UM MÉTODO HEURÍSTICO BASEADO EM RELAXAÇÃO LAGRANGIANA PARA O PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE PALETES DO PRODUTOR

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1 Vol. 0, No., p. 97-, dezembro de 000 Pesqusa Operaconal 97 UM MÉTODO HEURÍSTICO BASEADO EM RELAXAÇÃO LAGRANGIANA PARA O PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE PALETES DO PRODUTOR Randal Farago Renaldo Morabto Departamento de Engenhara de Produção, UFSCar São Carlos-SP (rfarago@rsa.com.br, morabto@power.ufscar.br) Resumo Neste trabalho desenvolvemos um método heurístco, baseado em relaxação Lagrangana e surrogate, para resolver o problema de carregamento de paletes do produtor. Tal problema consste em arranjar o máxmo número de caxas por camada sobre o palete, otmzando, assm, o aprovetamento da superfíce do palete. Aplcamos um método de redução do problema e uma heurístca Lagrangana no procedmento de otmzação do subgradente. Comparamos as soluções encontradas com soluções produzdas por outros métodos da lteratura e com soluções utlzadas em stuações prátcas. Para sso, utlzamos dados obtdos na lteratura e dados reas fornecdos por uma transportadora. Palavras-chave: problema do carregamento de paletes do produtor, otmzação do subgradente, heurístca Lagrangana, relaxação Lagrangana e surrogate. Abstract In ths study we develop a heurstc method, based on Lagrangean and surrogate relaxaton, to solve the manufacturer s pallet loadng problem. Such a problem conssts n arrangng the maxmum number of boxes by layer on the pallet, thus optmzng the utlzaton of the pallet s surface. We appled a method of reducton of the problem and a Lagrangean heurstc n a subgradent optmzaton procedure. We compare the solutons that were found wth the solutons produced by other methods of the lterature and solutons utlzed n practce. For ths, we utlze data obtaned from the lterature as well as actual data provded by a local carrer. Keywords: manufacturer s pallet loadng problem, subgradent optmzaton, Lagrangean heurstc, Lagrangean and surrogate relaxaton. ISSN

2 98 Farago & Morabto Um método heurístco baseado em relaxação Lagrangana. Introdução Neste trabalho estudamos um caso partcular dos problemas de corte e empacotamento, denomnado problema de carregamento de paletes do produtor (PCP do produtor). Este problema é classfcado como /B/O/C (bdmensonal, seleção de tens, únco objeto, tens guas), de acordo com a tpologa de Dyckhoff (990). Bascamente, o PCP do produtor consste em arranjar sem sobreposção, o máxmo número de retângulos de dmensões (l,w) ou (w,l) (faces nferores das caxas), sobre um retângulo maor (L,W) (superfíce do palete). Admte-se que as caxas estão dsponíves em grandes quantdades e devem ser arranjadas ortogonalmente, sto é, com seus lados paralelos aos lados do palete. Estes arranjos de caxas formam camadas que são então emplhadas sobre o palete. Devdo à escala e extensão de certos sstemas logístcos, um pequeno aumento do número de produtos carregados sobre cada palete pode resultar em economas substancas. Nossa motvação para estudá-lo é que, além de ser um problema de dfícl solução exata (o problema parece ser NP-completo, embora sso anda não tenha sdo provado, conforme Nelssen, 995), o PCP do produtor é mportante nas atvdades logístcas de armazenagem e transporte de produtos embalados em caxas e carregados sobre paletes e camnhões (Morabto et al, 000). Devdo à dfculdade de solução desse problema, poucos autores têm proposto métodos de solução exatos, como Dowsland (987), Tsa et al (993), e Bhattacharya et al (998). Outros propuseram métodos heurístcos, tas como Steudel (979), Smth e De Can (980), Bschoff & Dowsland (98), Nelssen (994, 995), Arenales & Morabto (995), Schethauer & Terno (996) e Morabto & Morales (998). No presente trabalho, modelamos o PCP do produtor conforme um programa ntero 0-. O modelo pode ser vsto como um caso partcular do modelo proposto em Beasley (985) para o problema mas geral da classe /B/O/M (bdmensonal, seleção de tens, únco objeto, város tens dferentes). Desenvolvemos um método heurístco baseado na aplcação de técncas de relaxação Lagrangana e surrogate, e do procedmento de otmzação do subgradente. Exploramos duas varações do método: () o caso utlzando apenas relaxação Lagrangana, e () o caso combnando relaxação Lagrangana e relaxação surrogate, smlarmente ao que fo feto em Beasley (985) para o problema mas geral de corte bdmensonal não-gulhotnado. Em ambos os casos são aplcados um método de redução do problema e uma heurístca Lagrangana. As soluções encontradas são comparadas com soluções produzdas por outros métodos da lteratura e soluções utlzadas em stuações reas. Para sso, utlzamos dados obtdos na lteratura e dados fornecdos por uma transportadora do nteror de São Paulo. Convém salentar que no artgo de Beasley (985) fo explorado o uso de relaxação Lagrangana combnada com relaxação surrogate (caso ()), ou seja, não fo explorado o uso de relaxação Lagrangana dretamente nas restrções orgnas do problema (caso ()). Além dsso, o trabalho de Beasley (985) tratou um problema mas geral do que o PCP do produtor. Uma questão que nos motvou para o presente trabalho é como se comportam estas duas abordagens (casos () e ()) ao serem aplcadas num problema bem mas partcular, como é o caso do PCP do produtor.. Modelagem do PCP do Produtor Um palete (L,W), de comprmento L e largura W, deve ser carregado com caxas guas com faces nferores de dmensões l e w. Admtmos que L, W, l e w são números nteros, e que

