Integração com splines integração com splines cúbicos

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1 Integração com splnes ntegração com splnes cúbcos Um modo de obter regras de ntegração semelhante às compostas é utlzando splnes. A utlzação de splnes de grau zero conduz às regras do rectângulo compostas, enquanto a ntegração com splne de grau conduz à regra do trapézo composta. A utlzação de splnes de grau superor conduz a regras dferentes das regras compostas anterormente estudadas. Integração com splnes cúbcos h h = x x - b b N I( f ) = f ( x) dx S( x) dx = S( x) dx = I( S) a a = x x S (x) S (x) S (x) No troço o splne cúbco é dado por ( x x) ( x x ) S x = M + M + ( ) 6h 6h h x x h x x + y M + y M 6 h 6 h x 0 a x x x b Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

2 Integração com splnes ntegração com splnes cúbcos Prmtvando x x x ( x x) ( x x ) h x x h x x ( ) = h 6h 6 h 6 h x S x dx M M y M y M dx ( x x) ( x x ) h ( x x) h ( x x ) = M + M y M + y M 4 4 4h 4h 6 h 6 h x x h h h h h h = M + M + y M + y M h h = ( y y ) ( M M ) Somando a contrbução de todos os troços resulta b a N IS ( ) = Sx ( ) dx= y + y M + M h h ( ) ( ) 4 = Nota: a expressão tem uma parte dêntca à regra do trapézo composta mas um termo correctvo com base nos momentos ( as dervadas) Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

3 Integração adaptatva Integração adaptatva método que garante que o resultado obtdo tem um erro nferor a uma tolerânca ε especfcada pelo utlzador a b Consderar uma subdvsão ncal do ntervalo [a,b] a 0 a a a Dstrbur a tolerânca dsponível pelos troços Tendo em conta a expressão teórca do erro, estmar para cada troço a correspondente dervada Estmar o erro cometdo em cada troço No caso do erro exceder a tolerânca atrbuída a esse troço, então subdvdr devdamente o troço Há varantes da ntegração adaptatva: ε ε ε p E = C f ( ξ ) h, f ( ξ ) D ( k ) ( k) ( k ) O método tenderá a colocar mas subntervalos onde a correspondente dervada for maor não teratva o número de vezes que se efectuam subdvsões é de apenas uma teratva o número de vezes que se efectuam subdvsões não é defnda à partda (é resultado da verfcação do crtéro do erro) E ε ( ) C D k h h ε = ε b a Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer p

4 Integração adaptatva não teratva Exemplo: Utlzando a regra do trapézo composta N h Ih( f) = f( a ) + f( a) = [ ] f(x) Para o troço [a -, a ]dedmensãoh E = f''( ξ ) h h Na ntegração adaptatva não teratva, geralmente, a dervada é aproxmada por uma dferença fnta aproprada a 0 a a a a b f''( ) D = fa ( ) fa ( + h) + fa ( ) ξ ( h ) A estmatva de erro para o troço éobtdaatravésde E = D h a - a - +h/ a h Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

5 Integração adaptatva não teratva Se a estmatva de erro E for superor à tolerânca ε que está dsponível para esse troço, então esse troço é subdvddo em m subntervalos de modo ao erro nesse troço passar a ser nferor à tolerânca dsponível. Erro para o troço após a subdvsão em m subntervalos m subntervalos E m expressão onde se admtu que a = D h a - a dervada em cada subntervalo é aproxmada por D h h = h m h h E = m D E = D h m m E = E m Pretendemos que, após a subdvsão do troço, o erro nesse troço seja nferor à tolerânca dsponível para esse troço, E E < ε E < ε m > ε m E Recuperando a expressão do erro para o ntervalo resulta m > D h ε Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

6 Integração adaptatva não teratva A expressão anteror pode ser reescrta em termos da tolerânca total ε h ε = ε b a D h > b a = m D h h ε ε m > D h ε b a b a m > D h ε Subdvsão ncal a b a 0 troço a troço a troço a D D D m subntervalos m subntervalos m subntervalos Subdvsão fnal a 0 a a a calcular I calcular I calcular I I h =I +I +I Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

