6 8 Moda Bruta = 7 II - Método de Kng: M o L c. f ant f post f post onde: L = lmte nferor da classe modal; c = ntervalo da classe modal; f ant = freqüênca absoluta da classe anteror à modal; f post = freqüênca absoluta da classe posteror à modal. Exemplo:

27 CLASSES F º Identfca-se a classe modal pela classe de maor freqüênca Classe Modal: 6 8 º Emprega-se a fórmula: 4 Mo , ,88 6, M 0 = 6,88 aprox. III - Método de Czuber É o método consderado mas precso. 1 Mo L c 1 Onde: L = Lmte nferor da classe modal; 1 = Dferença entre a freqüênca da classe modal e a freqüênca medatamente nferor; = Dferença entre a freqüênca da classe modal e a freqüênca medatamente posteror; c = Intervalo da classe modal Exemplo: CLASSES F º Identfca-se a classe modal pela classe de maor freqüênca Classe Modal: 6 8 º Emprega-se a fórmula: Mo 6 6 0,4 6 0,8 6,8 3 Mo = 6,8

28 TESTES SOBRE MODA 33 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/ (AFTN-96) Marque a opção que representa a moda das dades dos funconáros em 1º/1/90. a) 35,97 anos b) 36,6 anos c) 36,76 anos d) 37,03 anos e) 37,31anos Para efeto das duas questões seguntes, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa contnua o mesmo em 1º/1/ (AFTN-96) Marque a opção que representa a méda das dades dos funconáros em 1º/1/95. a) 41,6 anos b) 39,03 anos c) 43,4 anos d) 43,81 anos e) 44,67 anos 3. (AFRF-00.) O atrbuto do tpo contínuo X, observado como um ntero, numa amostra de tamanho 100, obtda de uma população de 1000 ndvíduos, produzu a tabela de freqüêncas segunte: Assnale a opção que corresponde ao valor modal do atrbuto X, no conceto de Czuber. a) 69,50 b) 73,79 c) 71,0 d) 74,53 e) 80,10

29 1(AFCE) Com relação ao valor modal da dstrbução abaxo responda: 34 Vendas anuas de Pequenos Comércos (em Mlhar) Fac a) É um valor ntero entre 4 e 6; b) É menor que 4 c) É maor que 7 d) É um decmal entre 5 e 6 e) É gual ao lmte nferor da tercera classe. (Ofcal de Justça Avalador TJ CE 00 / ESAF) A tabela abaxo apresenta a dstrbução de freqüêncas do atrbuto saláro mensal meddo em quantdade de saláros mínmos para uma amostra de 00 funconáros da empresa X. As três próxmas questões referem-se a essa tabela. Note que a coluna Classes refere-se a classes salaras em quantdades de saláros mínmos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüênca acumulada relatvo ao total da amostra. Não exstem observações concdentes com os extremos das classes. 1. (TJ CE 00 / ESAF) Assnale a opção que corresponde ao saláro modal no conceto de Czuber. a) 6 b) 8 c) 10 d) 1 e) 16 7 Medana (M d ) É uma medda de tendênca central que dvde uma sére ordenada (ROL) de tal manera que pelo menos a metade ou 50% dos tens sejam guas ou maores que ela. Desta manera é também uma separatrz, dvdndo a sére em partes guas. Podemos encontrar os seguntes casos na determnação de seu valor:

30 7.1 Medana em valores não-tabulados 35 a) Quando tvermos um número ímpar de valores Exemplo: X = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 1, 13, 14}, onde n = 9 (ímpar) Determna-se o elemento central: E = n = = 5. Verfca-se, então, na seqüênca ordenada o valor correspondente à posção 5 ndcada por E. Vemos, assm, que a medana será o valor, M d = 9 b) Quando tvermos um número par de valores Exemplo: X = {1, 3,,, 9, 11} Determnam-se os elementos centras: E = n : = 6 : = 3 Verfca-se, então, na seqüênca ordenada os valores correspondentes às posções 3 e 4 (posção segunte), ndcadas por E. Para a determnação da Medana, calculamos a méda artmétca dos dos valores centras M d = = 6 M d = 6 7. Medana em valores tabulados a) Quando se tratarem de dados dscretos (não agrupados em classes) Exemplo: x f Σ = 50 Σ f = n = 50 número par Calculamos E para um número par de valores:

