Capítulo 5. Movimento no plano e no espaço

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1 Capíulo 5 Moimeno no plano e no espaço Recursos com coprih incluídos nesa apresenação: hp://phe.colorado.edu

2 Descrição eorial do moimeno Uma parícula moendo-se sobre uma cura. Suas posições nos insanes e + são respeciamene r() e r( + ). Seu deslocameno no ineralo de empo é r=r( + ) - r(), Sua elocidade média será () r r r( + ) r( ) Sua elocidade no insane será r() r(+ ) ( ) d r r( lim + ) r( ) A elocidade da parícula em qualquer insane se alinha com a anene da rajeória no pono ocupado

3 d ( + ) ( ) () r lim r r MRU: a= () = + a() () = A aceleração média da parícula será r() = r ( + ) ( ) a + r() r = MUV: a= consane Sua aceleração no insane será () = + a () = + a d ( + ) ( ) a() lim Calcular () e r() a parir de a() r() = r + ( + a ) 1 r() r = + a d a = d= a d = r dr = d = a = a () = + a() r dr = r r = r() = r + () r Informação complea: a(),, r

4 O eor posição pode ser decomposo em suas componenes r = i + j + zk A deriada de uma soma é a soma das deriadas, e os uniários (i, j, k) são consanes que não se aleram no empo. Loo, em-se que d = r = i d + d j + k d z = i+ j+ z k a = d = i d + d j + k d z = a i + a j+ a z k O moimeno em 3D pode ser imainado como a superposição de rês moimenos unidimensionais independenes (), (), a () (), (), a () z(), z (), a z ()

5 Moimeno circular uniforme (MCU) Uma parícula percorre a circunferência de raio R, com elocidade de módulo consane. Sua posição r() será compleamene definida pelo ânulo ϕ Rsenϕj R r ϕ Rcosϕi r = ωr ( senϕcosϕ+ cosϕsen ϕ) r = r r() = R[cos ϕ() i+ sen ϕ()] j A elocidade da parícula será () d r dϕ = = R [ sen ϕ() i+ cos ϕ()], j dϕ ω = Sendo sua elocidade anular, () = ωr[ sen ϕ() i+ cos ϕ()] j

6 r() = R[cos ϕ() i+ sen ϕ()] j () = ωr[ sen ϕ() i+ cos ϕ()] j A aceleração da parícula será () d dϕ a = = ωr [ cos ϕ() i sen ϕ()] j r ϕ R a Loo a() = ω R[cos ϕ() i+ sen ϕ()] j De forma compaca r() = Rrˆ, () = ωrˆ, a() = ω Rr ˆ

7 a r() = Rrˆ, () = ωrˆ, a a a() = ω Rr ˆ a() apona para o cenro do círculo em qualquer pono da rajeória. a()=a c () é chamada de aceleração cenrípea. Seu módulo é ac = =ω R R

8 Moimeno circular não uniforme Uma parícula percorre a circunferência de raio R, com elocidade de módulo ariáel Sua posição r() será compleamene definida pelo ânulo ϕ r ϕ R r() = R[cos ϕ() i+ sen ϕ()] j A elocidade da parícula será () d r dϕ = = R [ sen ϕ() i+ cos ϕ()], j dϕ ω () = Sendo sua elocidade anular, () = ω() R[ sen ϕ() i+ cos ϕ()] j

9 r() = R[cos ϕ() i+ sen ϕ()] j () = ω() R[ sen ϕ() i+ cos ϕ()] j A aceleração da parícula será a a r a c ϕ R d a() = () d ϕ dω a = ωr [ cos ϕ() i sen ϕ()] j + R [ sen ϕ() i+ cos ϕ()] j dω a() = ω R[cos ϕ() i+ sen ϕ()] j + R [ sen ϕ() i+ cos ϕ()] j De forma compaca r() = Rrˆ, () = ωrˆ, d a() = ω Rrˆ + ˆ

10 r() = Rrˆ, a a c a () = ωrˆ, d a() = ω Rrˆ + ˆ a() = a () + a () c a c() = ω Rr d a () = ˆ ˆ No moimeno circular não-uniforme, a aceleração a em duas componenes, a aceleração cenrípea a c e a aceleração anencial a A epressão para a() permanece álida para uma rajeória qualquer se R for omado como o raio de curaura local da cura.

11 Moimeno de um projéil Todo corpo moendo-se próimo à superfície da Terra em uma aceleração consane que apona para o cenro da Terra, cujo módulo é, a aceleração da raidade. GM = T Próimo à superfície da Terra, r = R T e = 9,8 m/s. r Uma parícula é lançada com elocidade de módulo fazendo um ânulo θ com a horizonal: = i+ j= cosθi+ senθj senθ j θ cosθ i

12 A aceleracão da parícula será a = j Loo a = a = d = d = d = d = Inerando as equações acima em-se = Em : MRU = Em : MUV A aceleração da raidade não afea a elocidade horizonal do projéil. A aceleração da raidade não é afeada pelo alor da elocidade horizonal.

13 Duas bolas são solas do mesmo pono. Uma delas em elocidade inicial nula e a oura em elocidade inicial na horizonal. Em cada insane as duas bolas esão na mesma alura, ou seja, a elocidade horizonal da bola não afea seu moimeno na erical.

