AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA

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1 CAPÍTULO 5 A COMPONENTE IMÉTICA INTANTÂNEA E A MÁQUINA IMÉTICA 5. INTODUÇÃO O emprego das componentes smétrcas nstantâneas permte a obtenção de modelos mas smples que aqueles obtdos com a transformação de PAK. Esses noos modelos são adequados para estudos analítcos para as stuações em que a máquna gra em elocdade constante. 5. OBTENÇÃO DA TANFOMAÇÃO COMPONENTE IMÉTICA INTANTÂNEA Vamos consderar o modelo estabelecdo no capítulo IV e representado pelas equações (5.). pl LΨ pm mψ d d p m pm L Ψ L Ψ q q = d pm d m p Ψ θ L L Ψ θ q q m Ψ θ pm L Ψ θ pl (5.) Verfcase que cada submatr da matr é do tpo representado pela expressão (5.). a b Z = b a (5.)

2 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 87 Vamos determnar uma transformação que dagonale a matr Z. Tomandose: a λ a λ b = 0 (5.3) encontrase: λ = a jb λ = a jb (5.4) que são os autoalores da matr Z. A segur são calculados os autoetores assocados aos autoalores λ e λ. a b ( a jb) b a = (5.5) a b = a jb (5.6) Assm: = j (5.7) a b ( a jb) b a = (5.8) a b = a jb (5.9) Assm: = j (5.0) Assm os autoetores assocados aos autoalores λ e λ são respectamente: Prof. Io Barb, Dr. Ing.

3 88 CAPÍTULO 5. A COMPONENTE IMÉTICA INTANTÂNEA E A MÁQUINA IMÉTICA = j (5.) e = j (5.) Consequentemente, a matr [ D ] que dagonala a matr Z é dada pela expressão (5.3). D = j j (5.3) Para que a transformação mantenha narante a potênca, ela dee ser untára. Assm: * t = D D (5.4) ou * t = D D (5.5) onde a matr nersa é gual à transposta conjugada. A partr de (5.3), obtémse: t j D = j (5.6) j D = j (5.7) * Para que a relação (5.4) se erfque é necessáro que: Prof. Io Barb, Dr. Ing.

4 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 89 = (5.8) = (5.9) Assm: D = j j (5.0) j D = j (5.) Conhecendose as expressões de [ D ] e [ D ], podese dagonalar a matr Z, com o emprego da expressão (5.). ZD = D ZD (5.) Assm: a jb 0 Z D = 0 a jb (5.3) como era de se esperar, pos os termos que aparecem são os autoalores da matr Z. abese que: = (5.4) dq dq dq = (5.5) onde a notação [ ] referese às componentes smétrcas nstantâneas, obtdas a partr das componentes de PAK. abemos que: Prof. Io Barb, Dr. Ing.

5 90 CAPÍTULO 5. A COMPONENTE IMÉTICA INTANTÂNEA E A MÁQUINA IMÉTICA Z = dq D Z D (5.6) Assm = dq D Z D (5.7) ou D = Z D (5.8) dq Comparandose (5.8) com (5.4) obtémse: = D (5.9) dq = dq D (5.30) = D (5.3) dq = dq D (5.3) Assm, a matr D transforma as aráes de Park ( dq ) em componentes smétrcas nstantâneas ( ). Podese assm estabelecer a expressão (5.33). j 0 0 d j 0 0 q = 0 0 j d 0 0 j q (5.33) A mesma transformação pode ser empregada nas demas aráes da máquna, como fluxos e correntes. Prof. Io Barb, Dr. Ing.

6 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 9 Quando se trata de transformação trfásca, a forma empregada é a representada pela expressão (5.34). 0 0 D = 0 j (5.34) 0 j 5.3 EQUAÇÕE DA TENÕE Defnmos anterormente a transformação componentes smétrcas nstantâneas. Vamos a segur aplcála na obtenção de um noo modelo para a máquna smétrca. As equações (5.) podem ser reescrtas segundo as equações. dq Z Z3 dq = dq Z Z4 dq (5.35) Assm: D 0 Z Z3 D 0 = 0 D Z Z4 0 D (5.36) Podemos então estabelecer que: D ZD D Z3D = D ZD D Z4D (5.37) Cada submatr da matr mpedânca fca então dagonalada. Assm: Prof. Io Barb, Dr. Ing.

7 9 CAPÍTULO 5. A COMPONENTE IMÉTICA INTANTÂNEA E A MÁQUINA IMÉTICA L p jψ 0 D ZD = (5.38) 0 L p jψ m p jψ jθ 0 D ZD = (5.39) 0 m p jψ jθ m p jψ 0 D Z3D = (5.40) 0 m p jψ L p jψ jθ 0 D Z4D = (5.4) 0 L p jψ jθ Leandose as expressões (5.38) a (5.4) na expressão (5.37), obtémse a expressão (5.4). L p jψ 0 m p jψ 0 = m p jψ jθ 0 L p jψ jθ 0 0 m p jψ jθ 0 L p jψ jθ 0 L p jψ 0 m p jψ (5.4) A partr da expressão (5.33), constatamos que: * = (5.43) Prof. Io Barb, Dr. Ing.

8 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 93 e * = (5.44) Portanto as equações de seqüênca negata contém as mesmas nformações que as de seqüênca posta e portanto serão desconsderadas. O modelo é representado pelas expressões (5.45) p j m p j L Ψ Ψ = m p jψ jθ p jψ jθ L (5.45) Fca assm estabelecdo que a máquna, mesmo para uma stuação genérca, fca representada por apenas duas equações. Isto é possíel porque as aráes são complexas e contém sempre duas nformações, uma do exo d e outra do exo q. 5.4 EQUAÇÃO DO TOQUE Fo demonstrado que o torque desenoldo pela máquna é representado pela expressão q d d q T= m (5.46) mas, d = j j q (5.47) d = j j q (5.48) Assm: Prof. Io Barb, Dr. Ing.

