Abordagens para problemas de carregamento de contêineres com considerações de múltiplos destinos

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1 Gest. Prod., São Carlos, v. 18, n. 2, p , 2011 Abordagens para problemas de carregamento de contêneres com consderações de múltplos destnos Approaches for contaner loadng problems wth mult-drop consderatons Leonardo Junquera 1 Renaldo Morabto 1 Dense Sato Yamashta 1 Resumo: Neste trabalho, apresentamos um modelo de programação lnear ntera msta 0-1 e abordagens baseadas neste modelo para tratar problemas de carregamento de caxas retangulares dentro de um contêner ou camnhão, consderando restrções prátcas de múltplos destnos. Em partcular, estamos nteressados apenas no arranjo da carga dentro do camnhão, assumndo que o rotero que este deve percorrer já é conhecdo a pror e que a carga cabe dentro dele. O objetvo, portanto, é determnar o melhor padrão de empacotamento, garantndo que as caxas não se sobreponham umas às outras dentro do camnhão e consderando a ordem em que elas devem ser descarregadas, sem que para sso seja necessáro um manuseo adconal. Testes computaconas com as abordagens propostas foram realzados utlzando o aplcatvo GAMS/CPLEX e exemplos gerados a partr de dados aleatóros e exemplos da lteratura. Os resultados mostraram que o modelo e as abordagens são coerentes e representam adequadamente as stuações tratadas, embora estejam lmtados a resolver otmamente apenas problemas de tamanho bem moderado. No entanto, o modelo e as abordagens podem ser útes para motvar pesqusas futuras para tratar problemas maores e mas realstas na prátca, assm como para tratar o caso combnado deste problema com o problema de roteamento e programação de veículos. Palavras-chave: Problemas de corte e empacotamento. Carregamento de contêneres com múltplos destnos. Otmzação combnatóra. Modelagem matemátca. Abstract: In ths paper, we present a 0-1 mxed nteger lnear programmng model and approaches based on ths model to solve problems of pacng rectangular boxes nsde a contaner or a truc. In partcular, we are only nterested n the arrangement of the cargo nsde the truc. We assume that the route of the truc s already nown n advance and that the cargo fts nsde the truc. Therefore, the objectve s to fnd the best loadng pattern ensurng that the boxes do not overlap each other nsde the truc and consderng the sequence that they must be unloaded n order to avod addtonal handlng. Computatonal tests wth the proposed approaches were performed usng the software GAMS/CPLEX wth randomly generated nstances and nstances from the lterature. The results show that the model and the approaches are consstent and properly represent the stuatons treated although lmted to optmally solve only problems of a moderate sze. However, the model and the approaches can be useful to motvate future research to solve larger and more realstc problems n practce, as well as to solve the coupled vehcle routng and contaner loadng problem. Keywords: Cuttng and pacng problems. Contaner loadng wth mult-droppng. Combnatoral optmzaton. Mathematcal modelng. 1 Introdução Os problemas de carregamento de contêneres devem satsfazer bascamente duas consderações: ) as caxas devem ser empacotadas completamente dentro do contêner; e ) as caxas empacotadas não devem se sobrepor, sto é, não devem ocupar um mesmo lugar dentro do contêner. Os prmeros trabalhos a tratar problemas de carregamento de contêneres tnham como meta contemplar estas duas consderações (GEORGE; ROBINSON, 1980; HAN; KNOTT; EGBELU, 1989; BISCHOFF; MARRIOTT, 1990; HAESSLER; TALBOT, 1990; DOWSLAND, 1991). Outros estudos são encontrados em Morabto e Arenales (1994, 1997), Lns, Lns e Marabto (2002), Myazawa e Waabayash (1999), Slva e Soma (2003), 1 Departamento de Engenhara de Produção, Unversdade Federal de São Carlos UFSCar, Rod. Washngton Lus, Km 235, CEP , Monjolnho, São Carlos SP, E-mals: leo_junquera@yahoo.com; morabto@ufscar.br; densesy@dep.ufscar.br Recebdo em 21/10/2009 Aceto em 14/11/2010 Suporte fnancero: FAPESP, CNPq.

2 266 Junquera et al. Gest. Prod., São Carlos, v. 18, n. 2, p , 2011 Ceclo e Morabto (2004) e Araujo e Armentano (2007). No entanto, com o avanço das pesqusas, outras consderações (exgêncas) prátcas também passaram a ter um apelo maor ao tratar estes problemas. Bschoff, Ratclff (1995) apresentam doze exgêncas prátcas que podem ser levadas em consderação quando se deseja modelar problemas de carregamento de contêneres mas realstas. Consderações tas como establdade, emplhamento, fragldade, múlt plos destnos, lmte de peso, dstrbução de peso dentro do contêner, entre outras, são muto comuns e mportantes na prátca. Em trabalho recente, Junquera et al. (2010) apresentaram modelos de programação lnear ntera 0-1 para tratar problemas de carregamento de contêneres, consderando restrções de establdade e de emplhamento do carregamento. Os modelos também podem ser utlzados para problemas trdmensonas de carregamento de caxas retangulares sobre paletes, em que as caxas não precsam ser arranjadas em camadas horzontas sobre o palete. Neste trabalho, estamos nteressados em tratar problemas de carregamento de um contêner ou camnhão com consderações de múltplos destnos, além de establdade do carregamento. Nestes problemas, caxas a serem entregues para dferentes clentes (destnos) devem ser posconadas próxmas umas das outras dentro do camnhão (como é mas comum na prátca) e devem ser carregadas de modo a consderar o rotero a ser percorrdo pelo camnhão e a ordem em que elas serão descarregadas. Não exstem mutos trabalhos na lteratura que tratam problemas de carregamento de contêneres consderando múltplos destnos. Exemplos aparecem em Bschoff, Ratclff (1995), Schethauer et al. (1996), La et al. (1998), Terno et al. (2000), Jn et al. (2004), Moura, Olvera (2005, 2009), Araujo (2006), Ln et al. (2006), Gendreau et al. (2006), Ior et al. (2007), Campos (2008), Chrstensen, Rousøe (2009) e Moura, Bortfeldt (2009). Bschoff, Ratclff (1995) foram os prmeros autores a tratar a questão dos múltplos destnos. Eles propõem uma heurístca que vsa construr padrões de carregamento densos, em que as caxas são carregadas uma a uma, obedecendo a um esquema de ordenação baseado em quatro crtéros, sendo um prncpal e três para desempate. O crtéro prncpal selecona a caxa com maor potencal de utlzação do espaço, e favorece a construção de plhas de caxas do mesmo tpo. O prmero crtéro de desempate selecona a caxa com menor proemnênca ao longo do comprmento e favorece a construção de uma frente de carregamento homogênea. O segundo crtéro de desempate selecona a caxa com maor volume e favorece o carregamento o mas cedo possível das caxas maores. E, por fm, o tercero crtéro de desempate selecona a caxa para ocupar o espaço vazo com menor coordenada ao longo da largura do contêner. Os autores apresentam resultados computaconas para centenas de exemplos gerados aleatoramente, nos quas fca comprovada a efcênca da heurístca, tanto para tratar o problema com múltplos destnos, quanto para tratar o problema apenas com restrções volumétrcas. Em trabalho mas recente, Chrstensen, Rousøe (2009) propõem uma heurístca baseada em uma estrutura de busca em árvore, em que cada nó da árvore corresponde a uma caxa, e soluções gulosas são utlzadas para avalar cada escolha feta. Em partcular, uma determnada caxa pode ocupar qualquer espaço vazo dentro do camnhão, desde que haja um acesso até ela na desova do seu destno. Além dsso, caso não haja espaço dsponível sufcente para empacotar todas as caxas de todos os destnos, é permtdo que algumas caxas sejam eventualmente dexadas de fora do carregamento. Os autores apresentam resultados computaconas para oto exemplos baseados no caso real de dstrbução de materas de construção de uma companha dnamarquesa, além de outros nove exemplos gerados aleatoramente com base nos exemplos do caso real. Os resultados computaconas mostram que a heurístca é promssora para tratar exemplos reas e que ela possu desempenho comparável aos de outros métodos da lteratura que se propuseram a tratar o problema apenas com restrções volumétrcas. Consderações de múltplos destnos podem ser tratadas de duas maneras: na prmera, assume-se que o rotero que o camnhão deve percorrer já é conhecdo a pror, restando apenas encontrar o melhor arranjo da carga dentro do camnhão; na segunda, o rotero anda não está defndo, o que leva a uma abordagem combnada do roteamento dos camnhões com o arranjo da carga dentro deles. Neste trabalho, em partcular, estamos nteressados na prmera stuação, em que se supõe que a carga cabe dentro do camnhão, e o objetvo do problema é bascamente determnar o melhor padrão de empacotamento, garantndo que as caxas não se sobreponham umas às outras dentro do camnhão e consderando a ordem em que elas serão descarregadas, sem que para sso seja necessáro um manuseo adconal. Conforme menconado, nosso objetvo neste trabalho é apresentar um modelo de programação lnear ntera msta 0-1 e abordagens baseadas neste modelo para tratar problemas de carregamento de um contêner ou camnhão, consderando restrções prátcas de múltplos destnos. Não temos conhecmento de outros trabalhos que apresentaram uma formulação matemátca consderando explctamente restrções de establdade do carregamento e de carga fraconada em múltplos destnos. O modelo e as abordagens podem ser faclmente estenddos para consderar