3 Vol. 0, No., p. 97-, dezembro de 000 Pesqusa Operaconal 99 l w e l mn{l,w}. Por smplcdade, defnmos (l,w ) = (l,w) e (l,w ) = (w,l), assm, (l,w ), =,, correspondem ao comprmento e largura da face de uma caxa com orentação. O problema consste em encontrar um arranjo de caxas em camadas horzontas (padrão de carregamento bdmensonal; veja fgura 3), tal que a utlzação da superfíce do palete seja a máxma possível. Sejam P e Q o mínmo e o máxmo número de caxas por camada, respectvamente, que podem ser colocadas sobre o palete (0 P Q). Adotamos um sstema de coordenadas cartesanas com orgem no canto nferor esquerdo do palete. Sabemos que as caxas podem ser colocadas em váras posções ao longo do comprmento L e largura W do palete. Sejam: X = {p 0 p L-w, ntero} e Y = {q 0 q W-w, ntero}, os conjuntos das coordenadas (p,q), respectvamente, para se colocar o canto nferor esquerdo da face (l,w) de uma caxa dentro do palete. Sem perda de generaldade (Beasley, 985), podemos restrngr os conjuntos X e Y para: X = { p p = Y = { q q = = = l b, w b, 0 p L w, 0 q W w, b 0 e ntero, =,} b 0 e ntero, =,} Defnmos a função a que é útl para descrever restrções de sobreposção de caxas sobre o palete, e que pode ser computada com antecedênca para cada posção (p,q), cada posção (r,s), e cada orentação, com p X tal que p L-l, q Y tal que q W-w, r X, s Y, e =, (Beasley, 985) (Fgura.): a pqrs, se 0 p r p + l L e 0 q s q + w W = 0, caso contráro Fnalmente, para todo p X tal que p L-l, q Y tal que q W-w, e =,, defnmos a varável de decsão x pq : x pq, se uma caxa é colocada na posção ( p, q) do palete, com orentação = 0, caso contráro W Paleta A s q Peça l w p r L Fgura Posção (r,s) não permtda em função da colocação de uma face na posção (p,q) com orentação

4 00 Farago & Morabto Um método heurístco baseado em relaxação Lagrangana O PCP do produtor pode então ser formulado pelo segunte programa lnear 0- (Beasley, 985): max = { p X p L l } { q Y q W w} pq s.a. = { p X p L l } { q Y q W w} pqrs = x () a x, para todo r X, s Y () pq P x Q (3) { p X p L l } { q Y q W w} pq com x pq {0,}, =,, p X tal que p L-l ; q Y tal que q W-w (4) Note que a restrção () garante que cada par (r,s) seja ocupado por no máxmo uma caxa e, desta manera, evta sobreposção no arranjo de caxas (fgura ). A restrção (3) garante que o número de caxas arranjadas esteja dentro do ntervalo [P,Q] (em geral temos P = 0). O problema ()-(4) envolve O( X Y ) varáves e restrções, o que o torna em geral dfícl de ser resolvdo otmamente nos casos prátcos. 3. Aplcação de Relaxação Lagrangana 3. Relaxação Lagrangana Sem Relaxação Surrogate Introduzndo os multplcadores de Lagrange g rs ( 0) para todo r X e todo s Y da expressão (), obtemos o segunte programa Lagrangano do lmtante superor (note que temos X Y multplcadores): max pq xpq + = { p X p L l} { q Y q W w} = V g (5) r X s Y P x Q (6) { p X p L l } { q Y q W w} pq com x pq {0,}, =,, p X tal que p L-l ; q Y tal que q W-w (7) onde V = g a. Sejam {X pq } representando os valores das varáves {x pq } na pq r X s Y rs pqrs solução do programa Lagrangano (5)-(7), com valor dado por: Z UB = Vpq X pq + = { p X p L l} { q Y q W w} r Xs Y que corresponde a um lmtante superor para o valor ótmo do problema orgnal ()-(4), para quasquer {g rs } não negatvos. Note que, dados {g rs }, o programa (5)-(7) pode ser faclmente resolvdo, uma vez que se decompõe em dos problemas ndependentes (um para cada tpo de orentação de caxa), e que cada subproblema pode ser faclmente resolvdo por nspeção. Seja n o número de varáves x pq com valores V pq estrtamente postvos: g rs rs

