CARGAS MÓVEIS. Faculdade de Engenharia São Paulo FESP Engenharia Civil CE2 Estabilidade das Construções II
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1 Faculdade de Engenhara São Paulo FESP Engenhara Cvl CE2 Establdade das Construções II CARGAS MÓVEIS Autor: Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. Coord. Geral: Prof. Dr. Antono R. Martns São Paulo 20
2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO INHAS DE INFUÊNCIA DE VIGAS ISOSTÁTICAS INHAS DE INFUÊNCIA PARA VIGA EM BAANÇO INHAS DE INFUÊNCIA PARA VIGA SIMPESMENTE APOIADA INHAS DE INFUÊNCIA PARA VIGA BIAPOIADA COM BAANÇOS INHAS DE INFUÊNCIA PARA VIGAS ASSOCIADAS ISOSTÁTICAS OBTENÇÃO DOS ESFORÇOS EXERCÍCIOS DE PROPOSTOS INHAS DE INFUÊNCIA DE VIGAS CONTÍNUAS MÉTODO DA PROPAGAÇÃO EXEMPOS DE APICAÇÃO INHAS DE INFUÊNCIA EXEMPO DE APICAÇÃO EXERCÍCIOS DE PROPOSTOS ENVOTÓRIA DE ESFORÇOS REFERÊNCIAS ANEXOS ANEXO A INHAS DE INFUÊNCIA DE MOMENTO FETOR E FORÇA CORTANTE ANEXO B INHAS DE INFUÊNCIA DE REAÇÃO VERTICA PARA O APOIO ESQUERDO ANEXO C FUNÇÕES MOMENTO FETOR E FORÇA CORTANTE ANEXO D REAÇÕES DE APOIO ANEXO E RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3 CARGAS MÓVEIS INTRODUÇÃO No conteto da análse de estruturas dversos carregamentos devem ser consderados, podendo classfcá los em dos tpos: cargas permanentes e cargas acdentas. As cargas permanentes têm posção fa e atuam com mesma ntensdade durante toda a vda útl da estrutura. Como eemplos de cargas de ação permanente, pode se ctar: peso própro da estrutura, paredes fas, elementos arqutetôncos fos à estrutura, fôrros, psos e contra psos, dentre outras. Para estruturas carregadas apenas por cargas permanentes a análse dos esforços para o dmensonamento das mesmas, utlza se os Dagramas de Estado (momento fletor e torçor, força cortante, força normal). A partr dos Dagramas de Estado obtêm se os esforços mas desfavoráves atuantes na estrutura. Os deslocamentos lmtes podem ser verfcados de manera mas smples, pos os deslocamentos ocorrdos por ação das cargas permanentes não varam com o tempo, portanto são úncos para toda a vda útl da estrutura. As cargas acdentas podem varar no tempo e espaço. Para aquelas de varação temporal, dtas cargas dnâmcas, o estudo aqu apresentado não pode ser utlzado. Nestes casos deve se recorrer à Teora Dnâmca das Estruturas (COUGH, 2003). Por outro lado, para as cargas que têm varação espacal, dtas cargas móves, deve se verfcar as posções mas desfavoráves que estas poderão ocupar smultaneamente de modo a resultar numa stuação de mámo ou mínmo esforço solctante numa dada seção do elemento estrutural. Alguns eemplos de cargas móves são: carregamentos rodováros e ferrováros, multdão de pessoas sobre arqubancadas e passarelas, pontes rolantes para transporte de carga em edfícos ndustras, dentre outras. A Fgura apresenta alguns veículos consderados em projetos de estradas. (a) (b) (c) Fgura Cargas móves (a) camnhão trator trucado + sem reboque de 4 eos (b) camnhão + reboque de 4 eos (c) camnhão trator trucado + sem reboque de 5 eos (Fonte: mtes legas. ) O dmensonamento de estruturas sob a ação de cargas móves ege que a análse dos esforços seja feta a uma análse rgorosa. O procedmento geral consste em se determnar a posção das cargas móves em uma estrutura que provocam os valores lmtes de determnado esforço nterno em uma dada seção transversal. Este procedmento é feto com o auílo das lnhas de nfluênca. (MARTHA, 200). Págna de 33
