Estivagem de unidades de celulose: uma análise prática com heurísticas de bloco

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1 Estvagem de undades de celulose: uma análse prátca com heurístcas de bloco Douglas Rosson Srtol (UnAracruz) Glaydston Mattos Rbero (UnAracruz) Luz Antono Noguera Lorena (INPE) Resumo O problema de estvagem de undades de celulose consste em arranjar undades de celulose em porões de navos, com a fnaldade de maxmzar a quantdade de undades estvadas. Com sso, o presente trabalho vem propor a resolução deste problema com heurstcas de bloco e também apresentar uma ferramenta gráfca para gerar os planos de estvagem, ou seja, a dsposção das undades no porão. Casos prátcos dos portos brasleros foram avalados e os resultados computaconas mostraram que as heurístcas de bloco são efcentes, podendo reduzr os custos logístcos de embarque. Palavras-chave: Estvagem de undades de celulose, heurístca de bloco, transporte marítmo. 1. Introdução O transporte marítmo é consderado um dos mas seguros e é largamente utlzado no transporte nternaconal. Este modal de transporte pode ser utlzado para os város tpos de cargas, transportando mlhares de toneladas ou de metros cúbcos de uma só vez. Resumdamente, exstem duas subdvsões assocadas ao transporte marítmo: Navegação de longo curso: ocorre entre países (navegação nternaconal); Navegação de cabotagem: realzada entre portos naconas (navegação naconal), caracterzada pelos pequenos percursos. Devdo aos dversos tpos de carga e de navos, posconar as cargas nos porões, mutas vezes, torna-se uma tarefa complcada a ser resolvda, podendo levar das para ser concluída. Esta atvdade é conhecda como estvagem de cargas. Com sso, o plano de estvagem é muto mportante para aglzar o processo de carregamento. Este planejamento deve consderar o tpo de carga a ser estvada, o tpo de undade de transporte (navo), a natureza da carga, dentre outros fatores (HANDABAKA, 1994). Sendo assm, este trabalho consdera o problema da estvagem de undades de celulose (PEUC) em navos especalzados. Conforme Rbero e Lorena (2005), este problema é uma tarefa mportante no processo de mportação e pode gerar mutos custos para o Porto, caso o navo atrase por causa do carregamento. Por outro lado, uma boa estvagem pode reduzr o tempo de carregamento e os custos logístcos assocados. Conforme Rbero e Lorena (2005) os fardos de celulose são consttuídos de placas de celulose amarradas por arame. Uma undade de celulose é composta por um conjunto de fardos. Cada undade de celulose também é amarrada por um arame, o que permte um carregamento mas efcente através dos gundastes. As undades de celulose a serem estvadas apresentam dmensões varadas são posconadas nos porões dos navos. A estvagem de undades de celulose em um porão se dá por camadas. Uma vez defnda a prmera camada, as demas são repetções desta prmera. Com sso o problema passa a ser

2 bdmensonal, ou seja, um problema de empacotamento bdmensonal. Isso porque se entre uma camada e outra, as undades forem rotaconadas, de tal manera que os arames se cruzem, durante o balanço do navo, esses arames podem se partr, avarando a carga (Rbero e Lorena, 2005). Sendo assm, conforme a tpologa de Dyckhoff (1990), PEUC pode ser classfcado como sendo 2/B/O/C (bdmensonal, seleção de tens, objeto únco, tens guas), desta forma, este problema pode ser vsto com o problema de carregamento de paletes do produtor (PCPP) (HODGSON, 1982). O PCPP consste em arranjar, sem sobreposção, o máxmo possível de caxas guas sobre um palete de manera a otmzar o aprovetamento do mesmo. Consderando as dversas e possíves aplcações prátcas do PCPP, mutos métodos de soluções têm sdo estudados. Autores propuseram métodos exatos, cujos algortmos utlzam bascamente uma estrutura de árvore (DOWSLAND, 1987; ALVAREZ-VALDES et al, 2005). Entretanto, todas estas abordagens são em geral computaconalmente ntratáves em stuações prátcas, sto é, não é possível encontrar soluções exatas dentro de um lmte acetável de tempo. Outros métodos foram crados ou utlzados, entre