5 Vol. 0, No., p. 97-, dezembro de 000 Pesqusa Operaconal 0 Se n Q, então escolha as Q varáves com maores valores V pq, e fxe-as em. Se P n < Q, então escolha as n varáves com maores valores V pq, e fxe-as em. Se n < P, então escolha as P varáves com maores valores V pq, e fxe-as em. As demas varáves são fxadas em 0. Note que o programa Lagrangano (5)-(7) possu a propredade de ntegraldade, uma vez que, dados {g rs }, sua solução não se altera ao trocarmos a restrção de ntegraldade: x pq {0,}, por sua relaxação lnear: 0 x pq. Isto mplca que o melhor lmtante superor produzdo pelo programa Lagrangano (5)-(7) para o problema ()-(4) não é melhor do que o lmtante superor obtdo pela relaxação de programação lnear do problema ()-(4). 3. Relaxação Lagrangana Com Relaxação Surrogate Beasley (985) sugeru utlzar as duas restrções surrogate (8) e (9) apresentadas abaxo, obtdas pela soma de todos os comprmentos possíves r X, e todas as larguras possíves s Y, da restrção (). r X ( apqrsxpq ) X s Y = { p X / p L l { q Y / q W w ( apqrsxpq ) Y = { p X / p L l { q Y / q W w, para todo s Y (8), para todo r X (9) Substtundo no problema ()-(4) a restrção () pelas restrções (8) e (9), e ntroduzndo os multplcadores de Lagrange g s ( 0) para todo s Y em (8), e h r ( 0) para todo r X em (9), obtemos o segunte programa Lagrangano do lmtante superor (com relaxação surrogate). Note agora que temos apenas X + Y multplcadores, ao nvés de X Y multplcadores, como no programa (5)-(7). max pq xpq + g s X + = { p X p L l } { q Y q W w } = V h Y (0) s Y x { p X p L l } { q Y q W w } pq Q r r X P () com x pq {0,}, =,, p X tal que p L-l ; q Y tal que q W-w () onde V = ( g + h ) a. Sejam { X pq } representando os valores das varáves pq r X s Y s r pqrs {x pq } na solução do programa Lagrangano (0)-(), com valor dado por: Z UB = Vpq X pq + gs X + r = { p X p L l} { q Y q W w} s Y r X h Y que corresponde a um lmtante superor para o valor ótmo do problema orgnal ()-(4), para quasquer {g s } e {h r } não negatvos. Note, entretanto, que este lmtante não é melhor do que o lmtante produzdo pelo programa (5)-(7), uma vez que derva de um programa Lagrangano construído a partr de restrções surrogate. Por outro lado, é mas fácl de ser

6 0 Farago & Morabto Um método heurístco baseado em relaxação Lagrangana computado, como é vsto na seção 4, dado que envolve um menor número de multplcadores de Lagrange. Na seção 6 comparamos a qualdade dos dos lmtantes e o esforço computaconal para obtê-los, a partr da solução de dversos exemplos. Assm como no programa (5)-(7), dados {g s } e {h r }, o programa (0)-() também pode ser faclmente resolvdo por nspeção, uma vez que se decompõe em dos problemas ndependentes (um para cada tpo de orentação de caxa). O mesmo procedmento anterormente descrto para resolver o programa (5)-(7) também pode ser aqu aplcado. 4. Método de Otmzação do Subgradente 4. Relaxação Lagrangana sem Relaxação Surrogate Para resolver o programa dual Lagrangano: mn g rs 0 {programa Lagrangano (5)-(7)}, utlzamos o método de otmzação do subgradente, que está descrto a segur. Para maores detalhes do método, o letor pode consultar, por exemplo, Camern et al (975), Crowder (976) e Beasley (985, 993). Passo : Gere uma solução factível, por exemplo, a solução homogênea com todas as caxas arranjadas sob a mesma orentação. Faça Z LB gual ao valor desta solução homogênea. Seja ITMAX o máxmo número de terações e faça t = 0. Fxe g rs = 0 para todo s Y, e todo r X, como valores ncas para os multplcadores. Passo : Resolva o programa Lagrangano (5)-(7) com o conjunto de multplcadores atual, obtendo a solução {X pq } e valor Z UB. Faça t = t +. Passo 3: Teste de factbldade: se a solução Lagrangana é factível para o problema orgnal ()-(4), então atualze Z LB, o lmtante nferor para o problema, correspondendo a uma solução factível. Atualze o menor lmtante superor Z mn com Z UB. Passo 4: Teste de otmaldade: pare se Z mn = Z LB ; caso contráro, vá para o Passo 5. Passo 5: Calcule os subgradentes: ( G = + a X ), rs r X s Y = { p X p L l q Y q W w pqrs } { } pq para todo par (r,s) (X,Y) Passo 6: Defna o tamanho do passo t por: os multplcadores de Lagrange por: f ( Z Z UB LB t = r X G s Y rs g rs = max (0, g rs + tg rs ), para todo par (r,s) (X,Y) ), onde 0 < f, e atualze Passo 7: Se t = ITMAX, pare; caso contráro, vá para o Passo. Exstem váras maneras de se varar o parâmetro f ao longo das terações, para acelerar a convergênca do método. As alternatvas exploradas neste trabalho estão dscutdas na seção 6. Note que, se em alguma teração obtvermos Z mn = Z LB no passo 4, então o procedmento acma termna com a solução ótma do problema orgnal ()-(4).