4 2 INHAS DE INFUÊNCIA DE VIGAS ISOSTÁTICAS Uma lnha de nfluênca regstra a varação de um determnado esforço, deslocamento ou reação em função da posção de uma força untára que percorre a estrutura. Imagnando uma célula de carga, que ndca a força vertcal (tpo balança), nstalada no apoo A da vga apresentada na Fgura 2. Uma carga untára de kn percorre o vão AB da vga enquanto a célula de carga regstra a reação no apoo A, levando à lnha de nfluênca mostrada na Fgura 2. INHA DE INFUÊNCIA DE REAÇÃO VERTICA DO APOIO A Fgura 2 Carga móvel untára e lnha de nfluênca de reação do apoo A da vga sostátca smplesmente apoada Observa se que a epressão matemátca que mostra a varação da reação de apoo A em função dstânca da carga untára do apoo esquerdo, defnda pela dstânca a ndcada na Fgura 3, é uma função lnear que vara de kn (quando a carga untára está sobre o apoo A) até 0 kn (quando a carga untára está sobre o apoo B). Fgura 3 Varação das reações de apoo em função da posção da carga No caso de vgas contínuas a obtenção da lnha de nfluênca para uma determnada reação de apoo torna se mas complea devdo à hperestatcdade do sstema estrutural. A resposta de uma estrutura hperestátca passa a ser não lnear que ege cálculos avançados baseados em métodos de energa ou propagação. Estes últmo será vsto adante. Fgura 4 nha de nfluênca de reação do apoo A da vga contínua de dos vãos Págna 2 de 33
5 2. INHAS DE INFUÊNCIA PARA VIGA EM BAANÇO Fgura 5 Vga em balanço de vão A função para descrever a varação do momento fletor em C em relação à posção da carga untára, é dada por: M C ( z ) 0 : z : M C z M C 0 e a função para a força cortante em C em relação à posção da carga, vale: V C 0 : z : VC VC As lnhas de nfluênca de momento fletor e de força cortante em C são obtdas a partr do gráfco as funções anterormente menconadas. As lnhas de nfluênca são mostradas na Fgura 6. Fgura 6 nha de nfluênca de momento fletor em C para a vga em balanço Fgura 7 nha de nfluênca de força cortante em C para a vga em balanço Págna 3 de 33
6 2.2 INHAS DE INFUÊNCIA PARA VIGA SIMPESMENTE APOIADA Establdade das Construções II Fgura 8 Vga smplesmente apoada de vão A descrção da varação do momento fletor em C em relação à posção da carga untára, para o caso da vga smplesmente apoada, é obtda por meo de duas funções, apresentadas a segur Carga untára no Trecho AC (para 0 z ) Analsando se pelo Teorema do Corte a sub estrutura à dreta de C (Fgura 8), o momento fletor em C é dado por: M C ( z) assm como a força cortante em C, que vale: VC 0 : z : 0 : z : M C 0 M C VC 0 z VC z / ( z) Carga untára no Trecho CB (para z ) Fgura 9 Vga smplesmente apoada de vão Págna 4 de 33
7 Págna 5 de 33 Partndo da Fgura 9 e procedendo se de forma análoga ao trecho anteror, o momento fletor em C é dado por: 0 : ) ( : ) ( C C C M z z M z z M assm como, a força cortante em C, vale: 0 : ) ( : ) ( C C C V z V z V A partr das epressões anterores pode se traçar as lnhas de nfluênca de momento fletor e de força cortante na seção transversal C da vga smplesmente apoada, conforme mostram as Fguras 0 e. Fgura 0 nha de nfluênca para momento fletor em C para a vga smplesmente apoada Fgura nha de nfluênca para força cortante em C para a vga smplesmente apoada
8 2.3 INHAS DE INFUÊNCIA PARA VIGA BIAPOIADA COM BAANÇOS Establdade das Construções II Fgura 2 Vga smplesmente apoada de vão com balanço à esquerda Neste caso, a descrção da varação do momento fletor e força cortante em C em relação à posção da carga untára contempla a estênca de balanços de ambos os lados Carga untára no balanço à esquerda Analsando se pelo Teorema do Corte a sub estrutura à dreta de C (Fgura 2), o momento fletor em C é dado por: M C ( a ) ( z) a ( z) 0 : M C a : M C 0 e a força cortante em C vale: ( a ) V C 0 : VC a / l a : VC Carga untára no balanço à dreta Fgura 3 Vga smplesmente apoada de vão com balanço à dreta Por outro lado, analsando se pelo Teorema do Corte a sub estrutura à esquerda de C (Fgura 3), o momento fletor em C é dado por: Págna 6 de 33
