Capítulo 9 Rotação de corpos rígidos

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1 Capítulo 9 Rotação de corpos rígdos Defnção de corpo rígdo (CR): um sstema de partículas especal, cuja estrutura é rígda, sto é, cuja forma não muda, para o qual duas partes sempre estão gualmente dstantes Neste capítulo amos analsar apenas o momento de rotação do CR em torno de um eo fo.

2 9. Velocdade angular e aceleração angular Vamos consderar a rotação de um CR em torno do eo Qual aráel descree o momento de rotação?. Escolhe-se um ponto de referênca arbtráro () no CR y. A projeção da posção de no plano y fa um ângulo com o eo 3. A coordenada angular (medda em radanos) descree completamente a orentação do CR Lembrando do ângulo em radanos (rad): s r r s

3 Velocdade angular méda: se o CR gra de a entre os nstantes t e t, então m t t t (o índce ndca rotação em torno do eo ) Velocdade angular nstantânea: lm t t d Note a analoga com a cnemátca em D: Note que todos os pontos do CR têm a mesma elocdade angular, mas podem ter dferentes elocdades escalares. Eemplo: rotação da Terra A e B têm a mesma elocdade angular, mas têm elocdades escalares dferentes

4 Velocdade angular como etor: dreção ao longo do eo de rotação e sentdo dado pela regra da mão dreta Note que esta conenção é consstente com o snal da derada: d y

5 Mas e a coordenada angular, é também um etor? Não podemos assocar um etor ao deslocamento angular, pos etores deem obedecer às regras da soma etoral, o que não acontece neste caso. or eemplo, a soma etoral é comutata ( A B B A), mas duas rotações sucessas fetas em ordens dferentes dão resultados dferentes! ˆ yˆ yˆ ˆ (a menos que os ângulos de rotação sejam nfntesmas)

6 Aceleração angular méda: se a elocdade angular ara de a entre os nstantes t e t, então α m t t t Aceleração angular nstantânea: α lm t t d Contnuando a analoga com a cnemátca em D: Aceleração angular também é um etor: α d a α Aceleração e elocdade angulares no mesmo sentdo: rotação acelerada Aceleração e elocdade angulares em sentdos opostos: rotação retardada

7 9. Rotação com aceleração angular constante Usando a analoga com a cnemátca em D, obtemos: Momento retlíneo com aceleração constante Rotação em torno de um eo fo com aceleração angular constante ( ) ( )t a t a t t a a constante ( ) ( )t t t t constante α α α α Eemplo: Y&F 9.3

8 9.3 Relação entre cnemátca lnear e cnemátca angular Lembrando que: s s r r r s Derando: ds d ds d r r r Onde: ds (elocdade escalar) d (elocdade angular escalar)

9 Derando mas uma e: d d r r a tg αr Onde: d atg (componente tangencal da aceleracao) d α (taa de aracao da elocdade angular escalar) α α, mas α (Note que: ) α Fnalmente, lembramos que: r a rad r (aceleração centrípeta)

10 9.4 Energa no momento de rotação Consdere um CR em rotação com elocdade angular A energa cnétca do CR será a soma das energas cnétcas de todas as partículas que compõem o CR: Sabemos que Assm: K K r m r m (todas as partículas têm a mesma el. ang.) Onde defnmos o momento de nérca do CR em relação ao eo de rotação: m r Undades S..: kg.m

11 Notem uma noa analoga entre o momento lnear de translação de uma partícula e a rotação de um CR em torno de um eo fo: K K m (translação) (rotação) Momento de nérca: Defne a nérca para o momento de rotação (nérca rotaconal) Não depende apenas da massa do CR, mas também de como ela está dstrbuída (dos objetos de mesma massa podem ter momentos de nérca dferentes) Não é uma propredade ntrínseca do CR, mas depende da escolha do eo de rotação

12 Eemplo: sstema com massas m de dmensões despreíes (partículas) undas por uma haste fna de comprmento l e massa despreíel Eo Eo m l m Eo 3 Eo : l l m m ml Eo : Eo 3: ( ) m( l) m ml ( ) ( ) 3 m m

13 Momentos de nérca de dstrbuções contínuas de massa: m r r dm r ρdv

14 Eemplo: Y&F 9.9 Energa potencal grataconal para um corpo com massa dstrbuída: y Y cm y M c.m. g m U m gy g m y gmycm Como se toda a massa estesse concentrada na posção do c.m.

15 9.5 Teorema dos eos paralelos M y y a c.m. b m Vamos relaconar os momentos de nérca cm (em relação a um eo que passa pelo c.m.) e (em relação a um eo que passa por um ponto qualquer, paralelo ao eo que passa pelo c.m.) ( ) cm mr m y m [( a) ( y b) ] ( a a y by b ) m ( ) ( ) y a m b m y a b m ( a ) cm amx cm bmycm M b m

16 y M y a m d b cm Md c.m. ( a ) cm amx cm bmycm M b Teorema dos eos paralelos Vamos erfcar que funcona para uma haste fna: cm ML L ML ML etremdad e cm M 4 3 ML

17 rómas aulas: 4a. Fera /: Não haerá aula 6a. Fera 4/: Aula de Eercícos (sala A-37) 4a. Fera 9/: Aula Magna (sala A-343)