7 Vol. 0, No., p. 97-, dezembro de 000 Pesqusa Operaconal Relaxação Lagrangana com Relaxação Surrogate O método de otmzação do subgradente para resolver o programa dual Lagrangano (com relaxação surrogate): mn g s 0, hr 0 {programa Lagrangano (0)-()}, é muto smlar ao da seção 4., com pequenas modfcações nos passos, 5 e 6, conforme a segur: Passo : Gere uma solução factível, por exemplo, a solução homogênea com todas as caxas arranjadas sob a mesma orentação. Faça Z LB gual ao valor desta solução homogênea. Seja ITMAX o máxmo número de terações e faça t = 0. Fxe g s = 0 para todo s Y, e h r = 0 para todo r X, como valores ncas para os multplcadores. Passo 5: Calcule os subgradentes: G = X + H s r = Y + ( r X = p X / p L l } ( { { q Y / q W w pqrs } s Y = { p X / p L l q Y q W w pqrs } { / } a a X X pq pq ), ), para todo para todo s Y r X. Passo 6: Defna o tamanho do passo t por: atualze os multplcadores de Lagrange por: g s = max (0, g s + tg s ) para todo s Y hr = max (0, h r + th r ) para todo r X f ( Z Z UB LB t = G + s Y s H r X r ), onde 0 < f, e 5. Redução do Problema e Heurístca Lagrangana Durante cada teração do método de otmzação do subgradente, podemos aplcar alguma heurístca Lagrangana para gerar soluções factíves para o problema orgnal ()-(4), a partr da solução obtda para o programa Lagrangano do passo (modelo (5)-(7) ou (0)- ()). Também podemos aplcar alguma técnca de redução do problema para tentar fxar, sem perda de generaldade, alguma varável em 0 ou, e, desta manera, reduzr o tamanho do problema ()-(4). Convém salentar que, tanto a defnção da heurístca Lagrangana como a redução do problema, pode ser aplcada nos métodos de otmzação do subgradente com e sem relaxação surrogate. 5. Redução do Problema Em cada teração, seja n o número de varáves com valor na solução do programa Lagrangano do passo. Fxando x pq = 0: O segunte lmtante superor pode ser obtdo quando fxamos x pq em (com X pq = 0): ZUB + Vpq mnr X, s Y, X = V n = Q rs { rs}, se Z' UB = (3) ZUB + Vpq mnr X, s Y, X = {0, Vrs} se n Q rs Note em (3) que V pq é o valor do coefcente da varável x pq fora da solução corrente do programa Lagrangano, e {V rs } é o conjunto dos valores dos coefcentes das n varáves que estão fazendo parte da solução corrente (.e., X rs = ).

8 04 Farago & Morabto Um método heurístco baseado em relaxação Lagrangana Se n = Q, então, ao colocarmos a varável x pq na solução (.e., ao fxarmos x pq = ), precsamos retrar da solução atual a varável x rs (com X rs = ) com mínmo valor V rs, para não ultrapassarmos a quantdade máxma de caxas Q. Se n Q, então dvdmos este caso em dos sub-casos: () Se P < n < Q, então, ao colocarmos a varável x pq na solução, não precsamos retrar da solução atual nenhuma varável x rs (com valor X rs = ) de valor V rs postvo, já que não ultrapassamos a quantdade máxma de caxas Q (.e., n+ Q). Note que, neste caso, não podemos ter varáves x rs com V rs negatvo, dado que n > P. () Se P = n < Q, então, ao colocarmos a varável x pq na solução, não precsamos retrar da solução atual nenhuma varável x rs (com valor X rs = ) de valor V rs postvo (pelo mesmo motvo anteror), ou precsamos retrar a varável x rs com menor valor, caso esta tenha V rs negatvo. Note que, neste caso, podemos ter varáves x rs com V rs negatvo, dado que n = P. Se o valor do lmtante superor em (3) for menor que o valor do lmtante nferor, sto é, se Z' UB < Z LB, então podemos fxar x pq em 0, ou seja, reduzr o problema orgnal ao desconsderar a possbldade de colocar uma caxa na posção (p,q) sob orentação. Fxando x pq = : O segunte lmtante superor pode ser obtdo quando fxamos x pq em 0 (com X pq = ): ZUB Vpq + maxr X, s Y, X = V n = P rs 0{ rs}, se Z' UB = (4) ZUB Vpq + maxr X, s Y, X = {0, Vrs} se n P rs 0 O letor pode verfcar que o racocíno aqu é análogo ao do caso anteror. Se o valor do lmtante superor em (4) for menor que o valor do lmtante nferor, sto é, se Z' UB < Z LB, então podemos fxar x pq em, ou seja, reduzr o problema orgnal ao desconsderar a possbldade de não colocar uma caxa na posção (p,q) sob orentação. 5. Heurístca Lagrangana A déa básca da heurístca Lagrangana é, partndo da solução do programa Lagrangano da teração corrente, convertê-la numa solução factível para o problema orgnal ()-(4). Esta solução consttu um lmtante nferor para a solução ótma deste problema. Passo : Coloque todas as varáves fxadas em pela redução do problema na solução heurístca, e retre seus valores correspondentes da lsta dos {V pq }. Ordene os {V pq } restantes de forma decrescente, e forme uma lsta F com as varáves x pq correspondentes aos V pq. Passo : Pare se a lsta F estver vaza, caso contráro, coloque na solução heurístca a prmera varável da lsta F, e retre-a dessa lsta. Passo 3: Teste a factbldade da solução heurístca em questão. Se for factível, mantenha a varável correspondente na solução; caso contráro, desconsdere-a e volte para o passo. Ao termnarmos este procedmento, podemos estar com uma solução factível melhor que a da teração anteror. Neste caso, atualzamos esse lmtante nferor Z LB. A otmaldade desta solução é testada no decorrer do método de otmzação do subgradente. Para maores detalhes da redução do problema e da heurístca Lagrangana, o letor pode consultar Farago (999).