9 Págna 7 de 33 0 : 0 : ) ( C C C M b z b M z b M e a força cortante em C vale: 0 : / 0 : ) ( C C C V b l b V b V A partr das epressões anterores pode se traçar as lnhas de nfluênca de momento fletor e de força cortante na seção transversal C da vga bapoada com balanços, conforme mostram as Fguras 4 e 5. Fgura 4 nha de nfluênca para momento fletor em C para a vga bapoada com balanços Fgura 5 nha de nfluênca para força cortante em C para a vga bapoada com balanços
10 2.4 INHAS DE INFUÊNCIA PARA VIGAS ASSOCIADAS ISOSTÁTICAS Establdade das Construções II As estruturas assocadas são compostas por uma sére de vgas nterlgadas por consolo curto e dente Gerber. Os tramos sostátcos levam a uma sére de facldades construtvas, no caso de estruturas de pontes, conforme o esquema da Fgura 6. A únca dferença que há entre as lnhas de nfluênca de vgas bapoadas com balanços e as vgas assocadas sostátcas é que a lnha de nfluênca tende a zero na lgação adjacente, conforme se observa nas Fguras 7 e 8. Fgura 6 Vgas sostátcas assocadas (a) esquema estátco (b) lgação consolo curto e dente Gerber Fgura 7 nha de nfluênca de momento fletor na seção transversal C para a vga contínua assocada Fgura 8 nha de nfluênca de força cortante na seção transversal C para a vga contínua assocada Págna 8 de 33
11 2.5 OBTENÇÃO DOS ESFORÇOS No caso de cargas móves concentradas, para a obtenção de um determnado esforço numa certa seção, basta multplcar o valor da ordenada da lnha de nfluênca correspondente ao esforço desejado pela ntensdade da carga concentrada. (a) Fgura 9 Esforços de fleão na seção transversal C devdos (a) à carga concentrada (b) à carga unforme Já para o caso de cargas móves unformemente dstrbuídas, para a obtenção de um determnado esforço numa certa seção, basta multplcar o valor da área da projeção do carregamento dstrbuído da lnha de nfluênca correspondente ao esforço desejado pela ntensdade da carga unforme. De modo, pode aplcar os carregamentos, estrategcamente, de modo a gerar os esforços mas desfavoráves na seção analsada. No caso da Fgura 20 o carregamento móvel unformemente dstrbuído fo aplcado estrategcamente na vga contínua, somente na regão postva, de modo a produzr o mámo momento fletor na seção transversal S. Analogamente, na Fgura 2, o carregamento móvel fo aplcado para produzr o mínmo momento fletor na seção transversal S. (b) Fgura 20 Posconamento da carga móvel unforme para provocar o mámo momento fletor na seção transversal S (MARTHA, 200) Fgura 2 Posconamento da carga móvel unforme para provocar o mínmo momento fletor na seção transversal S (MARTHA, 200) Págna 9 de 33
12 2.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS EXERCÍCIO 2. Determnar os esforços mas desfavoráves na seção transversal C, para momento fletor e força cortante, devdos aos carregamentos ndcados a segur. Consdere a carga móvel trafegando nos dos sentdos. EXERCÍCIO 2.2 Determnar os esforços mas desfavoráves na seção transversal C, para momento fletor e força cortante, devdos aos carregamentos ndcados a segur. Consdere a carga móvel trafegando em sentdo únco. EXERCÍCIO 2.3 Determnar os esforços mas desfavoráves na seção transversal C, para momento fletor e força cortante, devdos aos carregamentos ndcados a segur. Consdere a carga móvel trafegando em sentdo únco. Págna 0 de 33