31 36 E = n : = 50 : = 5 Em seguda calcula-se a freqüênca acumulada x f f ac Σ = 50 Comparamos o valor 5 com as freqüêncas acumuladas, verfcando-se que ele está após o 15 e antes do 30. Como o conjunto de valores é par, calculamos a medana pela méda artmétca entre os valores (5º e 6º), que no caso é o própro 6. Assm: Observação: 6 6 Md 6 Md = 6 Se n for ímpar, teremos E n 1 e procedendo de manera análoga chegaremos à medana, lembrando que neste caso teremos um únco valor central, o que dspensa o cálculo da méda artmétca. b) Quando se tratarem de dados contínuos (agrupados em classes) onde: Md L n f ant. acumulada f md c L lmte nferor da classe medana n será sempre o número de elementos dvddo por f Md freqüênca absoluta da classe medana f ant ac freqüênca acumulada anteror à classe medana c = ntervalo da classe medana Exemplo:

32 CLASSES F f ac TOTAL Classe Medana: 6 8 E = = 10 O valor 10 está colocado na coluna de freqüêncas acumuladas depos do 8 e antes do 15. Assm, teremos: Md ,57 6, M d = 6,57 aproxmadamente TESTES SOBRE MEDIANA 15. (AFRF-000) Freqüêncas Acumuladas de Saláros Anuas, em Mlhares de Reas, da Ca. Alfa Quer-se estmar o saláro medano anual da Ca. Alfa. Assnale a opção que corresponde ao valor aproxmado desta estatístca, com base na dstrbução de freqüêncas. a) 1,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 1,00 e) 1,10 Para efeto das quatro próxmas questões, consdere os seguntes dados:

33 38 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/ (AFTN-96) Marque a opção que representa a medana das dades dos funconáros em 1º/1/90. a) 35,49 anos b) 35,73 anos c) 35,91 anos d) 37,6 anos e)38,01 anos Para efeto das duas questões seguntes, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa contnua o mesmo em 1º/1/ (AFTN-96) Marque a opção que representa a medana das dades dos funconáros em 1º/1/96. a) 35,49 anos b) 36,44 anos c) 41,49 anos d) 41,91 anos e) 43,6 anos Para a solução das duas próxmas questões utlze o enuncado que segue. O atrbuto do tpo contínuo X, observado como um ntero, numa amostra de tamanho 100 obtda de uma população de 1000 ndvíduos, produzu a tabela de freqüêncas segunte: 18. (AFRF-00.) Assnale a opção que corresponde à estmatva da medana amostral do atrbuto X. a) 71,04 b) 65,0 c) 75,03 d) 68,08 e) 70,0

34 9 Quarts, Decs e Cents (para dados agrupados em classes) 39 São separatrzes que dvdem o conjunto de valores ou dstrbução em 4 partes guas, 10 partes guas e 100 partes guas. Assm, teremos: Quarts Q 1, = 1,, 3 Decs D 1, = 1,, Cents C 1, = 1,, Para fns de cálculo podemos fazer: a) Quarts Calculamos o elemento do quartl n Eq, = 1,, 3. 4 Calculamos o quartl desejado: Q L. n f 4 fq ant. ac. c Observação: Este cálculo é análogo ao usado para a determnação da medana. b) Decs Calculamos o elemento do decl n Ed=, = 1,, 3, 4,..., 9 10 Calculamos o decl desejado. n f D L 10 fd ant. ac. c c) Cents Calculamos o elemento do centl E C = n, = 1,, Calculamos o centl desejado

35 . n f C L 100 fc ant. ac. c 40 Exemplo: Ao aplcar uma prova de Estatístca a uma turma de 10 alunos, encontrou-se o resultado da tabela a segur: CLASSES NÚMERO DE ALUNOS f ac TOTAL 10 Calcule: a) os quarts da dstrbução dada; b) o grau mas baxo que podera ser obtdo pelos 5% melhores alunos da turma; c) o grau mas alto que é possível ser obtdo pelos 0% pores alunos da turma. Solução: a) Determnação dos quarts: 1º quartl Q 1 = 67,14 aproxmadamente º quartl Q = 75,58 aproxmadamente 3º quartl Q 3 = 83,43 aproxmadamente b) Determnação do grau mas baxo que podera ser obtdo pelos 5% melhores alunos da turma. 5% 30 x 100 Então, x é o valor do 3º quartl = 83,43 c) Determnação do grau mas alto que é possível ser obtdo pelos 0% pores alunos da turma. 0% x Então, x é o valor do º Decl (D ) ou vgésmo percentl (C 0 ). Para calcular D. Então, D = 64,8 ou 64 aproxmadamente.