9 Vol. 0, No., p. 97-, dezembro de 000 Pesqusa Operaconal Resultados Computaconas Dos programas computaconas foram desenvolvdos para resolver o PCP do produtor, o prmero combnando relaxação Lagrangana e surrogate (seções 3. e 4.), smlarmente ao que fo explorado em Beasley (985) para o problema mas geral de corte bdmensonal nãogulhotnado, aqu denomnado programa LAGSUR, e o segundo baseado apenas em relaxação Lagrangana (seções 3. e 4.), aqu denomnado programa LAG. Ambos os programas LAGSUR e LAG utlzaram as técncas de redução do problema (seção 5.) e a heurístca Lagrangana (seção 5.). Eles foram mplementados na lnguagem Pascal (complador Delph 4), e executados em um mcrocomputador Pentum II (300 Mhz, 8 Mbytes de RAM, Wndows 95). As tabelas e apresentam, respectvamente, os exemplos da lteratura L-L0, que vem sendo utlzados por dversos autores na lteratura (Morabto & Morales, 998), e os exemplos reas R-R30, coletados no centro de dstrbução de uma transportadora do nteror de São Paulo. A transportadora utlzava o Palete Brasl (PBR), com dmensões (L,W) = (0,00) cm. As colunas ( X + Y ) e ( X Y ) das tabelas e apresentam o número (aproxmado) de varáves envolvdas nos modelos (0)-() e (5)-(7), respectvamente. Tabela Exemplos L-L0 da lteratura Exemplo (L,W) (L,W) X Y ( X + Y ) ( X Y ) L X 6 5 x L 86 X 8 5 x L3 43 X 6 7 x L4 87 X 47 7 x L5 4 X 39 9 x L6 4 X 8 x L7 40 X 5 7 x L8 5 X 33 9 x L9 57 X 44 x L0 56 X 5 x Tabela Exemplos reas R-R30 da transportadora Exemplo (l,w) (l,w) X Y ( X + Y ) ( X Y ) Exemplo (cm) (cm) X Y ( X + Y ) ( X Y ) R 3 x R6 35 x R 50 x R7 7 x R3 33 x R8 x R4 34 x R9 4 x R5 36 x R0 3 x R6 8 x R 6 x R7 3 x R 9 x R8 38 x R3 44 x R9 5 x R4 5 x R0 46 x R5 36 x R 39 x R6 35 x R 38 x R7 0 x R3 49 x R8 x R4 8 x R9 37 x R5 40 x R30 4 x

10 06 Farago & Morabto Um método heurístco baseado em relaxação Lagrangana O procedmento de otmzação do subgradente fo ncado sempre com o parâmetro f = (veja passo 6 na seção 4), conforme Beasley (985, 993). Quatro varações foram exploradas para reduzr o valor de f ao longo das terações: () dvdr f a cada 30 terações (Beasley, 993), () dvdr f a cada 60 terações, () apenas no programa LAGSUR, fxar f = para ( X + Y ) terações e, em seguda, dvdr ambos f e o número de terações a cada ( X + Y ) terações, até que o número de terações atngsse o valor 5. A partr daí, dvdr f a cada 5 terações (Beasley, 985), (v) apenas no programa LAG, fxar f = para ( X Y ) terações e, em seguda, dvdr ambos f e o número de terações a cada ( X Y ) terações, até que o número de terações atngsse o valor 5. A partr daí, dvdr f a cada 5 terações. Em todas as varações ()-(v), reduzmos f até os valores 0,005 (Beasley, 985, 993) e 0,0005 serem atngdos (note que, neste últmo, permtmos um maor número máxmo de terações, ITMAX). Ambos os programas LAGSUR e LAG obtveram os melhores resultados utlzando a varação (), sto é, dvdndo f a cada 60 terações desde até 0,0005 (.e., com ITMAX = 70 terações), tanto para os exemplos da lteratura como para os exemplos reas. Estes resultados estão apresentados nas tabelas 3 e 4. Por motvo de lmtação de espaço, os demas resultados utlzando as varações (), () e (v) não foram aqu ncluídos, mas podem ser encontrados em Farago (999). A tabela 3 também apresenta as soluções obtdas pela heurístca de Morabto & Morales (998), e a tabela 4, as soluções utlzadas na prátca pela transportadora. Tabela 3 Resultados computaconas dos programas LAGSUR e LAG para exemplos da lteratura, com f sendo dvddo a cada 60 terações desde até 0,0005 Solução ótma Solução Morabto & Morales (998) Solução LAGSUR Solução LAG Exemplo Tempo Dferença Tempo Dferença (seg.) (seg.) Z* Z MM Z mn Z LB Z* - Z LB Z mn Z LB Z* - Z LB L ,95 3 3,79 L , ,4 L , ,84 L , ,99 7 L , ,63 L , ,49 L , ,6 L , ,84 L , ,73 L , ,6 Méda 49 48, ,80 75,58 3, ,90

