Curvas Horizontais e Verticais

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1 Insttução: Faculdade de Tecnologa e Cêncas Professor: Dego Queroz de Sousa Dscplna: Topografa Curvas Horzontas e ertcas 1. Introdução Exstem dversas ocasões na engenhara em que os projetos são desenvolvs a partr da locação de alnhamentos compostos por retas segudas e curvas, a exemplos de arruamentos, projetos de túnes, ferrovas, rovas, traças de gasodutos, canas, entre outros. Basean-se no relevo e nos elementos geográfcos e geológcos terreno, além s fatores econômcos e de segurança, o profssonal escolhe o melhor traça para os alnhamentos e cra a dretrz de seu projeto, o qual consste bascamente de trechos retos concordas por curvas horzontas, forman um alnhamento contínuo sobre o terreno. Em seguda, toman o alnhamento projeta como referênca, levanta-se o perfl longtudnal terreno, a partr qual são projetadas as rampas e as curvas vertcas para adequar o traça alnhamento terreno. Cabe salentar que o conteú apresenta neste materal não tem como objetvo dscutr as aplcações das curvas nos projetos de engenhara. Neste sent, àqueles nteressas deverão consultar lteratura especalzada, de acor a necessdade projeto. Neste capítulo serão apresentas os detalhes geométrcos e as equações fundamentas s três tpos de curvas usadas nos projetos de engenhara: curvas horzontas crculares; curvas horzontas de transção; curvas vertcas. Curvas horzontas crculares: Uma curva horzontal, para a engenhara, deve ser entendda como arcos de crcunferênca stuada no plano horzontal projeto, conectan entre s, forman uma curva horzontal crcular. Geralmente, ela está compreendda entre s trechos de retas projetadas no mesmo plano, as quas se dá o nome de tangentes. Para os propóstos da engenhara, consderam-se três tpos de curvas horzontas crculares, cujos detalhes geométrcos serão apresentas a segur e os parâmetros geométrcos de três tpos de curvas estão relaconas no tem X: 1.1. Curva horzontal crcular smples: uma curva horzontal smples é aquela que possu um rao de curvatura R constante, conforme ndca na Fgura 1. Trata-se de uma curva prmtva, geometrcamente bem defnda e fácl de ser projetada, razão pela qual é a curva mas utlzada nos projetos de engenhara.

2 Fgura 1. Curva horzontal crcular smples. 1.. Curva horzontal crcular composta: uma curva horzontal composta é aquela formada por duas ou mas curvas horzontas crculares smples consecutvas com raos de curvatura dferentes, conforme ndca na Fgura. Em geral, este tpo de curva é pouco usa nos projetos de engenhara. O seu uso é recomenda apenas para os casos especas em que se necessta evtar obstáculos terreno, os quas não podem ser evtas com o so de curvas crculares smples de rao maor. Fgura. Curva horzontal crcular composta. Na Fgura, a reta AB é a tangente comum às duas curvas no ponto Tc e as retas T1 e T são tangentes às duas curvas. Desta forma, por serem curvas dferentes, elas geram s ângulos de deflexão (α e β, de forma que AC = α + β Curva horzontal crcular reversa: Um curva horzontal reversa é aquela formada por duas curvas horzontas crculares smples consecutvas, geralmente, de raos de curvaturas guas, porém, com centros de curvaturas opostos, conforme ndca na Fgura 3. O tratamento geométrco deste tpo de curva é, geralmente, realza consderan-as como duas curvas horzontas smples ndependentes.

3 Fgura 3. Curva horzontal crcular reversa. Na Fgura 3 as retas T1 e T são tangentes às duas curvas e o ponto TC é o ponto de concordânca das duas curvas.. Geometra e termnologa de uma curva de curvas crculares smples, composta e reversa. A segur estão descrtos os parâmetros geométrcos apontas nas Fguras 1, e 3: PI: ponto de nserção das tangentes; PC: ponto de curva ou ponto de níco da curva; PT: ponto da tangente ou ponto de fnal da curva; PM: ponto méda da curva; PC PT: corda da curva; S: ponto méda da curva; P: ponto qualquer da curva; E: dstânca externa da curva ou afastamento; AC: deflexão entre as tangentes ou ângulo central da curva; R: rao da curva; T: comprmento da tangente da curva; D: desenvolvmento da curva ou comprmento da curva; O: centro da curva 3. Curvas horzontas smples A segur estão apresentadas as equações utlzadas para o projeto e a locação de uma curva horzontal crcular smples: a. Comprmento da tangente: são segmentos de retas que unem o PC e o PT, calculas de acor a equação 1.