36 TESTE SOBRE DECIL 41 Em um ensao para o estudo da dstrbução de um atrbuto fnancero (X) foram examnados 00 tens de natureza contábl do balanço de uma empresa. Esse exercíco produzu a tabela de freqüêncas abaxo. A coluna Classes representa ntervalos de valores de X em reas e a coluna P representa a freqüênca relatva acumulada. Não exstem observações concdentes com os extremos das classes. 17. (AFRF-00) Assnale a opção que corresponde à estmatva do qunto decl da dstrbução de X. a) 138,00 b) 140,00 c) 136,67 d) 139,01 e) 140,66 1 Ampltude Total (A t ) MEDIDAS DE DISPERSÃO É gual a dferença entre o maor valor e o menor valor dos dados apresentados. Na sua determnação podemos consderar as seguntes stuações: - dados não tabulados: X = {, 3, 5, 7, } A t = 9 1 = 8 A t = 8 - dados tabulados não agregados em classes (dados dscretos): x f A t = 9 1 = 8 A t = 8

37 - dados tabulados agregados em classes (dados contínuos): 4 CLASSES f Admte-se duas soluções: 1ª) dferença entre o lmte superor da últma classe e o lmte nferor da 1ª classe. No caso, teremos: A t = 1 = 10 A t = 10 ª) dferença entre o ponto médo da últma classe e o ponto médo da 1ª classe A t = 11 3 = 8 A t = 8 Desvo Médo Absoluto (DMA) d f DM f É gual a méda dos valores absolutos dos desvos calculados em relação à méda do conjunto de valores. - dados não tabulados: X = {1, 3, 5, 7, 9}, x = 5 e n = 5 x d = x x d = = 5 5 = = = 4 4 SOMA 1 1 Assm o DMA = =,4 DMA =,4 5 - dados tabulados não agregados em classes (dados dscretos): x f d = x x d d f TOTAL 100 Σ = 160

38 Assm o DMA = = 1,6 DMA = 1,6 100 Assm de uma manera geral o desvo médo é calculado por: - dados tabulados agrupados em classes (dados contínuos): DM d f f O seu cálculo é análogo ao dos dados dscretos, devendo ncá-lo pela determnação dos pontos médos das classes, que assm representarão os valores x do conjunto de dados. 3 Ampltude Sem-Interqualítca (desvo quarlítco) É a metade da dferença entre o tercero quartl (Q 3 ) e o prmero quartl (Q 1 ). 4 Desvo Padrão (S) Q 3 Q Dq 1 É a medda de dspersão mas usada. É a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados dos desvos. d s para dados não tabulados n s d n f para dados tabulados Onde: d x X Desvo Padrão Populaconal Uma outra fórmula para o desvo padrão populaconal: 1 x s x n n s d n 1 para dados não tabulados Desvo Padrão Amostral (Mas Usado) s d f n 1 para dados tabulados Uma outra fórmula para o desvo padrão amostral: 1 x s x n 1 n

39 5 Propredades do Desvo Padrão 44 1ª) PropredadeSomando-se (ou subtrando-se) a cada elemento de um conjunto de valores uma constante arbtrára, o desvo padrão não se altera. Exemplo: X = { x 1, x, x 3, x 4, x 5 } com x = a Se somarmos (ou subtrarmos) um valor constante, o grau de dspersão permanece o mesmo e o desvo padrão, que é uma medda de dspersão, utlzará o mesmo número para med-la. X = { 6, 8, 10, 10 }, com S x = 1,9 Somando 100 a cada elemento, teremos o conjunto: Y = { 106, 108, 110, 110 }, cujo desvo padrão será o mesmo 1,9 S y = 1,9 ª)Propredade Multplcando-se (ou dvdndo-se) cada elemento de um conjunto de valores por um valor constante, arbtráro e dferente de zero, o desvo padrão fca multplcado (ou dvddo) por esta constante. Exemplo: X = {6, 8, 10, 10}, com S x = 1,9 Se multplcarmos por 10 cada elemento, teremos o conjunto: Y = {60, 80, 100, 100}, cujo desvo padrão S y será obtdo pela multplcação do desvo padrão S x por 10. Assm S y = S x = 1,9 x 10 = 19 S y = Varânca (S ) É a méda artmétca do quadrado dos desvos. d s para dados não tabulados n Varânca Populacomal d f s n para dados tabulados Onde: d x X Uma outra fórmula para varânca populaconal: 1 x s x n n

