Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo

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1 POLEMS ESOLVDOS DE FÍSC Prof. nderson Coser Gaudo Departamento de Físca Centro de Cêncas Eatas Unversdade Federal do Espírto Santo Últma atualação: 1/7/5 5:46 H ESNCK, HLLDY, KNE, FÍSC, 4.ED., LTC, O DE JNEO, FÍSC 1 Capítulo 13 - Momento ngular Problemas

2 Problemas esolvdos de Físca Problemas esolvdos 3. Mostre que o momento angular, em relação a um ponto qualquer, de uma partícula que se move com velocdade unforme, permanece constante durante o movmento. (Pág. 68) Consdere o segunte esquema da stuação: θ v m d r y O O módulo do momento angular do sstema em relação a um ponto genérco O vale: l = r p Na coordenada : l = rmvsenθ O esquema mostra que: rsenθ = d Logo: l = mvd Como m, v e d são constantes, l também é constante. 5. Duas partículas de massa m e velocdade v deslocam-se, em sentdo contráro, ao longo de duas retas paralelas separadas por uma dstânca d. che a epressão para o momento angular do sstema em relação a qualquer ponto. (Pág. 69) Consdere o segunte esquema da stuação, em que v 1 = v = v: θ1 v1 m d m θ y r1 v r O O módulo do momento angular do sstema em relação a um ponto genérco O vale:

3 Problemas esolvdos de Físca L= l1+ l Na coordenada : L= rmvsenθ rmvsenθ 1 1 ( senθ senθ ) L= mv r r L= mvd Fg. 6 mostra duas rodas, e, lgadas por uma correa. O rao de é três vees maor do que o de. Qual sera a raão dos momentos de nérca /, se (a) ambas tvessem o mesmo momento angular e (b) ambas tvessem a mesma energa cnétca de rotação? Suponha que a correa não escorregue. (a) L (b) = L = v = v = = 3 K = ot 1 3 = K ot 1 1 = v = v = = = ( 3 ) 9 1 = 9 (Pág. 69) 3

4 Problemas esolvdos de Físca 14. che o momento angular da Terra em sua rotação em torno do própro eo, utlando os dados dos apêndces. Suponha que a Terra seja uma esfera unforme. (Pág. 69) Dentro da apromação referda no enuncado, o momento angular da Terra vale: π L= w= M (1) 5 T Na Eq. (1), M e são a massa e o rao da Terra e T é o período de rotação da Terra em torno do seu própro eo. 4 6 ( )( ) 4π M 4π 5,98 1 g 6,37 1 m L = = = 5T s 5 4 h 3.6 h 33 L 7,6 1 g.m /s 33 7, g.m /s 16. Fg. 7 mostra um corpo rígdo smétrco grando em torno de um eo fo. Por convenênca, a orgem das coordenadas é colocada no centro de massa. Dvda o corpo em elementos de massa m e, somando as contrbuções destes elementos para o momento angular, mostre que o momento angular total L = w. Vamos analsar o caso trdmensonal, que é mas geral do que o apresentado na Fg. 7. (Pág. 69) 4

5 Problemas esolvdos de Físca a θ r l r m v r y r r y Seja m um elemento de massa do corpo M, r a localação, v a velocdade lnear e l o momento lnear de m. Logo: l = r m v l = ( r+ ryj+ r) m ( v+ vyj+ v) Como o movmento crcular é em torno do eo, a velocdade lnear tem componentes apenas em e y. l = mr v + mr v j+ m r v r v y y y velocdade v do elemento de massa é dada por: v = r ' ' ' ' = ( ) ( ) Na Eq. (), é o mesmo para todos os elementos de massa. Multplcando-se ambos os membros de () por r : r v r r (. ) (. ) r ' v = r ' r ' r ' r ' O últmo termo entre parênteses é ero por se tratar de produto escalar entre vetores ortogonas. Logo: ' r v = rr. ' ' rv rv rv rv = = y y y y ' r + ry r Elmnando-se a notação vetoral: rv rv = r (3) ' y y Substtundo-se (3) em (1): l = mr v + mr v j+ mr ' y Somando-se os momentos angulares de todos os elementos de massa: L= l = mr v + mr v j+ mr ' y Por raões de smetra os dos prmeros termos do segundo membro resultam em ero. Portanto: L= mr = mr ' ' (1) () 5

