Elementos de Análise Tensorial

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1 Elementos de Análse Tensoral Notas para cadera de Mecânca Aplcada II Ano Lectvo 004/05 F. J. P. Lau & P. J. S. Gl 9 de Junho de 005 Conteúdo Introdução 3 Cálculo tensoral 3. Sgnfcado geométrco das componentes contravarantes e covarantes 5. Transformações não lneares Les de transformação Coordenadas clíndrcas Vectores de base: nova defnção Métrca 6 3. Propredades e característcas Tensores: le de transformação tensoral 9 5 Álgebra de tensores 0 5. Mnemónca para o cálculo matrcal Componentes físcas 3 7 Transferênca das componentes de um vector 5 8 Dervada Covarante 6 8. Símbolos de Chrstoffel em coordenadas ortogonas Operadores dferencas 3 9. Gradente de uma função escalar Dvergênca de um vector (contravarante)

2 9.3 Laplacano de uma função escalar Rotaconal de um vector Dferencal absoluta e ntrínseca Aceleração em coordenadas curvlíneas Velocdade e aceleração em coordenadas polares Aplcações 38. Coordenadas clíndrcas Coordenadas esfércas A Le de transformação de Γ ị k 43 B Fórmula para o cálculo de Γ ị k 44 C Fórmula para o cálculo de Γ k 45 Exercícos propostos 47 Bblografa 55 Índce remssvo 56 Lsta de Fguras Referencal não ortonormado Referencal ortonormado Coordenadas polares Coordenadas curvlíneas Superfíces coordenadas no Referencal clíndrco Curvas coordenadas no Referencal clíndrco Representação gráfca do vector v

3 Introdução A análse tensoral é utlzada com enormes vantagens em Engenhara. A Mecânca dos fludos e a Mecânca dos Sóldos são áreas onde esta se revela uma ferramenta mportante e onde mutos problemas (.e. as equações que descrevem os fenómenos assm como as suas soluções) podem ser smplfcados quando resolvdos num sstema de coordenadas adequado. Por exemplo, no cálculo do volume de uma esfera, as suas condções frontera são medatas em coordenadas esfércas (r R ), o mesmo não se passando em coordenadas cartesanas (x + y + z R ); a força gravítca em coordenadas esfércas apresenta apenas uma únca componente (radal), enquanto que o seu cálculo não é de todo tão smples quando efectuado em coordenadas cartesanas. Como se verá mas tarde, a análse tensoral smplfca estes cálculos, ao esquematzar todo o tpo de transformações e dervadas de vectores, e ao transformar as operações vectoras em expressões de fácl e clara dedução. Cálculo tensoral Consderemos um espaço vectoral E de dmensão n e e = { e, e,..., e } uma n base desse espaço. Todo o vector a E pode ser representado na base ndcada a = n a e = a e () = em que a são as componentes do vector a (nessa base). Atente-se na posção que o índce apresenta nas componentes e nos vectores de base: enquanto o índce das componentes aparece em sobrescrto, os vectores de base serão referencados por um índce em subscrto. Por razões que serão dadas mas tarde, esta escolha não é aleatóra e deve ser respetada. Consderemos também as funções lneares ε ( e ) = δ, que nos dão as componentes de um vector: onde δ é o símbolo de Kronecker: ε ( a) = ε (a e ) = a ε ( e ) = a δ = a, () δ = { se = ; 0 se. (3) As funções ε consttuem uma base de um novo espaço vectoral E, denomnado espaço dual de E. Ao espaço E e à sua base dão-se os nomes de espaço natural e 3

4 base natural, respectvamente. Qualquer função f E, caracterzada por f( e ) = f pode ser escrta na base ε,f = f ε, tendo-se f( e ) = f ε ( e ) = f δ = f (4) É fácl provar que o espaço dual E é um espaço vectoral com a mesma dmensão de E (apresenta nclusve as mesmas propredades de E, sendo um somorfsmo deste espaço), podendo-se escrever a E : a = a e ; (5) f E : f = f ε. (6) onde ε( e ) = δ. Pelo que fo dto atrás, conclu-se que a aplcação de funções lneares a vectores leva à necessdade da utlzação de dos espaços vectoras dstntos: o espaço natural E, onde se stuam os vectores que pretendemos estudar, e o seu espaço dual E, em que caracterzamos as funções a aplcar aos vectores. Como á se referu, estes dos espaços apresentam as mesmas propredades; através do produto nterno, podemos dentfcar cada função v de E com um vector v do espaço natural E, : v ( a) = v a, a E. (7) A cada vector v corresponde um e um só vector v. Deste modo, passamos apenas a trabalhar no espaço natural E, ao representar cada vector v pelo seu correspondente v. Para que ambos os vectores v e v tenham as mesmas componentes, defne-se uma nova base em E, e base dual de E (embora sea defnda no espaço natural): v = v ε = v ε; (8) v = v e. (9) Contudo o vector v contnua a poder ser defndo na base natural e por v = v e ; em partcular: v ( e ) = v e v ε( e ) = v e e δ = e e. (0) Esta últma equação exprme uma regra fundamental da análse tensoral, dado relaconar as duas bases (natural e dual) de qualquer referencal: e e = δ. () 4

5 A partr deste momento as componentes de cada vector serão desgnadas conforme a base a que dgam respeto: v componentes contravarantes de v (representado por um vector coluna); v componentes covarantes de v (representado por um vector lnha). Os índces das componentes são desgnadas por índces covarantes ou índces contravarantes, consoante as componentes seam covarantes ou contravarantes, respectvamente. Os índces contravarantes encontram-se sempre representados em sobrescrto ( em cma ) enquanto que os índces covarantes representam-se sempre em subscrto ( em baxo ).. Sgnfcado geométrco das componentes contravarantes e covarantes Em R, as componentes de um vector numa dada base são dadas pela sua decomposção vectoral, onde se traçam paralelas a um vector de base e a ntersecção destas com o outro vector de base ndca cada componente; é o que se desgna usualmente por regra do paralelogramo. O mesmo pode ser efectuado para as componentes contravarantes de um vector, a partr de paralelas aos vectores de base natural; como se observará mas tarde estas paralelas são perpendculares aos vectores da base dual. Exemplo. consdere-se um referencal não ortogonal e não normado, e um vector v caracterzado nesse referencal (fgura ): v = v e + v e, com e =, e =. As componentes contravarantes são calculadas ndrectamente pela decomposção vectoral de v na drecção dos vectores de base (usando a regra do paralelogramo): OP = v e OP = v e v = ± OP e. Os vectores de base dual podem ser calculados pela relação fundamental (): e e e = e e = 0 e e ; e e ; e = δ e e = e e = e e sn(π/3) = [ ] e = e sn(π/3) 5

