Aulas Particulares on-line

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1 MATEMÁTICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR

2 IESDE Brasl S.A. É probda a reprodução, mesmo parcal, por qualquer processo, sem autoração por escrto dos autores e do detentor dos dretos autoras. I9 IESDE Brasl S.A. / Pré-vestbular / IESDE Brasl S.A. Curtba : IESDE Brasl S.A., 009. [Lvro do Professor] 660 p. ISBN: Pré-vestbular.. Educação.. Estudo e Ensno. I. Título. CDD 70.7 Dscplnas Língua Portuguesa Lteratura Matemátca Físca Químca Bologa Hstóra Geografa Produção Autores Francs Madera da S. Sales Márco F. Santago Calxto Rta de Fátma Beerra Fábo D Ávla Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Slva Flho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madera Rodrgo Praccaba Costa Cleber Rbero Marco Antono Noronha Vtor M. Saquette Edson Costa P. da Cru Fernanda Barbosa Fernando Pmentel Hélo Apostolo Rogéro Fernandes Jefferson dos Santos da Slva Marcelo Pccnn Rafael F. de Menees Rogéro de Sousa Gonçalves Vanessa Slva Duarte A. R. Vera Enlson F. Venânco Felpe Slvera de Soua Fernando Mousquer Projeto e Desenvolvmento Pedagógco

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5 Números Complexos: Operações Algébrcas Operações Algébrcas A necessdade da ntrodução de um número cujo quadrado fosse gual a fo sentda pelos matemátcos do século XVI (Cardano e Bombel), a fm de que tvessem soluções as equações do.º grau. A partr dessa época começaram a ser fetos cálculos com as expressões do tpo a + b (a e b reas) embora sem uma justfcatva satsfatóra. Somente a partr do século XIX, graças a Cauchy e Gauss, esses números foram tratados de manera correta. Conceto C = {a + b a, b R = } Igualdade Sejam e w números complexos, tas que = a+b e w = c+d = w a = c b = d Adção e subtração Sejam e w números complexos, tas que = a + b e w = c + d ± w = (a ± + (b ± Exemplo: = +, w = + w = ( + ) + ( + ( )) = 5 + w = ( ) + ( ( )) = + 6 Multplcação Sejam e w números complexos tas que = a + b e w = c + d.. w = (ac b + (bc+a Exemplo: = +, w =. w = (..( )) + (. +.(-)) = + 8 EM_V_MAT_08 Conjugado Seja um número complexo, tal que = a + b = a + b = a b Módulo Seja um número complexo, tal que = a + b = a + b Dvsão Sejam e w números complexos, tas que = a + b e w = c + d w = ac + bd + bc - ad c + d c + d Exemplo: = +, w = - w =.+.(-) +. -.(-) +( ) + (-) = + 6

6 Teorema C,. = Demonstração: com efeto, seja = a + b = a+b = a b = (a+b) (a b) = a +ab ab+b = a +b = Teorema C, = Demonstração: com efeto, = = =. Plano de Argand-Gauss Forma trgonométrca = a+ b a cosθ = a = ρcosθ ρ b senθ = b= ρsenθ ρ = ρcosθ+ ρsenθ= ρcsθ Potêncas de 0 = = = =. = ( ). = =. = ( ). = = ( ) = k = 0 = k+ = = k Z, Exemplo: k+ = = k+ = = 7 =.68+ = = Toda a teora dos números complexos pode ser desenvolvda artmetcamente, sem utlarmos nenhuma representação geométrca. Entretanto, é convenente mostrar que a cração destes novos números fo em parte motvada pela necessdade de poder representar numercamente os pontos de um plano, da mesma forma como surgram na mente dos matemátcos os números reas.. Exemplo: = + ρ = + = cos θ = = π senθ= = θ= π / = cs Ache todos os valores de que satsfaem a gualdade + = 0 + = 0 Seja = a + b = a + ab + b = (a b ) + ab = a + b Então: (a +b ) + ab + a + b = 0 (a b ) + ab = a + b () Igualdade de complexos: gualam-se parte real e parte magnára. De (), temos: EM_V_MAT_08