6 Problemas esolvdos de Físca L= 19. Para faer uma bola de blhar rolar sem escorregar, deve-se bater com o taco eatamente a uma altura de /5 acma do centro, e não no centro da bola. Prove sso. (Para aprender mas a respeto da mecânca do blhar, veja rnold Sommerfeld, Mechancs, cademc Press, Orlando, pp ) (Pág. 7) Consdere o esquema a segur: F CM h M, Forças em : F F = Ma = ma F a = (1) M Torques em relação ao centro de massa da bola na coordenada : τ = α Fh. = M.α () 5 condção para que a bola comece a rolar sem deslar medatamente após a tacada é: a α = (3) O snal negatvo em (3) corresponde ao fato de em a aceleração lnear a ser postva e em a aceleração angular ser negatva, de acordo com o referencal adotado. Substtundo-se (3) em (): Ma h = (4) 5F Substtundo-se (1) em (4): h = 5 È nteressante notar que a bola rá começar a rolar medatamente após a tacada ndependentemente de haver ou não atrto entre a bola e a mesa. 1. Uma barra de comprmento L e massa M repousa sobre uma mesa horontal sem atrto. Um taco de hóque de massa m movendo-se com velocdade v, como mostra a Fg. 9, colde 6

7 Problemas esolvdos de Físca elastcamente com a barra. (a) Que grandeas são conservadas na colsão? (b) Qual deve ser a massa do taco para que ele fque em repouso após a colsão? (Pág. 7) (a) Ocorre conservação da energa cnétca (colsão elástca), do momento lnear total (ausênca de força eterna resultante) e do momento angular total (ausênca de torque eterno resultante). (b) Como o taco não colde no centro de massa da barra, após a colsão haverá movmento de translação do centro de massa da barra (V) assocado ao movmento de rotação da barra em torno de seu centro de massa (). plcando-se a conservação do momento lnear: P = P mv = MV mv V = (1) M plcando-se a conservação da energa cnétca: K = K = + mv MV ML mv = MV + () 1 plcando-se a conservação do momento angular: L mvd = L = ML mvd = 1 1 mvd M L Substtundo-se (1) e (3) em (): = (3) 4 mv ML 1 mvd L mv = M + M 1 M 4 mv 1md 1 = + M ML 7

8 Problemas esolvdos de Físca = ( + 1 ) ML m L d m ML = L + 1 d 3. Um jogador de blhar dá uma tacada em uma bola ncalmente em repouso. O taco é sustentado na horontal à dstânca h acma da lnha do centro, como mostra a Fg. 31. bola nca seu movmento com velocdade v e, eventualmente, adqure a velocdade fnal 9 v /7, por causa desse tpo de tacada. Mostre que h = 4/5, sendo o rao da bola. Consdere o segunte esquema da stuação, que está nvertdo em relação à Fg. 31. M y F h (Pág. 7) v f Deslamento v C olamento Dvdmos o problema em três estados. O estado refere-se ao nstante em que a bola recebe a tacada, refere-se ao nstante medatamente após a tacada, em que a bola adqure velocdade v e desla sobre a mesa e C é quando a bola, após deslar certa dstânca sobre a mesa, possu velocdade v e rola sobre a mesa. O movmento de translação gerado em é o resultado do mpulso (ΔP, em que P é o momento lnear da bola) da força (F) aplcada em. Δ P= P P = Mv = FΔt FΔ t = Mv mesma análse pode ser feta para o movmento de rotação da bola, em que L é o momento angular, é o momento de nérca e é a velocdade angular ncal da bola: Δ L= L L = = τδ t (1) 8

9 Problemas esolvdos de Físca M 5 = FhΔ t M F t 5h O snal negatvo que aparece em () refere-se ao sentdo do torque que a força F eerce sobre a bola. gualando-se (1) e (): Δ = () M Mv = 5h 5hv = (3) Vamos analsar agora a translação da bola desde o estado até o estado C: f F = Ma = Ma f a = (4) M Movmento de a C: v = v + a t velocdade v fo dada no enuncado do problema e a é dada pela Eq. (4): 9v f = v + t 7 M ft = Mv (5) 7 gora vamos analsar a rotação da bola desde o estado até o estado C: τ = α M f = α 5 5 f α = M otação de a C: α = + t 9v 5hv 5 f = + t 7 M 5 ft 5hv 9v = M 7 h 18 ft = Mv 35 (6) gualando-se (5) e (6): h 18 Mv = Mv

