Aplicações de Números Complexos em Geometria

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1 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL Robson Coelho Neves Aplcações de Números Complexos em Geometra Trabalho de Conclusão de Curso do Mestrado Profssonal em Matemátca em Rede Naconal apresentado ao Insttuto Naconal de Matemátca Pura e Aplcada como requsto parcal para a obtenção do título de Mestre. Orentador: Prof. Eduardo Wagner. Ro de Janero Feverero de

2 Aplcações de Números Complexos em Geometra Trabalho de Conclusão de Curso do Mestrado Profssonal em Matemátca em Rede Naconal apresentado ao Insttuto Naconal de Matemátca Pura e Aplcada como requsto parcal para a obtenção do título de Mestre. Robson Coelho Neves Aprovado por: Eduardo Wagner (Orentador) Paulo Cear Pnto Carvalho Antono Sarava Branco Moacyr Alvm Horta (suplente) Ro de Janero Feverero de

3 Dedco esse Texto aos meus Pas Mara Celna Coelho Neves e Acydnr da Slva Neves a mnha Ta Mara Léa Coelho e ao meu Sogro Jorge Baptsta Vctor (In Memoram).

4 Agradecmentos A Deus agradeço sempre por absolutamente tudo na mnha vda. Mutíssmo obrgado a mnha esposa Gláuca (Gal) meu talsmã pelo companhersmo e ncentvo ncondconal. Sua presença me lumna torna tudo smples possível e especal. Aos meus flhos Carolna e Lucas tesouros que Deus me confou agradeço por serem solíctos aos meus conselhos e sensíves aos meus exemplos. Espero assm estar contrbundo para que voces dos se tornem cdadãos exemplares e profssonas brlhantes. Agradeço a todos que trabalharam para tornar o PROFMAT realdade. Incatvas como essa contrbuem efetvamente para a melhora do ensno de Matemátca no Brasl. Agradeço de coração a todos os professores pelo empenho e competenca com que conduram suas atvdades durante o curso. Demore um bom tempo precse de muto empenho e de alguma nspração até ter um texto que merecesse a aprecação do meu orentador. Isto porque tenho para mm que Eduardo Wagner é um autor de lvros com talento pouco comum. Além de ser um professor nsprador. Agradeço a ele por ter acetado me orentar pelas sugestões precsas e comentáros elogosos sobre a prmera e a últma versão do meu texto. À prmera turma do PROFMAT-IMPA composta por colegas bem humorados e ntelgentes agradeço pelo convívo festvo amgo e sempre harmonoso. Sucesso para todos! v

5 Resumo Aplcações de Números Complexos em Geometra Robson Coelho Neves Orentador: Professor Eduardo Wagner. Em geometra plana e espacal é comum nos depararmos com questões cujas soluções se mostram bastante complcadas va geometra sntétca. Nessas stuações os recursos da geometra analítca se mostram bastante efcaes. Partcularmente em geometra plana quando uma stuação pode ser nterpretada va translação homoteta ou rotação de pontos podemos utlar as nterpretações geométrcas da adção da multplcação por número real e do produto escalar respectvamente dos vetores do R (o conjunto dos números reas será notado nesse texto por R). Neste Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) pretendo convencer os letores de que os números complexos (também vetores) faem o mesmo que os vetores do R porém com uma vantagem: a multplcação de números complexos nos permte tratar de rotações de modo muto mas efcente do que com o emprego do produto escalar. Para atngr meu objetvo defnre translação homoteta e rotação va funções de domíno e contradomíno C (o conjunto dos números complexos será notado nesse texto por C) e cujas les de defnção envolvem adção multplcação de número real por número complexo e multplcação de números complexos respectvamente e aplcare essas funções para tratar uma lsta longa de exercícos e teoremas.. Palavras-chave: números complexos; transformações no plano; resolução de problemas; provas de teoremas. v

6 Sumáro. Introdução.... Breve Hstórco Sobre o Surgmento e o Alcance da Legtmdade Matemátca dos Números Complexos.... Interpretação Geométrca da Adção e Multplcação de Números Complexos e da Multplcação de Número Real por Número Complexo Introdução O Conjunto dos Números Complexos Va Pares Ordenados Inclusão de R em C Adção e Multplcação de Números Reas por Números Complexos Representação Geométrca de Números Complexos Geometra das Operações em C Adção Multplcação de Número Real por Número Complexo Multplcação Forma Par-Polar de um Número Complexo Não Nulo Multplcação na Forma Par-Polar.... Transformações no Plano Complexo Introdução...7..Translação Homoteta... v

7 .. Rotação..... Cálculo de Rotações Va Multplcação em C X Va Produto Escalar no R Cálculo em C Cálculo no R Comparações Entre os Dos Cálculos.... Aplcações de Números Complexos em Geometra Plana Introdução Conclusão Referêncas Bblográfcas...8 v

8 . Introdução É bastante comum apelarmos para a geometra analítca como últmo recurso quando a solução de um problema ou a prova de um teorema de geometra plana (ou espacal) torna-se complcada va geometra sntétca. As dfculdades tendem a dmnur quando o problema em questão pode ser nterpretado va translações homotetas ou rotações de pontos no plano cartesano bem como da composção dessas transformações. Nessas stuações podemos nos valer das nterpretações geométrcas no plano cartesano das operações no R para superarmos as dfculdades de manera mas tranqula. Mas exatamente podemos nos valer da nterpretação geométrca da adção para tratarmos de translações da multplcação por número real para homotetas e do produto escalar para rotações. Os elementos de C também podem ser defndos como pares ordenados de números reas ( C x y; x y R ) e somados e multplcados por números reas exatamente como os elementos do R. É justamente para explorar essas smlardades que adotare essa defnção. Mas a escolha dos números complexos para resolver problemas e provar teoremas da geometra plana nesse TCC va além desse motvo: a multplcação de números complexos nos permte tratar de rotações de manera muto vantajosa se comparado com o tratamento va produto escalar. Mostrare algumas dessas vantagens no capítulo quatro. Pesquse alguns lvros artgos dssertações e teses que tratam da geometra dos números complexos. A maora deles reescrevem os resultados da geometra analítca plana va varáves complexas e dedcam pouco espaço para a aplcação efetva dos resultados. Resolv faer dferente: utlar transformações defndas va funções complexas de varável complexa para tratar de uma lsta longa de exercícos e teoremas. Assm não pretendo crtcar os cursos de Lcencatura em Matemátca nem os lvros que tratam do ensno de números complexos. Também não pretendo propor novas metodologas para a abordagem desse tema em classe sso já fo feto exaustvamente. Espero entretanto que esse TCC possa ser útl aos professores que queram enrquecer suas aulas sobre números complexos e(ou) geometra.

