Conservação do momento linear

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1 Conservação do momento linear Alexandre Furlan Fundamentos de Mecânica - FIS065 Turmas E1 E2 10 de outubro de 2018 Alexandre Furlan (Aula 15) 10 de outubro de / 12

2 Objetivos 1 O momento linear 2 Conservação do momento linear 3 Conservação do momento linear (caso geral) 4 Duas partículas de massas quaisquer m 1,m 2 5 Sistema de N partículas 6 Resumo Alexandre Furlan (Aula 15) 10 de outubro de / 12

3 O momento linear Já vimos que o momento linear de uma partícula é dado por : derivando no tempo ambos os lados da equação 1 p = mv unidade kgms 1 (1) dp = m dv = ma = FR dp = FR (2) formulação diferencial da 2 a lei de Newton. A taxa de variação temporal do momento linear de uma partícula é igual a força resultante que atua sobre ela e tem a mesma direção da força Decorre imediatamente de (2) que se F R = 0 então : F R = 0 dp = 0 logo p = const. O momento p se conserva Alexandre Furlan (Aula 15) 10 de outubro de / 12

4 Sistema de duas partículas Vamos considerar um sistema de duas partículas de massas m 1 e m 2. As equações de movimento do sistema ficam : dp 1 dp 2 = F 1(2) e = F 2(1) F i(j) força sobre a partícula i devido a interação com j. Somando as equações dp 1 + dp2 = F 1(2) + F 2(1) d (p1 + p2) = F 1(2) + F 2(1) vamos denotar P = p 1 + p 2 como o momento total do sistema e portanto : dp = F 1(2) + F 2(1) mas pela 3 a lei : F 1(2) + F 2(1) = 0 par ação-reação logo : Princípio da conservação do momento Na ausência de forças externas o momento total P = i pi = p1 + p2 + p = const. de um sistema de partículas permanece constante dp = 0 Alexandre Furlan (Aula 15) 10 de outubro de / 12

5 Sistema de duas partículas caso geral Caso geral consiste em considerar forças interas F i(j) e forças externas F (ext) i forças externas : campo elétrico E, campo gravitacional G, atrito F a,... F (ext) i força externa total atuando sobre a partícula i. As equações de movimento ficam : dp 1 = F 1(2) + F1 ext e novamente temos que : dp 2 = F 2(1) + F ext 2 d (p1 + p2) = F 1(2) + F 2(1) + F (ext) i + F (ext) j }{{}}{{} =0 =F (ext) dp = F (ext) (3) A condição para que o momento total de um sistema de duas partículas se conserve é que a resultante das forças externas aplicadas ao sistema se anule, ou seja : F (ext) = F (ext) 1 + F (ext) 2 = 0 ou F (ext) 1 = F (ext) 2 Forças externas, se não são nulas, devem formar um binário (ou conjugado) - antiparalelas Alexandre Furlan (Aula 15) 10 de outubro de / 12

6 Mas a equção (3) também é uma equação de movimento para P e sugere que podemos tratar um sistema de duas(ou mais) partículas, como se fosse uma única partícula fictícia de momento P e massa M = m 1 + m 2 localizada no centro de massa do sistema. Duas partículas idênticas em posições r 1 e r 2: p 1 = m dr1 p 2 = m dr2 P = p1 + p2 = m d (r1 + r2) O sistema equivalente seria M = 2m e R = 1 (r1 + r2) e portanto : 2 equação de movimento para o CM M d2 R 2 = F (ext) F (ext) = Ma CM (4) O ponto médio do segmento que une as duas partículas (CM) move-se de acordo com (4) como uma partícula única de massa igual a massa total do sistema sobre o qual agiria uma força igual a força resultante das forças externas. Alexandre Furlan (Aula 15) 10 de outubro de / 12

7 Duas partículas de massas quaisquer m 1 e m 2 Temos que : onde dr 1 P = m 1 + dr 2 m2 = d (m1r1 + m2r2) lembre-se : X = R = Xî + Y ĵ + Zˆk = Y = r 1 = r 1 R = r 2 = r 2 R = M = m 1 + m 2 e R = Z = m1x1 + m2x2 m 1 + m 2 m1y1 + m2y2 m 1 + m 2 m1z1 + m2z2 m 1 + m 2 m1r1 + m2r2 m 1 + m 2 e r i = x i î + y i ĵ + z iˆk, (i = 1, 2) m1r1 + m2r1 m1r1 m2r2 m 2 = (r 1 r 2) (5) m 1 + m 2 m 1 + m 2 m1r2 + m2r2 m1r1 m2r1 m 1 = (r 1 r 2) (6) m 1 + m 2 m 1 + m 2 Alexandre Furlan (Aula 15) 10 de outubro de / 12

8 dividindo a equação 5 por 6 temos : r 2 = m2 m 1 r 1 m 1r 1 + m 2r 2 = 0 (7) r 2 e r 1 são antiparalelos, o CM continua sendo um ponto interno ao segmento que une as partículas e divide o segmento na razão inversa de suas massas. derivando a equação (7) temos : m 1 dr 1 + m2 dr 2 = m1v 1 + m 2v 2 = p 1 + p 2 = 0 (8) o momento total do sistema relativo ao CM é nulo O momento total do sistema concentra-se no movimento do CM Alexandre Furlan (Aula 15) 10 de outubro de / 12

9 Sistema de N partículas N partículas de massa m 1, m 2,..., m N com posição r 1(t), r 2(t),..., r N (t) As equações de movimento para esse sistema ficam : ou ainda : m 1 d 2 r 1 2 m 2 d 2 r 2 2. d 2 r N m N 2 m i d 2 r i 2 = N = F 1(2) + F 1(3) F 1(N) + F (ext) 1 = F 2(1) + F 2(3) F 2(N) + F (ext) 2 = F N(1) + F N(2) F N(N 1) + F (ext) N j=1 (j i) somando membro a membro teremos : F i(j) + F (ext) i, (i = 1, 2,..., N) (9) m i d 2 r i 2 = N F i(j) + F (ext) i (10) j=1 (j i) Alexandre Furlan (Aula 15) 10 de outubro de / 12

10 Mas vimos que : F i(j) = 0, F (ext) = F (ext) i, M = j=1 (j i) m i e portanto M d2 R = F (ext) com R = 1 M m ir i(11) R define vetor posição do CM - média ponderada de r 1, r 2,..., r N Tarefa : Introduza os vetores posição relativa r i = r i R e mostre que : dr N i m i = p i = 0. o momento total do movimento interno do sistema relativo ao CM é nulo A conservação do momento é um dos fenômenos mais gerias de física. Sistemas moleculares até sistemas planetários Alexandre Furlan (Aula 15) 10 de outubro de / 12

11 Resumo Princípio da conservação de momento Taxa de variação do momento total é igual a resultante das forças que atuam sobre o sistema Anulação de resultante implica conservação de momento total F (ext) = 0 P = const. Conservação do momento total se deve ao cancelamento das forças internas A resultante das externas se anulam o CM permanece em repouso ou em MRU Centro de massa Um sistema não pode deslocar seu CM sob a ação puramente de forças internas Movimento interno é independente do movimento do CM - ignorar estrutura interna Podemos tratar corpos macroscópicos como partículas invariância de escala - grande e pequeno são conceitos relativos. Alexandre Furlan (Aula 15) 10 de outubro de / 12

12 Sistemas de massa variável Próxima aula Alexandre Furlan (Aula 15) 10 de outubro de / 12