7 a b = a + b ab = 0 a = 0 ou b = 0 Se a = 0, b = a + b b = a + b b = a +b b b = 0 b = ± Se b = 0, a = a + b 0 (mpossível) Logo, a = 0 e b = ± ; sendo assm, S = {-; } = ±. Calcule +.. Seja = + = a + b. + = (a+b) = (a b ) + ab = a b = ab a = = b b b +b = 9, b R y = b y +y-=0 Δ = 9+6 = 5 y = ±5 y = b = b = ± b = (mpossível, porque b é real) y = - Por sso, = ± +a b = a = b = a = = + ou Logo, V = {, + } Um magnáro puro é um complexo cuja parte real é nula. Determne a real para que + a seja um magnáro puro. a R = +a = (+a)(+) = ( +(+ ( )(+) magnáro puro a = 0 a = o 5. (UFRJ) Dados os números complexos a =.(cos 0 +.sen 0 o ) e b =.(cosd+.send), determne o menor valor postvo de D, de modo que o produto a. b seja um número real. D =50 a = cs 0 b = cs D a. b = 6 cs (0 + D) = 6 cos (0 + D) + [6 sen (0 +D)] a. b real 6 sen (0 +D) = D = 80 k k =, temos D =50 6. (ITA) O conjunto A defndo por A ={ C; ( )( ) = } representa no plano complexo: uma elpse cujos focos se encontram nos pontos e. uma crcunferênca de centro no ponto (0, ) e rao. uma crcunferênca de centro no ponto (0, 0) e rao. um par de retas que se cortam no ponto (, ). nenhuma das anterores. ` ` B 7. = a + b ou = x + y Utlemos a segunda notação: ( )( ) = ( x + ( y ) )( x + ( y ) ) = x + ( y ) = No plano complexo, essa equação representa uma crcunferênca de centro (0, ) e rao =. Demonstrar que: Soma nula = = = - = - = 5 = 6 = - 7 = = 00 = 00 = - 00 = - 00 = 005 = Somando, obtemos: = = + π π = ( 6+ )+ ( 6 ). = cos +.sn ( ) = + π π = cos.sn 0 0 EM_V_MAT_08. Calcule ( ) = + π π = ( 5+ )+ 0 5 cos.sn 0 0

8 ( 6 + ) + ( 6 ) = π π = α cos w + sen, =, sendo um número real fxo, 0 < <. ρ = ( 6 ) + ( 6 + ) = ( 6 + ). = 6 ρ= tg α = 6 π sen 6 5 = sen = cos 5 = π cos Logo, = cs π = ( 5 ) Sabemos que cos 8 = 0 + 5, sen 8 = *8 = 0 π π π Então, = + sen cos 0 0 = cs 0 5 Determne a hora do jantar. 9h ou h. = α π π π cs = α cos + sen = ω = = α = α < 0 0 < α < Como α<, α < α = ( 5 + ) + ( 0 5 ) 5 Sabemos que sen 8 =, logo: ( 5 ) cos 6 = - sen 8 = -. 6 = = 8 8 = 5 + sen = -cos 6 sen 6 = * 6 = π 0 Logo, = 0 + cos π sen π 0. Logo, o tamanho do pontero α é menor que o do pontero α, ou seja, o pontero α é o das horas e o α é o dos mnutos. 8. (UFRJ) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremdades dos ponteros do relógo forem representadas pelos números complexos e w a segur: EM_V_MAT_08