9 94 CAPÍTULO 5. A COMPONENTE IMÉTICA INTANTÂNEA E A MÁQUINA IMÉTICA = ( ) d (5.49) j = ( ) q (5.50) = ( ) d (5.5) j = ( ) q (5.5) ubsttundose as expressões (5.49) a (5.5) na expressão (5.46), obtémse T= m j j (5.53) * * T= m j j (5.54) * * T= m j (5.55) se A= a jb (5.56) e * A = a jb (5.57) obtémse * A A= jb (5.58) portanto Prof. Io Barb, Dr. Ing.

10 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 95 * ja A = b (5.59) Assm: T= m Im (5.60) T= m Im (5.6) Assm, o modelo fnal da máquna para n pares de pólos, é representado pelas equações p jn m p jn L Ψ Ψ = m p jn Ψ jn θ p jn Ψ jnθ L (5.6) T= n m Im (5.63) O termo Im( x ) sgnfca, parte magnára de x. Para o motor de ndução com rotor em curto, tomase a = 0. Para o referencal colocado no estator, tomase Ψ = INTEPETAÇÃO DA COMPONENTE IMÉTICA INTANTÂNEA eja a Fg. 5. Prof. Io Barb, Dr. Ing.

11 96 CAPÍTULO 5. A COMPONENTE IMÉTICA INTANTÂNEA E A MÁQUINA IMÉTICA q q ω d d ω q Fg. 5. epresentação das componentes smétrcas. como = j d (5.64) q a corrente é um fasor que nstantaneamente assume um módulo dado por: d q = (5.65) e as correntes e d q forem senodas balanceadas da forma: d = I cos ω t (5.66) s e q = I sen ω t (5.67) s obtémse I jωs ( ) I t = cos ω st jsen ω st = e (5.68) Prof. Io Barb, Dr. Ing.

12 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 97 Assm a corrente possu módulo constante, e gra no sentdo anthoráro com elocdade constante gual a A corrente será da forma ω. I jωs t = e (5.69) é gual em módulo à mas gra em sentdo oposto. É precso faer uma cudadosa dstnção entre as componentes smétrcas nstantâneas defndas neste trabalho e as componentes smétrcas tradconas. As tradconas são defndas para grandeas fasoras e só são áldas no estudo de regmes permanentes. As nstântaneas são áldas para qualquer stuação. 5.6 MODELO PAA O PAÂMETO OTÓICO EFEIDO AO ETATO A exemplo do que fo feto para o modelo de PAK obtdo no capítulo IV, serão estabelecdas as equações da máquna para componentes smétrcas nstantâneas, representadas pelas expressões (5.70) e (5.7). p jn m p jn L Ψ Ψ ' = ' ' ' m p jn Ψ jn θ p jn Ψ jn θ L (5.70) ' T= n m I (5.7) onde: Prof. Io Barb, Dr. Ing.

13 98 CAPÍTULO 5. A COMPONENTE IMÉTICA INTANTÂNEA E A MÁQUINA IMÉTICA m = a m (5.7) ' = a (5.73) ' = a = l m L L (5.74) L = l m (5.75) A obtenção dos parâmetros é conseguda atraés dos ensaos a ao e em curtocrcuto. Prof. Io Barb, Dr. Ing.

14 TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO EXECÍCIO POPOTO ) Consdere um motor de ndução operando com carga nomnal. ubtamente as três fases são desconectadas smultaneamente da rede de almentação. Determnar o comportamento da tensão do estator empregando o modelo dedudo para componentes smétrcas nstantâneas (er tem 8.3). ) eja um motor de ndução almentado por um nersor trfásco do tpo 80 o. A tensão da fase está representada na Fg. 5.. As tensões das demas fases são dêntcas mas defasadas de 0 o e 40 o em relação a prmera. Aplcando a transformação componentes smétrcas nstantâneas, obter a tensão. (E/3) (E/3) O O O O Fg. 5. Forma de onda da tensão da fase. 3 ) Consdere um motor de ndução almentado por um par de correntes balanceadas da forma: = I cos ω st (5.76) α = I sen ω st (5.77) β Obter a expressão do torque médo e nstantâneo que o motor produ. Consderar o referencal colocado no campo grante. Empregar o modelo dedudo para componentes smétrcas nstantâneas. Prof. Io Barb, Dr. Ing.

15 00 CAPÍTULO 5. A COMPONENTE IMÉTICA INTANTÂNEA E A MÁQUINA IMÉTICA Obter também a expressão da tensão nstantânea nos termnas dos enrolamentos do estator. 4 ) Consdere uma máquna de ndução trfásca com rotor bloqueado almentado por tensões balanceadas. = V cos ω t (5.78) s o ( s ) = V cos ω t 0 (5.79) 3 o ( s ) = V cos ω t 0 (5.80) O motor possu pólos. Os enrolamentos rotórcos são mantdos abertos. Utlando as componentes smétrcas nstantâneas, determnar as expressões matemátcas das correntes do estator. 5 ) Consdere o segunte modelo: p j m p j L Ψ Ψ = m p jψ jθ p jψ jθ L (5.8) Estabelecer as expressões de e em função de e. Prof. Io Barb, Dr. Ing.