6 x P x e e P π / 3 v 0 e P x e P x Fgura : Referencal não ortonormado. tendo-se então: e = / 3.; e = / As componentes covarantes podem ser calculadas da mesma forma: e e OP v = v + v = v e OP = v v = ± OP e e No caso partcular (mas extremamente usual) do referencal ser ortonormado (fgura ), conclu-se faclmente que as duas bases concdem, o mesmo acontecendo então com as componentes contravarantes e covarantes: { e e e = e = e e ; e e v v ; v v O caso acma referdo descreve a utlzação de um referencal cartesano na resolução de problemas, em que não se dstngue os dos referencas e, portanto, tal notação não é mportante. É quando se sa do referencal cartesano e se começam a utlzar outros tpos de referencas (e.g. polares, clíndrcos, esfércos) que a utlzação da formulação tensoral se torna essencal. 6

7 x x P P v e e 0 e e P P x x Fgura : Referencal ortonormado.. Transformações não lneares Consderemos como exemplo as coordenadas polares, defndas pela transformação: { x = r cos θ; () y = r sn θ. Verfca-se faclmente que ao varar a coordenada r, com a coordenada θ fxa, estamos a deslocar-nos ao longo de uma recta de nclnação θ, que passa pela orgem: y/x = tan θ y = x tan θ (vde fgura 3); do mesmo modo, a curva que se obtém quando se vara θ (mantendo-se fxa a coordenada r) corresponde a uma crcunferênca de rao r, centrada na orgem: x +y = r. De uma forma genérca, temos a defnção de curva coordenada x : curva que se obtém quando se vara a coordenada x (e todas as outras se mantêm constantes). As curvas coordenadas estão defndas em todos os pontos do espaço: no ponto (r =, θ = π/3), as curvas coordenadas r e θ serão dadas por y = x 3 e x + y = 4, respectvamente. Um exemplo muto smples de curva coordenada podese encontrar nas coordenadas cartesanas: ao manter a coordenada x constante e ao varar y, estamos a defnr uma recta vertcal curva coordenada y ou exo coordenado y; o mesmo pode ser dto em relação ao exo coordenado x. O racocíno atrás elaborado pode ser generalzado para o caso em que apenas uma coordenada é mantda constante: temos então a defnção de superfíce coordenada x. Para as coordenadas cartesanas, a superfíce coordenada z consste no plano z = const. 7

8 .. Les de transformação Voltemos ao caso anteror das coordenadas polares. A varação ncremental de r ao longo de e r pode ser dada em função dos vectores de base do novo referencal ou do antgo: Como dr = ( r/ x ) dx, temos d r = dr e r = dx e x + dy e y = dx e. (3) r x dx e = dx e e = x dx r r r dx e = x r δ e ; (4) Podemos então escrever a relação entre e e os vectores naturas do referencal r ncal: e = x r r e. (5) O mesmo racocíno pode ser desenvolvdo para θ: tendo-se, de uma forma geral: e θ = x θ e, (6) e = x x e = X e. (7) onde X = x / x é a matrz das dervadas parcas matrz de transformação nversa. Repare-se que o índce de cma representa sempre o índce lnha, sendo o índce de baxo o índce coluna, na representação matrcal. Como qualquer vector pode ser representado nos dos referencas v = v e = v e, ( ) v e = v X e = X e v = X v, (8) v podemos escrever a le de transformação das componentes contravarantes: v = X v, (9) onde X = x / x = [X ] é defnda também como uma matrz de dervadas parcas (nversa da matrz X ) matrz de transformação drecta. Note-se que o novo sstema de coordenadas caracterzado por (7) ou (9) tem de se encontrar bem defndo; ou sea, o determnante da matrz de transformação drecta (ou nversa) não pode ser nulo, ou tomar o valor nfnto: det(x ) 0,. (0) 8

9 O produto nterno entre dos vectores v u = v e u e = v u ( e e ) = v u δ = v u ( ) = v e u e = v u e e = v u δ = v u, permte-nos determnar a relação entre as componentes covarantes através da gualdade v u = v u v u = v X u v = X v v = X v. () Resta deduzr a le de transformação dos vectores de base dual; da dentdade e v = v = v e, temos e v = X v e e = X e e e. = X () Estamos agora em condções de explcar a razão do nome dado às componentes: Componentes covarantes: têm a mesma le de transformação dos vectores de base naturas e ; Componentes contravarantes: transformam-se através da transformação nversa (contrára) dos vectores de base naturas e. No caso partcular das coordenadas polares, a matrz de transformação nversa é dada por: ( ) ( ) x/ r x/ θ cos θ r sn θ X = = (3) y/ r y/ θ sn θ r cos θ pelo que os vectores de base natural das coordenadas polares, apresentam as seguntes componentes, na base cartesana: e = X e = X e + X e = cos θ e + sn θ e e r e = X e ( ) (4) e = X e = X e + X e = r sn θ e + cos θ e e θ em que e e x, e e y. Para o cálculo dos novos vectores de base dual, basta calcular a matrz de transformação drecta, ou sea a nversa da matrz X : X = [ ( ) ] X r cos θ r sn θ =, (5) r sn θ cos θ 9

10 y e θ P (r,θ ) e r Curva coord. r (Sup. coord. θ) 0 Curva coord. θ (Sup. coord. r) x Fgura 3: Coordenadas polares tendo-se fnalmente: e e = X r e = X θe = X e = X e = X e + X e + X e = cos θ e + sn θ e e = ( sn θ ) (6) e r e + cos θ Como se pode constatar faclmente (fgura 3), o vector de base natural e θ é tangente à crcunferênca de rao r, no ponto de coordenadas (r, θ); do mesmo modo, o vector de base natural e r apresenta um declve dado por tan θ = y/x. De um modo geral, os vectores de base apresentam as seguntes propredades: Os vectores de base natural são tangentes à curva coordenada respectva; Os vectores de base dual são ortogonas à superfíce coordenada dada pelo mesmo índce. Num espaço a duas dmensões (x,x ) a curva coordenada x concde necessaramente com a superfíce coordenada x a superfíce coordenada resume-se a uma curva, no plano x x pelo que cada vector de base natural (dual) é sempre tangente (perpendcular) à respectva curva coordenada (à curva coordenada oposta), como se pode observar na fgura 4. 0

11 e Curva coord. x (Sup. coord. x ) y P e e e y y e e Curva coord. x (Sup. coord. x ) 0 e x ex x Fgura 4: Coordenadas curvlíneas.. Coordenadas clíndrcas As coordenadas clíndrcas representam apenas uma extensão natural das coordenadas polares para três dmensões, em que a coordenada z não é alterada; são defndas usualmente pela sua transformação nversa: x = r cos θ; y = r sn θ; z = z. Caso sea necessáro, pode-se sempre utlzar a transformação drecta, defnda pelas relações: r = x + y ; (8a) θ = arctan (y/x); (8b) z = z. (8c) Estas últmas equações (8a-c) permtem deduzr faclmente as curvas coordenadas e, consequentemente, as superfíces coordenadas (fgura 5): ao manter a coordenada z constante, e varando as coordenadas r e θ, obtém-se um plano horzontal de cota z superfíce coordenada z; da mesma forma a varação de z e θ com r fxo (8a), permte defnr um clndro vertcal de rao r, centrado no exo z (superfíce coordenada r); fnalmente ao gualar (8b) a uma constante, e ao permtr a varação de r e z, temos uma plano vertcal que contém o exo z, de nclnação θ = arctan (y/z) superfíce coordenada θ. As curvas coordenadas são dadas pelas ntersecção das superfíces coordenadas das outras coordenadas: por exemplo, (7)