9 ( + ) EM_V_MAT_08. Coloque na forma algébrca os seguntes números complexos. (,) (-, ) (0,-) (x,-y) (,0).. Dados os números complexos = (,) e = (-,), calcule: +. /. Calcule -, dados os números complexos = (,) e = (-,).. Determne o valor real de x para que o número complexo: = ( - x ) + seja um número magnáro puro. = (8 - x) + (x - ) seja um número magnáro puro. = 6 - (x - 5) seja um numero real. = ( - x) + (x - ) seja o número real ero. 5. Efetue as operações ndcadas: (6 + 5) + ( - ) ( - ) - ( - ) ( + ).( - ),,,, 5, 6 ( - ) f) ( - ) - ( - ). 6. Encontre tal que + - = Resolva a equação x + x + 5 = 0. Calcule: ( ) - + Determne o módulo de cada um dos complexos: ( )( + ) + + ( + ) ( + ) 0. Se = e = + 5, determne: + +. Determne a representação geométrca e a forma trgonométrca do número complexo dado: = + = + = - + = = -. Escreva na forma algébrca os seguntes números complexos:. π π = cos + sen π π = cos + sen 7π 7π = 8cos + sen 6 6 Determne o valor do argumento dos números com- plexos: = + =. Determne o conjunto das magens dos complexos, tas que: Re() = Re() = Im() Im() = 5

10 + = f) = 0 a, onde 0 é um complexo dado e a é um real postvo dado g) + é real h) Re( ) = ) j) + + = + + = k) Re l) m) + = 0 + = + 5. Determne os valores máxmo e mínmo de + quando =. 6. Representar na forma trgonométrca cos θ senθ cos θ senθ senθ cos θ + cos θ + sen θ(0 < θ < π). (Unesp) O número complexo é gual a: 5. (ITA) Sejam e números complexos com = =. Se é uma ra da equação = 0 então a soma das raíes reas é gual a / + / / + / + 6. (ITA) O valor da potênca é: 6. (Fuvest) Sabendo que x é um número real e que a parte magnára do número complexo (+)/(x+) é ero, então x é: - -. (Fuvest) Mostre que os números complexos = + e = são soluções da equação + = 0.. (Naval) Sendo a undade magnára dos números complexos, o valor do número natural n, tal que () n + ( + ) n = 6 é: ( ) 9 ( ) 9 + Determne o número em cada caso. 0 + = 6 = + 8. Resolva o sstema de varáves e - =- 5 - =+ 9. (UFPE) As soluções complexas da equação 6 = são vértces de um polígono regular no plano complexo. Calcule o perímetro deste polígono. 0. (ITA) Sejam x e y números reas tas que: x - xy = x y - y = Então, o número complexo = x + y é tal que e valem respectvamente: e 6 + e 6 e e + e EM_V_MAT_08

11 EM_V_MAT_08. Determne o conjunto das magens dos complexos para quas é: + real magnáro puro.. Consdere o número complexo u = + em que =. Encontre o número complexo v cujo módulo é gual a e cujo argumento prncpal é o trplo do argumento prncpal de u.. Prove que + w + w = ( + w ). Interprete o resultado geometrcamente.. Sob que condções se tem + w = w. Interprete geometrcamente o resultado. 5. = e w =. O que se pode afrmar sobre + w? 6. (ITA-SP) O conjunto A defndo por A = { C; ( )( ) = } representa no plano complexo: uma elpse cujos focos se encontram nos pontos e. uma crcunferênca de centro no ponto (0, ) e rao. uma crcunferênca de centro no ponto (0, 0) e rao. um par de retas que se cortam no ponto (, ). nenhuma das anterores. 7. (ITA-SP) Consdere as famílas de curvas do plano complexo, defnda por Re(/) = C, onde é um complexo não-nulo e C é uma constante real postva. Para cada C temos uma: crcunferênca com centro no exo real e rao gual a C. crcunferênca com centro no exo real e rao gual a /C. crcunferênca tangente ao exo real e rao gual a /(C). crcunferênca tangente ao exo magnáro e rao gual a /(C). 8. A gualdade + = +, onde C, é satsfeta: para todo C que Re() = 0 e Im() < 0. para todo C que Re() 0 e Im() = 0. para todo C que =. para todo C que Im() = 0. para todo C que <. 9. Dada a equação do segundo grau x + bx + c = 0 onde b e c são números reas, verfca-se faclmente que as suas raíes (sto é, os valores de x que satsfaem à equação acm são: x = -b + b c e x = -b - b c Se só dspusermos de números reas, pode não ser possível efetuar a operação b c. Entretanto, usando complexos, toda equação do segundo grau tem duas raíes. Achar as raíes complexas de: x + 9 = 0 x + x + 6 = 0 = + x + x 0. (ITA) Sejam w = a + b com b 0 e a, b, c R. O conjunto dos números complexos que verfcam a equação w + w + c = 0, descreve: um par de retas paralelas. uma crcunferênca. uma elpse. uma reta com coefcente angular m = a/b. 7