eles estão os métodos construtvos que dvdem o palete em blocos (STEUDEL, 1979; SMITH & DE CANI, 1980), métodos recursvos (YOUNG-GUN & MAING-KYU, 2001) e métodos baseados em estruturas do tpo G4 (SCHEITHAUER & TERNO, 1996). Outros trabalhos exstentes aplcam as metaheurístcas conhecdas como Busca Tabu (PUREZA & MORABITO, 2005). Especfcamente sobre o PEUC, Rbero e Lorena (2005) aplcaram uma relaxação lagrangeana com clusters (LagClus) em problemas reas para obter lmtantes. O PEUC dfere dos problemas de palete, devdo à sua magntude. Enquanto o PCPP apresenta nstancas na lteratura com até 150 caxas, o PEUC apresenta problemas prátcos varando de 150 a 550 undades de celulose. Com sso, este trabalho vem apresentar resultados obtdos com heurístcas de bloco para o PEUC em nstâncas reas, assm como explorado por Rbero e Lorena (2005), entretanto, essas heurístcas apresentam um tempo computaconal muto nferor a LagClus e resultados guas. Além dsso, este trabalho propõe um aplcatvo web, escrto em Java, para gerar os planos de estvagem conforme dados do problema. O restante do trabalho esta dvddo da segunte manera. Na Seção 2 é apresenta a formulação matemátca do PEUC, na Seção 3 são apresentadas às teoras de partções efcentes que consttu a base para as heurístcas de bloco, na Seção 4 são apresentados resultados computaconas e na Seção 5, são apresentadas as conclusões e recomendações, seguda das referêncas bblográfcas. 2. Formulação do PEUC O trabalho de Beasley (1985), de forma geral, consdera o problema de corte bdmensonal, que consste em cortar um número de peças retangulares de um retângulo maor, de forma a maxmzar o valor das peças cortadas. Assm, o PEUC pode ser formulado usando um caso partcular da formulação de Beasley (1985). Consderando então que o porão de um navo possu comprmento L e largura W, tal que L W e, que l e w representam o comprmento e a largura das undades de celulose, respectvamente, tal que l w e l W. Pode-se representar os possíves posconamentos de uma undade de celulose no porão, como sendo ( l 1, w1 ) = ( l, w) e ( l 2, w2 ) = ( w, l). Com sso, essas posções podem ser representadas por ( l, w ) = 1, 2, que ndcam o comprmento e a largura de uma face na orentação, como mostra a Fgura 1.

3 Undade de Celulose Porão (a) Fgura 1 - Orentações possíves de uma undade de celulose: (a) horzontal (H-Undade) e (b) vertcal (V- Undade) Sejam X e Y conjuntos que representam as coordenadas (p,q) do canto nferor esquerdo das undades, meddas a partr do canto nferor esquerdo do porão. Esses conjuntos podem ser obtdos da segunte manera: (b) X 2 + = p Z p = = 1 l b, 0 p L w, b 0 entero, = 1,2 (1) 2 + Y = q Z q = = 1 wb, 0 q W w, b 0 entero, = 1,2 Seja a uma função que descreve as restrções de sobreposção de undades no porão, que pode ser obtda com antecedênca para cada posção (p,q), em relação a cada posção (r,s) para a orentação. Sendo p X p L l, q Y q W w, r X, s Y, e = 1,2. Portanto, pode-se expressar esta função como: a 1, Se 0 p r p + l 1 L 1 e 0 q s q + w 1 W 1 = pqrs (3) 0, Caso contráro Seja { 0,1} x uma varável bnára de decsão para todo p X p L l, q Y q W w, e pq =1,2. Se x = 1, então uma undade de celulose é colocada nas coordenadas (p,q) do porão pq com orentação, x = 0 caso contráro. pq Assm, o PEUC pode ser formulado como (BEASLEY, 1985): 2 v ( PEUC ) Max x (4) {p X p L l } pq = 1 {q Y q W w } Sujeto a: 2 = 1 x pq = {p X p L l } {q Y q W w } (2) a x 1, r X e s Y (5) pqrs pq { 0,1} = 1...2, p X tal que p L l, e q Y tal que q W w (6) A restrção defnda pela Equação (5) garante a nexstênca de sobreposção de undades de celulose e a Equação (6) garante que as varáves de decsão são bnáras. Para as nstâncas prátcas do PEUC, a formulação (4)-(6) produz centenas de restrções e varáves, nvablzando a solução mesmo com pacotes comercas de otmzação. 3. Partções efcentes e heurístcas de bloco Uma forma de resolver o PECU é através das heurístcas de bloco. Essas heurístcas