9 Desenvolvere o tema deste TCC segundo o segunte planejamento em capítulos: O capítulo um é uma ntrodução ao tema. No capítulo dos faço um breve hstórco dos números complexos desde o surgmento deles até o alcance da sua legtmdade como objeto matemátco. Vale observar que a legtmdade dos números complexos fo alcançada graças ao surgmento de uma representação geométrca para tas números coerente com suas operações e propredades. Este acontecmento concdentemente é também fundamental para esse TCC. Nos capítulos três e quatro faço uma preparação enxuta para as aplcações que serão fetas no capítulo cnco. No capítulo três defno os números complexos como pares ordenados de números reas defno suas operações e deduo as nterpretações geométrcas dessas operações ctando e provando apenas os resultados operaconas que serão utlados nos capítulos quatro e cnco. No capítulo quatro defno transformações va funções f : C C (com domíno e contradomíno em C) e cujas les de assocação envolvem operações entre números complexos e entre números reas e complexos. Me valere das nterpretações geométrcas das operações em C estudadas no capítulo três para entender a posção do ponto f() como resultado de algum tpo de deslocamento do ponto no mesmo plano complexo. No capítulo cnco nterpreto uma lsta numerosa de problemas e teoremas de geometra plana va movmentos de pontos para poder aplcar as transformações estudadas no capítulo quatro tanto na resolução dos problemas como nas provas dos teoremas. Fnalmente na conclusão faço alguns comentáros para ratfcar as vantagens da utlação de números complexos em geometra plana.

10 . Breve Hstórco Sobre o Surgmento e o Alcance da Legtmdade Matemátca dos Números Complexos Os textos de hstóra da matemátca afrmam que o surgmento dos números complexos está dretamente lgado as tentatvas de resolução de equações algébrcas do º grau. É no lvro Ars Magma Grolamo Cardano (-76) publcado em que podemos encontrar o prmero regstro desse surgmento. Tudo ocorre quando Cardano expõe os métodos de Scpone Del Ferro (6-6) e Ncolo Tartagla (-7) para resolver tas equações. Para que esses métodos fornecessem algumas raíes conhecdas a pror Cardano precsou operar com raíes quadradas de números negatvos segundo as regras usuas da álgebra de então. Naturalmente que Cardano se mostrou surpreso e ncrédulo dante dos fatos afnal nessa época nem os números negatvos eram compreenddos com muta clarea. Assm sendo ele não ousou segur adante. Tal tarefa fo levada a cabo por Rafael Bombell (6-7) que dedcou boa parte de seu lvro Algebra publcado em 7 ao tratamento de regras para se operar com tas números. No fnal do século XVI os matemátcos operavam com os números complexos segundo essas regras mas o faam com muta desconfança pos não os consderavam objetos matemátcos de fato mas apenas como smples recurso de cálculo. Anda assm mutos progressos foram obtdos dessa forma. Albert Grard (9-6) por exemplo fe a segunte afrmação sobre as soluções de equações algébrcas que envolvam raíes quadradas de números negatvos: Pode-se perguntar: para que servem estas soluções mpossíves. Eu respondo: para três cosas para a valde das regras geras devdo à sua utldade e por não haver outras soluções. Infelmente a tão esperada legtmdade não sera alcançada mesmo decorrdos dos séculos anda que nessa época Leonhard Euler (77-78) soubesse operar potêncas com expoente complexo logartmos de números complexos e funções trgonométrcas com argumento complexo. Ele própro declarou em seu lvro Pesqusa sobre Raíes Imagnáras de uma Equação publcado em 79 que

11 Como todos os números concebíves são maores ou menores do que ero ou guas a ero fca então claro que as raíes quadradas de números negatvos não podem ser ncluídas entre os números possíves. E esta crcunstanca nos condu ao conceto de tas números os quas por sua própra naturea são mpossíves e que são geralmente chamados de números magnáros pos exstem somente na magnação. Afnal o que faltava para que os números complexos alcançassem a legtmdade matemátca? De acordo com a tradção grega anda vgente faltava para eles uma representação geométrca coerente com suas operações e respectvas propredades. Vale destacar que por concdênca é justamente a geometra dos números complexos que pretendo explorar nesse TCC. A prmera tentatva de se obter uma representação geométrca para os números complexos que se tem regstro é atrbuída a John Walls (66-7) que publcou em 67 o lvro De Algebra Tratactus Hstorcus e Practcus. Infelmente Walls não obteve sucesso. Somente em 797 quase anos após a prmera aparção dos números complexos no lvro de Cardano surgu um texto que propunha uma representação geométrca correta va segmentos orentados para os números complexos. Trata-se de um artgo centífco apresentado na academa dnamarquesa de cêncas nttulado Sobre a Representação Analítca da Dreção do agrmensor norueguês Caspar Wessel (7-88). Nesse artgo Wessel utla seus resultados para resolver polígonos planos e esfércos além de demonstrar alguns teoremas já conhecdos da álgebra. Apesar do ncontestável ponersmo de Wessel o plano complexo também é denomnado Plano de Argand-Gauss numa referênca a dos matemátcos que apresentaram artgos posterores ao dele. Argand porque escreveu sobre a representação geométrca dos números complexos e Gauss por ter feto uso da geometra dos complexos em suas pesqusas. Alguns fatos podem explcar essa njustça. Por exemplo Wessel não era um matemátco vva num país de pouca tradção matemátca um país que nem sequer tnha uma academa de cêncas. Esse conjunto de fatores fe com que a comundade matemátca só tvesse acesso a obra de Wessel cem anos após a sua publcação época em que alguns matemátcos de prestígo já havam publcado trabalhos sobre esse tema. Dentre esses trabalhos destaca-

12 se o lvro Essa sur une manère de representer lês quanttés magnares dans lês constructons géométrques publcado em 86 da autora do talano Jean Robert Argand (768-8). Surpreendentemente mesmo com o surgmento de város trabalhos sobre a representação geométrca dos números complexos sua legtmdade só fo concebda pela comundade matemátca a partr dos trabalhos publcados por Carl Fredrch Gauss (777-8) o maor matemátco do século XIX. Em 8 no lvro Teora dos Resíduos Quadrátcos Gauss fe a segunte declaração: Faa muto tempo que as quantdades magnáras estavam baseadas na fcção não sendo plenamente acetas na matemátca e vstas como uma cosa a ser tolerada; elas estavam longe de ter o mesmo status que as quantdades reas. Agora não há mas justfcatva para tal dscrmnação uma ve que a metafísca dos números magnáros está plenamente esclarecda e que provou que eles têm um sgnfcado tão real quanto o dos números negatvos. Para fnalar vale der que o tpo de tratamento dos números complexos que será adotado nesse TCC ou seja va pares ordenados de números reas fo prmero publcado no artgo Theory of Conjugate Functons or Algebrac Couples; wth a Prelmnary and Elementary Essay on Algebra as the Scence of Pure Tme datado de 8 e da autora do matemátco e físco rlandês Wllam Rowan Hamlton (8-86).