3 Abordagens para problemas de carregamento de contêneres com consderações de múltplos destnos 267 outras restrções, tas como emplhamento, fragldade e lmte de peso. Para verfcar a coerênca do modelo e das abordagens e analsar seus desempenhos computaconas, eles foram codfcados na lnguagem de modelagem GAMS e resolvdos utlzando-se o aplcatvo CPLEX. Este trabalho está organzado da segunte manera. Na Seção 2, descrevemos resumdamente problemas de carregamento de contêneres que consderam carga fraconada em múltplos destnos. Na Seção 3, apresentamos um novo modelo matemátco para estes problemas, consderando o rotero do veículo como defndo a pror e, adconalmente, a establdade do carregamento. Na Seção 4, apresentamos algumas abordagens de solução baseadas no modelo apresentado na Seção 3. Na Seção 5, analsamos os resultados dos testes computaconas com as abordagens propostas, utlzando o aplcatvo GAMS/CPLEX e exemplos gerados a partr de dados aleatóros e alguns exemplos da lteratura. Fnalmente, na Seção 6, dscutmos as conclusões deste trabalho e algumas perspectvas para pesqusa futura. 2 Descrção do problema A carga fraconada em múltplos destnos trata stuações em que um contêner (ou camnhão, como é mas comum na prátca) está carregado com caxas com produtos encomendados por dferentes clentes (destnos), que estão espalhados por uma regão. O camnhão deve então percorrer um rotero de entrega, sando de um depósto (onde ele é carregado) e passando pelos dferentes destnos. Em cada destno, as caxas com produtos encomendados por aquele clente devem ser descarregadas. Após realzar todas as entregas, o camnhão pode retornar, vazo, para o depósto. A questão que surge é como planejar o carregamento do camnhão de modo a consderar, na medda do possível, a ordem em que as caxas devem ser descarregadas, para evtar desperdícos de tempo descarregando e recarregando as caxas dos destnos remanescentes. A Fgura 1 lustra um camnhão que parte (carregado) de um depósto e é descarregado ao longo de cnco destnos (ndcados pelas dferentes cores de caxas), retornando (vazo) para o depósto de partda (sto é, o rotero depósto depósto). Fgura 1. Camnhão sendo descarregado ao longo de cnco destnos.

4 268 Junquera et al. Gest. Prod., São Carlos, v. 18, n. 2, p , 2011 Note que este problema, nversamente, pode ser vsto como o problema de um camnhão de coleta que sa do depósto vazo, e, em cada destno do seu rotero, as caxas são carregadas dentro do camnhão sem descarregar as caxas já carregadas dos destnos anterores do rotero. Note que o rotero de coleta é o nverso do rotero de entrega (sto é, o rotero depósto depósto na Fgura 1). A Fgura 2 lustra um camnhão carregado com caxas de cnco dferentes destnos (ndcados pelas dferentes cores de caxas). As caxas devem ser descarregadas conforme seqüênca já lustrada na Fgura 1. Note que se as caxas forem carregadas como lustrado na Fgura 2 à esquerda, provavelmente se ncorrerá em desperdícos de tempo na desova dos destnos, pos algumas caxas precsarão ser descarregadas e posterormente recarregadas. Neste caso, um smples rearranjo das mesmas caxas dentro do camnhão, como lustrado na Fgura 2 à dreta, é capaz de evtar que desperdícos de tempo ocorram na desova dos destnos. 3 Modelo matemátco consderando carga fraconada em múltplos destnos Consdere um camnhão com carrocera de comprmento L, largura W e altura H, que deve percorrer um rotero com n destnos. Para cada destno ( = 1,..., n), tem-se que b caxas, de um total de b caxas do tpo ( = 1,..., m), com comprmento l, largura w e altura h, devem ser carregadas (descarregadas) no camnhão (note que se pode ter b = 0 para algum e ). Admte-se que as dmensões das caxas são números nteros, que elas só podem ser empacotadas ortogonalmente (sto é, com os seus lados paralelos aos lados do camnhão), e que as suas orentações são fxas (sto é, as caxas não podem grar em torno de nenhum de seus exos). Esta últma suposção pode ser faclmente relaxada no modelo, e é aqu mantda apenas por smplcdade de apresentação das formulações. Convém notar que = 1 se refere ao conjunto de caxas que são carregadas prmero e descarregadas por últmo. Consequentemente, = n se refere ao conjunto de caxas que são carregadas por últmo e descarregadas prmero. Adotando-se um sstema de coordenadas cartesanas com orgem no canto nferor frontal esquerdo do camnhão, seja (p, q, r) a posção em que o canto nferor frontal esquerdo de uma determnada caxa é colocado. As possíves posções, ao longo do comprmento L, da largura W e da altura H do camnhão, em que cada caxa pode ser colocada, podem ser defndas por meo dos conjuntos: X = { p 0 p L mn (l ) e ntero, = 1,...,m} Y = {q 0 q W mn (w ) e ntero, = 1,...,m} Z = {r 0 r H mn (h ) e ntero, = 1,...,m} (1) (2) (3) Herz (1972) e Chrstofdes e Whtloc (1977) observaram que, em um dado padrão de empacotamento (ou de corte), cada caxa empacotada pode ser movda para baxo e/ou para frente e/ou para esquerda, até que sua face nferor, lateral da frente e lateral esquerda fquem adjacentes às demas caxas ou ao própro camnhão. Estes padrões, chamados padrões normas ou combnações côncas, permtem reduzr os conjuntos X, Y e Z para: X = {p p= εl, m = 1 0 p L mn (l ), 0 ε b e ntero, = 1,...,m} (4) Fgura 2. Exemplos de carregamentos com e sem manuseo adconal.