4 trabalham com subdvsões das dmensões do porão em função das dmensões da undade. As possíves combnações de undades, com comprmento l e largura w, na dmensão L ou W, que não excedem o comprmento ou a largura do porão, é defnda como possíves partções (BISCHOFF & DOWSLAND, 1982). Dado que (n, m) é um par ordenado ntero postvo que satsfaz: n* l m* w S (7) onde: S é a dmensão do porão (L ou W); n é a quantdade de undades de celulose com comprmento l na dmensão S; e m é a quantdade de undades de celulose com largura w na dmensão S. Todas as possíves partções da dmensão S são denotadas por F(S,l,w). Se n e m também satsfazem: 0 S n * l m * w < w (8) Então (n, m) é denomnada de partção efcente de S, segundo Martns (2003). Para a dmensão S do porão, o conjunto de partções efcentes de S, denotado por E(S,l,w), pode ser defndo usando a segunte expressão: { }, n 0,1,..., S / l e m = ( S n* l) / w (9) Com sso, uma partção efcente consttu-se em colocar a maor quantdade de undades, horzontalmente (comprmento) e vertcalmente (largura), na dmensão L ou W, de forma a ocupar toda a dmensão, não restando espaço vazo, e se não for possível, o espaço restante deve ser menor que w. Uma vez defndo partções efcentes, as heurístcas de bloco consstem em defnr blocos (conjuntos) de undades que deverão ser posconadas sobre o porão. Neste trabalho, serão utlzadas as heurístcas de 1, 2, 3, 4 e 5 blocos propostas por Steudel (1979) e Smth e De Can(1980). A Fgura 2 apresenta algumas soluções encontradas pelas heurístcas de bloco. L= 22 W = 14 l = 7 w = 3 Solução Ótma: 14 L= 21 W = 11 l = 4 w = 3 Solução Ótma: 19 L= 19 W = 13 l = 4 w = 3 Solução Ótma: 20 L= 19 W = 13 l = 5 w = 3 Solução Ótma: 16 L= 14 W = 14 l = 5 w = 2 Solução Ótma: 19 (a) (b) (c) (d) (e) Fgura 2 Heurístca de Bloco. (a) 1-Bloco, (b) 2-Blocos, (c) 3-Blocos, (d) 4-Blocos e (e) 5-Blocos Fonte: Martns (2003) 3.1. Heurístca de um bloco A quantdade de undades organzadas em L ou W é dada por: A L = L / l, A W = W / l, B L = L / w e B W = W / w, sendo A L o número de undades de comprmento l na dmensão L; A W o número de undades de comprmento l na dmensão W; B o número de undades de L

5 largura w na dmensão L; e B o número de undades de largura w na dmensão W. W Entretanto, a heurístca de um bloco arranja (empacota) todas as undades com a mesma orentação. Se A * B > A * B, então um bloco na horzontal com A * B undades (H- L W W L L W Undade), deve ser utlzado. Caso contráro, um bloco na vertcal com A W * B L undades (V- Undade), deve ser utlzado. A Fgura 2(a) apresenta a solução ótma de um problema obtda com a heurístca de um bloco. Note que o bloco apresenta a orentação H-Undade Heurístca de dos blocos As heurístcas com dos ou mas blocos, são baseadas na seleção do tamanho do prmero bloco, depos o do segundo, e assm por dante. Em seguda, ndvdualmente preenche-se cada bloco com a heurístca de um bloco. Na heurístca de dos blocos, para cada partção (n, m) em E(L,l,w), cra-se dos blocos: um com todas as undades na horzontal, com n colunas e B lnhas, e um bloco com todas as W undades na vertcal com m colunas e A W lnhas. Também gera-se, da mesma forma, dos blocos para cada partção (n, m) em E(W,l,w), e consdera-se a melhor solução encontrada. A Fgura 2 (b) apresenta uma solução com dos blocos para um problema Heurístca de três blocos A heurístca de três blocos utlza a heurístca de dos blocos. Se após computar os resultados para cada partção efcente na heurístca de dos blocos, anda exstr regões que não são utlzadas, a heurístca tenta adconar um tercero bloco nesta área não usada, seleconando a melhor solução como resultado. A Fgura 2 (c) apresenta uma solução através dessa heurístca para um dado problema Heurístca de quatro blocos Steudel (1979) e Smth e De Can(1980) propuseram a heurístca de quatro blocos, que consste em alocar um bloco com orentação fxa para cada um dos quatro cantos de uma caxa, no caso do PEUC, porão. A Fgura 2(d) apresenta uma solução produzda por esta heurístca para um problema. Maores comentáros sobre esta heurístca, assm como seu algortmo, serão apresentados com a heurístca de cnco blocos Heurístca de cnco blocos A heurístca de