12 a curva coordenada θ (uma crcunferênca horzontal) resulta da ntersecção das superfíces coordenadas r e z (fgura 6). A matrz de transformação nversa é calculada como anterormente: X = x x = x/ r x/ θ x/ z cos θ r sn θ 0 y/ r y/ θ y/ z = sn θ r cos θ 0 (9) z/ r z/ θ z/ z 0 0 pelo que os vectores de base natural são dados pelas expressões: e = X e = r X e + X e + X3 e (cos θ, sn θ, 0) 3 e = X e e = X e = θ X e + X e + X3 e r ( sn θ, cos θ, 0) 3 e = X3 e = z X 3 e + X 3 e + X3 3 e (0, 0, ) 3 (30) Generalzando o racocíno para os vectores de base dual, conclu-se que estes são também semelhantes aos vectores de base dual do referencal polar, bastando acrescentar um dmensão (cua componente é nula) aos respectvos vectores duas r e θ; o vector dual z concde com seu natural e z : r e = (cos θ, sn θ, 0) θe = ( sn θ, cos θ, 0) r z e = (0, 0, ) (3) Exemplo. Consderemos a transformação de coordenadas: ( ) / x = X x com X = / e a sua transformação nversa: x = X x com X = + e = X e = X e + X e }{{} colunas da matrz X ( ) ( ) =. / / / / Assumndo que o referencal x é o referencal cartesano, temos ( ) e = / e = ( ) /

13 z Superfíce coordenada r Superfíce coordenada θ P Superfíce coordenada z y x Fgura 5: Superfíces coordenadas no Referencal clíndrco. z Curva coordenada z Curva coordenada θ e z P e r e θ Curva coordenada r y x Fgura 6: Curvas coordenadas no Referencal clíndrco. 3

14 e e = X = X e + X e }{{} lnhas da matrz X e = ( / ) e = ( / ) Um vector v = e + e ( = e e + ) pode ser representado pelas componentes contravarantes e covarantes: ( ) v = ; v = ( ) ; no novo referencal, as componentes do vector v são dadas por: ( ) ( ) ( ) / 3/ v = X v = = v = / / 3 e + e v = X v = ( ) ( ) / / = ( 3/ / ) v = 3 e e.3 Vectores de base: nova defnção Uma das grandes vantagens da utlzação do cálculo tensoral na formulação de problemas mecâncos, consste em não termos de utlzar a notação vectoral: cada vector v passa assm a ser representado pelas suas componentes v ou v. Contudo, contnua a ser necessáro, em alguns casos, exprmr os vectores de base (nomeadamente, quando temos de calcular as suas dervadas, como veremos mas tarde). Surgu então a dea de representar cada vector de base em função da sua própra base (ou eventualmente, da base do referencal ncal, quando se aplcou uma transformação de coordenadas): onde se utlzaram novas defnções: e = e e = e e (3) e e componentes dos vectores de base natural do referencal x, escrtas à custa dos vectores de base do própro referencal x ; componentes (contravarantes) dos vectores de base natural do referencal x, escrtas no referencal x. 4

15 x x 3 e x x e e e e e v e 3 e x e 0 e e x e Fgura 7: Representação gráfca do vector v. Por exemplo, e representa a segunda componente do vector e, dado na sua própra base. Verfca-se faclmente que exste uma relação entre as componentes atrás defndas e as matrzes de transformação: e = X vectores coluna da matrz nversa X ) e = X = δ ( e = e + 0 e +... De gual modo, as componentes dos vectores de base dual são dadas por: e e = e = e e (33) Utlzou-se na gualdade, dado esta não ser uma gualdade matemátca: estamos a gualar colunas de uma matrz com város vectores coluna. 5

16 onde se defne: e e componentes (covarantes) dos vectores de base dual do referencal x, escrtas no referencal x ; componentes dos vectores de base dual do referencal x, escrtas à custa dos vectores de base do própro referencal x. Temos também a dentfcação: e = X vectores lnha da matrz drecta X e = X = δ No exemplo anteror, obtém-se faclmente as componentes dos vectores de base, usando as novas defnções: ( ) ( ) e = X = e / ; e = X = e / ; e = X = ( / ) e ; e = X = ( / ) e. 3 Métrca O produto nterno entre dos vectores pode ser calculado faclmente, se utlzarmos as duas bases (natural e dual) na representação dos dos vectores: a b = a e b e = a b e e = a b δ = a b = a e b e = a b e e = a b δ = a b. O mesmo não se passa com o produto nterno quando os dos vectores estão defndos na mesma base, pos não se sabe de antemão qual o valor do produto nterno entre vectores de gual varânca: a e b e = a b e e e e =? a b = e e e e e e a b = a b =? A regra tão conhecda para o cálculo do produto nterno de dos vectores, em que o produto nterno é dado pela soma dos produtos das componentes, só é válda 6

17 num referencal em que os vectores de base natural seam ortogonas, e em que a sua norma sea untára: a b = a b e e = a b e e + a b e e + a b 3 e e = a b + a b 0 + a b = a b + a b + a 3 b 3. (34) De uma modo geral, tornou-se necessáro defnr uma nova grandeza métrca que corresponde ao produto nterno de vectores de base natural (métrca covarante) e dual (métrca contravarante): Matrz métrca contravarante g = e e (35) Matrz da métrca covarante g = e e (36) Repare-se que, em qualquer referencal ortonormado (em que os vectores de base são ortogonas e apresentam norma untára) as métrcas são dêntcas entre s e guas à matrz dentdade: { e e e = e e = δ g = δ (e da mesma forma: g = δ ). 3. Propredades e característcas A métrca apresenta algumas propredades, que se vão revelar extremamente útes nos cálculos posterores, nomeadamente: as duas métrcas são smétrcas: g = g ; g = g ; permtem o cálculo das componentes covarantes de um vector a partr das componentes contravarantes (descda de índces): a e = a e e = a g = a g e = a e = a δ = a a = g a ; assm como o nverso (subda de índces): a e = a e e = a g = a g = a e e = a δ = a a = g a ; 7