5 Abordagens para problemas de carregamento de contêneres com consderações de múltplos destnos 269 Y = {q q = εw, m = 1 0 q W mn (w ), 0 ε b e ntero, = 1,...,m} m Z = {r r = = 1 ε h, 0 r H mn (h ), 0 ε b e ntero, = 1,...,m} Sejam anda os subconjuntos defndos como a segur: X = {p X 0 p L l } (7) = 1,...,m Y = {q Y 0 q W w } = 1,...,m Z = {r Z 0 r H h } = 1,...,m (5) (6) (8) (9) Defne-se a [0,1] como o parâmetro de establdade em relação ao exo z (ou parâmetro de establdade vertcal). Este parâmetro é comum na lteratura de carregamento de contêneres (ELEY, 2002) e ndca o percentual de establdade vertcal que se deseja para todas as caxas. Em um extremo, a = 1 ndca que as faces nferores de todas as caxas devem estar 100% suportadas pelas faces superores de uma ou mas caxas colocadas medatamente abaxo delas (ou pelo pso do camnhão), e, no outro extremo, a = 0 ndca que não há exgêncas quanto à establdade das caxas em relação ao exo z (por exemplo, as caxas podem estar apenas parcalmente apoadas, ou mesmo flutuando dentro do camnhão). Seja anda o parâmetro δ [0, L], relatvo ao alcance do operador responsável por fazer o carregamento do camnhão. Defnmos este parâmetro como uma função da dmensão de comprmento, uma vez que o carregamento e o descarregamento do camnhão são fetos no seu sentdo longtudnal. Estando as caxas de um determnado destno carregadas dentro do camnhão, as caxas do próxmo destno podem ser carregadas aprovetando espaços vazos eventualmente crados pelas caxas de destnos anterores. Isto é, este parâmetro ndca o quanto, para além da frontera natural entre as caxas dos dferentes destnos, o operador pode adentrar para arranjar uma caxa. A Fgura 3 lustra à esquerda esta frontera natural (em tracejado) dexada por caxas de um destno anteror ( 1). A partr desta frontera, é permtdo ao operador adentrar até δ undades para carregar caxas do próxmo destno (). Por sua vez, as caxas do próxmo destno (), uma vez carregadas, dexam uma nova frontera natural, até δ undades, além da qual, caxas de um próxmo destno poderam ser empacotadas (Fgura 3 à dreta). O uso deste parâmetro é de partcular mportânca na prátca para ajudar a preservar a ntegrdade da carga, pos ele evta que o operador se apoe ou mesmo suba nas caxas de destnos anterores (já arranjadas) para colocar ou retrar alguma caxa do próxmo destno, o que podera acarretar alterações na forma da embalagem protetora e, consequente, possível avara dos produtos dentro dela. Note anda que este parâmetro também pode ser representatvo do alcance do braço do operador, ou mesmo de algum equpamento utlzado para carregar/descarregar as caxas, como uma paletera, por exemplo. Sejam as varáves de decsão x pqr defndas como: x pqr 1, se uma caxa do tpo pertencente ao destno é empacotada com seu canto nferor frontal esquerdo na = posção ( pqr,, ), tal que 0 p L l, 0 q W w e 0 r H h; 0, caso contráro. Fgura 3. Alcance máxmo do operador.

6 270 Junquera et al. Gest. Prod., São Carlos, v. 18, n. 2, p , 2011 Sejam anda as varáves de decsão L relatvas ao comprmento necessáro para empacotar todas as caxas dos destnos 1, 2,...,, e M um número sufcentemente grande. O problema de carregamento de caxas dentro de um únco camnhão, consderando a establdade do carregamento e a carga fraconada em múltplos destnos, pode ser formulado como uma extensão dreta do modelo de programação lnear ntera 0-1 proposto em Junquera, Morabto e Yamashta (2010), denomnado pelos autores de modelo base: mn L (10) Sujeto a: m n = 1 = 1{p X s l+ 1 p s} xpqr {q Y t w+ 1 q t}{r Z u h+ 1 r u} s X,t Y,u Z { j = 1,...,m r h j 0} ' = 1 { p' X j p l j+ 1 p' p+ l 1} {q' Y j q wj+ 1 q' q+ w 1} L xpqr = p XqYr Z = 1,...,m, = 1,...,n [ 1] [ 1] j Wj x j' p' q'(r h j ) al w x pqr [ 1] Lj = mn(p+ l, p' + l' j ) max(p, p') com W [ 1] j = mn(q+ w,q' + w j) max(q,q') = 1,...,m, = 1,...,n p X,q Y,r Z \{ 0} (p + l ) x L' pqr ' n b = 1,...,m, = 1,...,n p X,q Y,r Z L' 1 δ p x pqr + ( 1 x pqr ) M = 1,...,m, = 2,...,n p X,q Y,r Z 1 (11) (12) (13) (14) (15) L' 1 L' = 2,...,n (16) L' 0 = 1,...,n (17) x { 01, } = 1,...,m, = 1,...,n pqr p X,q Y,r Z (18) em que X, Y, Z, X, Y e Z são defndos conforme (4)-(9). No modelo (10)-(18), a função objetvo (10) vsa mnmzar o comprmento necessáro para empacotar todas as caxas dos n destnos; as restrções (11) garantem que não haja sobreposção entre as caxas dentro do camnhão; as restrções (12) garantem que o número de réplcas da caxa do tpo seja gual ao valor b requerdo pelo destno (clente) (em que n = 1b = b ); as restrções (13) garantem que uma fração mínma a das faces nferores de todas as caxas deve estar suportada pelas faces superores de uma ou mas caxas colocadas medatamente abaxo delas (note nesta restrção que as caxas de um determnado destno devem ser empacotadas ou sobre caxas do mesmo destno ou sobre caxas de destnos anterores, para que não se comprometa o manuseo das caxas); as restrções (14) garantem que as caxas do destno não termnem de ser empacotadas além do comprmento necessáro L ; as restrções (15) garantem que as caxas do destno não comecem a ser empacotadas δ undades aquém do comprmento necessáro L 1 ; as restrções (16) garantem que o comprmento necessáro para empacotar as caxas do destno 1 não esteja além do comprmento mínmo necessáro para empacotar as caxas do destno ; e as restrções (17) e (18) defnem o domíno das varáves de decsão. É mportante notar que o modelo (10)-(18) tem perda de generaldade quando se consdera a < 1 e são utlzados os conjuntos (4)-(6). Convém observar que o modelo (10)-(18) envolve m n = 1= 1 X Y Z varáves bnáras mas n varáves reas, além de X. Y. Z + m. n + m n = 1= 1 X Y ( Z 1) + m n = 1= 1 X Y Z m n X Y Z + n 1 restrções. + = 1 = 2 4 Abordagens consderando carga fraconada em múltplos destnos Com base no modelo (10)-(18) apresentado na Seção 3, podemos desenvolver algumas abordagens para tratar problemas de carregamento de contêneres consderando dferentes stuações de carga fraconada em múltplos destnos. Em partcular, estas stuações estão dretamente relaconadas ao parâmetro δ, relatvo ao alcance do operador responsável por fazer o carregamento do camnhão. Para as abordagens propostas, admte-se que o camnhão tem um comprmento sufcentemente grande para empacotar todas as caxas de todos os destnos. Convém aqu observar que as abordagens propostas em 4.1 e 4.2 são abordagens exatas, enquanto a abordagem proposta em 4.3 é uma abordagem heurístca. Portanto, a não obtenção de soluções factíves nos dos prmeros casos