cnco blocos utlza a heurístca de quatro blocos para defnr uma solução. Após computar a heurístca de quatro blocos, se exstr área não utlzada, o algortmo tenta empacotar um qunto bloco neste espaço, preenchendo-o com a heurístca de um bloco. A Fgura 2 (e) apresenta uma solução produzda por esta heurístca. Bschoff e Dowsland (1982) propuseram um algortmo usando quatro loops annhados, baseados nas partções efcentes, para computar as dmensões dos quatro blocos. Sendo assm, seja ( L, W ) as dmensões de um bloco, e C = L * W a área desse bloco, tal que = Com sso, segue abaxo o pseudocódgo da heurístca de cnco blocos, conforme Bschoff e Dowsland (1982). Algortmo: P_x {} P_y {} melhor_solução 0 P_x partções_efcentes_x P_y partções_efcentes_y Para cada P_x[] Faça n 1 P_x[].n //para cada partção efcente

6 m 1 P_x[].m L 1 n 1 * w L 2 m 1 * l Para cada P_y[j] Faça //para cada partção efcente n 2 P_y[j].n m 2 P_y[j].m W 1 m 2 * l W 4 n 2 * w C 1 L 2 * W 1 Para cada P_x[z] Faça //para cada partção efcente n 3 P_x[z].n m 3 P_x[z].m L 3 n 3 * w L 4 m 3 * l C 4 L 4 * W 4 Para cada P_y[k] Faça //para cada partção efcente n 4 P_y[k].n m 4 P_y[k].m W 3 m 4 * l W 2 n 4 * w C 3 L 3 * W 3 C 2 L 2 * W 2 Se Não_Exste_Sobreposção (L 1, L 2, L 3, L 4, L 5, W 1, W 2, W 3, W 4, W 5) Então Calcule(L 5, W 5, C 5) Heurístca_de_Um_Bloco (L 5, W5) Se ((C 1 + C 2 + C 3 + C 4 + C 5) > melhor_solução) Então Melhor_solução C 1 + C 2 + C 3 + C 4 + C 5 Salve(L 1, L 2, L 3, L 4, L 5, W 1, W 2, W 3, W 4, W 5) Fm se Fm se Fm para Fm para Fm para Fm para //Função que verfca se exste o qunto bloco Não_Exste_Sobreposção (L 1, L 2, L 3, L 4, L 5, W 1, W 2, W 3, W 4, W 5) Não_Exste_Sobreposcao Verdadero Se (L 1 + L 3 > X) Então Se (W 1 + W 3 > Y) Então Não_Exste_Sobreposcao Falso Senão W 5 Y (W 1 + W 3) L 5 X (L 2 + L 4) Senão Se (L 2 + L 4 > X) Então Se (W 2 + W 4 > Y) Então Não_Exste_Sobreposcao Falso Senão W 5 Y (W 2 + W 4) L 5 X (L 1 + L 3) Fm semão Fm se Fm senão 4. Aplcações a casos reas As heurístcas de bloco apresentadas anterormente, foram mplementadas em C++. Em seguda, a partr de dados reas obtdos junto a portos brasleros, foram realzados expermentos computaconas que permtssem avalar o plano de estvagem realzado na prátca. Na Tabela 1 podem ser vsualzados dados relatvos aos porões, às undades de celulose e as soluções prátcas adotadas pelos portos. Na Tabela 2 são apresentados os resultados obtdos com as heurístcas para as nstâncas da Tabela 1. Note prmeramente que os tempos computaconas são baxos, nferores a 1 segundo. Em seguda, pode-se perceber, através das médas, que as soluções produzdas pela

7 heurístca de 5 blocos são melhores que as demas. Comparando essa heurístca com a de um bloco, percebe-se uma melhora sgnfcatva. Por camada a heurístca de 5 blocos consegue estvar 10,6 undades a mas (239,3 228,8). Porão Undade Plano de Estvagem Instânca L(cm) W(cm) l(cm) w(cm) Número de Undades I I I I I I I I I I I I I I I Méda 230,6 Tabela 1 Instâncas reas da estvagem Inst. Um Bloco Dos Blocos Três Blocos Quatro Blocos Cnco Blocos I , , , , ,04 I , , , , ,02 I , , , , ,03 I , , , , ,01 I , , , , ,03 I , , , , ,01 I , , , , ,02 I , , , , ,03 I , , , , ,03 I , , , , ,03 I , , , , ,05 I , , , , ,06 I , , , , ,03 I , , , , ,03 I , , , , ,00 Méda 228,8 0,00 236,6 0,00 237,7 0,00 239,1 0, ,3 0,028 Tabela 2 Resultados obtdos Comparando-se agora as médas obtdas na Tabela 2 com o que vem sendo realzado na prátca, percebe-se claramente uma melhora a partr da heurístca de 2 blocos. A heurístca de 1 bloco apresentou um resultado nferor (aproxmadamente 1,9 undades a menos). Por outro lado, a heurístca de 5 blocos apresentou resultados melhores, consegundo estvar 8,7 undades a mas. Vale ressaltar que esse ganho pode ser anda maor, dado que esta melhora é por camada. Consderando que um porão tem em méda 10 camadas, são 87 undades a mas embarcadas por porão. A heurístca de cnco blocos fo mplementada em Java e está dsponível em As fguras a segur, apresentam as telas com os planos de estvagem obtdos para algumas das nstancas acma.