13 . Interpretação Geométrca da Adção e Multplcação de Números Complexos e da Multplcação de Número Real por Número Complexo.. Introdução Nesse capítulo defnre números complexos va pares ordenados de números reas e nterpretare geometrcamente as operações adção de números complexos multplcação de número real por número complexo e multplcação de números complexos. Escolh a forma Par Ordenado para passar de medato a tratar números complexos geometrcamente como pontos ou flechas do Plano Cartesano bem como para nterpretar sua adção e multplcação por número real tal como é feto com os elementos do R. Fare comentáros sobre a nclusão do conjunto dos Números Reas no conjunto dos Números Complexos sso para dar sentdo à soma e à multplcação de números reas por números complexos já que essas operações serão utladas nos capítulos quatro e cnco. Trocare as coordenadas cartesanas pelas coordenadas polares para nterpretar geometrcamente a multplcação de números complexos. Sere o mas objetvo possível. Ctare e demonstrare apenas os resultados que serão útes nos capítulos quatro e cnco. Utlare os termos Corpos Isomorfsmo Corpos Ordenados e Espaços Vetoras sem defn-los formalmente. As expressões É fácl ver e É fácl provar antecederão conclusões e tarefas trvas. 6

14 .. O Conjunto dos Números Complexos va Pares Ordenados Defnção: Denomna-se Conjunto dos Números Complexos aqu notado por C o conjunto cujos elementos notados por são pares ordenados de números reas (xy) e para os quas a gualdade a adção e a multplcação são defndas da segunte forma: Dados x y C e x y C a) x x e y y b) x x y y c) x x y y x y y x A adção e a multplcação de números reas bem como as propredades que essas operações goam faem do conjunto dos Números Reas (aqu notado por R) um exemplo de Corpo. Com base nas defnções a b e c e no fato de que R é um corpo é fácl provar que C também é um corpo. Na forma par ordenado dstngumos três tpos de números complexos: a) x y com x y dtos são denomnados Números Complexos propramente b) x são denomnados Números Complexos Reas ou smplesmente Reas e c) y são denomnados Números Complexos Imagnáros Puros ou smplesmente Imagnáros Puros. O número complexo () que é real e magnáro puro ao mesmo tempo é denomnado Zero e notado por. Os números reas x e y que dentfcam (uncamente) o número complexo x y são denomnados respectvamente Parte Real de nota-se por Re e Parte Imagnára de nota-se por Im. 7

15 ... Inclusão de R em C Consderemos o subconjunto C x ; ' x R de C. É fácl provar que a função f : R C' com fx x é uma bjeção. Além dsso f preserva a adção e a multplcação em R ou seja para todos x x R tem-se que f f x x x x x x fx fx e x x x x x x fx fx. Esses fatos faem de R e C exemplos de conjuntos Isomorfos. Vale observar que o somorfsmo entre R e C não sgnfca exatamente que R esteja contdo em C mas tudo ocorre como se essa nclusão fosse verdadera vsto que podemos operar com elementos x de R como se estvéssemos operando com elementos (x) de C e vce-versa.... Adção e Multplcação de Números Reas por Números Complexos Dado um número real r e um número complexo x y entre R e C tem-se que r r x y e r r x r y r x y r x y r x y e r r x y r x y r y x r x r y. r pos do somorfsmo Decorre daí que x y é um número complexo para todo x y R e C. Vale observar que partcularmente quando tem-se que x y y x y x y y x y x y. A representação x y é denomnada Forma Algébrca e o número complexo é denomnado Undade Imagnára. 8

16 É fácl provar que o quadrado de todos os elementos de R e C são maores do que ou guas a ero. Essa é uma propredade característca dos denomnados Corpos Ordenados. Vale observar que C não é um corpo ordenado pos por exemplo... Representação Geométrca de Números Complexos Os elementos do R e de C são defndos de manera nteramente smlar: são pares ordenados x y com x e y reas. Também a gualdade a adção e a multplcação por número real bem como as propredades váldas para tas operações são nteramente smlares para ambos. Essas smlardades faem do R e C exemplos de Espaços Vetoras. Elementos de espaços vetoras são denomnados Vetores. Geometrcamente todo vetor x y do R ou de C no Plano Cartesano é um Ponto P x y ou uma Flecha com orgem no ponto e extremdade em P. Mas do que sso a adção de números complexos e a multplcação de números reas por números complexos também herdam as nterpretações geométrcas das mesmas operações no R. Como uma flecha os elementos (vetores) do R e C se caracteram por três nformações geométrcas: módulo dreção e sentdo. O módulo é o comprmento da flecha a dreção é a da reta que contém a flecha e o sentdo é sempre do ponto orgem para o ponto extremdade da flecha. O plano cartesano no qual os números complexos são representados por pontos ou flechas é denomnado Plano Complexo (ou Plano de Argand-Gauss como vmos no capítulo ). Nesse os exos das abscssas e das ordenadas passam a ser denomnados respectvamente Exo Real notado por Re e exo Imagnáro notado por Im. Na Fgura. temos um plano complexo onde são representados va pontos e flechas a undade magnára o número complexo 9

17 x y º Quadrante o número magnáro puro y com y número real x Re com x e o. o Este momento é oportuno para reforçarmos va um argumento geométrco que a nclusão de R em C ocorre a menos do somorfsmo entre R e C pos enquanto R é a Reta Real C é o Exo Real do plano complexo. Geometrcamente dependendo da convenênca tratare um número complexo (vetor) como ponto ou uma flecha... Geometra das Operações em C... Adção Dados os números complexos x y e x com e y tem-se que os pontos x x y y e são os vértces de um paralelogramo. Tomando por base a Fgura. é fácl ver que

18 esse fato decorre das congruêncas dos pares de trângulos retângulos e x x. Em termos de flechas tem-se que é a flecha que concde com a dagonal do paralelogramo cujos lados são defndos pelas flechas e. Essa nterpretação mostrada na Fgura. é conhecda como Regra do Paralelogramo.

19 É fácl ver que a regra do paralelogramo não é válda quando e são flechas de mesma dreção ou pelo menos um dos dos é. É fundamental para os objetvos desse TCC observarmos que o ponto é o resultado do deslocamento do ponto segundo a flecha ou do ponto segundo a flecha em módulo dreção e sentdo. A Fgura. lustra essa observação. Generalando fxada uma flecha w com orgem e extremdade respectvamente nos pontos dstntos e tem-se que o resultado do deslocamento de um ponto qualquer segundo o módulo dreção e sentdo de w é o ponto +w. Vale observarmos que partcularmente se tem-se que w o que equvale a der somando a ambos os membros que w. Assm a flecha w com orgem em e extremdade no ponto tem a dreção o módulo e o sentdo da flecha w sto é w w' para todo ponto. Pares de flechas desse tpo são denomnados Equpolentes. A Fgura. lustra a equpolênca entre as flechas w e w.

20 .. Multplcação de Número Real por Número Complexo Dado um número real provar que a flecha r r x r y r e um número complexo x y é fácl tem a mesma dreção da flecha tem módulo gual ao produto do módulo de r pelo módulo da flecha e se r< (<r) seu sentdo é contráro (mesmo sentdo) da flecha. Vale observarmos que se r ou tem-se que r é o ponto. A Fgura.6 lustra a geometra do produto r.