7 Abordagens para problemas de carregamento de contêneres com consderações de múltplos destnos 271 mplca que o problema orgnal não tem solução, enquanto no tercero caso mplca que algumas caxas precsaram ser dexadas de fora do carregamento, ou que um camnhão maor precsara ser alocado para receber o carregamento. 4.1 Caso em que δ = 0 Esta stuação representa um prmero caso extremo, em que não é permtdo ao operador adentrar para além da frontera natural entre as caxas dos dferentes destnos, sto é, o operador não pode aprovetar nenhum dos espaços vazos eventualmente crados pelas caxas de destnos anterores para empacotar as caxas do próxmo destno. Isto nos permte decompor, sem perda de generaldade, o problema (10)-(18) de mnmzar o comprmento necessáro para empacotar todas as caxas de todos os n destnos, em n problemas ndependentes. Cada um destes problemas consste em mnmzar o comprmento necessáro para empacotar todas as caxas de cada destno, e a solução fnal obtda é uma composção das n soluções ótmas. Note que esta abordagem, embora não aprovete os espaços vazos eventualmente crados, faclta o manuseo das caxas na desova dos destnos. Pelo fato do problema poder ser decomposto, é possível redefnr as possíves posções (1), (2) e (3), ao longo do comprmento L, da largura W e da altura H do camnhão, onde cada caxa pode ser colocada, agora para cada destno, por meo dos conjuntos: X = { p 0 p L mn (l ) e ntero, M } = 1,...,n Y = {q 0 q W mn (w ) e ntero, M } = 1,...,n Z = {r 0 r H mn (h ) e ntero, M } = 1,...,n (19) (20) (21) em que M = { = 1,..., m b > 0}, sto é, o subconjunto de tpos de caxas que devem ser descarregadas no destno. Estes subconjuntos podem ser reduzdos, sem perda de generaldade, aos padrões normas ou combnações côncas: X = {p p= M ε l, 0 p L mn (l ), 0 ε b (22) e ntero, M } = 1,...,n Y = {q q = εw, M 0 q W mn (w ), 0 ε b e ntero, M } = 1,...,n (23) Z = {r r = M ε h, 0 r H mn (h ), (24) 0 ε b e ntero, M } = 1,...,n Sejam anda os conjuntos defndos como a segur: X = {p X 0 p L l } (25) M, = 1,...,n Y = {q Y 0 q W w } M, = 1,...,n (26) Z = {r Z 0 r H h } (27) M, = 1,...,n Assm, com base no modelo (10)-(18), e usando os conjuntos X, Y, Z, X, Y e Z e defndos conforme (22)-(27), é possível reescrever uma formulação alternatva, exclusva para cada destno, dentro do segunte procedmento teratvo em : Para = 1,... n, resolva a formulação (28)-(34): mn L' (28) Sujeto a: M {p X s l + 1 p s} {q Y t w + 1 q t } xpqr {r Z u h + 1 r u} s X,t Y,u Z 1 x b M (29) pqr = (30) p X q Y r Z { j M r h j 0} { p' X j p l j + 1 p' p+ l 1} {q' Y j q wj + 1 q' q+ w 1} al w x [ 1] [ 1] j Wj x jp' q'(r h j ) L pqr [ 1] Lj = mn(p+ l,p' + l j) max(p,p') com W [ 1] j = mn(q + w,q' + w j) max(q,q') M p X,q Y, r Z \{ 0} (31)

8 272 Junquera et al. Gest. Prod., São Carlos, v. 18, n. 2, p , 2011 (p + l ) xpqr L' M p X, q Y,r Z L' 0 (33) x pqr { 01,} M p X,q Y,r Z (32) (34) Retorne L 1, L 2,..., (.e., os comprmentos ótmos nas terações 1, 2,..., n) n Se = 1L' L, então a solução é factível. Note que o índce está fxo em cada teração e, portanto, que a função objetvo (28) vsa mnmzar o comprmento L necessáro para empacotar todas as caxas apenas do destno (e não de todos os destnos 1, 2,..., n, como no modelo (10)-(18)). Logo, as restrções (15) e (16) do modelo (10)-(18) não aparecem no modelo (28)-(34). Em outras palavras, cada modelo (28)-(34) em é ndependente dos demas em 1, 2, 1, + 1, n. Assm, espera-se que seja bem mas fácl resolver o modelo (28)-(34) no procedmento acma, do que o modelo (10)-(18) da seção anteror, uma vez que as possíves posções onde cada caxa pode ser colocada precsam ser consderadas apenas para cada destno, e não para todos os n destnos. A Fgura 4 lustra uma possível dsposção, utlzando este procedmento, de caxas de três destnos dferentes. Os desenhos à dreta são os respectvos desenhos à esquerda vstos da perspectva de cma. Observe que é crada uma espéce de cortna dvsóra (magnára) entre as caxas de dos destnos consecutvos dentro do camnhão. De fato, a cração de subdvsões (compartmentos) é uma prátca que aparece no carregamento de camnhões em algumas transportadoras. Convém observar que o modelo (28)-(34) envolve, para cada destno, M. X. Y. Z varáves bnáras mas 1 varável real, além de X. Y. Z + M + M. X. Y. ( Z 1) + M. X. Y. Z restrções. 4.2 Caso em que δ = L Esta stuação representa um segundo caso extremo, em que é permtdo ao operador adentrar totalmente para além da frontera natural entre as caxas dos dferentes destnos, sto é, o operador pode aprovetar quasquer espaços vazos eventualmente crados pelas caxas de destnos anterores para empacotar as caxas do próxmo destno. Isto vola a consderação de carga fraconada em múltplos destnos, pos não mpede que o operador tenha que descarregar uma parte das caxas que não precsem ser descarregadas em um determnado destno, para alcançar uma caxa que precse. Isto nos permte reduzr o problema (10)-(18) de mnmzar o comprmento necessáro para empacotar todas as caxas de todos os n destnos, ao clássco Strp Pacng Problem (MIYAZAWA; WAKABAYASHI, 1999) (com consderações adconas de establdade do carregamento), cujo objetvo é mnmzar o comprmento necessáro para empacotar todas as caxas dsponíves, ndependentemente de elas pertencerem a dferentes destnos. Note que esta abordagem, ao contráro da anteror, embora aprovete os espaços vazos eventualmente crados, dfculta o manuseo das caxas na desova dos destnos. Alternatvamente, e redefnndo-se a varável de decsão em (10) smplesmente como L para o comprmento necessáro para empacotar todas as caxas dsponíves, é possível reescrever o modelo (10)-(18) de modo a representar o problema de carregamento de caxas dentro de um camnhão, consderando apenas a establdade do carregamento: Sujeto a: m = 1 {p X s l+ 1 p s} mn L' (35) {q Y t w+ 1 q t} {r Z u h+ 1 r u} x pqr 1 s X,t Y,u Z x = b = 1,...,m p XqYr Z pqr { j = 1,...,m r h j 0} { p' X j p l j+ 1 p' p+ l 1} {q' Y j q wj+ 1 q' q+ w 1} al w x [ 1] [ 1] j Wj x jp' q'(r h j ) L [ 1] Lj = mn(p + l, p' + l j) max(p, p') com W [ 1] j = mn(q+ w,q' + w j) max(q,q') = 1,...,m pqr p X,q Y,r Z \{ 0} (p + l ) x L' pqr = 1,...,m p X,q Y,r Z (36) (37) (38) (39) L' 0 (40)

9 Abordagens para problemas de carregamento de contêneres com consderações de múltplos destnos 273 Fgura 4. Exemplo de empacotamento das caxas na abordagem com δ = 0. x { 01,} pqr = 1,...,m p X,q Y,r Z (41) em que X, Y, Z, X, Y e Z são defndos conforme (4)-(9). Note no modelo (35)-(41) que a função objetvo (35) vsa mnmzar o comprmento L necessáro para empacotar todas as caxas dsponíves, que o índce desaparece de todas as restrções, bem como também desaparecem as restrções (15) e (16) do modelo (10)-(18). A Fgura 5 lustra uma possível dsposção utlzando este procedmento. O desenho à dreta trata-se do respectvo desenho à esquerda vsto da perspectva de cma. Observe que as caxas dos dferentes destnos podem estar msturadas. Note também que uma solução obtda com o modelo (35)-(41) não é equvalente a uma solução obtda com o modelo (10)-(18) com δ = L, pos a restrção (13) garante que as caxas de um determnado destno estarão sempre acma de caxas do mesmo destno ou de caxas de destnos que serão descarregados posterormente, ao passo que o modelo (35)-(41) permte que as caxas estejam completamente msturadas.