18 a matrz da métrca covarante é nversa da matrz da métrca contravarante (e vce-versa): a g = a g k a k g = δ k a k g g k = δ k. O cálculo da métrca covarante num novo referencal pode ser sempre efectuado a partr da métrca (covarante) do antgo referencal: g = e e = X e X e = X X e e g = X X g ; (37) o mesmo se pode dzer da métrca contravarante: g = e e e = X X e = X e e X g = X X g ; (38) Utlzando a defnção de g para o determnante da matrz da métrca covarante g = det(g ), e de X para o determnante da matrz de transformação drecta X, temos: det(g ) = det(x ) det(x ) det(g ) g = X g (39) O elemento de arco (ds ) fca defndo em qualquer referencal pela relação: ds = d x d x = ( dx e ) ( dx e ) = ( e e ) dx dx ds = g dx dx. (40) Num referencal ortonormado, temos g = δ, pelo que o elemento de arco é dado pela equação á conhecda: ds = δ dx dx = ( dx ) + ( dy ) + ( dz ) +... Exemplo 3. Para o caso á estudado das coordenadas polares, as matrzes das métrcas covarantes e contravarantes podem ser calculadas por quasquer das relações acma dadas. Dados os vectores de base natural (4), é possível calcular a métrca covarante através da sua defnção (36): g = e e = ( ( e e ) ( e e ) ( e e ) ( e e ) ) ( ) ( er e ) ( e e ) = r r θ = ( e e ) ( e e ) θ r θ θ ( ) 0 0 r Note-se que a métrca é dada por uma matrz dagonal: como o referencal é ortogonal, o produto nterno de dos vectores de base natural é nulo, a não ser que seam dêntcos (.e. elementos da dagonal da matrz da métrca covarante). A matrz da métrca contravarante poda ser calculada do mesmo modo, ou pela le de transformação tensoral da métrca contravarante (38); contudo, sempre que a métrca covarante é dada por uma matrz dagonal, a sua nversa é medata: g = (g ) = ( 0 0 r ). 8

19 4 Tensores: le de transformação tensoral Nos capítulos anterores, desenvolvemos algumas técncas que nos permtem conhecer o valor das componentes de algumas multplcdades de ordem (vectores), ordem (matrzes das métrcas) e de ordem 0 (determnante da métrca) num novo referencal, caracterzado por v = X v : O vector de componentes contravarantes v = v e (vector contravarante) passa a ser dado por v = v e, onde v = X v ; O vector de componentes covarantes v = v e (vector covarante) passa a ser dado por v = v e, onde v = X v ; As métrcas contravarante e covarante obedecem às les de transformação: g = X X g ; g = X X g ; O determnante g da matrz da métrca covarante tem como le de transformação g = X g. De um modo geral, podemos dzer que todas as entdades matemátcas com que vamos trabalhar, caracterzadas por uma multplcdade num dado sstema de coordenadas, terão de obedecer a uma le geral de transformação: t,..., k,..., l = X p X... X k k X... X l t,..., k l,..., l, (4) com X = det(x ). As multplcdades que obedecem a esta le de transformação são desgnadas por tensores; deste modo, a le (4) é conhecda por le de transformação tensoral. Um tensor é defndo por: { p = 0 Tensor absoluto Peso p : p 0 relatvo k + l = 0 Escalar k + l = Vector Ordem k + l : k + l = Matrz k + l 3 Tensor Dado que uma multplcdade é apenas um conunto de números, estamos necessaramente a cometer um abuso de lnguagem: um tensor é uma entdade matemátca que obedece à le de transformação tensoral, sendo caracterzado por uma multplcdade em cada sstema de coordenadas. 9

20 k 0 = l Tensor contravarante Varânca k, l : k 0 l msto k = 0 l covarante Exemplo 4. Apresentam-se de seguda alguns tensores:. Vector contravarante de peso : v = X X v.. Tensor absoluto msto de ordem : a = X X a. 3. Tensor absoluto covarante de ordem 3 : a k = X X X k k a k. 4. Matrz dentdade msta: δ = X X δ [ ] [ ] X X I. Nota: as matrzes dentdade contravarante δ e covarante δ não são tensores, vsto a sua transformação tensoral não resultar novamente em matrzes dentdade. 5. Escalares absolutos: a = a. A temperatura num dado ponto de um corpo, ou a função potencal (gravítca, elástca), não dependem do referencal utlzado. 6. O vector dferencal d x = dx e é um vector contravarante: dx = x x dx = X dx. 7. As dervadas parcas de um escalar φ consttuem um vector covarante: φ = φ x e = φ x e : 5 Álgebra de tensores φ x = x x φ x φ = X φ x x. Os tensores podem ser defndos como multplcdades em cada sstema de coordenadas, pelo que obedecem à álgebra de multplcdades (vde Gl & Lau, 00); a únca dferença resde na posção dos índces, que condcona as operações. Destacam-se algumas regras a que os tensores obedecem: Adção dos tensores da mesma ordem, peso e varânca (desgnados do mesmo tpo) podem ser somados ou subtraídos, tendo-se como resultado um tensor com a mesma ordem, peso e varânca: c ḳ lm = a ḳ lm + b ḳ lm. 0

21 Produto o produto de dos tensores é obtdo multplcando as suas componentes c ḳ lm = a lm b k. A ordem e varânca do novo tensor é dada pela soma das ordens e varâncas dos tensores multplcados. Contracção é possível contrar um índce contravarante com um índce covarante, obtendo-se um tensor de ordem n (em que n é a ordem do tensor orgnal): c ị k c ị k = c.k + c.k +... = c k. Nota: a contracção de índces com a mesma varânca só é válda em referencas ortonormados. Subda e Descda de índces as métrcas covarantes e contravarantes permtem descer e subr os índces de um tensor; ou sea, alteram a sua varânca: v = g v ; v = g v ; a ị = g k a k = g k a k. 5. Mnemónca para o cálculo matrcal A maor parte das operações que rão ser efectuadas no cálculo tensoral e que envolvem índces, revelam-se mas fáces de efectuar através do produto matrcal. As operações sobre tensores apresentadas em notação ndcal envolvem somas e produtos de números, pelo que são comutatvas; o mesmo não se passa com o produto de matrzes, pelo que alguns cudados têm de ser tomados, ao utlzar operações matrcas no cálculo tensoral. Desenvolveram-se assm algumas regras empírcas, que facltam um cálculo correcto:. Se o tensor for um vector contravarante, é representado por um vector coluna. O índce do vector ndca as váras componentes, que estão dspostas ao longo de lnhas; é portanto um índce lnha, passando a sua representação a ser dada por um índce sublnhado v v v =.. v n

22 . Um vector covarante é dado por um vector lnha, onde o índce ndca as váras colunas (sendo portanto un índce coluna); este índce não é sublnhado v = ( v v... v n ). 3. Se o tensor tem ordem, a sua representação matrcal tem como índce lnha o prmero índce da esquerda, ou o índce de cma a ; a ; a. 4. Sempre que as regras acma dadas não se verfcarem, é necessáro transpor o tensor v = [ v ] t ( = v v... v n) ; v = [v ] t = v... ; a = [ a ] t. v n 5. Numa gualdade, o índce que aparece no membro dreto, e ao mesmo tempo no membro esquerdo, é índce lnha ou coluna consoante o índce respectvo no membro esquerdo for índce lnha ou coluna: { índce lnha; a = b k c lk d l coluna. 6. Num produto (dentfcado pela presença do mesmo índce em dos tensores: a b k ), se um dos índces é um índce lnha, o outro é necessaramente um índce coluna (e vce-versa). 7. As multplcdades devem ser ordenadas de tal forma que os índces comuns seam adacentes, fcando deste modo o índce repetdo assocado a colunas na multplcdade da esquerda e assocado a lnhas na multplcdade da dreta: a = b k c k a = b k c k a = ck b k a = ck b k [ a ] = [ c k ] [b k ] t ; a = b k c k a = b k c k a = b k c k a = b k c k [ a ] = [ b k] [ c k]. Exemplo 5. Consdere as aplcações da mnemónca dada:. Cálculo do tensor a, dado por a = b k c l d lk : a = b k c lk d l [ a ] = [ b k] [c lk ] t [ d l]. v