13 EXERCÍCIO 2.4 Establdade das Construções II Determnar os esforços mas desfavoráves na seção transversal C, para momento fletor e força cortante, devdos aos carregamentos ndcados a segur. Consdere a carga móvel trafegando em sentdo únco. EXERCÍCIO 2.5 Para a vga smplesmente apoada, ndcada na fgura abao, sujeta às ações permanente e acdental ndcadas, pede se: (a) os momentos fletores mámo e mínmo na seção transversal C; (b) as forças cortantes máma e mínma na seção transversal C; (c) as reações máma e mínma no apoo A. Consdere a carga móvel trafegando em sentdo únco. EXERCÍCIO 2.6 Para a vga smplesmente apoada, ndcada na fgura abao, sujeta às ações permanente e acdental ndcadas, pede se: (a) os momentos fletores mámo e mínmo na seção transversal C; (b) as forças cortantes máma e mínma na seção transversal C; (c) os momentos fletores mámo e mínmo na seção transversal M (no meo do vão); (d) as forças cortantes máma e mínma na seção transversal M (no meo do vão); (e) as reações máma e mínma no apoo A. Consdere a carga móvel trafegando nos dos sentdos em ncrementos de metro. Págna de 33
14 EXERCÍCIO 2.7 Establdade das Construções II Para a vga bapoada com balanços sujeta às ações permanente e acdental, ndcadas na fgura abao, determne: (a) os momentos fletores mámo e mínmo na seção transversal C; (b) as reações máma e mínma no apoo B. EXERCÍCIO 2.8 Para a vga bapoada com balanço sujeta às ações permanente e acdental, ndcadas na fgura abao, determne: (a) os momentos fletores mámo e mínmo no apoo A; (b) as forças reatvas máma e mínma no apoo B; (c) os momentos fletores mámo e mínmo na seção transversal. EXERCÍCIO 2.9 Para a vga bapoada com balanços, sujeta às ações permanentes e acdentas, ndcadas na fgura abao, pede se: (a) os momentos fletores mámo e mínmo no apoo A; (b) as forças reatvas máma e mínma no apoo B; (c) os momentos fletores mámo e mínmo na seção transversal. Consdere a carga móvel trafegando em sentdo únco. Págna 2 de 33
15 3 INHAS DE INFUÊNCIA DE VIGAS CONTÍNUAS Conforme se mostrou anterormente, para o caso de vgas contínuas a obtenção da lnha de nfluênca para um determnado esforço torna se mas complea devdo à hperestatcdade do sstema estrutural devendo se recorrer a métodos adequados para este tpo de estrutura. Dversos métodos analítcos para o cálculo de vgas hperestátcas podem ser utlzados, por eemplo, o Método de Cross, o Método dos Pontos Fos, a Equação dos Três Momentos, o Método da Propagação, dentre outros. Neste estudo será apresentado o Método da Propagação. 3. MÉTODO DA PROPAGAÇÃO O método da propagação decorre da aplcação dreta a Equação dos Três Momentos. As relações entre os momentos de apoo, assm obtdas, permtem que sejam defndos coefcentes propagação de momentos de um apoo para outro. Deste modo, um carregamento aplcado em um tramo de uma vga contínua, por meo dos termos de carga à esquerda e à dreta deste tramo, propagará esforços em todos os pontos da estrutura. Este método é recomendado para a obtenção de lnhas de nfluênca de esforços em vgas contínuas, devdo à facldade de se consderar apenas um tramo carregado (no caso com a carga móvel untára) e os demas descarregados, além da convergênca para a solução eata em apenas uma teração. Fgura 22 Etremdade esquerda da vga contínua de n tramos Consderando se uma vga contínua de n tramos, sendo que somente o ésmo tramo esteja carregado. A Equação dos Três Momentos para o prmero e o segundo tramo descarregados, mostrado na Fgura 22, é dada por: M 0 2 M ( 2 ) M sendo / I a relação entre comprmento do vão dvddo pelo respectvo momento de nérca. Como na etremdade esquerda da vga contínua é lvre de um momento aplcado eternamente, então M 0 Isolando se M da equação anteror, chega se a: M 2 2( M ) 2 2 M 2 2 Analogamente, para o segundo e o tercero tramo descarregados, mostrados na Fgura 22, tem se: M 2 2 M 2 ( 2 3) M ( M 2) 2 2 M 2 ( 2 3) M 3 3 e se solando M 2 da epressão anteror, chega se a: 2 3 M 2 M3 32 M3 2( 2 3) Págna 3 de 33