14 = = d = d = d = = d = ( ) o 1 = o Sendo = a posição inicial da parícula em-se = (1) e 1 = + () Usando (1) e () podemos eliminar e ober a equação da rajeória de um projéil. De (1) = (3) (3) em () 1 = + A rajeória de um projéil é uma parábola. o

15 o o = o / θo o 1 = + o = =,

16 Tempo de subida de um projéil ( s ) = Na alura máima do projéil, = e = s = s = Alura máima de um projéil (h) 1 = = h quando = s s 1 h= o θo h = s h h = sen s R θ Alcance de um projéil (R) álido somene se as aluras inicial e final forem iuais Desprezando a resisência do ar, o empo de subida do projéil é iual ao empo de descida. Assim o alcance na horizonal corresponde ao insane = s. R = = s R = senθ cosθ R = R = senθ

17 R = senθ Alcance máimo: sen θ = 1, enão θ = 9 o e θ = 45 o Com eceção do alcance máimo (θ = 9 o ), cada alcance pode ser ainido por dois ânulos diferenes. sen θ = R Eemplo sen θ =,5 θ θ = 3 ou θ = 18 3 = 15 θ o θ = 15 ou θ = 75 o o o o o

18 hp://phe.colorado.edu θ=45 o, θ=15 o, θ=75 o

19 Eemplo 5. Um carro esá num pono de uma esrada onde a raio de curaura é de 5 m. Sua elocidade é de 3 m/s e aumena a uma aa de, m/s. Calcule o módulo da aceleração do carro. a= a + a c Soma eorial e a c perpendicular a a a c a a = a + a c R a a c = R = 3 m/s 5 =1,8 m/s a =, m/s a = a + a = 1,8 +, m/s =,7 m/s c

20 Eemplo Um menino rola uma bolinha sobre uma mesa, e esa cai, de uma alura H (er Fiura abaio). Se a elocidade inicial da bolinha é, a que disância D da projeção da borda da mesa ela aine o piso? H De () em-se = Quando = D, = Em, MUV: = + D. =, = H 1 = H (1) Em, MRU: = + =, = = () Subsiuindo ese alor de em (1): D = H D = H 1 1 = H

21 Eemplo A pedra acera o mico? Um menino ê um mico pendurado em uma árore e lhe aira uma pedra usando seu esilinue. Eaamene no insane em que a pedra é airada, o mico sola-se do alho preendendo cair ao solo e depois escapar da perseuição. Ficará o mico lire de ser ainido pela pedra? h o θ As coordenadas da pedra são p = 1 p = A pedra aine p =d em = d d d 1 d p d = O menino mira o mico 1 d p = h A coordenada do mico é 1 m = m + m Quando = d 1 d m = h θ = = h m = p, enão o mico é ainido! h d 1 =

22 Problema 5.6 Um aião preende lançar equipameno de salameno para um náufrao. O aião oa à aliude de m, numa linha horizonal que passa sobre o náufrao, com elocidade de 3 km/h. O náufrao é obserado por uma lunea que faz um ânulo θ com a horizonal. A que ânulo θ de isão o equipameno dee ser solo, para que ele caia próimo do náufrao?. 1 Em, MUV: = + 1 θ = h () h De (1) = em () θ R 1 = h h θ = R 1 R Quando =, =R = h Calcular R, ou seja, quando = h h =, = m, = h R = R = = 53,4 m Em, MRU h = θ = =,376 θ =,6 + = (1) R

23 Problema 5.8 Um projéil é lançado com elocidade = m/s fazendo um ânulo de 6 o com a horizonal. Ele aine um pono em um plano eleado de uma alura H em relação ao pono de lançameno. Sua rajeória final faz um ânulo de 45 o com o plano. (a) Calcule o módulo da elocidade final do projéil. (b) Deermine H. θ H θ f f a) Calcular f Em, MRU ( é consane) f = = cosθ Mas = cosθ f f f cosθ = cosθ f f cosθ f = = 14,1 m/s cos θ f b) Calcular H Em, MUV 1 = + = m. Quando =H, = f 1 H = senθ f f (1) Ober f = senθ = senθ senθ + senθ f f f f f f =,78 s () em (1), H = 1,3 m = ()

24 Moimeno relaio no espaço Consideremos duas parículas cujas posições no insane sejam r 1 () e r (). A posição da parícula em relação à parícula 1 é definida pelo eor R ( 1 ) = r ( ) r ( ) A elocidade e a aceleração da parícula em relação à parícula 1 são V R dr dr d 1 = = V = 1 A d R d r d r1 = = A= a a1

25 Eemplo No cruzameno de duas ruas, uma na direção Lese-Oese e a oura na direção Nore-Sul, há um sinal luminoso. Um carro, indo para o Nore, passa pelo cruzameno com elocidade de 7 km/h, a qual é manida consane. 1 s depois, o sinal abre para a oura rua e ouro carro, indo para o Lese, arranca com aceleração consane de 5, (km/h)/s. Calcule a posição, elocidade e aceleração do seundo carro em relação ao primeiro 15 s após a arrancada do carro. r 1 R = r - r 1 1 = 1j = ( +a ) i = ai V = = ai j 1 1 r a1 = a = ai Escolhendo = o insane em que o seundo carro arranca: r = r = ( r1 + 1) j 1 1 r = r + + a = a i R = r r1 = 1 ( + ) j 1 1 a i r A= a a1 =ai Ouro jeio: d V = R = ai dv A = = ai 1 j

26 Eemplo Um menino, iajando na carroceria de uma caminhonee que se moe em uma pisa horizonal, ena descobrir em que direção em de joar uma pedra para cima para que ela caia de ola em suas mãos. Depois de alumas enaias, descobre que em de joá-la na direção que lhe parece ser a erical. Demonsre esse resulado. o c om c c c c

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