21 ... Multplcação... Forma Par-Polar de um Número Complexo Não Nulo Defnção: O Módulo de um número complexo x y o número real não negatvo x y. nota-se por ou é É fácl ver que é geometrcamente o módulo da flecha ou a dstânca do ponto ao ponto. Vale observar que x y x y x y x y. complexo x y é denomnado Conjugado de x y O número e é notado por. Defnção: O Argumento Prncpal do número complexo x y nota-se por arg() é o ângulo º 6º formado pelo semexo postvo dos reas e a flecha no sentdo ant horáro. É fácl ver que são váldas as seguntes relações entre x y e :

22 x cos e y sen. Decorre dessas relações que x y pode ser representado por cos sen. Nesse texto essa representação será denomnada Par- Polar. É fácl ver que os números complexos do tpo sen cos tem módulo. Tas números complexos são denomnados Untáros e serão notados nesse texto por CS. Assm de forma geral se tem módulo e argumento prncpal tem-se que sen cos sen CS cos e CS. Vale observar que cos 9º sen9º CS9º. A Fgura.7 lustra as defnções de módulo argumento e forma par-polar.... Multplcação na Forma Par-Polar Dados os números complexos não nulos cos sen CS e cos sen CS Re Im tem-se que cos cos sen sen cos cos sen sen cos sen e cos sen. CS.

23 Partcularmente se é untáro é fácl ver que o ponto CS resulta da rotação do ponto torno do. A Fgura.8 lustra essa nterpretação. de um ângulo em Se ( ) é fácl ver que o ponto além de resultar da rotação do ponto de um ângulo em torno de também se aproxma (afasta) de respectvamente. Do fato de C ser um corpo dados C com x y CS temse que na forma par ordenado x y x y. e na x y x y x y forma par-polar todo C. CS CS CS CS. para 6

24 . Transformações no Plano Complexo.. Introdução Nesse capítulo defnre Translação Homoteta e Rotação va funções f : C C (função complexa de varável complexa) e cujas les de correspondênca f envolvem as operações estudadas no capítulo três. Com base nas nterpretações geométrcas dessas operações podere nterpretar cada f() de cada uma das três funções como resultante de um determnado tpo de deslocamento do ponto num mesmo plano complexo. Fare uma generalação de cada uma das três funções. Esses três resultados serão numerados para que eu possa me referr a eles nas soluções dos problemas e nas provas dos teoremas do capítulo cnco. Para justfcar a mnha preferênca por utlar números complexos em geometra ao nvés dos elementos do R comparare os tratamentos das rotações proporconados pelas multplcações de números complexos e pelo produto escalar... Translação Defnção: Fxada uma flecha w denomnamos Translação Segundo w a função T w : C C que assoca cada ponto ao ponto T w w. Vale observar que de acordo com a nterpretação geométrca da adção tem-se que no mesmo plano complexo o ponto T w resulta do deslocamento do ponto segundo o módulo a dreção e o sentdo da flecha w. 7

25 A Fgura. lustra essa transformação. Generalando se w tem por orgem e extremdade respectvamente os pontos e podemos calcular T w em duas etapas: ª) Calculamos T ª) Calculamos T Assm teremos que. T w Observemos que o resultado () já era esperado pos como já vmos no capítulo anteror as flechas w e são equpolentes. É fácl ver que o resultado () é fruto de composções de T mas exatamente T w T T. 8

26 A Fgura. lustra a generalação. 9

27 .. Homoteta Defnção: Fxados o ponto e o número real postvo r chama-se Homoteta de Centro e Raão r a função H r : C C que assoca cada ponto ao ponto r. H r Vale observar que de acordo com a nterpretação geométrca da multplcação de número real postvo por número complexo tem-se que no mesmo plano complexo o ponto H r é a extremdade de uma flecha cujo módulo é o produto de r pelo módulo da flecha e tem a mesma dreção e sentdo da flecha. Como r r podemos também nterpretar o produto r como sendo o ponto que resulta da translação do ponto no mesmo plano complexo segundo a flecha w r ou seja H T lustra essa relação. r. A Fgura. w

28 Generalando se podemos calcular H r em três etapas: ª) Calculamos T ª) Calculamos r H r ª) Fnalmente teremos que H r r É fácl ver que o resultado () é fruto de composções de T e H mas exatamente H T H T r r. A Fgura. lustra as etapas do cálculo do ponto H r.

29 .. Rotação Defnção: Fxados o ponto e o ângulo ' chama-se rotação de centro segundo ' a função R : ' C C que assoca cada ponto ao ponto R ' CS '. Vale observar que de acordo com a nterpretação geométrca da multplcação de um número complexo por um número complexo untáro temse que de fato no mesmo plano complexo o ponto do ponto de um ângulo ' em torno do. R ' resulta da rotação A fgura- lustra essa transformação aplcada a um número complexo de módulo para '. É fácl ver como sugere a fgura que a função flecha. R preserva o módulo da '

30 Generalando se podemos calcular R ' em três etapas: ª) Calculamos T ª) Calculamos CS ' ª) Fnalmente teremos que R ' R ' CS ' () É fácl ver que o resultado () é fruto de composções de T e R mas exatamente R T R T ' '. A Fgura.6 lustra as etapas do cálculo do ponto R '.

31 .. Cálculo de Rotações Va Multplcação em C X Va Produto Escalar no R Pretendo aqu responder a segunte pergunta: dado o ponto P x y qual é a melhor manera de se calcular o ponto P que resulta da rotação com centro em segundo o ângulo ' do ponto P? Aplcando a função ponto P ou utlando o produto escalar? Vejamos. R no '... Cálculo em C Faendo P e P basta calcular o produto x y CS' ou seja x y '. R ' CS... Cálculo no R Utlare (sem demonstrar) o conhecdo Teorema: Se os pontos P x y P x y do plano cartesano são as extremdades das flechas (vetores) v e v com orgem em e ' ângulo entre v e v então cos ' v v v v onde v x x y y produto escalar entre v e v v x v y módulo de v e v x y módulo de v. Assm como a rotação não altera o módulo de v tem-se que a) v v e x y x y

32 v v cos ' b) v v cos ' x x y y x y ou seja o ponto P x y x x y x y v x y y x y é a solução do sstema: cos '... Comparações Entre os Dos Cálculos R : Lstare três vantagens do cálculo em C em comparação com o cálculo no ª) Em C ' pode ser qualquer ângulo enquanto que no R por ser o ângulo entre duas flechas tem-se que º ' 8º. Assm o cálculo em C ganha em generaldade. ª) Em C calculamos P apenas pelo produto CS ' enquanto que no R temos que resolver um sstema do º grau em xy. Assm o cálculo em C é operaconalmente melhor. ª) Em C o ponto P calculado é únco para qualquer valor de ' enquanto que no R o ponto P só é únco quando ' º ou8º. Assm o cálculo em C ganha em precsão. Vale observar que quando ' º ou8º é desnecessáro apelar para o sstema pos nesses casos teremos sempre que P x y ou P x respectvamente. Também vale observar que o cálculo no R y resulta em duas respostas quando ' º e 8º porque tanto o produto escalar quanto o produto dos módulos são operações comutatvas. Essa comutatvdade fa com que a rotação seja executada nos dos sentdos: o de ' e o de '. Para exemplfcar as três vantagens apontadas fnalare esse capítulo calculando o ponto P dado que P e ' º das duas maneras.