11 Vol. 0, No., p. 97-, dezembro de 000 Pesqusa Operaconal 07 Tabela 4 Resultados computaconas dos programas LAGSUR e LAG para exemplos reas, com f sendo dvddo a cada 60 terações desde até 0,0005 Exemplo Solução Solução Solução ótma Transport. LAGSUR Tempo (seg.) Z* Z TA Z mn Z LB Solução Df Df LAG Tempo (seg.) Z* - Z LB Z LB - Z TA Z mn Z LB Df Df Z* - Z LB Z LB - Z TA R , ,87 0 R 0 0,00 0 0,00 0 R , ,00 0 R4 3 5, , R , , R , ,64 0 R ,65 0 9,48 R , ,8 0 0 R , , R , ,00 0 R 0, , R , , R3 0, , R ,04-3 3, R , , R , ,97 0 R , ,36 0 R8 # , ,4 - - R , ,5 0 0 R , , R 0 3 5,33 0 3,4 0 R , ,09 0 R , , 0 0 R , , R , ,66 0 R , ,43 0 R , ,60 0 R , ,8 0 4 R , ,9 0 0 R , ,49 0 Méda # 9,3 0,73 9,80 0,68-0,67 0,0 0,00 8,45-0,87 # solução ótma desconhecda Note nas tabelas 3 e 4 que ambos os programas LAGSUR e LAG produzram excelentes lmtantes superores para o PCP do produtor. Em todos os exemplos da lteratura L-L0, obtvemos Z mn = Z* com ambos os programas LAGSUR e LAG. Esta condção também fo satsfeta em quase todos os exemplos reas R-R30 (exceto nos exemplos R6 e R) com o programa LAG. Além dsso, os programas LAGSUR e LAG produzram soluções em geral muto boas para os exemplos reas, mas tveram dfculdades para resolver os (dfíces) exemplos da lteratura (veja p.e. o exemplo L4). O programa LAG superou os carregamentos reas da transportadora em mas de 50% dos exemplos (em méda, foram arranjados 0,87 caxas a mas por camada), por outro lado, não superou o método de Morabto & Morales (998) em nenhum dos exemplos da lteratura.

12 08 Farago & Morabto Um método heurístco baseado em relaxação Lagrangana O desempenho médo do programa LAG fo superor ao do programa LAGSUR, por exemplo, o programa LAG encontrou solução ótma em 90% dos exemplos reas, contra apenas 80% do programa LAGSUR, utlzando tempos computaconas próxmos (.e., em méda 8,45 seg contra 0,68 seg). Apenas para lustrar, a fgura mostra a convergênca dos lmtantes superores (Z UB e Z mn ) e nferores (Z LB ) para o exemplo R da tabela 4, utlzando o programa LAG, e a fgura 3 apresenta o correspondente padrão ótmo de carregamento obtdo. Outros resultados podem ser encontrados em Farago (999). Gráfco da varação dos lmtantes Valores dos lmtantes Valor de Zub Valor de Zlb Valor de Zmn Nº de terações Fgura Varação dos lmtantes Z LB, Z UB e Z mn para o exemplo R da tabela 4, utlzando o programa LAG Fgura 3 Padrão de carregamento ótmo para o exemplo R da tabela 4. Também fzemos alguns testes quanto a aplcação ou não do método de redução do problema proposto na seção 5.. Por smplcdade, utlzamos somente o programa LAG com f sendo dvddo a cada 60 terações, desde até 0,0005 (o que resulta em no máxmo 70 terações). As tabelas 5 e 6 apresentam as soluções obtdas sem a aplcação do método de redução do problema, utlzando os exemplos L-L0 e R-R30, respectvamente.

