SIMULADO. Matemática. 2 (Unimontes-MG) 1 (Enem)

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1 (Enem) (Unimontes-MG) A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere KB = 000 bytes, MB = 000 KB, GB = 000 MB. Utilizando uma câmera de.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 50 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar: a) um CD de 700 MB. b) um pendrive de GB. um HD externo de 6 GB. um memory stick de 6 MB. e) um cartão de memória de 6 MB. O armazenamento de 50 fotos com resolução de.0 megapixels corresponderia à armazenagem de pontos ( ) ou ainda 0 8 pontos. Como cada ponto, em geral, ocupa bytes, a armazenagem desses pontos corresponderia a bytes. Se o algoritmo de compressão reduz em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazenar as fotos, elas ocuparão apenas 5% dos bytes, ou seja, 0, bytes = bytes. Esse número corresponde a KB ou 5 MB, que podem ser armazenados num cartão de 6 MB, deixando assim o menor espaço restante possível. Considere os pontos A(6, ), B(,) e C(, ). Assumindo que as medidas estão em centímetros, podemos afirmar que: a) C é um triângulo equilátero, de área igual a 0 cm. b) C é um triângulo isósceles, de área igual a 0 cm. C é um triângulo isósceles, de área igual a 0 cm. C é um triângulo equilátero, de área igual a 0 cm. d = ( 6) + ( ( )) = = 80 = 5 d = 5 cm d = ( 6) + ( ( ) ) AC d = 5 cm AC = = 5 = 5 d = ( ( )) + ( ) = = 5 = 5 BC = 5 cm d BC C é isóceles (AC = BC). = A C 0 0 = = cm 6 = ( + + ) = O triângulo C é isósceles e sua área é igual a 0 cm.

2 (UFRN) (UFMG) Três amigos André (A), Bernardo (B) e Carlos (C) saíram para caminhar, seguindo trilhas diferentes. Cada um levou um GPS instrumento que permite à pessoa determinar suas coordenadas. Em dado momento, os amigos entraram em contato uns com os outros, para informar suas respectivas posições, e combinaram que se encontrariam no ponto equidistante das posições informadas. As posições informadas foram: A(, 5), B( 6, 0) e C(, ).. Com base nesses dados, conclui-se que os três amigos se encontrariam no ponto: a) (, ) b) (, 5 ) (, 0) ( 6, 0) Seja P(x, y) o ponto de encontro dos amigos. Como combinaram de se encontrar em um ponto equidistante das posições informadas, teremos: d = ( x ) + ( y 5) d AP BP = ( x 6) + ( y 0) d = ( x ) + ( y ( )) CP d = d AP BP ( x ) + ( y 5) = ( x 6) + y d = d BP CP ( x 6) + y = ( x ) + ( y + ) x x + + y = x x y x x y = x 6x y + 6y + 9 0x 5y = 0 5x = 5 5x = 5 6x 6y = 8 x + y = ( 5) 5x = 5 ( 5 5) y = 0 y = 0 x = O ponto de encontro será o ponto (, 0). Os pontos A = (0, ), B = (, 0) e C = (a, b) são vértices de um triângulo equilátero no plano cartesiano. Considerando-se essa situação, é correto afirmar que: a) b = a b) 7 b = a 6 b = a + b = a Se C é equilátero, C(a, b) pertence à mediatriz de. A mediatriz de passa pelo ponto médio M e é perpendicular à reta que contém. 0 m = = m = M =, M, 9 y = ( x ) y = x 8 6y 9 = 8x 6 8x 6y 7 = 0 Como C(a, b) pertence a essa reta, então: 8a 7 8a 6b 7 = 0 6b = 8a 7 b = 6 6 a 7 b = 6

3 5 (Fuvest-SP) 6 (ESPM-SP) No plano cartesiano Oxy, a reta de equação x + y = é tangente à circunferência C no ponto (0, ). Além disso, o ponto (, 0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a: a) b) 9 5 e) 7 O centro K(a, b) pertence à perpendicular da reta r: x + y =, que passa por P(0, ): b mr = = = m = a y = ( x = 0) y = x x y + = 0 O centro K(a, b) pertence também à mediatriz do segmento de extremos R(, 0) e S(0, ), logo: 0 m = = = m = e M RS, 0 +, MRS y = x y = x y = x x y + = 0 ➁ Resolvendo o sistema formado pelas equações ➀ e ➁, teremos: x y + = x y 0 + = 0 x y + = 0 x y + = y = 0 y = x = k, O raio procurado corresponde à distância entre os pontos K e R (ou K e S), assim: ➀ No plano cartesiano, uma reta de coeficiente angular intercepta a parábola de equação y = x x + nos pontos A e V, sendo V o vértice da equação. O comprimento do segmento AV é igual a: a) b) 5 e) Se V é o vértice da parábola, então: b ( ) x = = = V a ( ) y = = 6 = = portan to V(, ) V a A reta que passa por V(, ) e tem coeficiente angular é: y = (x ) y = x + y = x + x x + = x + x x + = 0 y = x x + Resolvendo a equação, encontramos x = e x =. Se x = y = V(, ) Se x = y = A(, ) A distância procurada é: d AV = ( ) + ( ) = + = 5 5 r = d PC = = + = = 5

4 7 (Mack-SP) + i Se y = x, sendo x = i a) 9i b) 9 + i 9 9 e) 9 i x + i x i i i x = x i + x + i = + + i = = i + i i + y = x y = i (x + y) = (i + i) = (i) = 9i = 9 e i =, o valor de (x + y) é: π π z = cos π + k k + π kπ π kπ k π = π 0 π k = 0 z π + 0 π 6 6 π 6 + π + i 6 k = z = cos π π π π 6 6 π + π 6 + i sen + π π 6 5π + 5π i π π k = z i sen π π + 6 π + 8π + π + 8π π 6 + 9π i sen cos π + π 6 = 0 + i ( ) = i As raízes são + i, + i e i. 8 (Unesp-SP) As soluções da equação z = i, onde z é um número complexo e i =, são: a) + i ou z = i b) i ou z = i + i ou z = i i ou z = i e) i ou z = i As soluções da equação são as raízes cúbicas do número i = (cos π + i sen π ). Sabendo que as raízes são dadas por n z = ρ θ π cos + k k k n n + θ + π n n em que ρ é o módulo e θ o argumento de z, com k {0,, }, teremos:

5 9 (UFPR) 0 (FGV-SP) Considere o polinômio p(x) = x ax + x a e analise as seguintes afirmativas:. i = é uma raiz desse polinômio.. Qualquer que seja o valor de a, p(x) é divisível por x a.. Para que p( ) = 0, o valor de a deve ser 0. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa é verdadeira. b) Somente as afirmativas e são verdadeiras. Somente as afirmativas e são verdadeiras. Somente as afirmativas e são verdadeiras. e) As afirmativas, e são verdadeiras.. p(i) = i a i + i a = i + a + i a = 0 i é raiz do polinômio.. Como mostra a divisão abaixo, p(x) é divisível por a para qualquer valor de a. a a a a 0 a 0 0. p( ) = 0 ( ) a ( ) + ( ) a = 0 8 a a = 0 5ª = 0 a = 0 As três afirmativas são verdadeiras. O polinômio P(x) = x 5x + x + 5x tem o número como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a: a) 5 b) e) Sabendo que é raiz dupla do polinômio, e utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, encontramos: Portanto, as outras raízes são raízes de Q(x) = x x, que são x = ou x =. O valor absoluto da diferença dessas raízes é = 5. 5