Mecânica Aplicada II MEMEC+LEAN e MEAER

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1 Departamento de Engenhara Mecânca Área Centífca de Mecânca Aplcada e Aeroespacal Mecânca Aplcada II MEMEC+LEAN e MEAER Época Especal 2011/12 Duração: 3h00m 20/07/2012 Instruções: Justfque todas as respostas e ndque todos os cálculos ntermédos. Indque as undades nas soluções. Grupo I 5 valores A barra EF tem uma massa de 8 kg e está lgada à placa EAC por um pno em E (pno esse soldado quer à barra EF quer à placa EAC). É aplcado um bnáro à barra AB no sentdo horáro, como lustrado na fgura. Quando θ = 60 o, a barra AB tem uma velocdade angular de 3 rad/s e uma aceleração angular de 6 rad/s 2. Para este nstante, calcule as componentes normal e tangencal da força e o momento (bnáro) suportado pelo pno E. Fgura 1: Grupo I Resolução: 1 de 11

2 M no sentdo ant-horáro. F t faz um ângulo de 30 o com a horzontal. F n faz um ângulo de 30 o com a vertcal. 2 de 11

3 Grupo II 5 valores O caxote de massa m c desce pelo transportador de roletes a uma velocdade constante V 0. Os roletes têm um rao r r e uma massa m r e estão espaçados de uma dstânca d. Aplcando o prncípo do mpulso e quantdade de movmento aos roletes, determne a velocdade V 0 do caxote, admtndo que não exste escorregamento entre o caxote e os roletes. Consdere os roletes como dscos fnos. Fgura 2: Grupo II Resolução: 3 de 11

4 Grupo III 6 valores Na fgura 3 o braço OBC, de massa desprezável, roda em torno do exo vertcal Oz a uma taxa constante Ω = 400 rpm. O dsco A roda em torno do exo z 0 com uma rotação própra constante p = 1250 rpm. Sabendo que o dsco A tem massa m = 5 kg e o que o seu rao de gração relatvo ao exo z 0 é k = 85 mm, determne: a) a força exercda pelo dsco sobre o braço em C; [1.5 val.] 4 de 11

5 b) o momento groscópco exercdo pelo dsco sobre o braço em C; [3 val.] c) o momento de torção exercdo sobre o braço em O. [1.5 val.] Fgura 3: Grupo III Resolução: a) Movmento do dsco A: translação com C + rotação em torno de C O ponto C é o CM do dsco A. Logo F = m ac. dado que o ponto C tem movmento crcular unforme em torno do exo vertcal, a c é a respectva aceleração centrípeta. Forças aplcadas no dsco A: { F hor = m(a c ) hor = m Ω 2 BC cos 20 o F vert mg = m(a c ) vert = 0 { Fhor = 2473 N F vert = 49,05 N b) Escolhemos como sstema de exos móvel Cx 0 y 0 z 0, que roda com velocdade angular Ω em torno da drecção vertcal (fxa). Note-se que Ω = Ω sn θ 0 + Ω cos θ k 0 5 de 11

6 Para o dsco A: Velocdade angular: ω = Ω sn θ 0 + (Ω cos θ + p) k 0 Momento angular relatvamente ao CM: H C = Ī Ω sn θ 0 + Ī (Ω cos θ + p) k 0 Dnâmca de rotação: MC = ( d H C dt ) ref. fxo = ( d H C dt ) Cx 0 y 0 z 0 + Ω H C Mas, dado que Ω, p e θ = 70 o são constantes, ( dh ) C = 0 dt Cx 0 y 0 z 0 Por outro lado, Ω H C = [ Ī Ω 2 sn θ cos θ + Ī Ω sn θ(ω cos θ + p)] j 0. Por outro lado, Ī = mk 2 = kg -2 e Ī = 1 2Ī = kg -2. Logo: (M C ) x = 0 (M C ) y = Ī Ω 2 sn θ cos θ + Ī Ω sn θ(ω cos θ + p) = N (M C ) z = 0 Este é o momento exercdo sobre o dsco. O momento exercdo sobre o braço em C é então: M = (196 N) j 0 c) DCL braço OBC (as drecções e sentdos das forças e momentos aplcados em C têm em conta os resultados das alíneas anterores): 6 de 11

7 Como o braço OBC tem massa desprezável, M O = 0. Convém-nos usar um sstema de exos centrado em O mas que é paralelo a Cx 0 y 0 z 0 e roda com velocdade angular Ω, para podermos usar o resultado da alínea anteror. Logo, segundo y: M O M + d 1 F vert + d 2 F hor = 0, em que M = 196 N, F hor = 2473 N e F vert = 49,05 N são os módulos do momento e das forças aplcados em C e { d1 = 0,300 m cos 20 o d 2 = 0,100 m + 0,300 m sn 20 o. M O = M d 1 F vert d 2 F hor = N, Logo: MO = (319 N) j 0 7 de 11

8 Grupo IV 4 valores Uma partícula percorre uma curva parametrcamente defnda no espaço trdmensonal por: representando o parâmetro t o tempo. x = e 2t cos t y = e 2t sn t z = e 2t, a) Exprma o parâmetro t em função do ângulo θ das coordenadas clíndrcas (ρ, θ, z) e mostre que a trajectóra da partícula é dada, nessas coordenadas, por: { ρ = e 2θ z = e 2θ. [1,5 val.] b) Determne, anda em coordenadas clíndrcas, as componentes físcas dos vectores velocdade e aceleração da partícula no nstante t. [2,5 val.] Resolução: 8 de 11

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11 Formuláro Dsco fno: Ī z = 1 2 MR2 Ī x = Īy = 1 2Īz T 1... p j = 1...j (sgnx)α X k X 1 q 1... X p p X j 1 j... X jq 1 j T 1... p p j 1...j q e () = e h h = e v () = v () = h v = 1 h v k a = a x k + Γ jka j k a = a x k Γj k a j Em coordenadas ortogonas (e com j k): Γ jk = 0 Γ j = 1 h h x j Γ jj = h j 2 h h j x Γ = 1 h h x. grad φ = k φ k e dva 1 ( ) = g g A lap φ = 1 ( g g k φ ) x g x x k (rot V ) () = 1 h (hv (k)) k g x j (hv (j) ) j x k (, j, k) em permutações cíclcas Velocdade: v = ẋ Aceleração: a k = Dvk dt = dx dt v k = dvk dt + v v j Γ k j = ẍ k + ẋ ẋ j Γ k j 11 de 11