Mecânica Newtoniana: Momento Linear e Impulso

Transcrição

1 ecânica Newtoniana: omento Linear e Impulso 2018 Dr. Walter F. de Azevedo Jr. Prof. Dr. Walter F. de Azevedo Jr. [email protected] 1

2 Segunda Lei de Newton e omento Linear Considere a equação vista para a segunda lei de Newton: Sabemos que a aceleração (a) é a taxa de variação no tempo da velocidade. Assim temos: O produto da massa (m) pela velocidade (v) é o momento linear (p) (ou quantidade de movimento) de uma partícula. 2

3 Segunda Lei de Newton e omento Linear Considerando-se a definição do momento linear (p), temos a expressão da segunda lei de Newton como segue: Originalmente, a segunda lei de Newton foi proposta usando-se a definição acima, ou seja, a força é igual à taxa de variação no tempo do momento com relação à velocidade. Podemos expressar a variação do momento com relação ao tempo, com a expressão abaixo. uitas vezes a expressão acima é útil na análise de sistemas com massa variável, como veremos na equação do foguete. 3

4 Conservação do omento Linear O momento total de um sistema de N partículas (P sis ) é a soma vetorial do momento de cada partícula (p i ), como indicado abaixo: Podemos expressar a somatória do produto m i v i como o produto da massa total () pela velocidade do centro de massa (v cm ), como segue: Tomando-se a derivada com relação ao tempo, temos: 4

5 Conservação do omento Linear Considerando-se a expressão da segunda lei de Newton em função da taxa de variação no tempo do momento, temos: Quando a força resultante externa é nula, temos que a taxa de variação no tempo do momento do sistema é constante, como segue: O resultado acima é chamado lei de conservação do momento linear. Se a soma das forças externas sobre um sistema permanece zero, então o momento total do sistema é conservado. 5

6 Aplicações Exemplo 1. Durante um reparo do telescópio espacial Hubble, uma astronauta substitui um painel solar avariado. Empurrando para o espaço o painel retirado, ela é empurrada no sentido oposto. A massa da astronauta é 60 kg e a massa do painel é 80 kg. A astronauta e o painel estão inicialmente em repouso, em relação ao telescópio, quando a astronauta empurra o painel. Depois disso, o painel se move a 0,3 m/s em relação ao telescópio. Qual é a subsequente velocidade da astronauta em relação ao telescópio? 6

7 Aplicações Solução: Inicialmente temos a astronauta e o painel solar com velocidade zero. v a i v p i 7

8 Aplicações Solução: Ao final o painel solar tem velocidade de 0,3 m/s e astronauta velocidade v a f. v a f v p f = (-0,3 m/s)i 8

9 Aplicações Solução: Vamos considerar que a astronauta está se movendo na direção crescente do eixo x e o painel solar na direção oposta. v a f v p f = (-0,3 m/s)i 9

10 Aplicações Solução: Considerando-se que a somatória das forças é nula, temos que o momento se conserva. Assim, a partir da conservação do momento linear, temos: v a f v p f = (-0,3 m/s)i 10

11 Aplicações Solução: A astronauta e o painel solar estão em repouso. v a f 0 0 v p f = (-0,3 m/s)i 11

12 Aplicações Solução: Rearranjando-se os termos, chegamos à seguinte expressão: v a f 0 0 v p f = (-0,3 m/s)i 12

13 Aplicações Solução: Isolando-se a velocidade final da astronauta (v a f ) temos: v a f 0 0 v p f = (-0,3 m/s)i 13

14 Aplicações Solução: Substituindo-se os valores dados, temos: v a f 0 0 m a f = 60 kg m p f v p f = (-0,3 m/s)i = 80 kg 14

15 Impulso Considere uma força que varia em função do tempo, como ilustrada no gráfico abaixo. 15

16 Impulso Definimos o vetor impulso I pela integral da força no intervalo de tempo entre t i e t f, como indicado abaixo. 16

17 Impulso Considerando-se a definição da segunda lei de Newton com o momento, temos: A expressão acima é o teorema do impulsomomento para uma partícula. 17

18 Impulso No caso de um sistema de partículas, temos: A expressão acima é o teorema do impulsomomento para um sistema. 18

19 Impulso Por definição, a média de uma força F no intervalo t é dada por: 19

20 Equação do Foguete Considere o movimento de um foguete que apresenta massa variável. O foguete queima combustível continuamente. Nesse processo o foguete expele gases que o impulsionam para frente. Considere que o foguete tem massa inicial 0. Os gases da exaustão abandonam o motor do foguete com velocidade u. O diagrama esquemático abaixo ilustra o sistema. 20

21 Equação do Foguete À esquerda temos o foguete no instante inicial (t 0 ) e à direita temos o foguete no instante final (t f ). O foguete ganha velocidade devido à ejeção de um elemento de massa, sendo a massa total do sistema foguete igual +, no instante inicial. 21

22 Equação do Foguete Considerando-se o momento linear do sistema no início e no final, temos: 22

23 Equação do Foguete Determinando-se a variação do momento linear P, temos: 23

24 Equação do Foguete Rearranjando-se os termos, chegamos: 24

25 Equação do Foguete Tomando-se a derivada de P com relação ao tempo, temos: 25

26 Equação do Foguete Considerando-se o limite quando t 0, v 0 e 0, temos: 0 26

27 Equação do Foguete Chegamos à expressão: 0 27

28 Equação do Foguete Considerando-se que a taxa de variação dm/dt é a diminuição da massa, temos: 0 28

29 Equação do Foguete Sabemos pela segunda lei de Newton, que: Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema. 0 29

30 Equação do Foguete Substituindo-se dp/dt na expressão abaixo, temos: Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema. 0 30

31 Equação do Foguete Dividindo-se ambos os lados por, temos: Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema. 0 31

32 Equação do Foguete Isolando-se dv/dt, temos: Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema. 0 32

33 Equação do Foguete Iremos resolver a equação em destaque. Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema. Isolando-se dv e dt, temos. 33

34 Equação do Foguete Iremos resolver a equação em destaque. Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema. Integrando-se de ambos os lados, temos. 34

35 Equação do Foguete Iremos resolver a equação em destaque. Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema. Iniciando-se as resoluções das integrais, temos. v f v 0 35

36 Equação do Foguete Iremos resolver a equação em destaque. Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema. Continuando, temos. Tabela de Integrais v f t f v 0 t 0 36

37 Equação do Foguete Iremos resolver a equação em destaque. Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema. A partir da tabela de integrais, temos. Tabela de Integrais v f t f v 0 t 0 f 0 37

38 Equação do Foguete Iremos resolver a equação em destaque. Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema. Assim temos: Tabela de Integrais 38

39 Equação do Foguete Iremos resolver a equação em destaque. Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema. Considerando-se t 0 = 0, v 0 = 0, g = gj e u = -uj temos : Tabela de Integrais 39

40 Aplicações Exemplo 2. O foguete Saturno V tinha uma massa inicial de 2, kg, 73 % desta massa formada por combustível, queimado com uma velocidade de exaustão com relação ao foguete de 2,46 km/s. Determine a velocidade do foguete após 150 s. 40

41 Aplicações Solução. A massa final f é 0,27 da massa inicial, ou seja, f =0, Substituindo-se na expressão, temos: kg. 41

42 Referências Bibliográficas TIPLER, P. A. & OSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda , 759 pp. Última atualização em: 15 de maio de