13 Vol. 0, No., p. 97-, dezembro de 000 Pesqusa Operaconal 09 Tabela 5 Resultados computaconas do programa LAG para exemplos da lteratura, sem a utlzação da redução do problema. Exemplo Solução Solução Morabto & Solução LAG Dferença ótma Morales (998) Tempo (seg.) Z* Z MM Z mn Z LB Z* - Z LB L ,73 L ,47 L ,74 L ,98 7 L ,46 L ,39 L ,9 L ,6 L ,73 L ,40 Méda 49 48, ,8 Tabela 6 Resultados computaconas do programa LAG para exemplos reas, sem a utlzação da redução do problema Exemplo Solução Solução Solução LAG Df Df ótma Transport. Tempo (seg.) Z* Z TA Z mn Z LB Z* - Z LB Z LB - Z TA R ,87 0 R 0 0,00 0 R ,06 0 R4,0 0 0 R , R ,4 0 R ,36 R ,8 0 0 R , 0 4 R , 0 R 0, R , R3 0, R ,8 0 0 R , R ,80 0 R ,3 0 R8 # , R , R , 0 0 R 0,96 0 R ,9 0 R , R , R ,60 0 R ,3 0 R ,38 0 R , R , R ,38 0 Méda # 9,3 0,0 0,00 8,44-0,87

14 0 Farago & Morabto Um método heurístco baseado em relaxação Lagrangana Comparando as tabelas 5 e 6 com as tabelas 3 e 4, respectvamente, notamos que os tempos computaconas para o programa LAG sem redução do problema foram maores ou guas aos tempos computaconas do programa LAG com redução (p.e., em méda de 79,8 seg para 7,90 seg nos exemplos da lteratura), para as mesmas soluções encontradas. Isso nos faz conclur que é nteressante utlzar o método de redução do problema em cada teração do subgradente, apesar da economa no esforço computaconal não ser substancal. Um outro aspecto a ser nvestgado no método de redução do problema é saber qual dos casos de fxação (fxar x pq = 0 ou x pq = ) é mas efetvo. Para as mesmas soluções, os tempos computaconas do programa LAG sem redução do problema foram muto próxmos dos tempos computaconas do programa LAG somente para o caso de fxar x pq = 0 (sem o caso de fxar x pq = ) (.e., em méda 79.8 seg para seg nos exemplos da lteratura, e 8,44 seg para 8,44 seg nos exemplos reas). Podemos conclur que o método de redução do problema para o PCP do produtor fxa um maor número de varáves em 0 do que em. 7. Conclusões e Perspectvas 7. Conclusões Os modelos estudados neste trabalho, baseados em relaxação Lagrangana com e sem relaxação surrogate (programas LAGSUR e LAG, respectvamente), produzram excelentes lmtantes superores para o PCP do produtor. Como vsto na seção anteror, todos os lmtantes superores encontrados pelos programas LAGSUR e LAG para os (dfíces) exemplos da lteratura têm o mesmo valor das soluções ótmas, ou seja, satsfazem Z mn = Z*. Isso também fo verfcado em quase todos os exemplos reas com o programa LAG. A qualdade destes lmtantes para o PCP do produtor fo um resultado de certa forma surpreendente e bem vndo; convém salentar que sso não ocorreu para o problema mas geral de corte bdmensonal não gulhotnado analsado em Beasley (985). Já os lmtantes nferores (soluções factíves) produzdos pelos programas LAGSUR e LAG para o PCP do produtor, apesar de muto bons para os exemplos reas, não foram tão bons para os exemplos da lteratura. Pretendemos anda realzar pesqusas adconas para tentar melhorar a qualdade destes lmtantes nferores, eventualmente combnando LAGSUR/LAG com outros métodos. Nossa recomendação com base nos resultados da seção anteror é dvdr f a cada 60 terações e dexá-lo varar desde até 0,0005. Também recomendamos utlzar o método de redução do problema nos programas LAGSUR e LAG, dado que o esforço computaconal de tentar fxar varáves ao longo das terações é compensatóro, conforme mostram os resultados da seção anteror e em Farago (999). A heurístca Lagrangana, utlzada para melhorar o lmtante nferor Z LB no método de otmzação do subgradente, funconou melhor no programa LAG. O programa LAG melhorou as soluções factíves e encontrou soluções ótmas com mas freqüênca do que o programa LAGSUR, prncpalmente nos exemplos reas. Por exemplo, utlzando os mesmos parâmetros e tempos computaconas muto próxmos, o programa LAG encontrou 90% das soluções ótmas dos exemplos reas, enquanto que o programa LAGSUR encontrou 80% delas. Além dsso, o programa LAG superou os carregamentos reas da transportadora em mas de 50% dos exemplos. 7. Perspectvas Como perspectvas para pesqusa futura, podemos utlzar, conforme Crowder (976) e Camern, Fratta & Maffol (975), algumas técncas para melhorar o desempenho do