16 Págna 4 de 33 Genercamente, para qualquer tramo descarregado pode se escrever o coefcente de propagação da dreta para a esquerda como sendo: 2,, 2 ) / ( 2 n n n n n n Fgura 23 Etremdade dreta da vga contínua de n tramos Procedendo se da mesma forma, a partr da etremdade dreta do n ésmo tramo descarregado, conforme lustrado na Fgura 23, pode se obter o coefcente de propagação da esquerda para a dreta, pela epressão:,, 2 ) / ( 2 n n n n n n Por outro lado, escrevendo se a Equação dos Três Momentos para o únco tramo carregado, esquematzado na Fgura 24, chega se nas epressões: E M M M ) ( 2 2 D M M M ) ( 2 e nas epressões acma os parâmetros E e D, relatvos ao ésmo tramo carregado, são conhecdos como termos de carga que são dados em função do carregamento. Fgura 24 I ésmo tramo carregado da vga contínua de n tramos A partr das epressões em que foram defndos os coefcentes de propagação, apresentadas anterormente, tem se: M M M M, 2, 2 e e se ntroduzndo nas equações anterores, pode se encontrar duas epressões que relaconam M e M. A partr daí, solando se M das epressões encontradas e se gualando as mesmas chega se a:
17 , E, D M,, Repetndo se o mesmo procedmento anteror, solando se M das epressões e se gualando os termos chega se a: M, D, E,, 3.2 EXEMPOS DE APICAÇÃO EXEMPO 3.2. (KAMUS, 984) Utlzando se o Método da Propagação, determnar os momentos nos apoos da vga contínua esquematzada abao. Em seguda, traçar o dagrama de momentos fletores. São fornecdos os termos de carga para o carregamento unformemente dstrbuído. Coefcentes de propagação: ,02 2 0,25 2 ( / 2) (400/ 400) ( 2 / 3) (400/ 400) (2 0,25) 30 Termos de carga para o carregamento unforme: 08 2 E2 D 2 60 kn m 4 e momentos fletores nos apoos do vão carregado: 2 D2 2 E2 0,25 600,2560 M M 32 knm 2 2 0,250,25 E D2 0,25 600,2560 M 2 M 2 32 knm 2 2 0,250,25 Págna 5 de 33
18 EXEMPO Utlzando se o Método da Propagação, determnar os momentos nos apoos da vga contínua esquematzada abao e traçar o dagrama de momentos fletores. Págna 6 de 33
19 3.3 INHAS DE INFUÊNCIA Para a obtenção da lnha de nfluênca de esforços solctantes e forças reatvas em vgas contínuas será utlzado o Método da Propagação. Seja uma carga móvel untára aplcada nos quntos dos vãos, de acordo com a Fgura 25, e a partr dos termos de carga à esquerda e à dreta para carga pontual (Fgura 26), obtém se os momentos nos apoos correspondentes ao vão carregado, que serão transmtdos por meo dos coefcentes de propagação aos apoos subsequentes. De posse dos momentos nos apoos, pode se obter os momentos fletores no vão, as forças cortantes e as reações de apoo. Fgura 25 Carga móvel untára e coefcentes de propagação da vga contínua de 4 vãos Fgura 26 Termos de carga à esquerda e à dreta para carga pontual Págna 7 de 33
20 3.4 EXEMPO DE APICAÇÃO EXEMPO 3.4. (KAMUS, 984) Determnar as lnhas de nfluênca para momentos fletores nos apoos da vga contínua, esquematzada abao, utlzando se o Método da Propagação. Na Fgura 26, são fornecdos os termos de carga para a carga móvel pontual em função da sua posção no vão. Consdere a carga móvel pontual trafegando em sentdo únco (esquerda para a dreta), em ncrementos de dos metros. Coefcentes de propagação: ,02 0 0,5 (engaste) 34 0,5 (engaste) ( / 2) (500 /500) 2 0, ( 2 / 3) (500 /500) (2 2/7) ( 3 / 4) (500 / 500) (2 7 / 26) 97 Os demas coefcentes são obtdos por smetra. A fgura a segur sntetza todos os coefcentes calculados. 7 Os termos de carga para a carga untára (móvel) em cada posção em relação ao vão, são tabelados a abao. Devdo à smetra, os termos de carga apresentados são os mesmos para os quatro vãos. Posção E (0 ) D (0 ) /25 48/ /25 84/ /25 96/ /25 72/ Págna 8 de 33