4 AC tg T R AC T Rtg b. Afastamento: é a dstânca entre o PI e o ponto mé da curva (PM, calcula de acor a equação.3. AC cos R dst ( OPI ( (1 R AC dst( O PI Rsec AC (.1 E dst ( O PI dst( OPM dst( OPI R (. 1 E R AC cos 1 (.3 c. Ordenada méda (S - PM: é a dstânca entre o ponto méda da curva e o ponto mé da corda, que une PC ao PT, calculada de acor com a equação 3.. AC cos dst R ( OS Como a dstânca de O-PM é gual o comprmento R, tem-se AC AC dst( S PM dst( OPM dst( OS R Rcos ou R 1 cos d. Corda (PC - PT: segmento de reta entre o PC e p PT, calculada de acor com a equação 4.. AC sen dst R ( SPT AC dst( S PT Rsen Como a dstânca S PT é a mesma que S PC, pode-se reescrever a equação 4.1 conforme a (3 (4 (4.1 equação 4., a segur, para obter o comprmento da corda (PC PT: AC corda( PC PT Rsen (4. (3

5 e. Desenvolvmento da curva: é o comprmento real da curva da pelo arco de círculo entre PC e PT, calcula de acor com as equações 5 (graus, equação 5.1 (radanos ou equação 5. (gras a segur: D Saben que R AC 360, tem-se: R AC D 180 para AC em graus (5 D AC R para AC em radanos (5.1 R AC D g 00 para AC em gras (5. f. Graus da curva ou graus da curvatura: para o caso rováro, este parâmetro é o ângulo central que corresponde a um arco de 0 metros (Fgura 6a e, para o caso ferrováro (Fgura 6b, ele é o ângulo central que corresponde a uma corda de 0 metros, calculadas de acor com as equação 6 e equação 7, respectvamente. G ,916 G 0 R R a. b. (6 G 10 sen R 10 G arc sen R Fgura 6. Grau de curva para o caso rováro (a, para o caso ferrováro (b e suas respectvas equações. (7 4, Estaqueamento alnhamento Após a defnção alnhamento com suas tangentes concordadas por curvas hprzontas. Ele é dscretza em pontos equdstantes, denomnas estaca. A equdstânca vara de acor o tpo de

6 projeto. Para rova, por exemplo, a equdstânca é de 0 metros. Já para ferrova, 30 metros. Outros valores podem ser atas de acor a exgênca projeto. O estaqueamento nca-se em um ponto determna pelo projetsta e prossegue em função da equdstânca atada, geran estacas numeradas de acor com a sua posção no estaqueamento. Quan se pretende dscretzar um ponto não correspondente a uma estaca ntera, sua posção é defnda pelo número da estaca anteror mas a dstânca, em metros, entre a estaca e ele. Assm, por exemplo, para um estaqueamento de 0 metros, um ponto a 98,576 metros o ponto ncal estaqueamento será dentfca pela estaca ,576 m. A função estaqueamento é defnr a posção s elementos projeto sobre o alnhamento. Fundamentalmente, ele defne um sstema de coordenadas lneares ao longo alnhamento, sobre o qual estão posconas tos os elementos geométrcos e construtvos projeto. As estacas PC e PT podem ser calculadas aplcan-se as equações ndcadas na sequênca. a. Estaca PC: a estaca PC é calculada a partr da estaca PI e o comprmento da tangente (T, conforme a equação 8. Estaca PC Estaca PI T (8 Estaca PT: a estaca PT é calculada a partr da estaca PC e o comprmento da curva (D, conforme ndca na equação 9. Estaca PT Estaca PC D (9 5. Pratcan 1 Num trecho da Rova BA-101 será executada uma alteração de projeto geométrco de uma curva crcular smples. Neste novo projeto a curva deverá atender às seguntes característcas técncas: Rao da curva gual a 800 metros; Estaqueamento a cada 0 metros; Estaca PI = ,498 metros; Ângulo central = 3 10.