10 274 Junquera et al. Gest. Prod., São Carlos, v. 18, n. 2, p , 2011 Convém observar que o modelo (35)-(41) m envolve = 1 X Y Z varáves bnáras mas 1 varável real, além de X. Y. Z + m + m 1 m = X 1 Y ( Z ) + = 1 X Y Z restrções. 4.3 Caso em que 0 < δ < L Esta stuação representa casos ntermedáros entre as duas abordagens anterores, em que ao operador é permtdo adentrar parcalmente para além da frontera natural entre as caxas dos dferentes destnos, sto é, o operador pode aprovetar alguns espaços vazos eventualmente crados pelas caxas de destnos anterores para empacotar as caxas do próxmo destno. Note que esta abordagem vsa aprovetar os espaços vazos eventualmente crados sem prejudcar o manuseo. Defnndo-se a varável de decsão L para o comprmento necessáro para empacotar todas as caxas dos destnos 1, 2,...,, conforme o modelo (10)-(18), e usando-se os conjuntos X, Y, Z, X, Y e Z defndos conforme (4)-(9), é possível escrever o segunte procedmento teratvo em : Faça = 1 e resolva a formulação (42)-(49): Sujeto a: m = 1 ' = 1 {p X s l+ 1 p s} mn L (42) ' x 1 {q Y t w+ 1 q t} {r Z u h+ 1 r u} ' pqr s X,t Y,u Z (43) xpqr = p XqYr Z = 1,...,m { j = 1,...,m r h j 0} ' = 1 { p' X j p l j+ 1 p' p+ l 1} L {q' Y j q wj+ 1 q' q+ w 1} al w x b [ 1] [ 1] j Wj x j' p' q'(r h j ) [ 1] Lj = mn(p + l, p' + l j) max(p, p') com W [ 1] j = mn(q+ w,q' + w j) max(q,q') = 1,...,m pqr p X,q Y,r Z \{ 0} (p + l ) x L' = 1,...,m pqr p X,q Y,r Z L' 1 δ p x pqr + ( 1 x pqr ) M = 1,...,m p X,q Y,r Z x { 01,} pqr (44) (45) (46) (47) L' 0 (48) = 1,...,m (49) p X,q Y,r Z Fgura 5. Exemplo de empacotamento das caxas na abordagem com δ = L.

11 Abordagens para problemas de carregamento de contêneres com consderações de múltplos destnos 275 Fxe as varáves x pqr = 1 e L referentes à solução do modelo (42)-(49) para o destno. Faça = + 1 e resolva o modelo acma em, com as varáves x pqr e L acma fxadas, para todos os destnos = 1, 2,..., 1 anterores. Repta este procedmento para todos os n destnos. Retorne o últmo obtdo. Se L, então a solução é factível. Note que o índce está fxo em cada teração e, portanto, que a função objetvo (42) vsa mnmzar o comprmento L necessáro para empacotar todas as caxas dos destnos 1, 2,...,, e que as soluções do modelo (42)-(49) nas terações anterores = 1, 2,..., 1 estão fxadas em x = 1 e em pqr L na teração. Note também que as restrções (16) do modelo (10)-(18) não aparecem no modelo (42)-(49), em função de o procedmento ser teratvo (portanto, L 1 L 2... ). Entretanto, note que este procedmento é dferente do procedmento do caso em que δ = 0, porque cada modelo (42)-(49) fxo em depende dos anterores em 1, 2,..., 1. Convém observar que este procedmento realza uma otmzação míope para as caxas de cada destno, dado que as caxas de um destno, uma vez fxadas na teração, não podem mas ser rearranjadas, o que pode mplcar na perda da solução ótma global, ao contráro de quando se consdera de uma só vez a otmzação de todas as caxas de todos os n destnos. A Fgura 6 lustra uma possível dsposção, utlzando este procedmento com δ = 3, de caxas de três destnos dferentes. Os desenhos à dreta são os respectvos desenhos à esquerda vstos da perspectva de cma. Observe que o aspecto crado pelo padrão de empacotamento lembra uma versão trdmensonal do jogo Tetrs (TETRIS, 2009), desenvolvdo nos anos 80, e cujo objetvo é encaxar peças bdmensonas (polmnós) de dversos formatos que descem do topo de uma tela de computador. Quando uma lnha na tela é completada, esta desaparece e pontos extras são dados ao jogador. O jogo termna quando as lnhas ncompletas se emplham até o topo da tela. De fato, a grande desvantagem do procedmento descrto nesta seção, em relação ao modelo apresentado na Seção 3, é que o prmero desconhece quas são as próxmas caxas que devem ser carregadas dentro do camnhão, e, portanto, assume uma postura ganancosa (gulosa) em relação às caxas do destno atual. Para um estudo relaconado, veja, por exemplo, Azevedo et al. (2009). Convém observar que o modelo (42)-(49) envolve, para cada destno, m = 1 X Y Z varáves bnáras mas 1 varável real, além de m X. Y. Z + m + = 1 X Y ( Z 1) + m 2 = 1 X Y Z + restrções. Como observado anterormente, este procedmento realza uma otmzação míope para as caxas de cada destno. No entanto, podemos auxlar este procedmento a crar espaços vazos mas acessíves, para que caxas de destnos posterores sejam al colocadas, respetando-se o lmte dado pelo parâmetro δ, relatvo ao alcance do operador. A dea consste em adconar um termo de desempate à função objetvo (42), com um valor fraconáro entre 0 e 1, para que o padrão de empacotamento obtdo prvlege carregamentos com as caxas de um destno empurradas o mas para o fundo possível do camnhão. Com sso, caxas de destnos posterores têm mas chances de serem arranjadas, sem prejudcar o manuseo. Note que esta função objetvo modfcada (50) não é mas ntegral. m = 1 ' = 1 p XqYr Z p x' pqr mn L' + p + 1 m = 1 ' = 1 p XqYr Z (50) A Fgura 7 lustra uma possível dsposção, utlzando este procedmento com δ = 3 e a função de desempate, de caxas de três destnos dferentes. Os desenhos à dreta são os respectvos desenhos à esquerda vstos da perspectva de cma. Compare esta Fgura com a Fgura 6 e veja que a função objetvo modfcada propca um ganho sgnfcatvo em termos do comprmento mínmo necessáro para empacotar todas as caxas. 5 Resultados computaconas Os procedmentos apresentados na Seção 4 foram mplementados na lnguagem de modelagem GAMS (versão 22.7) e o solver CPLEX 11.0 (com parâmetros default) fo utlzado para resolvê-los. Todos os testes foram realzados em um mcrocomputador PC Pentum D (3,2 GHz, 2,0 GB). A título de lustração, os modelos foram testados com oto exemplos gerados a partr de dados aleatóros, que foram dvddos de acordo com as seguntes característcas: Quatro quantdades dferentes de tpos de caxas: m = 1 (neste caso, as caxas podem grar em torno de todos os seus exos), m = 5, m = 10 e m = 20 (nestes três últmos casos, as caxas têm orentação fxa). Duas maneras dferentes de gerar as dmensões das caxas: (A m, m = 1, 5, 10 e 20) dmensões das caxas varando entre 25% e 75% das dmensões do contêner, ou seja, l [0,25L, 0,75L], w [0,25W, 0,75W] e h [0,25H,