40 45 d s n 1 d f s n 1 para dados não tabulados para dados tabulados Varânca Amostral (Mas Usado) Uma outra fórmula para varânca amostral: 1 x s x n 1 n 7 Propredades da Varânca Observa-se que a 1ª propredade é dêntca à do desvo padrão, quanto à soma (ou subtração), no entanto, a ª propredade (multplcação ou dvsão) a apresenta a segunte modfcação: a varânca fca multplcada (ou dvdda) pelo quadrado da constante. 8 Dspersão Relatva Coefcente de Varação Dentre as meddas de dspersão relatva o coefcente de varação mas utlzado é o de Pearson (CV P ), que é o quocente entre o desvo padrão e a méda artmétca do conjunto de dados. S CV p X Quanto menor for este valor, mas homogêneo será o conjunto de dados. TESTES SOBRE MEDIDAS DE DISPERSÃO 1. (AFC-94) Entre os funconáros de um órgão do governo, fo retrada uma amostra de dez ndvíduos. Os números que representam as ausêncas ao trabalho regstradas para cada um deles, no últmo ano, são: 0, 0, 0,,,, 4, 4, 6, e 10. Sendo assm, o valor do desvo padrão desta amostra é: a) 3 b) 9 c) 10 d) 30. (AFC-94) Uma empresa que possu 5 máqunas copadoras regstrou em cada uma delas no últmo mês (EM 1000 UNIDADES) : 0, 3, 5, 7 e 30 cópas, respectvamente. O valor da varânca desta população é: a) 5 b) 11,6 c) 14,5 d) 5 3. (AFC-94) A méda e a varânca do conjunto dos saláros pagos por uma empresa eram de R$ ,00 e 1, respectvamente. O valor da varânca do conjunto dos saláros, após o corte de três zeros na moeda é: a) 1, b) 1, c) 1, d) 1,

41 4. (AFC-94) Seja X uma varável aleatóra com méda artmétca X =10 e desvo-padrão S=3. Consdere as varáves: y=x+1 e z=x. A únca afrmação errada é: 46 a) as varáves y e z tem a mesma méda artmétca; b) o desvo-padrão de y é 6; c) as varáves y e z têm o mesmo desvo-padrão; d) a méda de y é 1; e) as varáves x e z têm o mesmo coefcente de varação. 5. (BACEN-94) Em certa empresa, o saláro médoera de R$ ,00 e o desvo-padrão dos saláros era de R$ ,00. Todos os saláros receberam um aumento de 10%. O desvopadrão dos saláros passou a ser de: a) ,00 b) ,00 c) ,00 d) ,00 e) ,00 R: (TCU-91) Doze fchas de funconáros de uma empresa foram seleconadas ao acaso; foram anotados os números de dependentes, na ordem de seleção, a saber: 3, 0, 5,, 3, 6, 4, 1, 3,, 4, e 3. Para a varável número de dependentes, resolva a expressão: méda+moda+medana+varânca+1,5. 7. (TCU-93) O quadro abaxo apresenta a renda mensal per captã das localdades A e B: LOCALIDADE MÉDIA DESVIO-PADRÃO A B Assnale a opção correta. a) o ntervalo sem-nterquartílco é dado por [10,15]; b) a renda da localdade A é mas homogênea que a renda na localdade B; 50 c) o coefcente de varação é ; 75 d) a renda da localdade B é mas homogênea que a renda na localdade A; e) os coefcentes de varação de renda nas localdades A e B são guas. (AFC-94) Para a solução das três próxmas questões, consdere os dados da tabela abaxo que representa a dstrbução de freqüêncas das notas em uma prova de estatístca aplcada em três turmas de 100 alunos cada. Freqüênca das Notas na Prova de Estatístca Classes de Notas TURMA 01 TURMA 0 TURMA (AFC-94) Assnale a afrmação correta. a) Moda T <Moda T3; b) Méda T1 > Méda T; c) Méda T < Méda T3; d) Medana T1 < Medana T; e) Medana T > Medana T TOTAL

