Mecânica Aplicada II MEMEC+LEAN e MEAER

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1 Departamento de Engenara Mecânca Área Centífca de Mecânca Aplcada e Aeroespacal Mecânca Aplcada II MEMEC+LEAN e MEAER 2 o Teste 2 o semestre 2009/10 Duração: 130m 09/06/2010 Instruções: Justfque todas as respostas e ndque todos os cálculos ntermédos. Indque as undades nas soluções. Grupo I 7 valores Uma barra delgada unforme de comprmento L e massa m está sobre uma mesa orzontal sem atrto. Incalmente, a barra está a rodar em torno do seu centro de massa, que não se encontra lgado por uma artculação à mesa, com velocdade angular constante ω 1. Subtamente, o trnco D é movmentado para a dreta, ndo a extremdade A da barra coldr com ele. Admtndo que o coque entre A e D é perfetamente elástco, determne a velocdade angular da barra e a velocdade do seu centro de massa medatamente após o mpacto. Fgura 1: Grupo I Resolução: A ntensdade da velocdade do ponto A antes do coque é v A = Lω 1 /2. Vamos supôr que o plano xy está sobre a mesa, que a barra durante o coque concde com o exo y que aponta de A para B, e que z aponta no sentdo ω 1. Assm, v A = Lω 1 /2. Após o mpacto, a velocdade do ponto A é v A. Uma vez que o coque é perfetamente elástco, e = 1, e logo e = v D v A v A v D = 0 v A v A 0 v A = v A, 1 de 8

2 em que v D e v D são as ntensdades das velocdades do ponto D antes e depos do coque, respectvamente. Logo, v A = Lω 1/2. Consderando a cnemátca da barra podemos escrever: v G = v A + ω 2 r G/A = Lω 1 /2 + ω 2 k L/2 j = L/2 (ω 1 + ω 2 ), em que v G é a velocdade do centro de massa da barra medatamente após o coque, ω 2 é a velocdade angular da barra após o coque e r G/A é a posção de G relatvamente a A. Consderando o Prncípo do Impulso e da Quantdade de Movmento entre os nstantes medatamente antes e depos do coque, podemos escrever, tomando como referênca o ponto A: Īω = Īω 2 + mv GL/2, em que Ī = ml2 /12 é o momento de nérca da barra em torno de um exo paralelo a z e que passa por G. Substtundo v G por L/2 (ω 1 + ω 2 ), e resolvendo, vem: ω 2 = ω 1 /2 ω 2 = ω 1 /2. A velocdade do centro de massa da barra após o coque é v G = ω 1/4. Grupo II 7 valores Uma estação espacal é consttuda por duas secções A e B de massas guas e lgadas rgdamente. Cada secção é equvalente a um clndro omogéneo de 15 m de comprmento e 3 m de rao. Sabendo que a estação apresenta precessão em torno da drecção fxa GD à taxa constante de 2 rev/, a) determne taxa de rotação própra em torno do seu exo de smetra CC ; b) determne o ângulo que o vector velocdade angular faz com o exo de smetra; c) esboce o cone do corpo e o cone do espaço. Resolução: Consderamos os sstemas de exos representados na fgura 3, em que: 2 de 8

3 Fgura 2: Grupo II Exo fxo no espaço, GZ: exo de precessão. Exos móves com o corpo: exo de smetra Gz, exo Gx no plano de Z e z e exo Gy formando um tredro drecto com Gx e Gz. Ângulo de nutação θ: ângulo entre o exo fxo no espaço e o exo de smetra. A taxa de precessão é defnda em torno de GZ e a taxa de rotação própra em torno do exo de smetra Gz. ω = φ K + ψ k = φ ( sn θ + φ cos θ + ψ) k Note-se que: ω x = φ sn θ ω z = φ cos θ + ψ Usando os dados do formuláro para um clndro, os momentos de nérca são: I x = 1 12 m ( 3a 2 + L 2) = 1 12 m ( ) = 77.25m I z = 1 2 ma2 = 1 2 m32 = 4.5m Obtemos então: tan γ = I z I x tan θ tan γ = 4.5m 77.25m tan 40o γ = 2.80 o (b) 3 de 8

4 Fgura 3: Grupo II Por outro lado, tan γ = ω x ω z = φ sn θ ω z tan γ Dado que ω z = φ cos θ + ψ, obtém-se: = 2 rev/ sn 40o tan 2.80 o = 26.3 rev/. ψ = ω z φ cos θ ψ = 26.3 rev/ 2 rev/ cos 40 o = rev/ = rad/s (a) c) I x > I z. Logo, temos um corpo alongado. Na fgura 4 estão representados o cone do espaço e o cone do corpo. Fgura 4: Grupo II: cone do corpo e cone do espaço 4 de 8