23 . Cálculo do vector contravarante v = g v : v = g v [ v ] [ g ] ( ) ( ) [v ] t g g = v g g. 3. Cálculo do vector covarante v = g v : v = g v [v ] = [ v ] t [g ] t = [ v ] t [g ] = ( ( ) v v ) g g. g g (Note-se que a matrz da métrca é smétrca.) 6 Componentes físcas Ao representar um dado vector v num sstema de coordenadas não ortogonal em R n, v = v e = v e + v e +... v n e n = v + v v n, (4) e ao calcular a dmensão das suas componentes, verfcamos que estas podem dferr de componente para componente, dado os vectores de base poderem não ser normados e. Por exemplo, ao calcular um vector velocdade em coordenadas polares, v = v e = vr e r + v θ e θ = ṙ e r + θ e θ (43) observa-se medatamente que as suas componentes têm dmensão [v r ] = [L][T ] e [v θ ] = [T ] (ou sea, a componente segundo θ não tem a dmensão de velocdade), dado exstr um vector de base não normado: e r = [ e r ] = e θ = r [ e θ ] = [L] Para determnar o valor correcto de v ao longo da proecção de cada vector de base, é necessáro calcular o valor da sua proecção na drecção do vector de base em questão: v = v e = v g (45) (em que não se está a utlzar a notação ndcal). Suponhamos que se passa a utlzar um referencal normado; tal sgnfca que todos os vectores de base foram dvddos pela sua norma; para que o vector v se mantenha nvarante, teremos de multplcar as componentes pela mesma norma: e () = e / e = e / g v () = v e = v g 3 v = v e = v () e () v (44) (46)

24 A base crada base físca ou coordenadas físcas garante que os vectores de base são normados e, mas mportante, que todas as componentes componentes físcas têm a mesma dmensão, gual à do própro vector que caracterzam. É usual defnr os vectores de base e as componentes físcas através da nclusão dos seus índces em parêntess curvos. A base físca não tem necessaramente de ser construída para a base natural; exste também uma base físca da base dual (que não tem de concdr com a base físca natural): () e = e/ e = e/ g v () = v e = v g Um tensor t é dado numa base físca por 3 v = v e = v() () e. (47) t () () = t e e = t g g. (48) Por uma questão de convenênca, desgnam-se as normas dos vectores de base naturas por factores de escala h, tendo-se h e = g v () = v h ; e () = e /h. (49) Sempre que o sstema de coordenadas utlzado é ortogonal, verfca-se faclmente que os vectores de base dual são paralelos aos vectores de base natural e// e. Deste modo, as suas bases físcas (naturas e duas) vão concdr, assm como as respectvas componentes físcas: () e = e = e /h = e h ; e// e () (50) v () = v () = v h = v /h. Conclu-se que a base físca de um referencal ortogonal (caso das coordenadas polares, clíndrcas e esfércas) é equvalente a uma base cartesana, localmente. O produto nterno pode assm ser defndo da forma habtual: u v = u v = u e e v = u () v () = u () v () = u () v () = u () v (). (5) 3 Mas uma vez se chama atenção para o facto de não termos estado a respetar a notação ndcal: a expressão dz respeto a um elemento apenas e não a uma soma. 4

25 Quando se utlza uma base físca ortogonal, é usual colocar todos os índces em baxo (embora tal consttua um abuso de lnguagem): v = v () e ; u v = u () v (). (5) () A base físca tem que ser construída em cada sstema de coordenadas e localmente (.e. para cada ponto); a transformação entre bases físcas também não é possível de realzar drectamente. 7 Transferênca das componentes de um vector Suponhamos que estamos a efectuar observações do movmento de queda de um meteorto em Portugal (P ). Em ntervalos de tempo constantes, observadores medem a velocdade do meteorto e envam esses dados a um centro de observação, localzado no Equador (Q). Os dos centros de estudo (Equador e Portugal) vão estar a utlzar um referencal ortonormado própro (neste caso, com um exo radal perpendcular à superfíce da terra e outros dos exos tangentes à superfíce terrestre). Embora ambos os observadores queram caracterzar o mesmo fenómeno o vector velocdade do meteorto o facto de utlzarem referencas dferentes leva necessaramente a que as componentes meddas em Portugal v (P ) correspondam a um vector dferente, se forem aplcadas drectamente aos vectores de base do referencal do Equador: v = v (P ) e (P ) = vα (Q) e (Q) α v (P ) e (Q) (53) Torna-se assm necessáro transformar as componentes meddas em Portugal de uma forma adequada, para que defnam o vector velocdade nas coordenadas do Equador. Podemos sempre consderar que estes dos referencas utlzados são a concretzação de um referencal curvlíneo em cada ponto (note-se que o referencal esférco físco permte caracterzar um referencal cartesano, num dado ponto da superfíce do nosso planeta). As componentes de v podem ser então calculadas no referencal cartesano orgnal, utlzando a matrz de transformação nversa, em cada ponto: v (P ) = X (P ) v (P ) (54) v α (Q) = X α α (Q) vα (Q) (55) No referencal cartesano, as componentes de um vector não dependem da orgem do referencal v α (Q) = δ α v (P ); esta característca permte-nos calcular as 5

26 componentes em Q à custa do conhecmento das mesmas no ponto P : v (P ) = X (P ) v (P ) v α (Q) = δ α v (P ) v α (Q) = Xα α (Q) δ α X (P ) v (P ) v α (Q) = X α α (Q) v α (Q) Resta deduzr a le geral de transferênca das componentes de um vector de um ponto para o outro. Suponhamos que a relação entre componentes é dada por v (P ) = Tα v α (Q) (e não necessaramente pela tensor dentdade caso das coordenadas cartesanas); então a transferênca das componentes num novo referencal v = X v é efectuada utlzando o operador transferdor: tendo-se a relação de transferênca dada por Tα = X (P ) TαX α α (Q) (56) v (P ) = T α vα (Q) (57) Destaque-se que o operador transferdor não é um tensor, dado a sua le de transformação ser calculada usando matrzes de transformação de pontos dferentes. 8 Dervada Covarante A dervada de um vector v = v e em ordem a uma coordenada é necessaramente a dervada de um produto, pos na maora dos casos os vectores de base varam com a posção. Tal não é vsível em coordenadas cartesanas, onde os vectores de base são constantes (.e. guas em todos os pontos): a dervada de qualquer vector resume-se então à dervada das suas componentes: e = const : d v/dx = (dv /dx ) e + v (d e /dx ) = (dv /dx ) e. (58) Na maor parte dos nossos cálculos os vectores vão ser representados apenas pelas suas componentes v. Para se poder dstngur entre a dervada das componentes de um vector e a dervada do própro vector, crou-se a noção de dervada covarante de um vector: v d v dx. (59) Temos então: v = (v e ) = ( v ) e + v ( e ) = ( v / x ) e + v ( e ), (60) 6