33 6 Cálculo va Função ' R : Faendo P e P tem-se que. º º CS R Cálculo va Produto Escalar:. ' cos º º º R ou R y e x y e x x x x x x x x y y x y x y x y y x x y x y x Por escapar aos objetvos desse TCC não dscutremos outras maneras de se calcular o ponto P como por exemplo va matres de rotação.

34 . Aplcações de Números Complexos em Geometra Plana.. Introdução Esse é o capítulo que dá sentdo ao título deste TCC ou seja é o capítulo em que aplcare efetvamente os números complexos em uma lsta de geometra plana. Essa lsta consta de problemas e teoremas. Procedere sempre da segunte manera ou para resolver os problemas ou para provar os teoremas: º) Identfcare vértces e segmentos com números complexos. Em quase todos os tens da lsta dentfcare um vértce com. Na maora das stuações será desnecessáro consderar os exos do plano complexo ou seja as soluções tal como admtem a maora dos enuncados serão as mas geras possíves. º) Tradure o que se pede em cada enuncado va movmento de pontos e suas respectvas magens pelas transformações T dessas. H e R ou composções w r ' º) Utlare os resultados operaconas do capítulo dos para desenvolver os cálculos. Vale der que por consderar que a parte mas delcada das tarefas resde em bem nterpretar os enuncados e dentfcar as transformações adequadas a cada problema e teorema não tere por objetvo termnar todos os cálculos anda que esses na maora das vees por serem bem poucos estejam completos. Nas argumentações me referre pelos respectvos números aos três resultados obtdos no capítulo quatro bem como a alguns resultados obtdos neste própro capítulo. Fare alguns comentáros que julgar necessáros seja para ntrodur enuncados seja para analsar resultados decorrentes das argumentações. Os dos prmeros problemas são clásscos. Estão na lsta porque fornecem resultados útes para a maora das soluções e provas do restante da lsta. 7

35 ) Calcule o ponto médo do segmento cujas extremdades são os pontos e B A x y Solução: x y. Faendo A x y B x y tem-se que M e ponto médo de AB como H M M. Assm do resultado () tem-se que: x x y y () M M M. 8

36 9 ) Calcule o barcentro do trângulo cujos vértces são os pontos. y x C e y x B y x A Solução: Faendo G y x C y x B y x A barcentro de ABC e M ponto médo de AB como G M M tem-se que H G M. Assm dos resultados () e () tem-se que: y y y x x x G G M G M M G

37 ) Dado um trângulo ABC são construídos exterormente a ABC os trângulos retângulos sósceles CBD e ACE. Prove que o trângulo DEM também é sósceles e retângulo em M onde M é o ponto médo do lado AB. A Fgura. lustra o enuncado e enfata a tese do teorema. Prova: Façamos A B C D E e M. M Provare a tese provando que. R M 9 º Do resultado () sso equvale aprovar que CS * º M M 9 A Fgura. lustra a tese do teorema va rotação no plano complexo.

38 Como e tem-se que R H º e. º R H Assm dos resultados () e () tem-se que e CS CS H º ' º '. º º CS CS H Do resultado () tem-se que. M Fnalando conclu-se que de fato a relação * é verdadera pos:. º º 9 CS CS M M

39 ) Dado um trângulo ABC são construídos exterormente a ele os trângulos equláteros CBE e ACF e nternamente o trângulo equlátero ABD. Prove que o quadrlátero FDEC é um paralelogramo. A Fgura. lustra o enuncado e enfata a tese do teorema. Prova: Façamos A B C D E e F. Provare a tese provando que as flechas (pontos) e são equpolentes (concdentes). A Fgura. lustra a tese do teorema va equpolênca (concdênca) de flechas (pontos) no plano complexo.

40 que Como R R e R 6 º 6 º 6 º do resultado () tem-se CS 6 º CS 6 º e CS 6 º. Assm tem-se de fato que CS. 6 º

41 O teorema que segue é atrbuído a Napoleão Bonaparte (769-8). ) Dado um trângulo ABC são construídos exterormente a ABC os trângulos equláteros ABD BCE e CAF cujos centros são respectvamente os pontos G H e I. Prove que o trângulo GHI é equlátero. A Fgura. lustra o enuncado e enfata a tese do teorema. Prova: Façamos A B C D E F G H e I Provare a tese provando que R. Do resultado () sso equvale a provar que º 7 CS º * A Fgura.6 lustra a tese do teorema va rotação no plano complexo.

42 que Como R R e R º º 6 º do resultado () tem-se CS º CS º CS 6 º. e Como os centros dos trângulos equláteros concdem com seus barcentros do resultado () tem-se que 6 CS º 7 CS º e 8 CS 6 º.. Fnalando conclu-se que de fato a relação * é verdadera pos

43 CS º Vale observar que prove mas do que pretenda pos o resultado (6) vale anda que ou ou seja anda que o trângulo degenerado. seja 6

44 6) Prove que a tese do teorema de Napoleão é verdadera mesmo quando os trângulos equláteros ABD BCE e CAF cujos centros são respectvamente G H e I são construídos nterormente a ABC. A Fgura.7 lustra o enuncado e enfata a tese do teorema. Prova: Faendo G' ' 6 H' ' 7 I' ' provare a tese provando que 8 ' 8 R ' 7 6 º 6 ' * A Fgura.8 lustra a tese do teorema va rotação no plano complexo. 7

45 Para calcular os pontos ' 6 ' 7 e ' basta ver que faendo 8 m m m respectvamente os pontos médos dos lados tem-se que ' 6 ' 7 ' e m m m são pontos respectvamente smétrcos em relação a e sso sgnfca que ' R ' R e R. 6 m 8 º 6 7 m 8 º 7 ' 8 m 8 º 8 A partr daí a prova da relação (*) é nteramente smlar a prova da versão anteror do teorema de Napoleão. Vale observar que os pontos ' 6 ' 7 e ' também são smétrcos aos pontos e em relação aos segmentos (ou retas) 8 respectvamente. Não fare uma segunda prova utlando essa nterpretação. Os dos problemas que seguem servem de preparação para tratarmos esse tpo de smetra e tal tratamento será utlado para provar o teorema segunte a eles. 8

46 7) Seja r a reta defnda pelo ponto e a nclnação. Calcule o ponto r smétrco do ponto P em relação a r. É fácl ver que se o ponto P pertence a reta r tem-se que P =P. Isso nclu P=(). Solução: P ' Faendo P CS com e P' ' tem-se que ' R. r r Assm ' R ' CS r ' CS. CS r r CS ' CS. CS ' CS 7 r Vale observar que ' pode ser calculado da mesma forma anda que r r. O resultado (7) mostra que ' pode ser pensado va rotação do ponto em relação ao de um ângulo de ou seja r ' R. (8) r A Fgura.9 lustra o cálculo do ponto e o resultado (8) va números complexos. r 9

47 O próxmo problema é uma generalação deste.

48 8) Seja r a reta defnda pelo ponto P y e a nclnação. Calcule o r ponto Solução: P ' smétrco do ponto P em relação a reta r. Faendo r' // r com r' tem-se que a nclnação de r também é r Faendo P P P' ' e T do resultado (8) temse que CS r é o smétrco de em relação a r. Fnalando tem-se que ' T CS. r '. é o ponto procurado ou seja A Fgura. lustra o cálculo do ponto va números complexos. S Vale observar que a transformação S C C com r : CS r assoca cada ponto ao seu smétrco S r em relação a reta r cujos coefcentes lnear e angular são respectvamente Im e. r r Utlare a transformação S r : C C para provar o próxmo teorema.