12 276 Junquera et al. Gest. Prod., São Carlos, v. 18, n. 2, p , 2011 Fgura 6. Exemplo de empacotamento das caxas na abordagem com δ = 3. 0,75H]; (B m, m = 1, 5, 10 e 20) dmensões das caxas varando entre 10% e 50% das dmensões do contêner, ou seja, l [0,10L, 0,50L], w [0,10W, 0,50W] e h [0,10H, 0,50H]. Para o caso de m = 1, que lustra o problema trdmensonal de carregamento de paletes do produtor, fo crada uma varável de decsão adconal para cada possível orentação da caxa, totalzando ses varáves de decsão, e os modelos envolvdos com os procedmentos foram modfcados apropradamente para consderar estas novas varáves. Uma manera alternatva de se tratar este caso sera consderar cada uma das ses possíves rotações de uma caxa smplesmente como ses caxas dferentes, sto é, m = 6, e lmtar o número máxmo de caxas empacotadas destes ses tpos artfcas nas restrções (30), (37) e (44) dos modelos. Por smplcdade, e apenas para a geração das dmensões das caxas e das quantdades delas nos exemplos, consderamos camnhões com L = W = H = 10. No entanto, as dmensões do camnhão consderadas nos testes computaconas foram L = 15 e W = H = 10. O número n de destnos fo defndo com sendo 3. A quantdade b de caxas do tpo fo defnda como b = (L W H) (l w h ) para os exemplos com m = 1, e unformemente sorteada

13 Abordagens para problemas de carregamento de contêneres com consderações de múltplos destnos 277 Fgura 7. Exemplo de empacotamento das caxas na abordagem com δ = 3 e a função de desempate. no ntervalo [,Ll 1 Ww Hh ] para os exemplos com m = 5, 10 e 20, = 1,..., m. Por sua vez, para a obtenção do número b de caxas do tpo para cada destno, o número de caxas presentes na solução ótma, obtda ao se resolver o modelo base apresentado em Junquera, Morabto e Yamashta (2010), fo unformemente sorteado entre os n destnos, tal que n b = b, = 1,..., m e = 1,..., n. =1 O valor a do parâmetro de establdade vertcal fo defndo como sendo 1, sto é, as faces nferores de todas as caxas devem estar 100% suportadas pelas faces superores de uma ou mas caxas colocadas medatamente abaxo delas, ou pelo pso do camnhão. Note que, conforme dscutdo em Junquera, Morabto e Yamashta (2010), a condção a < 1 nas restrções (13), (31), (38) e (45) pode mplcar na perda de

14 278 Junquera et al. Gest. Prod., São Carlos, v. 18, n. 2, p , 2011 soluções ótmas ao se utlzar combnações côncas, sto é, pode haver perda de generaldade dos modelos, devdo à ocorrênca de buracos no padrão de empacotamento, caso não seja exgdo que as faces nferores de todas as caxas estejam 100% suportadas pelas faces superores de uma ou mas caxas colocadas medatamente abaxo delas (ou pelo pso do camnhão). Os valores δ do parâmetro de alcance do operador foram arbtraramente escolhdos como sendo 0, 1, 3, 5 e L. Note que, nos casos de δ = 0, de δ = 1, 3 e 5 e de δ = L, respectvamente, as abordagens utlzadas são as descrtas nas seções 4.1, 4.2 e 4.3. A Tabela 1 apresenta, para cada exemplo, o número total de caxas que devem ser carregadas para todos os n destnos. Além dsso, e para lustrar o tamanho dos modelos gerados nos grupos A m e B m, esta tabela também apresenta os tamanhos dos conjuntos X, Y e Z para cada um dos oto exemplos, além dos números de varáves e restrções dos modelos (28)-(34), (42)-(49) e (35)-(41) reportados pelo CPLEX após o pré-processamento para cada uma das abordagens apresentadas na Seção 4. Convém ressaltar que, no caso das abordagens com δ = 0 e δ = 1, 3 e 5, os números de varáves e restrções apresentados nesta tabela se referem aos valores máxmos obtdos entre os n destnos. Note também que, à medda que as cardnaldades dos conjuntos X, Y e Z crescem, os números de varáves e restrções também crescem, e as dfculdades para solução dos modelos aumentam sgnfcatvamente. Nos expermentos a segur, o tempo computaconal para resolver cada modelo fo arbtraramente lmtado em 1 h (3600 s) e os gaps de otmaldade foram calculados como: melhor valor obtdo melhor lmtante obtdo gap = 100% melhor lmtante obtdo ( ) Assm, quatro stuações são possíves de ocorrer quanto à qualdade da solução obtda pelo aplcatvo GAMS/CPLEX: ) solução ótma, com gap gual a zero; ) solução factível (ntera), com gap maor que zero e com o lmte de tempo exceddo pelo CPLEX; ) sem solução factível, sem gap e com o lmte de tempo exceddo pelo CPLEX; (v) nsufcênca de memóra do computador para complar o modelo pelo GAMS, sem gap e sem nformação relevante sobre o tempo. Estas duas últmas stuações estão representadas nas tabelas pelo símbolo. As tabelas 2 a 9 apresentam, para cada um dos oto exemplos, o gap de otmaldade (em %) obtdo e o tempo computaconal (em segundos) utlzado. Para os modelos em (28)-(34) com δ = 0, estes valores correspondem à soma dos valores necessáros para resolver os modelos para todos os n destnos. Lembre-se que estes modelos são resolvdos ndependentemente para cada destno (veja Seção 4.1). Em seguda, são apresentados os comprmentos mínmos L necessáros para empacotar as caxas de cada destno. Note que para os modelos em (42)-(49) com δ = 1, 3 e 5, estes valores estão na forma agregada, sto é, são os comprmentos mínmos L necessáros para empacotar todas as caxas do destno, mas as caxas dos destnos precedentes 1, 2,..., 1. Para cada valor de δ = 1, 3 e 5, também são apresentados os resultados obtdos ao se utlzar a função objetvo modfcada (50), em substtução à função objetvo (42). A título de comparação, também apresentamos os resultados para os modelos em (35)-(41) com δ = L, lembrando que neste caso o carregamento não leva em conta os dferentes destnos das caxas. Note que as soluções de todos os modelos foram comprovadamente ótmas, com exceção do exemplo B 20 com δ = L. Note também que, como esperado, o comprmento total necessáro para empacotar as caxas de todos os destnos dmnu à medda que δ aumenta (compare, por exemplo, na Tabela 2 para δ = 0,3 e L, e na Tabela 7 para δ = 1 e 5). Além dsso, note o quanto a função objetvo (50) (com o termo de desempate), quando utlzada com a abordagem com Tabela 1. Número de caxas, de elementos dos padrões normas, e número de restrções e de varáves dos exemplos A m e B m. N o Cx. N o Padrões Normas N o Var. N o Res. X Y Z δ = 0 δ = 1,3 e 5 δ = L δ = 0 δ = 1,3 e 5 δ = L A A A A B B B B