42 9. (AFC-94) A únca opção errada é: 47 a) 1º quartl T1 > 1º quartl T3; b) desvo-padrão T > desvo-padrão T3; c) coefcente de varação T > coefcente de varação T3; d) na turma 3: méda= medana = moda. 10. (AFC-94) A dstrbução de notas é smétrca em relação a méda artmétca: a) nas três turmas; b) nas turmas 1 e ; c) nas turmas 1 e 3; d) somente na turma 1; e) nas turmas e (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvo médo é: a),1 b),4 c),6 d) 3, e) 3,6 1. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) O desvo-padrão do conjunto de dados A={, 4, 6, 8, 10}, é aproxmadamente: a),1 b),4 c),8 d) 3, e) 3,6 8. (AFTN-98) Os dados seguntes, ordenados do menor para o maor, foram obtdos de uma amostra aleatóra, de 50 preços (X) de ações, tomada numa bolsa de valores nternaconal. A undade monetára é o dólar amercano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10,10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 1, 1, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 3 Os valores seguntes foram calculados para a amostra: X X = 490 e X = Assnale a opção que corresponde à medana e à varânca amostral, respectvamente (com aproxmação de uma casa decmal). a) (9,0 13,6) b) (9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0) 39. (TJ CE 00) Aplcando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médos das classes (x) obteve-se o desvo padrão de 1,10 saláros mínmos. Assnale a opção que corresponde ao desvo padrão dos saláros não transformados. a) 6,0 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,0 e) 3, (AFRF-000) Numa amostra de tamanho 0 de uma população de contas a receber, representadas genercamente por X, foram determnadas a méda amostral M = 100 e o desvopadrão S = 13 da varável transformada (X-00)/5. Assnale a opção que dá o coefcente de varação amostral de X. a) 3,0% b) 9,3% c)17,0% d) 17,3% e)10,0%

43 48. (AFC-94) Entre os funconáros de um órgão do governo, fo retrada uma amostra de dez ndvíduos. Os números que representam as ausêncas ao trabalho regstradas para cada um deles, no últmo ano, são: 0, 0, 0,,,, 4, 4, 6 e 10. Sendo assm, o valor do desvo padrão desta amostra é: a) 3 b) 9 c) 10 d) (FTE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvo médo é: a),1 b),4 c),6 d),8 e) 3,1 37. (FISCAL INSS - 00) Dada a seqüênca de valores 4, 4,, 7 e 3 assnale a opção que dá o valor da varânca. Use o denomnador 4 em seus cálculos. a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 39. (TJ CE 00) Aplcando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médos das classes (x) obteve-se o desvo padrão de 1,10 saláros mínmos. Assnale a opção que corresponde ao desvo padrão dos saláros não transformados. a) 6,0 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,0 e) 3, (FTE-PA-00) Um certo atrbuto W, meddo em undades apropradas, tem méda amostral 5 e desvo-padrão untáro. Assnale a opção que corresponde ao coefcente de varação, para a mesma amostra, do atrbuto Y = 5 + 5W. a) 16,7% b) 0,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,% 40. (AFRF 003) O atrbuto Z=(X-)/3 tem méda amostral 0 e varânca amostral,56. Assnale a opção que corresponde ao coefcente de varação amostral de X. a) 1,9% b) 50,1% c) 7,7% d) 31,% e) 10,0% 9 Assmetra Estuda a forma do gráfco de uma dstrbução. Esta forma depende dos valores da méda e moda. Assm, em uma dstrbução em forma de sno, temos: Méda Moda = 0 assmetra nula ou smétrca

44 Méda Moda > 0 assmetra postva ou assmétrca à dreta 49 Méda Moda < 0 assmetra negatva ou assmétrca à esquerda 9 Coefcentes de Assmetra: Índce Quartílco de assmetra Q As 3 Q1 md Q Q 3 1 Índce Percentílco de assmetra As P 90 P10. P 90 P 10 P 50 1º coefcente de Pearson A X Mo S 3( x Md) º coefcente de Pearson As S Se 0,15 As 1, a assmetra é consderada moderada; se As>1, é consderada forte. As = 0 a assmetra é nula As > 0 a assmetra é postva As < 0 a assmetra é negatva No segundo coefcente de Pearson observa-se anda que: Se X = Md a assmetra é nula, ou seja, a curva é smétrca. Se x > Md a assmetra é postva, ou seja, a curva é assmétrca à dreta. Se x < Md a assmetra é negatva, ou seja, a curva é assmétrca à esquerda.