7 6. Curvas vertcas Após a defnção alnhamento no plano horzontal, é necessáro realzar a concordânca traça projeta no plano com as varações relevo. Para tanto, levanta-se o perfl terreno e procede-se ao projeto das rampas e das curvas vertcas, de acor as dretrzes projeto. A curva vertcal, neste caso, tem a mesma função da curva horzontal, com a dferença de que, ao nvés de concordar duas retas no plano horzontal (tangentes, ela é usada para concordar duas retas no plano vertcal (rampas. Em geral, as curvas vertcas utlzadas par a concordânca de rampas, nos projetos de engenhara, são as crcunferêncas e as parábolas. No caso da crcunferênca, o tratamento da concordânca segue as mesmas regras apresentadas para o caso das curvas horzontas smples. Apresentaremos nesta seção os detalhes geométrcos e analítcos das curvas vertcas parabólcas. Assm, consderan a geometra ndcada na Fgura 7, tem-se os seguntes parâmetros para a parábola de concordânca entre as rampas 1 e. Fgura 7. Geometra da curva vertcal parabólca. PI: ponto de nterseção das rampas; PC: ponto da curva vertcal ou níco da curva vertcal; PT: ponto da tangente vertcal ou fm da curva vertcal; v: comrmento da curva na sua projeção horzontal; 1: nclnação da rampa 1, em percentagem (postvo quan ascendente e negatvo quan descendente; : nclnação da rampa, em percentagem (postvo quan ascendente e negatvo quan descendente; δ: dferença algébrca da nclnação ( Equação da parábola

8 A equação da parábola, em função s exos x e y, conforma ndca na Fgura 8, é dada pela equação 10. y ax bx c (10 Fgura 8. Geometra e equação da parábola da curva vertcal parabólca e. Consderan que a orgem da parábola concde com o ponto de concordânca entre a rampa e a parábola (PC, o termo (c é gual a zero. Impon a condção de que a parábola concorde com as rampas nos pontos (PC e (PT tem-se: y ax b (11 x Como x = 0 neste ponto, b No ponto fnal da parábola (PT, x=v. Assm, y a b (13.1 x Portanto, (1 1 a (13. y x 1x(14 8. Alttudes e estacas PC e PT Consderan que a abscssa (x é gual a dstânca horzontal entre um ponto (P qualquer da curva vertcal e o ponto (PC, a equação 14 permte calcular o valor da ordenada(y ponto (P, ou seja, a dferença de alttude entre os pontos (P e (PC para qualquer ponto (P ao longo da curva. Assm, tem-se:

9 Alttude Alttude 1 PC Alttude PI PCT Alttude PI (15 (16 Estaca PC Estaca PI (17 Estaca PT Estaca PI (18 A parábola é geometrcamente próxma da crcunferênca e, por sso, para efeto de cálculos, é comum referr-se ao valor rao vertcal (Rv como sen o rao da crcunferênca equvalente à parábola. Desta forma, o comprmento mínmo da curva vertcal pode ser calcula pela segunte equação 19. R (19 Em projetos város é comum defnr um valor para o rao vertcal e, a partr dele, calcular o valor comprmento da curva vertcal. 9. Pontos de máxmo e de mínmo da curva Para a obtenção s pontos de máxmo e mínmo da curva, basta dervar a equação da parábola em relação a x e gualá-la a zero. Assm, tem-se: y 0 1 x (0 x De onde se deduz qua a ordenada ponto de máxmo ou de mínmo é da por, y Cálculo das alttudes e flechas da parábola smples A Fgura 9 apresenta os pontos sngulares de uma curva vertcal parabólca e defne-se os parâmetros a segur: (1 f: flexa da parabólca; F: flacha máxma da parábola; M: ponto mé da curva vertcal; : Ponto máxmo da curva vertcal.

10 Fgura 9. Pontos sngulares de uma curva vertcal. O valor da flecha (f para qualquer ponto da curva pode ser calcula pela equação. No ponto (PI, onde x=v/, tem-se: f F x 8 ( (3 As coordenadas s pontos sngulares da curva vertcal são calculadas conforme ndca no Quadro 1. Quadro 1. Equações s pontos sngulares de curvas vertcas Exo Ponto x y PC 0 0 PT PI M

11 11. Pratcan Consderan o perfl de uma rova, conforme ndca na Fgura 10, onde se deseja mplantar uma curva vertcal parabólca, calcular os elementos geométrcos dessa curva. Fgura 10. Relações geométrcas de uma curva a ser mplantada. A partr s valores nformas acma, pede-se: a. Calculo comprmento da curva (v; b. Cálculo da alttude PC; c. Cálculo da alttude PT; d. Cálculo da estaca PC; e. Cálculo da estaca PT; f. Cálculo da abscssa ponto de máxma; g. Cálculo da ordenada ponto de máxma.