15 Abordagens para problemas de carregamento de contêneres com consderações de múltplos destnos 279 Tabela 2. Resultados obtdos com o exemplo A 1. Abordagem gap (%) Tempo (s) L 1 L 2 L 3 δ = 0 0,000 3, δ = 1 com (42) 0,000 3, com (50) 0,000 12, δ = 3 com (42) 0,000 4, com (50) 0,000 9, δ = 5 com (42) 0,000 5, com (50) 0,000 12, δ = L 0,000 1,73 10 Tabela 6. Resultados obtdos com o exemplo B 1. Abordagem gap (%) Tempo (s) L 1 L 2 L 3 δ = 0 0, , δ = 1 com (42) 0, , com (50) 0, , δ = 3 com (42) 0, , com (50) 0, , δ = 5 com (42) 0, , com (50) 0, , δ = L 0, ,45 10 Tabela 3. Resultados obtdos com o exemplo A 5. Abordagem gap (%) Tempo (s) L 1 L 2 L 3 δ = 0 0, , δ = 1 com (42) 0, , com (50) 0, , δ = 3 com (42) 0, , com (50) 0, , δ = 5 com (42) 0, , com (50) 0, , δ = L 0, ,16 10 Tabela 7. Resultados obtdos com o exemplo B 5. Abordagem gap (%) Tempo (s) L 1 L 2 L 3 δ = 0 0, , δ = 1 com (42) 0,000 66, com (50) 0, , δ = 3 com (42) 0,000 86, com (50) 0, , δ = 5 com (42) 0,000 75, com (50) 0, , δ = L 0, ,00 10 Tabela 4. Resultados obtdos com o exemplo A 10. Abordagem gap (%) Tempo (s) L 1 L 2 L 3 δ = 0 0,000 14, δ = 1 com (42) 0,000 7, com (50) 0,000 17, δ = 3 com (42) 0,000 10, com (50) 0,000 19, δ = 5 com (42) 0,000 8, com (50) 0,000 18, δ = L 0,000 2,77 10 Tabela 8. Resultados obtdos com o exemplo B 10. Abordagem gap (%) Tempo (s) L 1 L 2 L 3 δ = 0 0,000 36, δ = 1 com (42) 0,000 47, com (50) 0,000 44, δ = 3 com (42) 0,000 46, com (50) 0,000 45, δ = 5 com (42) 0,000 48, com (50) 0,000 45, δ = L 0,000 43,09 10 Tabela 5. Resultados obtdos com o exemplo A 20. Abordagem gap (%) Tempo (s) L 1 L 2 L 3 δ = 0 0,000 63, δ = 1 com (42) 0,000 18, com (50) 0,000 37, δ = 3 com (42) 0,000 15, com (50) 0,000 31, δ = 5 com (42) 0,000 15, com (50) 0,000 32, δ = L 0,000 43,53 10 Tabela 9. Resultados obtdos com o exemplo B 20. Abordagem gap (%) Tempo (s) L 1 L 2 L 3 δ = 0 0, , δ = 1 com (42) 0, , com (50) 0, , δ = 3 com (42) 0, , com (50) 0, , δ = 5 com (42) 0, , com (50) 0, , δ = L 30, ,59 10

16 280 Junquera et al. Gest. Prod., São Carlos, v. 18, n. 2, p , < δ < L, em geral ajuda a dmnur o comprmento total necessáro para empacotar todas as caxas de todos os destnos (veja, por exemplo, na Tabela 3 para δ = 5, e na Tabela 8 para δ = 1). Também realzamos testes computaconas com estes oto exemplos e a formulação orgnal (10)-(18) para valores de δ = 0, 3 e L. A Tabela 10 a segur apresenta, para cada um dos oto exemplos, o número de varáves e de restrções do modelo (10)-(18) reportados pelo CPLEX após o pré-processamento, o gap de otmaldade (em %) obtdo, o tempo computaconal (em segundos) utlzado, e os comprmentos mínmos necessáros para empacotar todas as caxas de todos os destnos. Note que apenas o exemplo A 10 fo resolvdo na otmaldade para δ = 0,3 e L (com = 10, 10 e 12, respectvamente), e apenas o exemplo B 10 para δ = L (com = 10), enquanto os demas exemplos excederam o lmte de tempo de 1 hora, encontrando soluções nteras com gaps muto altos, ou mesmo nem encontrando soluções nteras. Isso se deve ao fato de as varáves e restrções obtdas com esta formulação serem dependentes entre os n destnos. Por exemplo, os números de varáves e restrções reportados pelo CPLEX após o pré-processamento do modelo (10)-(18) para o exemplo A 10 foram, respectvamente, 2014 e 5263, sto é, valores maores quando comparados com os obtdos com as abordagens para este mesmo exemplo (veja Tabela 1). A título de lustração, as Fguras 8 e 9 apresentam os padrões de empacotamento para o exemplo A 10 obtdos com a formulação (10)-(18) com δ = 0, 3 e L, e com as três abordagens apresentadas na Seção 4 com δ = 0, 3 (sem e com a função de desempate) e L, respectvamente. Os desenhos à dreta são os respectvos desenhos à esquerda vstos da perspectva de cma. Note que, ao contráro das abordagens das seções 4.1 e 4.2, a abordagem da Seção 4.3 com δ = 3 (mesmo com a função de desempate) não conseguu obter a solução ótma encontrada pela formulação (10)-(18) com mesmo δ. Também realzamos testes computaconas com a abordagem com δ = 0 e oto exemplos reportados em Chrstensen e Rousøe (2009), baseados no caso real de dstrbução de materas de construção de uma companha dnamarquesa. A Tabela 11 a segur apresenta o número de destnos e de caxas para cada um dos oto exemplos, o gap de otmaldade (em %) obtdo, o tempo computaconal (em segundos) utlzado, e os comprmentos mínmos necessáros para empacotar todas as caxas de todos os destnos. As dmensões do camnhão consderadas nestes exemplos são (L, W, H) = (720, 250, 280). Note na Tabela 11 que, apenas para o exemplo 7, a abordagem não fo capaz de encontrar uma solução factível. Além dsso, note que, para os exemplos 2, 3 e 6, a abordagem fo capaz de encontrar soluções que ncluem todas as caxas, respetando o comprmento do camnhão, enquanto para os exemplos 1, 4, 5 e 8, para carregar todas as caxas, sera necessáro utlzar camnhões com comprmentos maores. É mportante lembrar que esses resultados foram obtdos com a nossa abordagem mas conservadora,.e., com δ = 0. Também é mportante observar que a abordagem proposta por Chrstensen e Rousøe (2009) não é comparável com nenhuma das abordagens propostas no presente artgo, uma vez que as defnções de múltplos destnos são dferentes. Na abordagem proposta por aqueles autores, uma determnada caxa pode ocupar qualquer espaço vazo dentro do camnhão, desde que haja um acesso até ela na desova do seu destno. Além dsso, a abordagem proposta por eles permte, caso não haja espaço dsponível sufcente para empacotar todas as caxas, que algumas delas sejam eventualmente dexadas fora do carregamento. Tabela 10. Resultados obtdos com o modelo (10)-(18) e os exemplos A m e B m. N o Var. N o Res. δ = 0 δ = 3 δ = L gap (%) Tempo (s) gap (%) Tempo (s) gap (%) Tempo (s) A , , , , , ,19 10 A , , ,18 A , , ,000 28, ,000 14,25 10 A ,64 181, , , ,33 14 B , , , , ,50 12 B ,24 496, , ,70 B ,30 20, , , ,83 10 B , , ,94