21 Os momentos fletores M 0 e M, relatvos aos apoos do º vão, carregado pela carga móvel untára, são epressos por: 0 D 0 E 0,5 26 /97 D E 97 M 0 26/ 97 D E 0 0 0,5 26/ E 0 D 26/ 97 0,5 E D 3 M 0, 5 E D /970,5 42 POS M 0,366,697,346 0,663 M 0,49 0,446 0,669 0,594 M 2 0,040 0,20 0,80 0,60 M 3 0,0 0,034 0,05 0,046 M 4 0,006 0,07 0,026 0,023 Os momentos fletores M e M 2 nos apoos do 2º vão, carregado pela carga móvel untára, são dados por: 2 D2 2 E2 2/7 7 / 26 D2 E2 3 M 7 / 26 D2 E /7 7 / E D2 7 / 26 2/ 7 E2 D2 7 M 2 2/ 7 E2 D / 26 2/ 7 24 Págna 9 de 33
22 POS M 0 0,366 0,454 0,360 0,77 M 0,73 0,909 0,720 0,354 M 2 0,320 0,660 0,840 0,680 M 3 0,09 0,89 0,240 0,94 M 4 0,046 0,094 0,20 0,097 Por smetra, para o 3º vão carregado pela carga móvel untára, pode se escrever: 7 M 2 3 D / 7 E e 3 M 3 7 / 26 D3 E3, 42 que conduzem aos momentos nos demas apoos em função da posção da carga untára. Os momentos nos apoos foram obtdos por meo dos coefcentes de propagação. Os resultados são mostrados a segur. POS M 0 0,097 0,20 0,094 0,046 M 0,94 0,240 0,89 0,09 M 2 0,680 0,840 0,660 0,320 M 3 0,354 0,720 0,909 0,73 M 4 0,77 0,360 0,454 0,366 Também por smetra, para o 4º vão carregado pela carga móvel untára, pode se escrever: 3 M 3 4 D4 42 0,5 E e 97 M 4 26 / 97 D4 E4 68 que mplca na obtenção dos momentos nos demas apoos em função da posção da carga untára. Os resultados são mostrados a segur. Págna 20 de 33
23 POS M 0 0,023 0,026 0,07 0,006 M 0,046 0,05 0,034 0,0 M 2 0,60 0,80 0,20 0,040 M 3 0,594 0,669 0,446 0,49 M 4 0,663,346,697,366 As fguras a segur correspondem aos valores das lnhas de nfluênca de momentos fletores M 0 a M 4. 2,00,697,50,00 0,50 0,00 0, ,20 0,026 0,454,00 IM O,00 0,909 0,80 0,669 0,60 0,40 0,20 0,00 0,20 0, ,240 0,05 IM,00 0,80 0,840 0,840 0,60 0,40 0,20 0, ,20 0,40 0,08 0,08 IM 2 Págna 2 de 33
24 ,00 0,909 0,80 0,669 0,60 0,40 0,20 0,00 0,20 0, ,05 0,240 IM 3 2,00,50,697,00 0,50 0,00 0,50, ,026 0,20 0,454 IM EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nesta seção serão sugerdos alguns problemas relatvos às vgas contínuas, apresentadas nesta seção, para determnação do posconamento das cargas móves e obtenção dos esforços mas desfavoráves de fleão e cortante e forças reatvas. EXERCÍCIO 3. (ENC, 2000) No projeto de uma passarela para pedestres, cujo sstema estrutural é de uma vga contínua de dos vãos, adota se a carga móvel (multdão) unformemente dstrbuída 0 kn/m. Na fgura abao está representada a lnha de nfluênca de momento fletor para a seção transversal S, stuada na metade do vão esquerdo da vga. Sejam A =9,38 m 2 e A 2 =3,3 m 2, respectvamente, as áreas postva e negatva da lnha de nfluênca, pede se: os momentos fletores mámos postvo e negatvo na seção transversal S, para a carga móvel dada. Págna 22 de 33
25 EXERCÍCIO 3.2 Utlzando se o Método da Propagação, determnar os momentos nos apoos da vga contínua esquematzada abao, cujo vão ntermedáro tem o dobro da nérca dos demas. Comparar com os momentos fletores obtdos no Eemplo São fornecdos os termos de carga para o carregamento unformemente dstrbuído. EXERCÍCIO 3.3 Determnar as lnhas de nfluênca para momentos fletores nos apoos () e (2) da vga contínua, esquematzada abao, utlzando se o Método da Propagação. Consdere a carga móvel pontual trafegando em sentdo únco (esquerda para a dreta), em ncrementos de dos metros. EXERCÍCIO 3.4 Determnar as lnhas de nfluênca para MOMENTO FETOR na seção transversal S da vga contínua a 4 metros do Apoo, conforme mostrado abao, a partr dos resultados obtdos no Eemplo Utlzar as epressões apresentadas no Aneo C. 4m S Págna 23 de 33