49 9) Seja G o barcentro de um trângulo equlátero ABC. Se P é um ponto do plano que contém ABC e Q R e S são os pontos smétrcos de P em relação aos lados AB BC e AC respectvamente prove que o ponto G também é o barcentro do trângulo QRS. A Fgura. lustra apenas uma das nfntas possbldades de nterpretação para o enuncado além de enfatar a tese do teorema. Prova: Façamos A C Q R S P x y G e sem perda de generaldade façamos B um real postvo. De acordo com o resultado () provare a tese provando que o que equvale a provar que G G * Faendo r=reta que contém o lado s=reta que contem o lado e t=reta que contem o lado é fácl ver que seus coefcentes lneares e angulares são respectvamente º ; º e 6 º. A Fgura. lustra a tese va números complexos.

50 Como 6 R º do resultado () tem-se que 6 º CS e utlando a transformação C C S r : tem-se que. º º º º º º y x y x CS S e y x y x CS S y x CS S 6 6 Fnalando conclu-se que de fato a relação (*) é verdadera pos. Vale observar que na Fgura. o ponto y x P fo consderado nteror ao trângulo ABC. Como 6 G G portanto ndependente dos valores de x e y tem-se que a tese do teorema contnua

51 válda anda que P seja um ponto exteror ao trângulo ABC ou pertencente a um dos seus lados. P pode ser nclusve um dos vértces de ABC. Voltando ao teorema de Napoleão é natural ndagarmos se o mesmo pode ser generalado. Por exemplo será verdade que os centros dos quadrados construídos exterormente a um quadrlátero (qualquer) são vértces de um quadrado? A Fgura. mostra que não.

52 O próxmo teorema afrma entretanto que o quadrlátero EFGH é um quadrado quando o quadrlátero ABCD é um paralelogramo. ) Dado um paralelogramo ABCD são construídos exterormente a ABCD os quadrados ABEF BCGH CDJI e ADHL cujos centros são respectvamente os pontos M N O e P. Prove que o quadrlátero MNOP é um quadrado. A Fgura. lustra o enuncado e enfata a tese do teorema. Prova: Façamos A B C D M N O 6 P 7 E 8 G 9 I e K. Provare a tese provando que R e R. () sso equvale a provar que Do resultado 6 7 º 7 9 º CS 7 º * e CS 9 º * * 7 6 A Fgura. lustra a tese do teorema va rotações no plano complexo.

53 6 Como º º º º R e R R R T do resultado () tem-se que do resultado () tem-se que º º º º CS CS CS CS e do resultado () tem-se que. e Assm conclu-se que de fato as relações (*) e (**) são verdaderas pos

54 7 * * º * º CS e CS

55 ) Consderemos um trângulo retângulo sósceles ABC cujo ângulo reto tem vértce A. Se M é o ponto médo do lado BC e P é um ponto do lado BC (dferente de B e C) cujas projeções ortogonas sobre os lados AB e AC são os pontos D e E respectvamente prove que o trângulo MDE é retângulo sósceles cujo ângulo reto tem vértce M. A Fgura.6 lustra o enuncado e enfata a tese do teorema. Prova: Façamos A B C P x y D E e M. M Provare a tese provando que R a provar que 9 M º CS º * M 9 M. Do resultado () sso equvale A Fgura.7 lustra a tese do teorema va rotação no plano complexo. 8

56 Sem perda de generaldade faendo número real postvo tem-se que x e y.. Como R 9 º. CS9 º do resultado () tem-se que M. Como os trângulos EPC e ABC são trângulos retângulos sósceles semelhantes tem-se que x y e CS º x y M 9 M ou seja a relação (*) é de fato verdadera. 9

57 ) Dados os trângulos equláteros ABC DEC e o paralelogramo BFDC prove que o trângulo AFE é equlátero. A Fgura.8 lustra apenas uma das nfntas possbldades de nterpretação para o enuncado além de enfatar a tese do teorema. Prova: Façamos A B C D E e F. Provare a tese provando que R. Do resultado () sso equvale a provar que 6 º * CS 6 º A Fgura.9 lustra a tese do teorema va rotação no plano complexo.

58 que Como R R e T 6 º 6 º do resultado () tem-se CS 6 º CS º 6 º 6 CS e do resultado () tem-se que CS 6 º. Assm conclu-se que de fato a relação (*) é verdadera pos 6 CS º. CS 6 º Vale observar que essa prova é genérca ou seja não é válda apenas para a nterpretação utlada.

59 ) Dado um quadrado ABCD seja P um ponto da dagonal BD cujas projeções ortogonas sobre os lados AB BC CD e AD são respectvamente os pontos E F G e H. Prove que os segmentos EH e PC são perpendculares e congruentes. A Fgura. lustra o enuncado e enfata a tese do teorema. Prova: Façamos A C E H e P x y. Sem perda de generaldade faendo B número real postvo tem-se que x e y com x y. Provare a tese provando que as flechas (pontos) e são equpolentes (concdentes) ou seja que R T T resultados () e () sso equvale a provar que CS * º 9 9 º. Dos A Fgura. lustra a tese do teorema va composção de translação e rotação no plano complexo.

60 Como do resultado () tem-se que. R 7 º Como o trângulo PEB é retângulo sósceles tem-se que x y para todo ponto da dagonal (nclundo os pontos B e D ou seja para todo x y com x y ) o que equvale a der que x x e x. Assm conclu-se que de fato a relação (*) é verdadera pos CS º x x. 9

61 ) Dado um paralelogramo ABCD e os trângulos sósceles semelhantes CBE e FDC prove que o trângulo FAE é semelhante aos trângulos CBE e FDC. A Fgura. lustra o enuncado e enfata a tese do teorema. Prova: Façamos A B C D E e F. Para provar a tese provare que R onde ˆ ˆ. Isso equvale a provar que CS. * A Fgura. lustra a tese do teorema va rotação no plano complexo.

62 Como T R e R do resultado () tem-se que T e do resultado () tem-se que CS CS e CS CS. Assm tem-se que de fato a relação (*) é verdadera pos CS CS.