27 onde v / x é a dervada parcal da componente v em ordem à coordenada x. Como o vector natural pode ser sempre escrto na sua própra base e = e k e k (vde capítulo.3), temos e = ( e k ) e k v = ( v / x ) e + v ( e k ) e k (6) onde k e são índces mudos e portanto é possível utlzar qualquer letra para os representar na gualdade; nclusve, pode-se trocar o k com o no últmo termo de (6) v ( e k ) e k v k ( e k ) e (6) tendo-se: ( ) v (v e ) = x + vk e e. (63) k Como pretendemos usar apenas as componentes do vector na formulação das equações, a dervada covarante de um vector (contravarante) é dada pela expressão: v = v x + vk e k. (64) A dervada covarante das componentes dos vectores de base natural é defnda pelos símbolos de Chrstoffel: Γ ị k e k, (65) onde Γ ị k é a dervada covarante em ordem à coordenada x, da - ésma componente do vector de base natural e k ; deste modo, a dervada covarante de um vector expresso pelas suas componentes contravarantes pode ser escrta em função dos símbolos de Chrstoffel: v = v x + Γị k v k. (66) Algumas característcas da dervada covarante e dos símbolos de Chrstoffel são: Em coordenadas rectlíneas, os vectores de base são constantes, pelo que a sua dervada covarante é nula Γ ị k = 0, ou sea, a dervada covarante de qualquer vector concde com a dervada (parcal) das componentes: v = v x ; (67) 7

28 A dervada covarante de qualquer função escalar é dada apenas pelas dervadas parcas, em qualquer sstema de coordenadas: Φ = Φ x. (68) A dervada covarante é um tensor, obedecendo à le de transformação tensoral: v = X X v ; (69) contudo, os símbolos de Chrstoffel não representam um tensor. Prova-se faclmente (vde anexo A, eq. obedecem à le de transformação 60) que os símbolos de Chrstoffel Γ. k = X X X k k Γị k + X pelo que as seguntes observações podem ser fetas: x x x k (70) Os símbolos de Chrstoffel não consttuem um tensor, pos não obedecem à le de transformação tensoral (repare-se na presença de um termo adconal). Numa transformação rectlínea, os vectores de base são constantes: X = x x = const x x x = 0 Γ. k = X X X k k Γị k. (7) Se o referencal ncal é o cartesano, Γ ị k = 0 Γ. k = 0; como sera de esperar os símbolos de Chrstoffel são nulos em qualquer sstema de coordenadas rectlíneas. Utlzando uma transformação arbtrára, mas em que o referencal ncal é o cartesano (Γ ị k = 0), temos a le de transformação: Γ. k = X x x x k Γ. k = Γ.k (7) pelo que se conclu que os símbolos de Chrstoffel apresentam smetra nos índces covarantes. Desgna-se por símbolos de Chrstoffel contraídos, a contracção: Γ k Γ ị k. Efectuámos a dervada de um vector contravarante (ou sea, dado numa base natural). Vamos estudar agora como se escreve em notação ndcal a dervada de 8

29 um vector covarante, dado como combnação lnear de vectores de base dual; para o efeto vamos utlzar a relação fundamental da análse tensoral () e e = δ k (δ ) = 0 k ( e e ) = 0 ( k e) e + e ( k e ) = 0, (73) assm como a expressão para a dervada covarante de um vector natural (59) ( k e) e = e ( k e ) = e (Γ ḷ k e l ) = Γ ḷ k e el = Γ ḷ kδ l = Γ ị k. (74) Através da relação fundamental (), podemos também deduzr a segunte expressão le le le) e = δ l Γ ị kl e = Γ ị klδ l ( Γ ị kl e = Γ ị k. (75) Comparando (74) e (75), temos a relação para a dervada covarante de um vector de base dual: k e = Γ ị kl le (76) Observa-se medatamente que, à excepção do snal menos, a expressão da dervada covarante dos vectores de base dual (76) é semelhante à da dervada dos vectores de base natural (59); tal sera de esperar, dada a relação fundamental que os une (): quando os vectores de base natural aumentam, os vectores de base dual têm necessaramente de dmnur, na razão nversa, o que leva a que as suas dervadas tenham snas contráros. Ao utlzar as componentes dos vectores de base dual, temos a expressão: k e = Γ ị kl le = Γ ị k e k ( e e) = Γ ị k e k e = Γ ị k. (77) Podemos fnalmente escrever a dervada covarante de um vector v, dado quer em componentes contravarantes ou covarantes: k v = v x k + Γị kl v l ; (78) k v = v x k Γḷ k v l. (79) De uma forma genérca, a dervada covarante de um tensor msto va apresentar um símbolo de Chrstoffel por cada índce que possua; para um tensor msto de ordem, teremos: k t = t x k + Γị kl t l Γ ḷ k t l. (80) 9

30 No caso das métrcas covarantes e contravarantes, temos as dervadas covarantes dadas pelas expressões n g = g x n Γl n g l Γ l n g l ; n g = g x n + Γ nl g l + Γ nl gl. Estas vão ser nulas, no caso das métrcas cartesanas (g δ e g δ ): g = δ = const. Γ ị k = 0 n g = g x n Γl n g l Γ l n g l = 0 (8) (O mesmo se verfca para a métrca contravarante.) Como a dervada covarante é um tensor, a dervada covarante da métrca (covarante ou contravarante) é nula, em qualquer referencal: n g = 0 n g = X n n X X n g n g = 0. (8) Mutos letores acabam por fazer a pergunta: Porquê a desgnação dervada covarante? Repare-se que a dervada é necessaramente uma função que se aplca a um tensor (quer este sea dado por componentes contravarantes, covarantes ou ambas); deste modo, é dada no espaço das funções (espaço dual), tendo componentes covarantes esta é a razão do seu nome. 8. Símbolos de Chrstoffel em coordenadas ortogonas Embora se possa utlzar a le de transformação (70), no cálculo dos símbolos de Chrstoffel, exste uma expressão (6) que relacona os símbolos de Chrstoffel com as métrcas (dada no Apêndce B), Γ ị k = { gn g k x + g kn + g } n ; (83) n x x k esta expressão é muto mas smples do que (70), sendo sempre a utlzada na determnação dos símbolos de Chrstoffel. 30