26 EXERCÍCIO 3.5 Determnar as lnhas de nfluênca para FORÇA CORTANTE na seção transversal S 2 da vga contínua a 4 metros do Apoo 2, conforme mostrado abao, a partr dos resultados obtdos no Eemplo Utlzar as epressões apresentadas no Aneo C. 4m S 2 EXERCÍCIO 3.6 Determnar as lnhas de nfluênca para REAÇÃO VERTICA NO APOIO 2 da vga contínua, conforme esquematzada abao, a partr dos resultados obtdos no Eemplo Utlzar as epressões apresentadas no Aneo D. EXERCÍCIO 3.7 Determnar os momentos fletores M 0 (mámo e mínmo), referentes ao apoo etremo esquerdo da vga contínua esquematzada abao, para os carregamentos unformemente dstrbuídos permanente de 5 kn/m e acdental de 20 kn/m. A lnha de nfluênca de momento fletor M 0 e suas respectvas áreas são fornecdas abao. Págna 24 de 33
27 EXERCÍCIO 3.8 Determnar os momentos fletores M (mámo e mínmo), referentes ao apoo () da vga contínua esquematzada abao, para os carregamentos unformemente dstrbuídos permanente de 5 kn/m e acdental de 20 kn/m. A lnha de nfluênca de momento fletor M e suas áreas são fornecdas abao. EXERCÍCIO 3.9 Determnar os momentos fletores M 2 (mámo e mínmo), referentes ao apoo (2) da vga contínua esquematzada abao, para os carregamentos unformemente dstrbuídos permanente de 5 kn/m e acdental de 20 kn/m. A lnha de nfluênca de momento fletor M 2 e suas áreas são fornecdas abao. Págna 25 de 33
28 EXERCÍCIO 3.0 Determnar os momentos fletores M 0 (mámo e mínmo), referentes ao apoo etremo esquerdo da vga contínua esquematzada abao, para o carregamento unformemente dstrbuído permanente de 0 kn/m e a carga móvel concentrada acdental de 50 kn. A lnha de nfluênca de momento fletor M 0 e suas áreas e ordenadas são fornecdas abao. EXERCÍCIO 3. Determnar os momentos fletores M (mámo e mínmo), referentes ao apoo () da vga contínua esquematzada abao, para o carregamento unformemente dstrbuído permanente de 0 kn/m e a carga móvel concentrada acdental de 50 kn. A lnha de nfluênca de momento fletor M e suas áreas e ordenadas são fornecdas abao. Págna 26 de 33
29 EXERCÍCIO 3.2 Determnar os momentos fletores M 2 (mámo e mínmo), referentes ao apoo (2) da vga contínua esquematzada abao, para o carregamento unformemente dstrbuído permanente de 0 kn/m e a carga móvel concentrada acdental de 50 kn. A lnha de nfluênca de momento fletor M 2 e suas áreas e ordenadas são fornecdas abao. 4 ENVOTÓRIA DE ESFORÇOS Com base no traçado de lnhas de nfluênca, é possível obter as envoltóras de esforços, sendo estas necessáras para o dmensonamento de estruturas sujetas à ação de cargas móves. As envoltóras de esforços descrevem os valores mámos e mínmos de um determnado esforço que ocorre em uma seção transversal. A nterpretação das envoltóras de esforços é dêntca àquela dos dagramas de esforços para carregamentos permanentes (MARTHA, 200). A construção da envoltóra de esforços consste em se combnar, para cada seção transversal, os esforços decorrentes das ações permanentes e acdentas, sendo estas últmas aplcadas nas posções mas desfavoráves de modo a produzr os esforços mámos e mínmos na seção transversal estudada. Repete se o procedmento para as demas seções transversas, defndas a partr de um ncremento de modo a varrer todas as seções relevantes no modelo estrutural. A envoltóra de esforços permte a vsualzação das solctações etremas que poderão ocorrer ao longo da vda útl da