5 Grupo III 6 valores Consdere as coordenadas elíptcas (r, s) defndas por { x = cos r cos s y = sn r sn s a) Determne a base natural e a base físca das coordenadas elíptcas. b) Seja = (sn 2 r cos 2 s + cos 2 r sn 2 s) 1/2. Mostre que: Γ s ss = sn s cos s, Γ r sn r cos r 2 ss =. 2 c) Uma partícula de massa m = 1 kg percorre uma curva elíptca defnda por { r = 0.5 s = 2πt Determne as componentes físcas da força que está aplcada à partícula no nstante t = 1/8. Nota: recorde que (sn z) = cos z, (cos z) = sn z, cos 2 z sn 2 z = 1; cos , sn Resolução: a) As coordenadas elíptcas foram defndas através da transformação nversa. Por sso podemos calcular a matrz nversa X = x x = ( sn r cos s cos r sn s ) cos r sn s sn r cos s Os vectores da base natural obtém-se através das colunas da matrz nversa: e = X e. Logo e r = sn r cos s e x + cos r sn s e y e s = cos r sn s e x + sn r cos s e y Os vectores da base físca obtém-se dos vectores da base natural dvdndo-os pela norma: e ( ) = e /, em que os factores de escala = e. r = sn 2 r cos 2 s + cos 2 r sn 2 s = s 5 de 8

6 Logo: e (r) = e (s) = sn r cos s sn 2 r cos 2 s + cos 2 r sn 2 s e cos r sn s x + sn 2 r cos 2 s + cos 2 r sn 2 s e y cos r sn s sn 2 r cos 2 s + cos 2 r sn 2 s e sn r cos s x + sn 2 r cos 2 s + cos 2 r sn 2 s e y b) Defnmos = r = s. As coordenadas elíptcas são ortogonas porque e r e s = 0. Podemos portanto usar as fórmulas váldas para coordenadas ortogonas para obter os símbolos de Crstoffel: Note-se que j : Γ jk = 0 Γ j = 1 x j r = 1 2 Γ jj = j j 2 x 2 sn r cos r cos 2 s + 2 sn r cos r sn 2 s sn 2 r cos 2 s + cos 2 r sn 2 s = sn r cos r(cos2 s + sn 2 s) = sn r cos r Γ = 1 x. Logo: s = 1 2 sn 2 r( 2 sn s cos s) + cos 2 r(2 sn s cos s) sn 2 r cos 2 s + cos 2 r sn 2 s = sn s cos s(cos2 r sn 2 r) = sn s cos s Γ s ss = 1 s s s = 1 sn s cos s sn s cos s = 2 Γ r ss = s r 2 r r = 1 sn r cos r sn r cos r = 2 c) 2 a Le de Newton: f = m a Do formuláro: v = ẋ, a k = dvk dt + v v j Γ k j Logo: v r = ṙ = 0, v s = ṡ = 2π. a r = dvr dt + v v j Γ r j = 0 + v r v r Γ r rr + v r v s Γ r rs + v s v r Γ r sr + v s v s Γ r ss = v s v s Γ r ss 2 sn r cos r = (2π) 2 a s = dvs dt + v v j Γ s j = 0 + v r v r Γ s rr + v r v s Γ s rs + v s v r Γ s sr + v s v s Γ s ss = v s v s Γ s ss 2 sn s cos s = (2π) 2 6 de 8

7 Componentes físcas: a () = a. Logo: a (r) = r a r 2 sn r cos r = (2π) a (s) = s a s 2 sn s cos s = (2π) Para t = 1/8, vem s = π/4. Logo, sn s = 2/2 = cos s, e = 2 2 sn cos = donde Conclusão: ou seja: 2 sn 0.5 cos 0.5 a (r) = (2π) = sn π/4 cos π/4 a (s) = (2π) = f (r) = (N) f (s) = (N) f = ( (N)) e (r) + (18.08 (N)) e (s) sn cos = 7 de 8

8 Formuláro Barra esbelta: Ī y = Īz = 1 12 ml2 I y = I z = 1 3 ml2 Clndro crcular: Ī y = Īz = 1 12 m ( 3a 2 + L 2) Ī x = 1 2 ma2 T 1... p j = 1...j X k X 1 q 1... X p p X j 1 j... X jq 1 j T 1... p p j 1...j q e () = e = e v () = v () = v = 1 v k a = a x k + Γ jka j k a = a x k Γj k a j Em coordenadas ortogonas (e com j k): Γ jk = 0 Γ j = 1 x j Γ jj = j 2 j x Γ = 1 x. grad φ = k φ k e dva 1 ( ) = g g A lap φ = 1 ( g g k φ ) x g x x k (rot V ) () = 1 (V (k)) k g x j (V (j) ) j x k (, j, k) em permutações cíclcas Velocdade: v = ẋ Aceleração: a k = Dvk dt = dx dt v k = dvk dt + v v j Γ k j = ẍ k + ẋ ẋ j Γ k j 8 de 8