31 Quando as coordenadas são ortogonas, (83) smplfca-se nos casos 4 :, k, k : Γ ị k = 0 (84a) : Γ ị = g g x (84b) : Γ ị = g g x (84c) Todos os índces guas: Γ ị = g g x (84d) pelo que temos apenas de analsar as váras componentes da matrz da métrca covarante, e as suas dervadas. Exemplo 6. No caso das coordenadas polares temos a matrz da métrca covarante á deduzda (vde exemplo 3, pag. 8), em que a únca componente que depende das coordenadas é g = r (sendo função da coordenada r). Deste modo, a únca dervada não nula é g r pelo que os úncos símbolos de Chrstoffel não nulos são: Γ θ.rθ = Γ θ.θr = Γ. = g g r Γ ṛ θθ = Γ. = g g r 9 Operadores dferencas = r, (85) = r ; (86) = r. (87) Vamos fnalmente mostrar algumas das aplcações da análse tensoral, nomeadamente no cálculo dos operadores dferencas; estes aparecem em todas as equações da Mecânca, mutas das vezes expressas em referencas não conhecdos. A força gravítca pode ser sempre defnda pelo gradente de um potencal F = φ. No referencal cartesano, é conhecda a expressão para o gradente φ ( φ/ x, φ/ x, φ/ x 3). 4 Note-se que a convenção da soma não é utlzada em (84), pelo que a repetção de índces não ndca a presença de somatóro: cada símbolo de Chrstoffel é dado apenas pelo termo ndcado na expressão; e.g. Γ. = (/)g g / x vde Apêndce B. 3

32 Mas como será dado o mesmo gradente em coordenadas clíndrcas? Ou noutras coordenadas quasquer, defndas para um problema específco? É o que vamos ver neste capítulo. 9. Gradente de uma função escalar O gradente de qualquer função escalar (que dependa das coordenadas) é representado por um vector covarante, em que as componentes são dadas pelas dervadas covarantes: gradφ φ = k φ k e = φ x k ke (88) Note-se que a dervada covarante de um escalar se resume à dervada parcal do mesmo. Em coordenadas físcas o gradente é defndo da forma habtual: onde: φ = (k) φ (k) e (89) (k) φ = k e k φ = g kk k φ (90) (k) e = k ke ke e / = / g kk (9) 9. Dvergênca de um vector (contravarante) A dvergênca de um vector (representado pelas suas componentes contravarantes) é defnda como a contracção da dervada covarante do vector: dv v = v = v x + Γị kv k = v x + Γ kv k (9) Utlzando a fórmula de Γ k (69), a expressão para a dvergênca smplfca-se v = g g v x + g g x k vk v = g x ( gv ) (93) Em coordenadas físcas, v () = e v = g v, ou sea ( g ) () v () = v (). (94) g x g 3

33 Mas uma vez se chama a atenção para o abuso de lnguagem utlzado: embora se repta quatro vezes o índce com a ntrodução da componente da métrca g, contnuamos a efectuar um somatóro em () v () = g { x ( g v g ) + x ( g v g ) + x 3 ( g v 3 g33 )}. (95) Em coordenadas cartesanas, onde a métrca é a matrz dentdade, temos a expressão famlar v = v x + v x + v3 x. (96) Laplacano de uma função escalar O laplacano de uma função escalar consste na dvergênca do gradente ( φ = g φ ) φ = ( g g φ ). (97) g x x Em coordenadas cartesanas, g = δ, pelo que o laplacano assume a expressão φ = 9.4 Rotaconal de um vector φ x x δ = φ x + φ y + φ z. (98) A defnção de rotaconal de um vector utlza o produto externo de dos vectores. Torna-se assm necessáro caracterzar prmero o produto externo para quasquer coordenadas, em notação ndcal. Em coordenadas cartesanas, o produto externo A B = ( A B) e = ( A B) e (99) é representado através do símbolo de permutação se {k} for permutação par de {3}; e k = 0 se =, = k, = k; se {k} for permutação ímpar de {3}; (00) 33

34 este é dado sempre com os índces em baxo (pos em coordenadas cartesanas não se torna necessáro dferencar as componentes covarantes das contravarantes): ( A B) = ( A B) = e k A B k ( A B) = e k A B k = e 3 A B 3 + e 3 A 3 B = A B 3 A 3 B ; ( A B) = e k A B k = e 3 A B 3 + e 3 A 3 B = A B 3 + A 3 B ; ( A B) 3 = e 3k A B k = e 3 A B + e 3 A 3 B = A B A B. (0) Contudo, o produto externo defndo com o símbolo de permutação não se mantém nvarante, quando se aplca uma mudança de coordenadas. Tal deve-se ao facto do símbolo de permutação ser um caso partcular (para coordenadas ortonormadas) do tensor de permutação: ε k = g e k ; (0) ε k = e k. g (03) Em qualquer sstema de coordenadas, o produto externo é assm defndo pelo tensor de permutação: ( A B) = ε k A B k ; (04) ( A B) = ε k A B k. (05) O rotaconal de um vector é defndo como o produto externo do operador dferencal dervada covarante, com o própro vector rot v = v = ( v) e ( v) = ε k v k. (06) Para o caso partcular de um espaço com três dmensões, e com o índce fxo, o tensor de permutação só pode tomar dos valores não nulos: para =, temos ε 3 = e ε 3 =. Conclu-se então que cada componente do vector rotaconal rot v é dada apenas pela soma de dos termos ( v) = ε k v k + ε k k v = ε k ( v k k v ) (07) (onde, k e k). Note-se que mas uma vez, dexámos de utlzar a notação ndcal e que a expressão acma dada corresponde apenas ao cálculo do termo apresentado (e não a um somatóro). O rotaconal revela-se assm um operador muto smples de calcular, tendo-se apenas o cudado de atrbur valores 34

35 dferentes entre s aos índces do tensor de permutação; por exemplo para a prmera componente ( v) = ε 3 ( v 3 3 v ) = ε 3 ( 3 v v 3 ) = g ( v 3 3 v ). (08) A expressão (07) anda se smplfca, se atentarmos na defnção de dervada covarante v k k v = v k x Γḷ k v l v x k + Γḷ k v l = v k x v x k ; (09) o que nos leva à expressão fnal para o rotaconal de um vector: ( ( v) = ε k vk x v ) (com, k, k). (0) x k Em componentes físcas, temos a expressão v (k) = k e vk = g kk v k ( v) () = [ g ε k x ( ) v(k) g kk ( )] v(). x k g () 0 Dferencal absoluta e ntrínseca Em coordenadas rectlíneas, os operadores dferencal e dervada (em ordem a um parâmetro t), são defndos em função da dervada parcal d = dx x + dt t d dt = dx dt x + t. () Em coordenadas curvlíneas, substtu-se a dervada parcal pela dervada covarante, tendo-se as novas defnções Dervada absoluta: D dx + dt t ; (3) Dervada ntrínseca: D Dt dx dt + t. (4) Tanto a dervada absoluta como a dervada ntrínseca são tensores, obedecendo à le de transformação tensoral (4). 35