15 Vol. 0, No., p. 97-, dezembro de 000 Pesqusa Operaconal método da otmzação do subgradente. Bascamente, estas técncas seleconam a dreção do passo do gradente, fazendo somas ponderadas dos gradentes anterores, mas valorzando mas os gradentes mas recentes. Com sso, além de podermos obter melhores soluções, poderá haver uma dmnução nas varações dos multplcadores de Lagrange, e o lmtante superor poderá convergr mas rapdamente. Acredtamos que anda seja necessáro realzar pesqusa adconal na calbragem dos parâmetros usados no procedmento de otmzação do subgradente, prncpalmente com respeto a varação de f ao longo das terações. Tvemos um caso (exemplo R6) em que o valor do lmtante superor Z mn (passo 3) encontrado pela relaxação Lagrangana não atngu o valor do lmtante superor encontrado pela relaxação de programação lnear do problema ()-(4), quando, teorcamente, devera ter atngdo (dado que o programa Lagrangano (5)-(7) tem a propredade de ntegraldade, conforme dscussão na seção 3). Poderíamos então utlzar a solução da relaxação lnear para calbrar os parâmetros do programa LAG. Uma das dfculdades deste estudo é o tamanho dos programas lneares envolvdos, tpcamente com ordem de mlhares de restrções e varáves. Por exemplo, o problema ()-(4) para o exemplo L4 tem cerca de 67 x 7 = 809 restrções de sobreposção. Algumas lnguagens de modelagem poderam ser utlzadas para sso, como por exemplo o GAMS e o LINGO, com os solvers CPLEX, MINOS, OSL, LINDO, etc. Outra perspectva para pesqusa futura é nclur os algortmos LAGSUR e LAG aqu estudados num procedmento exato do tpo branch-and-bound, smlarmente ao que fo feto em Beasley (985) para o problema mas geral de corte bdmensonal não gulhotnado. Além dos excelentes lmtantes superores gerados por estes algortmos, também poderíamos reduzr o espaço de busca do método branch-and-bound por meo dos lmtantes nferores gerados pela heurístca Lagrangana. Poderíamos também combnar os algortmos LAGSUR e LAG com a heurístca de Morabto & Morales (998), onde utlzaríamos esta últma heurístca para encontrar o lmtante nferor (Z LB ) ncal dos algortmos. Ou, nversamente, poderíamos utlzar os lmtantes Z mn e Z LB dos algortmos, como lmtantes ncas para a heurístca de Morabto & Morales (998). O resultado podera ser uma poderosa heurístca híbrda para o PCP do produtor. Agradecmentos Os autores agradecem aos três revsores anônmos pelos útes comentáros e sugestões. Esta pesqusa contou com apoo da FAPESP (processos 995/95-0, 997/3930-, 997/94-9) e CNPq (processo 5973/95-7, 68008/95-6). Agradecemos também ao eng. José Pedrett Junor da Transportadora Amercana pela colaboração na coleta de dados. Referêncas Bblográfcas () Arenales, M. & Morabto, R. (995). An and/or-graph approach to the soluton of twodmensonal non-gullotne cuttng problems. European Journal of Operatonal Research, 84, () Beasley, J. (985). An exact two-dmensonal non gullotne cuttng tree search procedure. Operatons Research, 33, (3) Beasley, J. (993). Chapter 6, Lagrangean relaxaton. In: Modern Heurstc Technques for Combnatoral Problems [edted by C.R. Reeves], Blackwell Scentfc Publcatons.

16 Farago & Morabto Um método heurístco baseado em relaxação Lagrangana (4) Bhattacharya, S.; Roy, R. & Bhattacharya, S. (998). An exact depth-frst algorthm for the pallet loadng problem. European Journal of Operatonal Research, 0, (5) Bschoff, E. & Dowsland, W. (98). An applcaton of the mcro to product desgn and dstrbuton. Journal of the Operatonal Research Socety, 33, (6) Camern, P.M.; Fratta, L. & Maffol, F. (975). On mprovng relaxaton methods by gradent technques. Mathematcal Programmng Study, 3, (7) Crowder, H. (976). Computatonal mprovements for subgradent optmzaton. Symposo Matematca, Roma, 7, (8) Dowsland, K. (987). An exact algorthm for the pallet loadng problem. European Journal of Operatonal Research, 3, (9) Dyckhoff, H. (990). A typology of cuttng and packng problems. European Journal of Operatonal Research, 44, (0) Farago, R. (999). Um método heurístco baseado em relaxação lagrangana para resolver o problema de carregamento de paletes do produtor. Dssertação de Mestrado, Departamento de Engenhara de Produção, Unversdade Federal de São Carlos. () Morabto, R. & Morales, S.R. (998). A smple and effectve recursve procedure for the manufacturer s pallet loadng problem. Journal of the Operatonal Research Socety, 49, () Morabto, R.; Morales, S.R. & Wdmer, J.A. (000). Loadng optmzaton of palletzed products on trucks. Transportaton Research, Part E 36, (3) Nelssen, J. (994). Solvng the pallet loadng problem more effcently. Workng Paper, Graduertenkolleg Informatk und Technk, agosto, Alemanha. (4) Nelssen, J. (995). How to use the structural constrants to compute an upper bound for the pallet loadng problem. European Journal of Operatonal Research, 84, (5) Schethauer, G. & Terno, J. (996). The G4-heurstc for the pallet loadng problem. Journal of the Operatonal Research Socety, 47, 5-5. (6) Smth, A. & De Can, P. (980). An algorthm to optmzar the layout of boxes n pallets. Journal of the Operatonal Research Socety, 3, (7) Steudel, H. (979). Generatng pallet loadng patterns: A specal case of the twodmensonal cuttng stock problem. Management Scence, 0, (8) Tsa R.; Malstrom, E. & Kuo, W. (993). Three dmensonal palletzaton of mxed box szes, IEE Transactons, 5,