10 Problemas esolvdos de Físca h= Suponha que o combustível nuclear do Sol se esgote e ele sofra um colapso brusco, transformando-se numa estrela anã branca com dâmetro gual ao da Terra. Supondo que não haja perda de massa, qual sera o seu novo período de rotação, sabendo-se que o atual é de 5 das? Suponha que o Sol e a anã branca sejam esferas unformes. (Pág. 7) Consdere o segunte esquema da stuação: Consderando-se que durante no processo de colapso do Sol não há torques eternos atuando sobre ele, o momento angular do sstema é conservado. Logo: L = L = π π M = M 5 5 T T T = T d, d 8 ( ) ( 6,37 1 m ) ( 6,96 1 m) T = T = = T 18 s stuação descrta no enuncado deste problema deve realmente ocorrer daqu a mutos mlhões de anos. 9. Em uma demonstração de aula, um trem elétrco de brnquedo, de massa m, é montado em seu trlho em uma roda que pode grar em torno de seu eo vertcal com atrto despreível (Fg. 3). O sstema está em repouso quando a energa é lgada. O trem atnge a velocdade v em relação ao trlho. Qual é a velocdade angular w da roda, se a sua massa for M e o seu rao,? (Despree a massa das barbatanas da roda.) 1

11 Problemas esolvdos de Físca Consdere o segunte esquema: (Pág. 7) v m T M T nálse da velocdade angular relatva do trem, onde o índce T se refere ao trem, à roda: T = T + = + T T T ( T) = Nessas equações, T é a velocdade angular do trem (em relação a um referencal nercal eterno), é a velocdade angular da roda (em relação ao mesmo referencal nercal de T ) e T é a velocdade angular do trem em relação à roda). Na ausênca de torques eternos, o momento angular do sstema é conservado: L = L = L + L T = + TT M = m T Substtundo-se (1) em () M = m + m M = m + m = mv M ( m+ ) v T (1) () 11

12 Problemas esolvdos de Físca 31. Uma roda cujo momento de nérca é de 1,7 g.m gra com velocdade angular de 84 rev/mn em torno de um eo de momento de nérca despreível. Uma segunda roda, de momento de nérca de 4,85 g.m, ncalmente em repouso, é acoplada bruscamente ao mesmo eo. (a) Qual será a velocdade angular da combnação de eo e rodas? (b) Qual é a fração da energa cnétca orgnal perdda? (Pág. 71) (a) Como não estem torques eternos sobre o sstema, o momento angular em (ortogonal ao plano das rodas) é conservado: L = L l1, + l, = l1 + l + = + 1, Como a velocdade fnal das duas rodas é gual, temos: (b) = + 1, 1 1 1, 1 = = rev/mn f 17,993 rev/mn (1) ( ) K 1 1, 1 K = = () K 11, Substtundo-se (1) em (): f f , , 1 ( ) ( 1+ ) ( 1+ ) = ( + ) ( + ) = = = + = = 1 f,79 1 1, , Uma roda de bccleta tem um aro fno de 36,3 cm de rao e 3,66 g de massa. s massas das barbatanas e do centro e também o atrto no eo são despreíves. Um homem, de pé em uma plataforma que gra sem atrto em torno de seu eo, sustenta a roda acma sua cabeça segurando o eo na posção vertcal. plataforma está ncalmente em repouso e a roda, vsta de cma, gra no sentdo horáro com velocdade angular de 57,7 rad/s. O momento de nérca do sstema (plataforma + homem + roda) em torno do eo de rotação comum é de,88 g.m. (a) O homem pára subtamente a rotação da roda em relação à plataforma, com a mão. Determne a nova velocdade angular do sstema (módulo, dreção e sentdo). (b) eperênca é repetda, ntrodundo-se atrto no eo da roda (a plataforma contnua a grar sem atrto). O homem segura a roda da mesma manera e esta, começando com a mesma velocdade angular ncal (57,7 rad/s), va gradualmente ao repouso. Descreva o que acontece ao sstema, dando tanta 1