12 x = 5/ x =.. = + ; = - + ; = -; = x - y; = , -, -,,, -, 8-6 f) ± x = x = ½ x = EM_V_MAT_08

13 EM_V_MAT_ π π = cos + sen π π = cos + sen π π = cos + sen π π = cos + sen ( π π) = cos + sen = ( + = π 5π. ( / = A reta x =. A reta y = x. A regão entre as retas y = e y =, nclusve. O círculo de centro (0, 0) e rao. O círculo de centro (-,0) e rao. f) O círculo de centro e rao a. 0 g) A unão da crcunferênca de centro (0,0) e rao com o exo das abscssas, excluída a orgem. h) A hpérbole x - y =. ) O segmento (fechado) de extremdades e -. j) Vao. k) A crcunferênca de centro (/, -/) e rao /, excluído o ponto (,0). l) A crcunferênca de centro (/,0) e rao /. m) O sem-plano x ± cos( θ) + sen( θ);. cos( θ + π) + sen( θ + π);. cos( θ + π / ) + sen( θ + π / );. E Demonstração B C C A - - /0 - /0 8. = - 5 e = B real e dferente de -. v = =,. Demonstração =.(cosq+ sen q) é æ pö æ pöù w = w. cos q± + sen q± ê ç ç ë è ø è øú û Os vetores que representam e w são perpendculares entre s. + w B D 9

14 8. 9. B ±; -± 5 ; 0. (- ± )/. D 0 EM_V_MAT_08

15 Números Complexos: Operações na Forma Trgonométrca Inverso de um complexo EM_V_MAT_09 Multplcação e dvsão são as prncpas operações efetuadas na forma trgonométrca. Poucos lvros de Ensno Médo abordam que, na verdade, quando multplcamos ou dvdmos complexos, estamos efetuando rotações de vetores e outras transformações no plano complexo com grande aplcação em outras áreas da Matemátca. Multplcação Sejam e w números complexos tas que: =r cs a e w =r cs b..w = (r cs.(r cs = r r.(cs.(cs = r.r.(cos a+ sen.(cos b+ sen = r.r.(cos a cos b + cos a sen b + sen a cosb + sen a sen = r.r.((cos a cos b - sen a sen + (sen a cos b + cos a sen ) = r.r.(cos(a+ + sen(a + ) = r.r cs(a + Concluímos que para calcular o produto de dos complexos basta multplcar os módulos e somar os argumentos. = a+b Dvsão w 0 w =. w- = a-b = = a-b = (a +b)(a-b) a +b w w = = ( ρcsα)( ρcs( β)) ρ ρ = ( csα) ( cs( β)) = cs( α+ ( β)) ρ ρ ρ = ρ ρ cs( α β) Concluímos que para dvdr dos complexos basta dvdr os módulos e dmnur os argumentos. Prmera fórmula de Movre Pode-se der que a potênca de ordem n de um número complexo escrto na forma trgonométrca é o número complexo cujo módulo é gual ao módulo do número elevado a n e, cujo argumento é gual ao argumento do complexo multplcado por n. Essa fórmula tem dversas aplcações na dedução de fórmulas em trgonometra e na resolução de problemas de geometra plana.