63 ) Dados os trângulos retângulos sósceles BAC e DAE se M é o ponto médo do segmento CD prove que os segmentos EB e AM são perpendculares e EB=.AM. A Fgura. lustra apenas uma das nfntas possbldades de nterpretação para o enuncado além de enfatar a tese do teorema. Prova: Façamos A B C D E e M. M Provare a tese provando que as flechas (pontos) e 9 º são equpolentes (concdentes) o que equvale a provar que H R T * 9 º M M CS A Fgura. lustra a tese va translação e composção de rotação e homoteta no plano complexo. 6

64 Como R e R 9 º 9 º 9 º e CS º e CS 9 do resultado () tem-se que do resultado () tem-se que. M Assm conclu-se que de fato a relação (*) é verdadera pos H R T. 9 º M Vale observar que essa prova é genérca ou seja não é válda apenas para a nterpretação utlada. 7

65 6) Dados os quadrados ABCD e AEFG cujos centros são os pontos L e J respectvamente e os paralelogramos ADIE e AGHB cujos centros são os pontos M e K respectvamente prove que o quadrlátero JKLM é um quadrado. A Fgura.6 lustra apenas uma das nfntas possbldades de nterpretação para o enuncado além de enfatar a tese do teorema. Prova: Façamos A B D E G J K L e M Para provar a tese provare que R e R. Do resultado () sso equvale a provar que º º 6 CS 9 º * e 8 CS 9 º * * 6 7 A Fgura.7 lustra a tese do teorema va rotações no plano complexo

66 9 Como 9 9 R e R º º do resultado () tem-se que CS e CS 9 9 º º e do resultado () tem-se que e. Assm conclu-se que as relações (*) e (**) são de fato verdaderas pos * * º * º CS e CS Vale observar que essa prova é genérca ou seja não é válda apenas para a nterpretação utlada.

67 7) Dados os trângulos equláteros ABC ADE e AFG se H I e J são os pontos médos dos segmentos CD EF e BG respectvamente prove que o trângulo HIJ é equlátero. A Fgura.8 lustra apenas uma das nfntas possbldades de nterpretação para o enuncado além de enfatar a tese do teorema. Prova: Façamos A B C D E F G H I e J Para provar a tese provare que R. De acordo com o resultado () sso equvale a provar que º 9 CS * º 8 7 A Fgura.9 lustra a tese do teorema va rotação no plano complexo. 6

68 que Como R R e R 6 º 6 º 6 6 º do resultado () tem-se º CS 6 º e 6 º. CS 6 6 CS Do resultado () tem-se que CS 6 º CS 6 º CS 6 º 6. e Assm conclu-se que a relação (*) é de fato verdadera pos CS 6 CS º. 9 8 º Vale observar que essa prova é genérca ou seja não é válda apenas para a nterpretação utlada. 6

69 8) A partr de um segmento AC que contem o ponto B (dferente de A e C) construímos os quadrados ABFG BCDE e AHIC cujos centros são os pontos L K e J respectvamente. Prove que os segmentos JK e LC são perpendculares e congruentes. A Fgura. lustra o enuncado e enfata a tese do teorema. Prova: Façamos A B C E G H L J e K Provare a tese provando que as flechas 8 7 e são perpendculares e 6 equpolentes ou seja que R T T equvale a provar que 9 º Do resultado () sso CS * º 6 A Fgura. lustra a tese do teorema va translação e composção de translação com rotação no plano complexo. 6

70 6 Como º º º R e R R do resultado () tem-se que. º º º CS e CS CS Como os centros e também são respectvamente os pontos médos das dagonas e do resultado () tem-se que. e 8 7 6

71 Assm conclu-se que de fato a relação (*) é verdadera pos CS º 6 6

72 9) Dado um quadrado ABCD e os trângulos equláteros ABE e BCF respectvamente nterno e externo ao quadrado prove que os pontos D E e F são alnhados. A Fgura. lustra o enuncado e enfata a tese do teorema. Prova: Façamos A B D E e F. Para provar a tese provare que exste um número real r tal que. H r que Do resultado () sso equvale a provar que r ou R * A Fgura. lustra a tese do teorema va homoteta no plano complexo. 6

73 que Como R R e R 9 º 6 º º do resultado () tem-se CS 9 º CS 6 º e CS º CS º. Assm conclu-se que a pertnênca (*) é de fato verdadera pos CS º CS 6 º R. 66

74 ) Dado um trângulo ABC são construídos nternamente sobre o lado AC o quadrado ACDE cujo centro é o ponto H e externamente sobre o lado AB o quadrado ABFG cujo centro é o ponto I. Prove que os segmentos BC e IH formam um ângulo de º. A Fgura. lustra o enuncado e enfata a tese do teorema. Prova: Façamos A B C E G H e I. 6 Para provar a tese provare que exste um número real r tal que as flechas (pontos) r e º são equpolentes (concdentes) ou 6 CS seja H T R T. Dos resultados () e () e () sso equvale r º 6 a provar que exste um número real r tal que r º ou 6 CS que 67

75 CS º 6 R. * A Fgura. lustra a tese do teorema va composções de translação e rotação e translação com homoteta no plano complexo. Como R e R 7 º 7 º do resultado () tem-se que CS 7 º e CS 7 º. Do resultado () tem-se que 6 CS 7 º CS 7 º. e Assm conclu-se que a pertnênca (*) é de fato verdadero pos 68

76 CS º 6 R. 69

77 ) Dado um quadrado ABCD se E é o ponto médo da dagonal BD F é o ponto médo do segmento BE e G é o ponto médo do lado CD prove que o trângulo AFG é sósceles com base AG. A Fgura.6 lustra o enuncado e enfata a tese do teorema. Prova: Façamos A B C D E F e G. 6 Para provar a tese provare que exste um número complexo untáro tal que as flechas (pontos) que equvale a provar que 6 e são equpolentes (concdentes) o 6 * A Fgura.7 lustra a tese do teorema va equpolênca de flechas no plano complexo. 7

78 7 Do resultado () tem-se que e como T tem-se que. 6 Assm de fato a relação (*) é verdadera pos. 6 Vale observar que a gualdade sgnfca que o trângulo AFG é retângulo em F.

79 7 ) Consderemos dos retângulos ABCD e A B C D congruentes e de dmensões a e a posconados (parcalmente sobrepostos) como mostra a Fgura.8. Obtenha o centro P e o ângulo de rotação ' com os quas devemos grar o retângulo ABCD de modo que esse concda com o retângulo A B C D. Solução: Façamos. ' ' P e a a D a A a a D a a A Para calcular ' e me valere dos seguntes fatos:. ' ' R e R Do resultado () tem-se que a a cs a a e a cs a a ' '. Assm ' a a e cs ou seja. º ' 9 a a P e

80 Vale observar que com os resultados obtdos tem-se que a rotação (função complexa) a a a a R P 9 º : C C com R P 9 º cs 9 º transforma os pontos do retângulo ABCD nos pontos do retângulo A B C D. Esse problema também é conhecdo por A mesa gratóra devdo a segunte nterpretação prátca: consderando que os retângulos são tábuas exatamente em que local devemos ntrodur um parafuso de modo que as duas tábuas possam fcar sobrepostas quando gradas? 7