13 Problemas esolvdos de Físca nformação quanttatva quanto os dados permtam. (a) Consdere o esquema a segur: M, L (Pág. 71) L Como não este atrto nos eos de rotação, sto mplca em que não haja torques eternos no sstema plataforma + homem + roda. Com sso o momento angular total do sstema é conservado: L = L L = L + L + L = + Plat, Hom, oda, oda Na stuação ncal L aponta vertcalmente para bao, devdo ao movmento de rotação da roda (regra da mão dreta). Sendo M a massa e o rao da roda, o momento de nérca da roda (na realdade um aro) é M (ver Fg. 9, pág. 34). Logo: = M L () O momento angular fnal vale: L = Substtundo-se () e (3) em (1): M = M = = ( 9, 66 rad/s) ( 9,66 rad/s) Como o momento angular do sstema deve ser conservado, sto mplca em que o sentdo da rotação deve permanecer dêntco ao ncal, ou seja, sentdo horáro quando vsto de cma para bao. (b) força de atrto que age entre o eo e a roda tende a frea-la, o que mplca num torque sobre a roda que possu o sentdo +. tercera le de Newton ege que um mesmo torque com o sentdo contráro ( ) deve ser aplcado ao eo e, consequentemente, sobre o homem e a plataforma. Estes começam a grar no mesmo sentdo de rotação da roda e, portanto, possuem velocdade angular negatva. velocdade angular fnal do sstema após a roda não mas grar em relação ao homem deve satsfaer à conservação do momento angular, porém não à conservação da energa mecânca, que dmnu. Uma parte da energa cnétca ncal do sstema é convertda prncpalmente em calor, o que aumenta lgeramente a temperatura do sstema. (1) (3) 35. Um dsco unforme de massa M e rao gra com velocdade angular em torno de um eo horontal que passa por seu centro. (a) Determne a energa cnétca e o momento angular do 13

14 Problemas esolvdos de Físca dsco. (b) Um pedaço de massa m quebra na berada do dsco e sobre vertcalmente acma do ponto do qual se desprendeu (Fg. 33). té que altura ele sobe, antes de começar a car? (c) Qual a velocdade angular fnal do dsco quebrado? (a) Energa cnétca: 1 1 M K = = M K = 4 Módulo do momento angular: M L= = (Pág. 71) M L = (b) Para que o pedaço de massa m suba vertcalmente para cma após desprender-se do dsco, o local da quebra deve ser tal como mostrado no esquema a segur: v = h v Ug = plcando-se o prncípo da conservação da energa mecânca ao pedaço de dsco m: E = E K + U = K + U g 1 mv mgh + = + g 14

15 Problemas esolvdos de Físca Mas: Logo: v h = g v = h = g (c) partr do momento em que o pedaço de dsco m começa a subr, a força da gravdade eerce torque sobre o mesmo em relação ao eo de rotação e, o momento angular não se conserva. No entanto, pode-se aplcar a conservação do momento angular aos nstantes antes da quebra e medatamente após a quebra (quando o pedaço de dsco anda não se separou do dsco), pos o torque gravtaconal só atuará a partr daí. L = L LDsco = LDsco quebrado + LPedaço de dsco medatamente após a quebra o pedaço m tem a mesma velocdade angular do dsco. Também nesse nstante a soma do momento de nérca do dsco quebrado e do pedaço é gual ao momento de nérca do dsco ntacto (sso ocorre devdo ao pedaço anda não ter se separado do dsco): = + Dsco quebrado Pedaço ( ) = + Dsco quebrado Pedaço = = O que ocorre com o pedaço de dsco a partr da separação não mas nterfere no comportamento do dsco. 4. Se as calotas de gelo dos pólos da Terra derretessem e a água voltasse aos oceanos, eles fcaram 3 m mas profundos. Qual sera o efeto dsso na rotação da Terra? Faça uma estmatva da mudança na duração do da. (Este atualmente uma preocupação com o aquecmento da atmosfera, provocado pela polução ndustral, que podera levar a sto.) (Pág. 7) 15