estrutura. Consderando se o Eemplo 2.5, apresentado na págna, foram obtdos os esforços de fleão mámo 600 kn. m e mínmo 20 kn. m para a Seção C, medante a utlzação da lnha de nfluênca de momentos fletores para a seção C e, consequentemente, a aplcação dos carregamentos permanentes e acdental nas posções mas desfavoráves. Realzando este estudo para as demas seções da vga, por eemplo, uma seção transversal a cada metro, pode se obter a envoltóra de momentos fletores que apresenta os esforços de fleão mámo e mínmo em cada seção transversal consderada. Págna 27 de 33
30 Fgura 27 Envoltóra de momentos fletores para os carregamentos permanente e acdental da vga smplesmente apoada Consderando se o Eemplo 2.7, apresentado na págna 2, foram obtdos os esforços de fleão mámo 200 kn. m e mínmo 0 kn. m para a Seção C, medante a utlzação da lnha de nfluênca de momentos fletores para a seção C. Realzando este estudo para as demas seções da vga, espaçadas a cada metro, obtém se a envoltóra de momentos fletores, que apresenta os esforços de fleão mámo e mínmo em cada seção transversal consderada. Devdo ao consderável custo operaconal, as envoltóras de esforços são obtdas utlzando se programas de análse de estruturas retculadas (FTOO, 2002) e de análse por elementos fntos genércos com barras ( D), placas e cascas (2 D) e sóldos 3 D (SAP2000, 2009). 5 REFERÊNCIAS COUGH, R. W.; PENZIEN, J. Dynamcs of Structures. 2. ed. Berkeley: CSI, FTOO. Um Programa Gráfco Interatvo para Ensno de Comportamento de Estruturas: Versão Educaconal 2.. Ro de Janero: TECGRAF, KAMUS, S. S.; UNARDI JUNIOR, E. Establdade das construções. 3. ed. São Paulo: Nobel, t. MARTHA,. F. Análse de Estruturas: Concetos e Métodos Báscos. Ro de Janero: ESEVIER, 200. SAP2000. Analyss Reference Manual for Release 4. Berkeley: CSI, Págna 28 de 33
31 ANEXO A INHAS DE INFUÊNCIA DE MOMENTO FETOR E FORÇA CORTANTE Págna 29 de 33
32 ANEXO B INHAS DE INFUÊNCIA DE REAÇÃO VERTICA PARA O APOIO ESQUERDO Págna 30 de 33
33 ANEXO C Stuação Funções momento fletor e força cortante na seção transversal S Vão descarregado Vão carregado com carga móvel à esquerda de S Vão carregado com carga móvel à dreta de S Págna 3 de 33
34 ANEXO D Stuação Reações de apoo Vão descarregado Vão carregado Págna 32 de 33
35 ANEXO E RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS COMPEMENTARES Establdade das Construções II EXERCÍCIO 2. Mc[90 kn. m; 300 kn. m] Vc[30 kn; 20 kn] EXERCÍCIO 2.2 M C [80 kn. m; 840 kn. m] V C [60 kn; 340 kn] EXERCÍCIO 2.3 M C [45 kn. m; 470 kn. m] V C [70 kn; 320 kn] EXERCÍCIO 2.4 M C [25 kn. m; 270 kn. m] V C [50 kn; 80 kn] EXERCÍCIO 2.5 M C [20kN. m;600 kn. m] V C [46 kn; 06 kn] R A [50 kn; 60 kn] EXERCÍCIO 2.6 (a) M C [540 kn. m; 936 kn. m] (b) V C [46,33 kn; 4,33 kn] (c) M M [562,5 kn. m; 972,5 kn. m] (d) V M [25,33 kn; 25,33 kn] (e) R A [75 kn; 30,33 kn] EXERCÍCIO 2.7 (a) M C [0 kn. m; 200 kn. m] (b) R B [72 kn; 278 kn] EXERCÍCIO 3.2 2, / 6 2 (800 / 400) ,2 2 (400 /800) (2 / 6) 35 / 6 60 / 6 60 M M 2 / 6 / 6 M M 2 6 / 7 kn m EXERCÍCIO 3.3 EXERCÍCIO 3.4 EXERCÍCIO 3.5 EXERCÍCIO 2.8 (a) M A [200 kn. m; 60 kn. m] (b) R B [27,7 kn; 4,6 kn] (c) M C [276,9 kn. m; 332,3 kn. m] EXERCÍCIO 3.6 EXERCÍCIO 2.9 (a) M A [40 kn. m; 80 kn. m] (b) R B [86,9 kn; 306,7 kn] (c) M C [7,5 kn. m; 202,2 kn. m] EXERCÍCIO 3. Ms[3,3 kn. m; 93,8 kn. m] EXERCÍCIO 3.7 M 0 [256 kn. m; 6 kn. m] EXERCÍCIO 3.8 M [288 kn. m; 2 kn. m] EXERCÍCIO 3.9 M 2 [240 kn. m; 0 kn. m] EXERCÍCIO 3.0 M 0 [70,85kN. m;56 kn. m] EXERCÍCIO 3. M [6,45kN. m;68 kn. m] EXERCÍCIO 3.2 M 2 [64 kn. m; 78,2 kn. m] Págna 33 de 33
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