36 0. Aceleração em coordenadas curvlíneas A noção de dervada ntrínseca permte-nos calcular a dervada de um vector em ordem a um parâmetro; se o vector caracterzar a velocdade de uma partícula e o parâmetro for o tempo, então temos defnda a noção de aceleração, para qualquer sstema de coordenadas curvlíneas. As componentes do vector velocdade são sempre dadas pela dervada das coordenadas, ndependentemente do sstema de coordenadas utlzado 5 : v = dx dt = ẋ v = v e = ẋ e, (5) No entanto, a aceleração dervada do vector v tem de entrar em conta com a dervada dos vectores de base (além da dervada das componentes), o que mplca a utlzação da dervada covarante. A aceleração é dada então pela dervada ntrínseca da velocdade em ordem ao tempo: a D v Dt ; a = Dv Dt = dx dt v + v t. (6) Aplcando a defnção de dervada covarante (59) ( ) v a = v x + Γị kv k + v v = v t x + Γị kv v k + v t, (7) e substtundo v = dx /dt na expressão acma dada, a = dx dt temos as fórmulas para a aceleração v x + v t + Γị kv v k = dv dt + Γị kv v k, a = v + Γ ị kv v k. (8) Nos casos (extremamente usuas) em que a velocdade não depende explctamente do tempo, podemos escrever (8) como a = ẍ + Γ ị kẋ ẋ k. (9) 5 Note-se que a velocdade nem sempre é dada pela dervada do vector posção; em mutos sstemas de coordenadas, o vector posção nem sequer pode ser defndo. 36

37 0. Velocdade e aceleração em coordenadas polares Um exemplo bastante comum de aplcação da análse tensoral consste no cálculo da velocdade e da aceleração em coordenadas polares (r, θ), e consequente utlzação na descrção do movmento de partículas. Em coordenadas polares a velocdade é dada por v = ẋ e = ẋ e + ẋ e = ṙ e r + θ e θ. (0) Para obter as componentes físcas, basta multplcar pelas normas dos vectores: { v = ṙ v = θ { v () = ṙ v () = r θ v = ṙ e + r θ e. () (r) (θ) A aceleração contravarante (8) é dada no referencal polar pela expressões: { a = v + Γ.k v v k = r + Γ.v v = r r θ ; a = v + Γ.k v v k = θ + Γ.v v = θ + r ṙ θ. () Em coordenadas polares físcas, temos a expressão á conhecda { a (r) = r r θ a (θ) = r θ + ṙ θ a = ( r r θ ) e + (r θ + ṙ θ) e. (3) (r) (θ) Passamos a apresentar dos casos específcos nossos conhecdos. Exemplo 7. Movmento crcular Sempre que o rao da traectóra é constante, as expressões para a velocdade e aceleração smplfcam-se, obtendo-se as fórmulas á conhecdas: r = const v () = 0 v () = r θ = ωr } a () = r θ = rω a () = r θ = αr v = ω e, (θ) } a = rω e (r) + αr e (θ), (4) onde se dentfcam faclmente os termos referentes à velocdade tangencal (ωr), à aceleração centrípeta ( rω ) e à aceleração tangencal (αr). Exemplo 8. Movmento devdo a força central Neste caso, a força encontrase sempre drgda para a orgem do referencal: f = f e. Pela segunda le de (r) Newton: f = m r mr θ, f = m a 0 = mr θ + mṙ θ r(r θ + ṙ θ) ( ) (5) = 0 r θ = 0. 37

38 temos a equação do movmento segundo θ conhecda pela Le das áreas de Kepler: r θ = const r(r θ) = const, (6) Um corpo sueto a uma força central descreve áreas guas em tempos guas, ao longo da sua traectóra. Aplcações. Coordenadas clíndrcas Como á fo referdo anterormente (vde..), as coordenadas clíndrcas representam uma extensão das coordenadas polares, em que a coordenada z se mantém nvarante; tendo-se á deduzdo a matrz da métrca covarante em coordenadas polares (vde exemplo 3, pag. 8), a sua métrca covarante é assm dada pela matrz 0 0 g = 0 r 0, (7) 0 0 tendo-se g = det (g ) = r. Das componentes novas que a métrca covarante passa a apresentar (em relação à métrca covarante polar), a únca dferente de zero é constante (g 3 3 = ), pelo que a sua dervada é sempre nula; deste modo, os símbolos de Chrstoffel não nulos das coordenadas clíndrcas são os mesmos das coordenadas polares (86): Γ θ.rθ = Γ θ.θr = Γ. = g g r Γ ṛ θθ = Γ. = g g r = r ; (8) = r. (9) Com o conhecmento da métrca covarante e dos símbolos de Chrstoffel, podemos deduzr os operadores dferencas para as coordenadas clíndrcas (onde se apresentam também as fórmulas para as coordenadas físcas): Gradente φ = φ r φ θe φ z φ e + + e = r θ z r (r) φ e + r θ (θ) e + φ z (z) e (30) 38

39 Dvergênca v = g x ( gv ) = r { (rv r ) r } + r vθ θ + rvz z ( g ) { = ( ) v () rv (r) = r + v(θ) g x g r θ + ( ) } rv (z) z (3) (3) Laplacano φ = g x Rotaconal ( g g φ ) = x r ( ( v) = ε k vk x v ) x k [ ( v) () = g ε k x { ( r φ ) + ( r r r θ ( ) v(k) g kk ) + θ z φ ( r φ z ( v) r = r ( v z / θ v θ / z) )} (33) ( v) θ = r ( v z / r v r / z) ( v) z = r ( v θ / r v r / θ) (34) ( )] v() x k g ( v) (r) = r [ v (z) / θ ( rv (θ) ) / z ] ( v) (θ) = [ v (z) / r v (r) / z ] ( v) (z) = r [ ( rv (θ) ) / r v(r) / θ ] (35). Coordenadas esfércas As coordenadas esfércas podem ser defndas pela le de transformação: x = r sn θ cos φ; y = r sn θ sn φ; z = r cos θ. (36) 39

40 A matrz de transformação nversa é calculada drectamente a partr das relações acma dadas sn θ cos φ r cos θ cos φ r sn θ sn φ X = x = sn θ sn φ r cos θ sn φ r sn θ cos φ, (37) x cos θ r sn θ 0 assm como os vectores de base natural: e = (sn θ cos φ, sn θ sn φ, cos θ) ; r e = x e e = r (cos θ cos φ, cos θ sn φ, sn θ) ; θ (38) e z = r ( sn θ sn φ, sn θ cos φ, 0). A partr dos vectores de base natural, é possível calcular as métrcas covarante e contravarante: g = 0 r 0 g = 0 r 0, (39) 0 0 r sn θ 0 0 r sn θ assm como o determnante g = det (g ) = r4 sn θ. Pela matrz da métrca covarante, conclu-se que exstem apenas duas componentes a varar: g = g (r) = g (x ), g 3 3 = g 3 3 (r, θ) = g 3 3 (x, x ), pelo que temos de consderar as dervadas: g r g 3 3 r g 3 3 θ = r; (40) = r sn θ; (4) = r sn(θ). (4) 40