17 Abordagens para problemas de carregamento de contêneres com consderações de múltplos destnos 281 Fgura 8. Formulação (10)-(18) com δ = 0, 3 e L. Tabela 11. Número de destnos e de caxas dos exemplos de Chrstensen e Rousøe (2009). N o Dest. N o Cx. gap (%) Tempo (s) # ,000 3, # ,000 0,43 85 # ,000 84, # ,000 42, # ,000 2, # , , # ,000 # ,000 0, Conclusões Neste trabalho, apresentamos um modelo de programação lnear ntera msta 0-1 e abordagens baseadas neste modelo para tratar problemas de carregamento de caxas retangulares dentro de um contêner ou camnhão, consderando restrções prátcas de múltplos destnos da carga, além da establdade do carregamento. O modelo e as abordagens podem ser faclmente estenddos para consderar outras restrções prátcas, como emplhamento e fragldade das caxas e lmte de peso do contêner. Assummos que o rotero que cada camnhão deve percorrer já é conhecdo a

18 282 Junquera et al. Gest. Prod., São Carlos, v. 18, n. 2, p , 2011 Fgura 9. Abordagens com δ = 0, 3 (sem e com a função de desempate) e L. pror e que a carga de todos os destnos cabe dentro do camnhão. O objetvo, portanto, é determnar o melhor padrão de empacotamento, consderando a ordem em que as caxas são descarregadas (ou carregadas), sem que para sso seja necessáro um manuseo adconal na carga. Alguns testes computaconas com as abordagens propostas foram realzados utlzando o aplcatvo GAMS/CPLEX e exemplos gerados a partr de dados aleatóros e alguns exemplos da lteratura. Os resultados mostraram que o modelo e as abordagens são coerentes e representam adequadamente as stuações tratadas, embora estejam

19 Abordagens para problemas de carregamento de contêneres com consderações de múltplos destnos 283 lmtados a resolver otmamente apenas problemas de tamanho bem moderado. Acredtamos que o modelo e as abordagens podem ser útes para motvar pesqusas futuras para tratar problemas maores e mas realstas na prátca, assm como para tratar o caso combnado deste problema com o problema de roteamento e programação de veículos. Agradecmentos Os autores gostaram de agradecer aos dos revsores anônmos pelos útes comentáros e sugestões. Esta pesqusa contou com o apoo da FAPESP (processos 06/ , 07/ e 09/ ) e do CNPq (processo /95-7). Referêncas ARAUJO, O. C. B. Problemas de corte e empacotamento trdmensonal e ntegração com roteamento de veículos f. Tese (Doutorado em Engenhara Elétrca) Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação, Unversdade Estadual de Campnas, Campnas, SP, ARAUJO, O. C. B.; ARMENTANO, V. A. A mult-start random constructve heurstc for the contaner loadng problem. Pesqusa Operaconal, v. 27, n. 2, p , AZEVEDO, B. L. P. et al. A branch-and-cut approach for the vehcle routng problem wth two-dmensonal loadng constrants. In: SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL, 41., 2009, Porto Seguro. Anas BISCHOFF, E. E.; MARRIOTT, M. D. A comparatve evaluaton of heurstcs for contaner loadng. European Journal of Operatonal Research, v. 44. n. 2, p , BISCHOFF, E. E.; RATCLIFF, M. S. W. Issues n the development of approaches to contaner loadng. Omega, v. 23, n. 4, p , CAMPOS, D. S. Integração dos problemas de carregamento e roteamento de veículos com janela de tempo e frota heterogênea f. Tese (Doutorado em Engenhara de Produção) Departamento de Engenhara de Produção, Unversdade de São Paulo, São Paulo, SP, CECILIO, F. O.; MORABITO, R. Refnamentos na heurístca de George e Robnson para o problema de carregamento de caxas dentro de contêneres. Transportes, v. 11. n. 2, p , CHRISTENSEN, S. G.; ROUSØE, D. M. Contaner loadng wth mult-drop constrants. Internatonal Transactons n Operatonal Research, v. 16. n. 6, p , CHRISTOFIDES, N.; WHITLOCK, C. An algorthm for two-dmensonal cuttng problems. Operatons Research, v. 25. n. 1, p , DOWSLAND, W. B. Three-dmensonal pacng soluton approaches and heurstc development. Internatonal Journal of Producton Research, v. 29, n. 8, p , ELEY, M. Solvng contaner loadng problems by bloc arrangement. European Journal of Operatonal Research, v. 141, n. 2, p , GENDREAU, M. et al. A tabu search algorthm for a routng and contaner loadng problem. Transportaton Scence, v. 40, n. 3, p , GEORGE, J. A.; ROBINSON, D. F. A heurstc for pacng boxes nto a contaner. Computers and Operatons Research, v. 7, n. 3, p , HAESSLER, R. W.; TALBOT, F. B. Load plannng for shpments of low densty products. European Journal of Operatonal Research, v. 44, n. 2, p , HAN, C. P.; KNOTT, K.; EGBELU, P. J. A heurstc approach to the three-dmensonal cargo-loadng problem. Internatonal Journal of Producton Research, v. 27, n. 5, p , HERZ, J. C. Recursve computatonal procedure for two-dmensonal stoc cuttng. IBM Journal of Research and Development, v. 16, n. 5, p , IORI, M.; GONZALEZ, J. S.; VIGO, D. An exact approach for the vehcle routng problem wth two-dmensonal loadng contrants. Transportaton Scence, v. 41, n. 2, p , JIN, Z.; OHNO, K.; DU, J. An effcent approach for the three-dmensonal contaner pacng problem wth practcal constrants. Asa-Pacfc Journal of Operatonal Research, v. 21, n. 3, p , JUNQUEIRA, L.; MORABITO, R.; YAMASHITA, D. S. Modelos de otmzação para problemas de carregamento de contêneres com consderações de establdade e de emplhamento. Pesqusa Operaconal, v. 30, n. 1, p , LAI, K. K.; XUE, J.; XU, B. Contaner pacng n a mult-customer delverng operaton. Computers and Industral Engneerng, v. 35. n. 1-2, p , LIN, J. L.; CHANG, C. H.; YANG, J. Y. A study of optmal system for multple-constrant multple-contaner pacng problems. In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON INDUSTRIAL, ENGINEERING AND OTHER APPLICATIONS OF APPLIED INTELLIGENT SYSTEMS, 19., 2006, Annecy. Proceedngs LINS, L.; LINS, S.; MORABITO, R. An n-tet graph approach for non-gullotne pacng of n-dmensonal boxes nto an n-contaner. European Journal of Operatonal Research, v. 141, n. 2, p , MIYAZAWA, F. K.; WAKABAYASHI, Y. Approxmaton algorthms for the orthogonal Z-orented threedmensonal pacng problem. SIAM Journal on Computng, v. 29, n. 3, p , MORABITO, R.; ARENALES, M. Abordagens para o problema do carregamento de contêneres. Pesqusa Operaconal, v. 17. n. 1, p , MORABITO, R.; ARENALES, M. An And/Or-graph approach to the contaner loadng problem. Internatonal Transactons n Operatonal Research, v. 1. n. 1, p , MOURA, A.; BORTFELDT, A. A pacng and routng applcaton for a portuguese tradng company. In: ESICUP MEETING, 6., 2009, Valenca. Resumos