16 Consderando-se o complexo = r (cos q +.sen q) e seja dado o número natural n, tem-se: n = r n (cos nq +.sen nq) Exemplo: = + = [cos (p/6) +.sen (p/6)]. (Cesgranro) A fgura mostra, no plano complexo, o círculo de centro na orgem e rao, e as magens de cnco números complexos. = [cos (p/6) +.sen (p/6)] = 6[cos (p/) +.sen (p/)] = é 6 ê + êë ù = úû Segunda fórmula de Movre Nos números reas sabemos que 6 =. No corpo dos números complexos temos que =6; (-) =6, () =6; (-) =6. Então, o número 6 em C tem raíes quartas. Dados complexo =r(cosq+.senq) e o número natural n (n ), então exstem n raíes enésmas de que são da forma: r s O complexo / é gual a: w r s t w t n k k w n θ π k= = + n n + θ n + π ρ. cos.sen n com k (ntero) varando de 0 até n- Como n ρ é constante e os argumentos dferem de p/n (para valores consecutvos de n), conclu-se que as magens das n raíes de um número complexo são vértces de um polígono regular de n lados, nscrto numa crcunferênca de centro na orgem e rao n ρ, tendo uma das raíes o argumento q/n. Exemplo: E Como é ntero ao círculo, pode-se conclur que o módulo de é menor que. = a cs q = a cs ( q ), a < > a está fora do cír- Como a >, sabe-se que o ponto culo. Vejamos o ângulo: cs( q) = cos( q) + sen( q) = cos q senq Determnar as raíes cúbcas de = 8 = = 8 cosq = senq = 0 q = 0 = 8(cos 0 +.sen 0) 0 kπ 0 n k π s. = c kπ k w + π k = co + se os.sen O número k deve varar entre 0 e k = 0 w 0 = (cos 0 +.sen 0)= ( + 0) = k = w = (cos p/ +.sen p/)= (-/ + /) = - + k = w = (cos p/ +.sen p/)= (-/ - /) = - - Logo, é um rebatmento com relação ao exo real = t.. (Fuvest) Seja um número complexo de módulo e argumento prncpal 0. O conjugado de é: EM_V_MAT_09

17 C = = cs0º = (cos 0º + sen0º ) = + = + =. Na fgura a segur, o ponto P é o afxo do número complexo = x + y no plano de Argand-Gauss. É verdade que: o argumento prncpal de é 5p. 6 a parte magnára de é. o conjugado de é +. a parte real de é. o módulo de é. A = +, pos, no plano de Argand-Gauss, o exo x é o exo real, e o exo y, o exo magnáro. Logo, = + = cs (50 ) = cs 5 p 6 verdadera a parte magnára é, no caso de a + b, o número real b. No caso, b =. = Re() = = = p p 5. Dado o número = (cos + sen. ), calcule Z7 : Pelo desenho, pode-se escrever: = r cs a w = r cs (a + 0 ) = r cs a cs 0 = cs 0 r = r cs (a+ 0 ) = r cs a cs 0 = cs 0 + w + r = + cs 0 + cs 0 = ( + cs 0 + cs 80 ) w + r + wr = ( cs 0 ) + ( cs 0 ) + ( cs 0 ) = = cs 0 + cs 0 + cs 60 = cs 80 cs( ) + cs 0 + cs 80. Logo, + w + r = w + r + wr. = cs π 7 = 7 cs 7 π = 7 7 cs (5 ) = cs (-5 ) = 8 = ( ) 6 EM_V_MAT_09. Mostre que as magens dos complexos se, w e s são vértces de um trângulo equlátero então + w + r = w + r + wr., w e r vértces de um trângulo equlátero. + w + r = w + r + wr 0 6. Calcule: ( - ) 0 (-) 0 = cs 7π = cs 50 = cs ( ) = cs (70 ) = (cos 70 + sen 70 ) = -