81 ) Dos pratas decdem enterrar um tesouro em uma lha. Escolhem como pontos de referênca uma árvore (A) e duas pedras P e P. Começando na árvore medem o número de passos até a prmera pedra. Em seguda dobram segundo um ângulo reto à dreta e camnham o mesmo número de passos até alcançar um ponto onde faem uma marca M. Voltam à árvore medem o número de passos desde a árvore até a segunda pedra dobram à esquerda segundo um ângulo reto e camnham o mesmo número de passos até alcançar um ponto onde faem outra marca M. Fnalmente enterram o tesouro exatamente no ponto médo (M) entre as duas marcas. Anos mas tarde os dos pratas voltam a lha e decdem desenterrar o tesouro mas para a sua decepção constatam que a árvore não exste mas (nem as marcas naturalmente). Então um dos pratas decde arrscar. Escolhe ao acaso um ponto da lha e d: Vamos magnar que a árvore estvesse aqu. Repete então os mesmos procedmentos de quando hava enterrado o tesouro: conta os passos até a prmera pedra dobra à dreta etc. e encontra o tesouro. A pergunta é: esse prata era sortudo ou um matemátco? Solução: Façamos A P P M M e M. M Para responder a pergunta verfcare se o ponto pode ser calculado M ndependentemente do ponto o que sgnfca verfcar se o número complexo ndepende do número complexo. Em caso afrmatvo conclure que o M prata era matemátco. A Fgura.9 lustra apenas uma das nfntas possbldades de nterpretação para o enuncado além de enfatar a pergunta que procurare responder no plano complexo. 7

82 Como R e R 9 º 7 º do resultado () tem-se que CS e 9 º CS 7 º. Fnalmente do resultado () tem-se que M.. Assm conclu-se que o tal prata era matemátco pos o número complexo ndepende do número complexo. M Sem perda de generaldade faendo tem-se que M resultado partcular sgnfca que os pratas poderam localar o ponto. Esse sem M precsar consderar uma posção aleatóra para o ponto. Bastara faer o segunte percurso: Partndo da pedra P camnharam até o ponto médo (M ) entre as duas pedras dobraram à esquerda segundo um ângulo reto e camnharam a mesma dstânca. No fnal desse percurso estara o ponto M. A Fgura. lustra essa alternatva para encontrar o ponto M. 7

83 76

84 No próxmo problema tere que extrar raíes de números complexos. O algortmo para a extração de raíes n-ésmas de números complexos nos é fornecdo pelo Teorema: As n raíes n-ésmas dstntas do número complexo (não nulo) cos sen possuem módulo gual n e seus argumentos são os n n n 6 º n n 6 º n termos da P.A. n ou de modo n 6 º n equvalente podemos der que os números complexos do tpo k 6 º k 6 º cos n sen com k n n n n k são as n raíes n-ésmas dstntas de sen cos. É fácl ver que os pontos k ' s são os vértces de um polígono regular de gênero n nscrto numa crcunferênca de centro e rao n. Vale observar que se é uma ra n-ésma de cos sen e j é k um número ntero qualquer tem-se que R k também é uma ra n-ésma j de. n 77

85 ) Represente no plano complexo as raíes da equação Solução: Como 6. ' k 6 6 CS º tem-se que cada uma das ses raíes das ses raíes sextas k k w ' da equação dada é a soma de uma k do número complexo CS º com a constante complexa w. Geometrcamente cada uma das ses raíes k ' da equação dada é um ponto que resulta da translação segundo a flecha w do respectvo ponto que por sua ve é um vértce de um k hexágono regular nscrto numa crcunferênca com centro em e rao gual a. Smbolcamente tem-se que ' T k. k k w k Do teorema tem-se que k º k 6 º º k 6 º cos sen com k Assm º CS 8 º CS º CS º CS 6 º e CS º e CS CS º ' T CS 8 º ' T CS º. ' Tw w w A Fgura. lustra as ses raíes sextas de CS º e as ses raíes ' da equação dada além de sugerr partcularmente que k com w ( ). w ' T k 78

86 79

87 6. Conclusão O objetvo que me servu de gua na escolha de um tema fo a mnha pretensão de dssertar sobre alguma técnca pouco usual porém efca para se tratar determnados tpos de problemas complcados. Espero que o tratamento utlado na extensa lsta do capítulo tenha convencdo os possíves letores desse TCC de que as pouco usuas funções complexas w H r r e R ' CS ' (e suas composções) T w proporconam soluções operaconalmente econômcas e genércas para stuações complcadas da geometra plana desde que é claro seus enuncados possam ser nterpretados respectvamente va translação homoteta e rotação (ou composções desses movmentos) de pontos. Partcularmente em relação às rotações espero que esses letores também tenham se convencdo de que a função R CS ' proporcona um ' tratamento melhor (se consderarmos as três raões dscutdas no capítulo ) do que o proporconado pelo produto escalar no R. Das referêncas que utle apenas a [] e a [8] faem uso das funções complexas para tratar de stuações da geometra plana. A referênca [] tem um mínmo de aplcações e a [8] tem uma extensa lsta de aplcações. Boa parte dos teoremas presentes na lsta do capítulo fo extraída da referênca [8]. Vale der que são mnhas as generalações () () e () do capítulo utladas no capítulo bem como todas as soluções e provas da lsta do capítulo. As funções complexas também são utladas porém de forma mplícta sem formalações nas referêncas [] e [] cada qual em um problema de geometra plana. As referêncas [] e [7] reescrevem alguns resultados da geometra analítca plana va varáves complexas e faem algumas aplcações dos resultados obtdos. Utle as referêncas [] e [6] para escrever o resumo sobre a hstóra do seu surgmento até a descoberta da sua representação geométrca capítulo bem como para formalar todos os concetos do capítulo. 8

88 7. Referêncas Bblográfcas [] Sánches Jesús A. P. Carnero José Paulo Q.. A Ilha do Tesouro: Dos Problemas Duas Soluções. Edtora da SBM: RPM-7. [] Lno Paulo Sérgo C. Carnero José Paulo Q.. Reflexões em Espelhos Usando Números Complexos. Edtora da SBM: RPM-76. [] Fetosa Laérco Francsco. Dssertação PROFMAT Aplcações dos Números Complexos na Geometra Plana. UFPA : Abrl de. [] Vggan Domngos. Tese de Doutoramento em Cêncas Alguns Aspectos da Aplcação dos Números Complexos à Geometra. Faculdade de Flosofa Cêncas e Letras de Maríla : 967. [] Carmo M. P. Morgado A. C. Wagner E.. Trgonometra - Números Complexos. Edtora da SBM: Ro de Janero. [6] Rpoll J. B. Cydara C. R. Slvera J. F. P.. Números Raconas Reas e Complexos. UFRGS Edtora: Porto Alegre. [7] Hahn Lang-shn. Complex Numbers & Geometry. The Mathematcal Assocaton of Amerca. USA 99. [8] Terracher P.H. Ferachoglou R. Math ensegnement de spécalté Éducaton. Hachette Educaton FRA 988 I.S.B.N