Centro de massa - Movimento de um sistema de partículas

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1 Centro de massa - Movmento de um sstema de partículas

2 Centro de Massa Há um ponto especal num sstema ou objeto, chamado de centro de massa, que se move como se toda a massa do sstema estvesse concentrada naquele ponto. O sstema rá mover-se como se uma força externa fosse aplcada em uma únca partícula de massa M (massa total do sstema) localzada no centro de massa.

3 Centro de Massa Sstema de Partículas: Conjunto de objetos pontuas, (e.g. átomos em uma molécula, objeto extenso (e.g. uma barra, uma bola,...) Centro de Massa: Representa o movmento do sstema como um todo Movmenta-se como se toda a massa (M) do sstema estvesse concentrada nesse ponto Centro de Massa = Centro de Gravdade

4 Posção do Centro de Massa Defnção: As coordenadas do centro de massa são: x CM = ' ' m x M y CM = m y M onde M é a massa total do sstema z CM = m z M

5 O centro de massa pode ser localzado pelo seu vetor posção, r CM r CM = m r M r é a posção da partícula, defnda por: r = x î + y ĵ+ z ˆk

6 Exemplo: Duas massas sobre o exo x O centro de massa está sobre o exo x O centro de massa está mas próxmo da partícula com massa x = m x + m x m + m

7 Exemplo: Centro de Massa de Três Partículas Três bolas de massas m 1 =m 2 =1kg e m 3 =2 kg estão dspostas no arranjo mostrado ao lado. Calcule a posção do centro de massa do sstema.! r 1 =1î + 0 ĵ # " r 2 = 2î + 0 ĵ # $ r 3 = 0î + 2 ĵ r CM = m 1r + m 2r2 + m 3r3 m + m + m ( 1,0 1+1, ,0 0)î r CM = 1,0 +1,0 + 2,0 r CM = 3,0 î + 4,0 4,0 4,0 + ( 1,0 0+1,0 0+ 2,0 2) ĵ ĵ r CM = 0,75m î +1,0m ĵ

8 Centro de Massa de um objeto extenso Um objeto extenso pode ser consderado como uma dstrbução de pequenos elementos de massa, Δm. O centro de massa está localzado na posção r CM

9 Consderemos a massa Δm localzada na posção r :

10 Logo, as coordenadas do centro de massa do objeto são: x CM = 1 M x dm y CM = 1 M y dm z CM = 1 M z dm

11 Corpo homogêneo : O centro de massa de um corpo homogêneo e smétrco localza-se sempre em algum ponto sobre o exo de smetra. Ex. 1: o CM de uma barra homogênea está no ponto médo entre as extremdades. Ex. 2: o CM de uma esfera homogênea ou um cubo homogêneo estão no centro geométrco do corpo.

12 Exemplo: Centro de massa de uma barra Mostre que o centro de massa de uma barra homogênea de largura constante e comprmento L stua-se em L/2, sto é, smetrcamente equdstante das suas extremdades. x CM = 1 M L 0 x dm densdade lnear λ dm = λ dx x CM = 1 M L x λ dx 0 λ constante x CM = 1 M λ x dx = λ M M = L dm M = λ dx = λl 0 L 0 L 0 x 2 L 2 0 = λl2 2M M = λl x CM = L 2

13 Velocdade e aceleração do centro de massa Assm como defnmos a posção do centro de massa de um sstema, podemos defnr a velocdade do centro de massa de um sstema como sendo: v CM = d r CM dt = d dt 1 M m r = 1 M m e aceleração do centro tro%de%massa'como'sendo:' sendo: A 2ª Le de Newton para um sstema de partículas então fca: d r dt v CM = 1 M m Da mesma forma, podemos defnr o momento do centro de massa de um sstema como sendo: ndo:' p CM = Mv CM = m v p CM = p! a CM = d! v CM dt = d dt 1 M! m v = 1 M m d! v dt a! CM = 1 M 2ª'Le'de'Newton'para'um'sstema'de'par1culas'então'fca:'! F R CM = M a!! CM = m a =! F R v! m a

14 o Na últma equação, vemos que a força externa resultante é gual à massa total do sstema multplcada pela aceleração do centro de massa. o centro de massa de um sstema de partículas de massa combnada M se move como se uma partícula equvalente de massa M se movmentara sob a nfluênca de uma força externa atuando no sstema. o Se não há forças externas atuando no sstema, Ma CM =0. Logo, dp CM /dt = 0, e portanto, p CM = constante.

15 Exemplo: Explosão em Movmento Um foguete sobe vertcalmente e explode em três pedaços de mesma massa quando atnge uma alttude de m a uma velocdade de 300 m/s. Um dos pedaços contnua a se movmentar para cma com velocdade de 450 m/s e um segundo pedaço va para o leste a 240 m/s. a) Qual a velocdade vetoral do tercero pedaço? b) Qual a posção do centro de massa do sstema em relação ao chão 3 segundos após a explosão? a)'! v = 300 ĵ! v 1 = 450! ĵ p CM = p! 1 + p! 2 + p! 3! v 2 = 240î b)' " a CM = g $ # v 0CM = 300 $ % y 0CM =1.000 M! v = m! v 1 + m! v 2 + m! v 3 M = 3m 3! v =! v 1 +! v 2 +! v ĵ = 450 ĵ + 240î + v 3xî + v 3y ĵ! v 3 = 240î ĵ y CM = y 0CM + v 0CM t a CM t2 y CM = y CM =1.856m 9,8 32 2

16 Exemplo: Movmento Relatvo Um garoto de 40 kg está em uma ponta de um bote de 4 metros de comprmento e 70 kg, parado a 3,00 metros do píer, quando vê uma tartaruga na água, na outra ponta do barco. a) Qual será a posção do garoto em relação ao píer quando ele estver na outra ponta do barco? b) Ele consegue pegar a tartaruga, assumndo que ele consegue estcar o braço a 1 m de dstânca do barco?

17 F ext = 0 x CM f = x CM x CM = m G x G + m B x B m G + m B m G x G + m B x B = m G x G f + m B x B f (1) CM A posção do barco é gual à posção do seu centro de massas. Colocamos a orgem do sstema de coordenadas concdndo com o píer. Logo, ncalmente temos: x G = 3m e x B = 5m. Quando o garoto chega na outra extremdade do barco, a sua posção em relação ao píer será x f G =x. No nstante fnal, a dstânca entre o garoto e o centro de massa do barco é de 2m; portanto, a posção do barco x f B = x - 2m. Substtundo na Eq. (1), temos: 40kg. 3m + 70 kg. 5m = 40 kg. x + 70 kg.(x - 2m) x = 5.55 m

18 Le grand Jeté o Quando a balarna salta para realzar o grand jeté, ela levanta os braços e estende as pernas horzontalmente. Essas ações dmnuem o seu comprmento vertcal e deslocam seu centro de massa para cma através de seu corpo. o Por outro lado, por causa do salto, o centro de massa da balarna segue um camnho parabólco. o O resultado é que a cabeça e o torso seguem um camnho quase horzontal, crando a lusão de que a balarna está flutuando.