NÚMEROS COMPLEXOS. Prof.ª Mª João Mendes Vieira

Transcrição

1 Prof.ª Mª João Mendes Vera

2 Os Bablónos em 1700 AC já conhecam regras para resolver Equações do º grau. Os Gregos demonstraram essas regras e conseguram, por processos geométrcos, obter raízes rraconas. Na Itála do século XV (1494) Luca Pacol ensnou em verso a regra para resolver equações do º grau e afrma que não há regras para resolver as do 3º grau. Scpone Ferro (cerca de 1515) descobru uma regra para resolver as equações do 3º grau. Mas não publcou. Fore desafa Tartagla para uma dsputa matemátca onde nclu problemas do 3º grau. Tartagla descobre uma fórmula e vence Fore. Cardano atra Tartagla a Mlão e aí, medante promessa de guardar segredo, Tartagla, em verso, dá-lhe a fórmula mas não a demonstração. Em 154, Cardano e Ferrar vstaram Bolonha e obtveram de Della Nave permssão de examnar os manuscrtos dexados por Ferro. Os algebrstas antgos (gregos, hndus e árabes) já tnham percebdo o caso embaraçoso de b -4ac ser negatvo, mas sempre que sso aconteca os problemas não tnham solução. Mas é ao usarem a fórmula para resolver as equações do 3º grau que surgem, em passos ntermédos raízes de números negatvos em problemas com solução. Prof.ª Mª João Mendes Vera

3 Os números complexos surgram para sanar uma das maores dúvdas que atormentavam os matemátcos Qual a solução da equação x + 1 = 0 Por sso, fo crado um número especal, que denomnamos algebrcamente como, que elevado ao quadrado resulte em -1, matematcamente: Este novo conceto possbltou a resolução da equação anteror Prof.ª Mª João Mendes Vera

4 Assm, fo crado um novo conjunto numérco denomnado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números magnáros, que representamos pela letra Relação fundamental: Assm: Prof.ª Mª João Mendes Vera

5 O conjunto C Conjunto dos números complexos Prncpo da conservação das propredades formas do cálculo As novas defnções de gualdade, adção e multplcação conservam, tanto quanto possível, as propredades formas váldas em R. Prof.ª Mª João Mendes Vera

6 Forma algébrca de um número complexo O número complexo possu uma parte real e outra magnára. Como a parte magnára conta com a presença do, a sua forma algébrca é a + b a = Re z (parte real) Parte real Parte magnára b = Im z (coefcente da parte magnára) Imagnáro Puro Número complexo cuja parte real é zero, sto é do tpo z = b, b R Se b = o então z = a --> Número real Prof.ª Mª João Mendes Vera

7 Exemplos: + 4 número complexo 8 - número complexo 6 número magnáro puro 4 número real - número magnáro puro ² número real Prof.ª Mª João Mendes Vera

8 Um número complexo z = a + b possu um conjugado que é representado por z, onde: z = a b (lê-se conjugado de z) z = 4 z = + 4 z = z = - z = 1 + z = 1 - z = z = z = -3 8 z = Um número complexo z = a + b possu um smétrco que é representado por - z onde: - z = - a b (lê-se smétrco de z) Prof.ª Mª João Mendes Vera

9 Igualdade de números complexos (na forma algébrca) Se z = a + b e w = c + d z = w a = c b = d sto é, dos números complexos são guas se e só se tverem a mesma parte real e a mesma parte magnára Prof.ª Mª João Mendes Vera

10 Operações na forma algébrca Como os números reas possuem forma real e magnára separadas, as operações de adção, subtração, multplcação, dvsão e potencação dferem um pouco das habtuas com números reas. Para somar e subtrar números complexos deve-se efetuar as operações na parte real e magnára separadamente: Adção (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d) Subtracção (a + b) - (c + d) = (a - c) + (b - d) Prof.ª Mª João Mendes Vera

11 Operações na forma algébrca Para efetuar a multplcação aplca-se smplesmente a propredade dstrbutva e em seguda efectuam-se as operações possíves: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd² = (ac bd) + (ad+bc) Exemplos: ( + 3)(1 + ) = ² = = (1 + ) = + ( - )(-3 + ) = ² = Prof.ª Mª João Mendes Vera

12 Operações na forma algébrca Para se dvdr números complexos, deve-se multplcar ambos os números pelo conjugado do complexo do denomnador z z z z z z ) )(1 (1 ) )(1 (3 1 3 Exemplo: Prof.ª Mª João Mendes Vera

13 Potêncas de Nas potêncas de notam-se regulardades de quatro em quatro no expoente: Deste modo, para encontrar o resultado de qualquer potênca, dvdmos o expoente por 4 e resolvemos a potênca utlzando como expoente o resto da dvsão. Prof.ª Mª João Mendes Vera

14 Potêncas de Deste modo, para encontrar o resultado de qualquer potênca, dvdmos o expoente por 4 e resolvemos a potênca utlzando como expoente o resto da dvsão = 3 = - Prof.ª Mª João Mendes Vera

15 Plano de Argand Os números complexos podem ser representados num plano, onde a recta das abscssas é a recta dos números reas e a das ordenadas é a recta dos números complexos. Afxo do número complexo Recta dos magnáros Recta dos reas Prof.ª Mª João Mendes Vera