45 10 Curtose: 50 Denomnamos curtose o grau de achatamento de uma dstrbução em relação a uma dstrbução padrão, denomnada curva normal. Quando a dstrbução apresenta uma curva de freqüênca mas fechada que a normal, ela recebe o nome de Leptocúrtca. Quando a dstrbução apresenta uma curva de freqüênca mas aberta que a normal, ela recebe o nome de Platcúrtca. Quando a dstrbução apresenta uma curva de freqüênca normal, ela recebe o nome de Mesocúrtca. 11 Coefcente de Curtose: Q3 Q1 C ou ( P90 P10) Assm temos: Se C = 0,63 curva mesocúrtca; Se C < 0,63 curva leptocúrtca; Se C > 0,63 curva platcúrtca. C Q3 Q1 ( D D ) 9 1

46 TESTES SOBRE ASSIMETRIA E CURTOSE (TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clentes de um supermercado forneceram os seguntes sumáros: méda artmétca=$1,0, medana=$0,53 e moda=$0,5. Com base nestas nformações, assnale a opção correta: a) A dstrbução é assmétrca à dreta. b) A dstrbução é assmétrca à esquerda. c) A dstrbução é smétrca. d) Entre os três ndcadores de posção apresentados, a méda artmétca é a melhor medda de tendênca central. e) O segundo quartl dos dados acma é dado por $0, (AFRF-00) Entende-se por curtose de uma dstrbução seu grau de achatamento em geral meddo em relação à dstrbução normal. Uma medda de curtose é dada pelo quocente onde Q é a metade da dstânca nterquartílca e P90 e P10 representam os percents de 90% e 10%, respectvamente. Assnale a opção que dá o valor da curtose ê para a dstrbução de X. a) 0,63 b) 0,50 c) 0,300 d) 0,4 e) 0, (FISCAL DO INSS-00) A tabela abaxo dá a dstrbução de freqüêncas de um atrbuto X para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5. Não exstem observações concdentes com os extremos das classes. Sabe-se que o desvo padrão da dstrbução de X é aproxmadamente 10. Assnale a opção que dá o valor do coefcente de assmetra de Pearson que é baseado na méda, na medana e no desvo padrão. a) -0,600 b) 0,191 c) 0,709 d) 0,603 e) -0,610

47 5 51. (FISCAL DO INSS-00) Consdere a tabela de freqüêncas segunte correspondente a uma amostra da varável X. Não exstem observações concdentes com os extremos das classes. Assnale a opção que corresponde ao valor do coefcente de assmetra percentílco da amostra de X, baseado no 1º, 5º e 9º decs. a) 0,04 b) 0,300 c) 0,010 d) -0,300 e) -0, (AFRF-00.) Para a solução da próxma questão utlze o enuncado que segue. O atrbuto do tpo contínuo X, observado como um ntero, numa amostra de tamanho 100 obtda de uma população de 1000 ndvíduos, produzu a tabela de freqüêncas segunte: Assnale a opção que dá o valor do coefcente quartílco de assmetra. a) 0,080 b) -0,06 c) 0,000 d) -0,095 e) 0, (AFRF-00) Em um ensao para o estudo da dstrbução de um atrbuto fnancero (X) foram examnados 00 tens de natureza contábl do balanço de uma empresa. Esse exercíco produzu a tabela de freqüêncas abaxo. A coluna Classes representa ntervalos de valores de X em reas e a coluna P representa a freqüênca relatva acumulada. Não exstem observações concdentes com os extremos das classes. Seja S o desvo padrão do atrbuto X. Assnale a opção que corresponde à medda de assmetra de X como defnda pelo prmero coefcente de Pearson. a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0