18 7. Determne o menor valor natural n, n > 0, tal que n ( + ) é real e postvo. n ( + ) é real e postvo. 9. Um hexágono regular está nscrto na crcunferênca de equação x + y = e um de seus vértces é o afxo de =. Determne os outros 5 vértces. n n n n n n. π π ( + ) = ( cs 60 ) = cos + sen n. n. π Real sen = 0 n =, 69...,,. n Postvo cos n. π > = não serve, pos cos π 0 =- n= 6 cos π= Logo, o menor n que satsfa o enuncado é n = 6. F E A D B C π A = (0, ) = cs 8. (Fuvest) Se = cos + sen e = cos + sen, mostre que o produto é gual a cos ( + ) + sen ( + ). Mostre que o número complexo = cos 8º + sen 8ºé ra da equação = 0. = cs, = cs = cs cs = (cos + sen )(cos + sen ) = (cos cos - sen sen ) + (sen cos + sen cos ) = cos ( + ) + sen ( + ) = cos 8 + sen = 0 y = 5 y + y + = 0 cs y = ± = ± + = 0 = cs 0 = cs 8 y = 5 = (cs 8. 5) = cs 0, que é ra da equação. π π B = cs = cs π = 6 +. = (, ) π π C = cs 6 = cs π = 6 π π D = cs 6 = π π E = cs =. = (, ) cs cs 5 π (, =. = ) 6 5π π F = cs 6 = cs 7π = 6 = cs 5 π 6 = +, = (, + ) π = 0 ( ) = ( 0, ) 0. Supondo 0 < q < p escreva na forma trgonométrca o complexo + csq + cs( q) 0 < q < p + cs q ( + cs q) ( + cs q) = = + cs (- q) q + cs (- q) + cos. EM_V_MAT_09

19 Por (I) e (II); temos: q tg.tgq + + q q + tg + tg q tg. + q + tg q tg.tg q + = csq tg q + Sabemos que: θ tg sen θ = θ (I) + tg = y + y + = 0 D = - = - y cs y = ± = + = 0 y= = cs 0 x x = cs 60 = + = cs 0 x = cs 0 = Logo, as raíes de x 5 + x + x + x + x + = 0 são: -,± ± x x = cs 0 = + = cs 0 x = cs 00 = tg cos θ = + tg θ θ (II) EM_V_MAT_09. (Uncamp) Mostre que as raíes de x 5 + x + x + x + x + x + = 0 são também raíes de x 6 - = 0. E calcule essas raíes. x 6 - = (x - )(x 5 + x + x + x + x + x + ) Se y é ra de x 5 + x + x + x + x + = 0, então y 5 + y + y + y + = 0. Logo, y 6 - = (y - ). 0 = 0, ou seja, y também é ra de x 6 - = 0. As raíes de x 6 - = 0 são: raíes de x 5 + x + x + x + = 0 x 6 - = 0 x 6 = Seja x = a + b (a + b) 6 = x = e x = - são raíes. Logo, faendo Brot-Ruffn, fcamos com: 5 x + x + x + x + x Logo, x 6 - = (x + )(x - )(x + x + ) x 6 - = 0 x + = 0 ou x - = 0 ou x + x + = 0 x + x + = 0 y = x. Um antgo mapa dava nstruções para localar um tesouro enterrado em certa lha... Ande da palmera até a entrada da caverna. Lá chegando, vre 90º à dreta e camnhe o mesmo número de passos. No fm desse trajeto coloque uma marca e retorne à palmera. Agora, camnhe em dreção à pedra. Lá chegando, vre 90º à esquerda e camnhe o mesmo número de passos que foram dados da palmera à pedra. Coloque uma marca no fm desse trajeto. O tesouro está no ponto médo das duas marcas. quando chegamos à lha, a palmera não exsta mas. Como faer para achar o tesouro? Escolhamos os exos coordenados: Marca Palmera P (X P, Y P ) Tesouro T C (X C, Y C ) Marca Seja um sstema de exos X0 Y centrado na palmera (0,0), sendo C (X C,Y P ) as coordenadas da caverna e P (X P,Y P ), as da pedra. 5