8 5. Conclusões e recomendações Fgura 3 Plano de estvagem produzdo pela heurístca de 5 blocos Este trabalho abordou o problema da estvagem de undades de celulose (PEUC). O objetvo fo realzar uma comparação do que vem sendo realzado na prátca, com os resultados produzdos por heurístcas de bloco. Além dsso, fo mplementada uma ferramenta em Java que permte rapdamente gerar os padrões de estvagem. Verfcou-se que a heurístca de cnco blocos produz planos de estvagem mas otmzados que os realzados na prátca, em um tempo computaconal nferor a 1 segundo. Isso pode aumentar produtvdade nos portos brasleros, além de permtr uma redução dos custos logístcos envolvdos. Referêncas ALVAREZ-VALDES, R.; PARREÑO, F. & TAMARIT, J. M. A Branch-and-Cut Algorthm for the Pallet Loadng Problem. Computer and Operatons Research. Vol. 32, n. 11, p , BEASLEY, J. An Exact Two-Dmensonal non Gullotne Cuttng Tree Search Procedure. Operatons Research. Vol. 33, p , BISCHOFF, E.E. & DOWSLAND, W.B. An Applcaton of the Mcro to Product Desgn and Dstrbuton. Journal of the Operatonal Research Socety. Vol. 33, p , BRANCH, A. E. Elements of Shppng.. 7. ed. Cheltenham: Nelson Thornes, DOWSLAND, K. An exact algorthm for the pallet loadng problem. European Journal of Operatonal Research. Vol. 31, p , DYCKHOFF, H. A Typology of Cuttng and Packng Problems. European Journal of Operatonal Research. Vol. 44, p , HANDABAKA, A. R. Gestão logístca da dstrbução físca nternaconal. São Paulo: Maltese, HODGSON, T. A combned approach to the pallet loadng problem. IIE Transactons. Vol. 14, n. 3, p , MARTINS, G. H. A Packng n Two and Three Dmensons. Monterey, CA, EUA. Dssertaton. Naval Postgraduate School, PUREZA, V. & MORABITO, R. Some experments wth a smple tabu search algorthm for the manufacturer s pallet loadng problem. Computers and Operatons Research, To appear. RIBEIRO, G. M. & LORENA, L. A. N. Análse da estvagem de undade de celulose utlzando Relaxação Lagrangeana. Anas do XIX Congresso de Pesqusa e Ensno em Transporte, ANPET Vol. 2, p , SCHEITHAUER, G. & TERNO, J. The G4-heurstc for the pallet loadng problem. Journal of the Operatonal Research Socety. Vol. 47, p , SMITH, A. & DE CANI, P. An Algorthm to Optmze the Layout of Boxes n Pallets. Journal of the Operatonal Research Socety. Vol. 31, p , STEUDEL, H.J. Generatng Pallet Loadng Patterns: a Specal Case of the Two- Dmensonal Cuttng Stock Problem. Management Scence. Vol. 25, p , YOUNG-GUN, G. & MAING-KYU, K. A fast algorthm for two-dmensonal pallet loadng problems of large sze. European Journal of the Operatonal Research. Vol. 134, p , 2001.