48 NÚMEROS ÍNDICES Conceto Os números índces (ou apenas índces) são ndcadores que medem alterações entre grandezas do mesmo tpo ou varações entre grandezas dferentes e aplcam-se no campo da produção, evolução dos preços, custo de vda, saláros, regstos demográfcos, etc. Como medem varações no tempo e no espaço, permtem sntetzar e apresentar de forma efcaz a natureza das alterações numa ou váras varáves, sendo mas fácl dentfcar flutuações referentes a sub-períodos que se repetem ao longo do tempo. Os números índces podem ser usados para város propóstos tas como para medr as varações de preços de bens de consumo, a quantdade físca de mercadoras produzdas ou venddas; ou podem relaconar-se à concetos tas como produtvdade, efcênca ntelgênca entre outras. - Índce relatvo É a relação entre o preço de uma únca utldade, em período determnado, e o de outro período, denomnado básco ou de referênca..1- Índce relatvo Smples Representado por 0 o período base e por n o período atual temos: p Relatvo de preços: Ip n 100 p q Relatvo de quantdades Iq n 100 q pn qn Relatvo de Valor Iv 100 p q Onde: p 0 = preço no período base p n = preço no período atual (período que se deseja o índce) q 0 = quantdade no período base q n = quantdade no período atual (período que se deseja o índce) Exemplo1: O preço de certo produto, em 1998, era de R$ 1,00, em 000 era de R$ 13,80. Tomando como base o ano de 1998, calcule o índce relatvo de aumento de preço para o ano de 000. Ip p p n 0 13, , % 1,00 Portanto houve um aumento de 15%

49 54 Exenplo: Uma empresa produzu 45 toneladas de aço em 1998, e 68 toneladas em qual a quantdade relatva em 1999? q 68 Iq n , % q 0 45 Portanto houve um aumento na produção de 51% com relação a Exemplo3: Uma empresa vendeu, em 1970, 1000 undades de um artgo ao preço untáro de Cr$ 500,00. Em 1971 vendeu 000 undades do mesmo artgo ao preço untáro de Cr$ 600,00.O valor relatvo da venda em 1971 fo: Iv , Em 1971, o valor das vendas fo 140% superor ao de Propredade Crcular: I 0, T I0,1 I1, I,3 I3,4... I T 1, T Ex.: Um artgo fo venddo em feverero com um acréscmo de 10% em relação a janero, em março com acréscmo de 5% em relação a feverero, e em abrl com uma queda de 4% em relação a março.calcule o percentual de preço em abrl referente a janero. I jan, abr I jan, fev I fev, mar Imar, abr 1,1. 1,05. 0,96 1,1088 ou seja 110,88% Reversão do Fatores: É quando o índce de preço vezes ( ) o índce de quantdade é gual ao índce de valor. Pt Qt Pt Qt Vt Ip Iq Iv Po Qo Po Qo Vo OBS.: A reversão de fatores não se aplca aos índces agregatvos ponderados de Laspeyre e Paasche. Mudança de Base: Dvdmos cada índce da sére orgnal pelo número índce da nova base. Esse processo nos dá uma aproxmação bastante satsfatóra. Ex.: Índce Base Mudar a base para 1960: Solução: É só dvdr todos os índces por 11 (índce da nova base)

50 3 Emprego da Méda Artmétca Smples 55 De relatvo de preços: p0, t P0, t n pt Onde: p0, t p e n = número de preços 0 0 De relatvo de quantdade: q0, t Q0, t n qt Onde: q0, t q e n = número de quantdade 4 Emprego da Méda Harmônca Smples De relatvo de preços: P h 0, t n 1 p0, t De relatvo de quantdade: Q h 0, t n 1 q0, t 5 Emprego da Méda Geométrca Smples g De relatvo de preços: 0, t p P 0, t g De relatvo de quantdade: 0, t q Q 0, t 6 EMPREGO DE ÍNDICES (AGREGATIVOS) PONDERADOS Como vmos, os índces smples apresentam algumas desvantagens, em especal à se refere à nexstênca de pesos dferentes para cada utldade que os compõe de acordo com sua mportânca relatva. No caso dos índces ponderados, além da fórmula a ser usada para nterpretar as varações de preço e de quantdade dos bens, há o problema do crtéro para a fxação dos pesos relatvos de cada um deles. A ponderação proposta pelos métodos mas usados basea-se na partcpação de

51 56 cada bem no valor transaconado total e é feta, em geral, segundo dos crtéros: peso fxo na época básca ou peso varável na época atual Índce de Laspeyres ou Método da época Básca De preço: L p 0, t pt q p q De quantdade: L q 0, t p0q p q 0 t Índce de Paasche ou Método da Época Atual De preço: P p 0, t pt qt p q 0 t De quantdade: P q 0, t qt pt q p 0 t Veja o exemplo a segur: Consderando 1970 como base,determnar um índce de preço e de quantdade, usando o índce de Laspeyres e Paasche. Solução: Artgos Preço Qtde Preço Qtde A 4 5 B C Laspeyres: p p71q70 (.4) (4.3) (6.) 3 Índce de Preço: L 0, t 1, 185 p q (.4) (3.3) (5.) ou 118,5% Isto sgnfca que houve uma varação no preço de 18,5% no decorrer desses anos. q p70q71 (5.) (.3) (5.5) 41 Índce de Quantdade: L 0, t 1, 518 p q (.4) (3.3) (5.) ou 151,8% Isto sgnfca que houve uma varação na quantdade de 51,8% no decorrer desses anos.