20 6 As coordenadas da marca serão dadas por: (X C + Y C ; Y C - X C ) Enquanto que as da marca : (X P - Y P ; Y P + X P ) O ponto médo entre as marcas, onde é encontrado o tesouro é: xc + xp + yc yp yp + yc + xp xc T = ; podendo ser escrto também por: xc + xp yc yp yp + yc xp xc T = + ; + ; e cuja nterpretação é: andar até o ponto médo entre a pedra e a caverna, sando da prmera, na dreção da segunda; chegando ao ponto médo do camnho entre as duas, vrar 90º à dreta e andar a mesma dstânca, chegando a T (tesouro). Conclusão: não é necessáro saber onde se localava a palmera.. Calcule o produto com p p = cos + sen e p p = cos + sen. p p Calcule o quocente para = cos + sen e p p = cos + sen.. Determne o produto e o quocente e cos p = + sen p p = cos + sen e p p = cos + sen 6 6 para: p p = cos + sen. (Fuvest) Sabendo que α é um número real e que a parte magnára do número complexo então α é: a + p é ero, 5. (Fuvest) Se = cos θ + sen θ 0 e K = cos θ + sen θ, 6. Mostre que o produto é gual a cos (θ + θ ) + sen (θ + θ ). Mostre que o número complexo = cos 8 o + sen 8 o é ra da equação = 0. Smplfque: cos a + sn a cos b sn b. 7. Qual é a relação que lga os argumentos de = - e = - +? 8. Um magnáro puro é um complexo cuja parte real é nula. + a Determne a real para que puro. seja um magnáro 9. Dado o número p p = cos + sen determne Calcule a potênca ( - ).. Determne o menor valor de n N *, para o qual n ( + ) é real e postvo.. Seja um número complexo, tal que é gual ao conjugado de. Determnar o módulo e o argumento de.. Determne o produto e dê sua nterpretação geométrca: e 5 cos p = + sen p p = cos + sen e p p = cos + sen p p p = cos + sen. Calcule os valores das potêncas, e 9, sabendo 5. que. p p = cos + sen Usando Movre, calcule as potêncas: ( - ) 5 ( - ) f) ( + ) 7 ( ) 00 ( + ) EM_V_MAT_09

21 6. Determne as raíes cúbcas de - e nterprete-as geometrcamente. 7. Encontre as raíes quartas do número complexo Determne as raíes quadradas dos seguntes números complexos: Determne as raíes quartas dos seguntes números complexos e dê sua representação geométrca: ; Calcule as raíes sextas de 79.. Um hexágono regular está nscrto na crcunferênca de equação x + y = e um de seus vértces é o afxo de =. Determne os outros cnco vértces.. Das afrmações abaxo sobre a equação = 0 e suas soluções no plano complexo: I. A equação possu pelo menos um par de raíes reas. II. A equação possu duas raíes de módulo, uma ra de módulo menor que e uma ra de módulo maor que. III. Se n N* e r é uma ra qualquer desta equação, n r então k <. k = é (são) verdadera(s): nenhuma; apenas I; apenas li; apenas III; apenas I e III..... Verfque as seguntes gualdades: - - ( - ) = -. ( - ) (- + ) = =. ( )( )( ) Verfque as seguntes gualdades: = = -. ( + ) = Escreva as expressões abaxo na forma a + b. ( - ) + - (6 + ) (7 + ) ( - ) + (6 - ) ( + 5) + 5 ( ) ( + ) (5 + ) f) ( + ) ( ) g) ( ) ( ) Determne as raíes quadradas de: (Fuvest)Determne os números complexos, tas que + = e. =. =, onde é o conjugado de. 6. Sabendo que = (cos 0º + cos 0º) e = (cos 50º + sen 50º), determne: 99 EM_V_MAT_09 7