52 Paasche: 57 p p71q71 (.5) (4.) (6.5) 48 Índce de Preço: P 0, t 1, 171 p q (.5) (3.) (5.5) ou 117,1% Isto sgnfca que houve uma varação no preço de 17,1% no decorrer desses anos. q q71p71 (.5) (4.) (6.5) 48 Índce de Quantdade: P 0, t 1, 777 q p (4.) (3.4) (.6) ou 177,7% Isto sgnfca que houve uma varação na quantdade de 77,7% no decorrer desses anos Índce de Fscher (Índce Ideal) O índce de Fscher, também conhecdo corno forma deal, é a méda geométrca dos números-índces de Laspeyres e de Paasche. Sob o aspecto da ponderação, esse índce envolve os dos sstemas anterormente adotados. A proposta de Fscher fundamenta-se no fato de os índces que o compõem não atenderem ao crtéro de decomposção das causas, além de um deles tender a superestmar e o outro a subestmar o verdadero valor do índce. Esse verdadero valor tenderá a ser um número superor ao fornecdo pela fórmula de Paasche e nferor ao apresentado pela fórmula de Laspeyres, o que acontece com a méda geométrca entre esses dos índces. Entretanto, o índce de Fscher, apesar de ser chamado de deal, nsso pode ser consderado "perfeto". A necessdade de modfcar pesos, em dada época comparada, em decorrênca do cálculo do índce de Paasche, consttu uma restrção não desprezível ao seu emprego. Além dsso, não parece ser possível determnar especfcamente o que o índce de Fscher mede, bem como estabelecer o verdadero valor de um Índce perfeto, o qual servra de elemento de referênca. p p p Índce de Preço: I 0, t L 0, t P 0, t q q q Índce de Quantdade: I 0, t L 0, t P 0, t Com base no exemplo anteror vamos calcular o índce deal (Fscher) de preço e de quantdade: p Índce de Preço: I 0, t 1,1851,171 1, , 178 ou 117,8% Isto sgnfca que houve uma varação no preço de 17,8% no decorrer desses anos. q Índce de Quantdade: I 0, t 151,8 177,8 6990,04 164,8% Isto sgnfca que houve uma varação na quantdade de 64,8% no decorrer desses anos.

53 TESTES SOBRE NÚMEROS ÍNDICES (AFRF-003) Dadas as três séres de índces de preços abaxo, assnale a opção correta. a) As três séres mostram a mesma evolução de preços. b) A sére S mostra evolução de preços dstnta das séres S1 e S3. c) A sére S3 mostra evolução de preços dstnta das séres S1 e S. d) A sére S1 mostra evolução de preços dstnta das seres S e S3. e) As três séres não podem ser comparadas pos têm períodos-base dstntos. 55. (AFTN-1998) A tabela segunte dá a evolução de um índce de preço calculado com base no ano de No contexto da mudança de base do índce para 1981 assnale a opção correta: a) Basta dvdr a sére de preços pela méda entre 0,75 e 1,00 b) Basta a dvsão por 0,75 para se obter a sére de preços na nova base c) Basta multplcar a sére por 0,75 para se obter a sére de preços na nova base d) O ajuste da base depende do método utlzado na construção da sére de preços, mas a dvsão por 0,75 produz uma aproxmação satsfatóra. e) Basta multplcar a sére de preços pela méda entre 0,75 e 1,00 Para efeto das duas próxmas questões, consdere os seguntes dados: 5. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índces de Laspeyres de preços, no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de a) 100,0; 141,; 19,5 d) 100,0; 14,3; 193,3 b) 100,0; 141,4; 19,8 e) 100,0; 14,8; 193,7 c) 100,0; 141,8; 193,1 53. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índces de Paasche de preços, no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de a) 100,0; 141,3; 19,3 d) 100,0; 14,0; 193,3 b) 100,0; 141,6; 19,5 e) 100,0; 14,4; 193,6 c) 100,0; 141,8; 19,7