22 Calcule o valor das seguntes potêncas: 5 ( + ) ( ) 8 00 O lugar geométrco das magens dos complexos, tas que é real, é: um par de retas paralelas. um par de retas concorrentes. uma reta. uma crcunferênca. uma parábola. 9. Seja L o afxo do número complexo a = 8 + em um sstema de coordenadas cartesanas xoy. Determne o número complexo b, de módulo gual a, cujo afxo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LOM é reto. 0. Mostre que se = (cos q + sen q) então.. = r(cos( - q) + sen( -q). Se x + = cos a, prove que x n x + n = cos na. x Escreva na forma a + b o número complexo 9 p p = cos + sen. Seja = c + d um número complexo, não nulo, com argumento e módulo ndcado por, sto é, = (cos x + sen x). Para que se tenha = a + b, com b 0, é necessáro que: Lembre-se que: sen x = senx cosx cos x = 0 sen x = 0 senx + cosx 0 senx 0 cos x = 0 6. Determne o conjunto dos números complexos para os quas o número w = pertence ao conjunto dos números reas. Interprete (ou dentfqu este conjunto geometrcamente e faça um esboço do mesmo. 5. Calcule Resolva a equação: + +=0 7. (ITA) Sejam a e b números reas com k =,,, 6. k k Os números complexos k = a k + b k são tas que k = e b k 0, para todo k =,,, 6. Se (a, a,, a 6 ) é uma progressão artmétca de raão - /5 e soma 9, então é gual a: 8/5 +6/ (ITA) Consdere, no plano complexo, um polígono regular cujos vértces são as soluções da equação 6 =. A área deste polígono, em undades de área, é gual a: 5 π / π 9. Consdere, no plano complexo, um hexágono regular centrado em 0 =. Represente por,,..., 6 seus vértces, quando percorrdos no sentdo ant-horáro. Se = então vale: + ( - ) + ( + )I 6 + ( + ) ( - ) + ( + ) + ( 6 + ) EM_V_MAT_09

23 0. Consdere os números complexos = + e w = Se m = w + +, então m vale: + w + 6 Determne as raíes quadradas de: Sabendo que - é ra da equação: x - 6x + x - 0x + = 0, achar todas as suas raíes. Consdere as afrmações: I. (cos θ + sen θ) 0 = cos (0θ) + sen (0θ), para todo θ R II. (5)/( +) = + III. ( - ) = - IV. Se x = ( ) então é real ou magnáro puro V. O polnômo x + x - x - possu apenas raíes reas Podemos conclur que: todas são veraderas; apenas quatro são verdaderas; apenas três são verdaderas; apenas duas são verdaderas; apenas uma é verdadera. Resolva as equações: = = = = 0 5. Exste uma fórmula chamada de Fórmula de Cardano (matemátco talano da época da Renascenç que fornece as raíes da equação do tercero grau; y + ay+ b= 0. A fórmula é a segunte: Seja ν o volume de um cubo de aresta x, e ν' o volume de um paralelepípedo retângulo cuja área da base é, e cuja altura é gual a x. Determnar x de modo que ν= ν' As cnco raíes quntas de = 6-6 têm o mesmo módulo e seus argumentos formam uma PA cuja raão é: n.d.a. EM_V_MAT_09 b b a b b a y = Resolver usando a fórmula de Cardano: 9

24 p 6 cs 7p 7p cos + sen p p 6cos + sen e 5 p cos sen 5 p + p p 8cos + sen e E Demonstração Demonstração cs( a + q +p=q 7p 7p cos + sen = = -... n = 6 7p 7p cos + sen. = = -8 9 = EM_V_MAT_09

25 f) 6. = = - 0 = p p 0 = cos + sen ± ; ± ; - ±. æ.cs 5 Pö æ.cs 7 Pö ; èç 6 ø ; èç 6 ø ;-. æ.cs P è ö æ ç 6 ø e.cs P ö èç 6 ø D 8 9p 9p = cos + sen p 7p = cos + sen p 5p = cos + sen 6 6 e - + e.. V V V V V 7p 7p 5p 5p cos + sen e cos + sen V EM_V_MAT_09 + ;- + ;- - ; - p p cos +sen 5p 5p cos +sen 6 6 p p cos +sen p p cos +sen 6 6 p p cos +sen 8 8 7p 7p cos +sen 8 8 p p cos +sen 8 8 5p 5p cos +sen 8 8 p p cos +sen 5p 5p cos +sen 6 6 p p cos +sen p p cos +sen f) g) ± - e e - - = + ou =

26 B Demonstração Demonstração -6.. D y F( ;0) F (;0) x ± ± B D B A 6 ± ; ±( - ) ±( / + / ). ±, ± B =± / + / ou = ; =± ± ; = ±/ ± /; = ou =-/ ±( /) ou = - ou =± ; x = cos 0o 879,. E EM_V_MAT_09