7 Integração adaptatva teratva Comparatvamente ao método não teratvo, o algortmo teratvo descrto em seguda possu as seguntes dferenças: a estmatva do erro não recorre a dferenças fntas em cada troço o erro é estmado recorrendo a aproxmações do ntegral para esse troço se a estmatva do erro for superor à tolerânca permtda a esse troço, então o troço é dvddo ao meo a troço em avalação E α ( I I ) subdvsão em troços b aestmatvadeerroéactualzadaparaosnovos troços o número de vezes que se efectuam subdvsões não é defndo à partda (é resultado da verfcação do crtéro do erro) troço em avalação E α ( I I ) subdvsão em troços Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

8 Integração adaptatva teratva Exemplo: Calcular I(f) utlzando a regra do trapézo adaptatva teratva com um tolerânca ε =0 Regra do trapézo dedução da estmatva do erro b a b a Eh = f h E = f Para subntervalo, N= ( b a) = ''( ) E f ξ Para subntervalos, N= ( b a) = ''( ) E f ξ ( ) ''( ξ) h ''( ξ) N b a h= N ( b a) E = I I D'' D'' f''( ξ ) D'' f''( ξ ) ( b a) E = I I D'' 4 Subtrando as expressões ( b a) (*) (**) I I D'' 4 (*) (**) If ( ) = fxdx ( ), fx ( ) = 0 a a a D'' N subntervalos subntervalo subntervalos Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer c exp(5 x) 90 I I ( b a) 4 b b b

9 Integração adaptatva teratva Substtundo a aproxmação da dervada na expressão do erro para troços E D'' I I ( b a) ( b a) I 4 I E ( b a) ( ) 4 b a D'' 4 4 Resumndo, para um troço de dmensão h, ovalordaregra do trapézo com e com subntervalos é E I I ( ) h subntervalo h I = f( a) + f( b) [ ] a h/ h/ b h h h I = f a + f c + f c + f b = f a + f c + f b 4 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] a subntervalos c b e o erro (para subntervalos) pode ser estmado por E I I ( ) Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

10 Integração adaptatva teratva Opção: dvsão ncal em troços h= h ε = ε b a 0 a tolerânca ε = x0 b h=/ h=/ 0 tolerânca ε = 5x0 / / tolerânca ε = 5x0 Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

11 Integração adaptatva teratva Troço [0, /], h=/, tolerânca ε = 5x0 If ( ) = fxdx ( ), fx ( ) = 0 exp(5 x) 90 subntervalo 0 / I = [ f(0) + f( ) ] = subntervalos 0 /4 / I = [ f(0) + f( 4) + f( ) ] = Estmatva de erro E = I I = E ( ) E = < = ε OK Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

12 Integração adaptatva teratva Troço [/, ], h=/, tolerânca ε =5x0 If ( ) = fxdx ( ), fx ( ) = 0 exp(5 x) 90 subntervalo / I = [ f( ) + f() ] = subntervalos / /4 I = [ f( ) + f( 4) + f() ] = Estmatva de erro E = I I = E ( ) E = 5 0 > 5 0 = ε dvdr o troço [, ] em dos troços Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

13 Integração adaptatva teratva 0 a h= tolerânca ε =x0 b h ε = ε b a h=/ h=/ 0 tolerânca ε =5x0 / / tolerânca ε =5x0 erro E = x0 erro E = 5x0 h=/4 h=/4 / ε =.5x0 /4 /4 ε =.5x0 Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

14 Integração adaptatva teratva Troço [/, /4], h=/4, tolerânca ε =.5x0 subntervalo / /4 I = [ f( ) + f( 4) ] = subntervalos / 5/8 /4 I = [ f( ) + f(5 8) + f( 4) ] = Estmatva de erro E = I I = E ( ) E = < = ε OK Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

15 Integração adaptatva teratva Troço [/4, ], h=/4, tolerânca ε =.5x0 subntervalo /4 I = [ f( 4) + f() ] = subntervalos /4 7/8 I = [ f( 4) + f(7 8) + f() ] = Estmatva de erro E = I I = E ( ) E = >.5 0 = ε dvdr o troço [ 4, ] em dos troços Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

16 Integração adaptatva teratva 0 tolerânca ε =x0 0 ε = 5x0 / / ε = 5x0 E = x0 E = 5x0 h=/4 h=/4 / ε =.5x0 /4 /4 ε =.5x0 E =.x0 E = 7.4x0 h=/8 h=/8 /4 ε =.5x0 7/8 7/8 ε =.5x0 Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

17 Integração adaptatva teratva Troço [/4, 7/8], h=/8, tolerânca ε =.5x0 subntervalo /4 7/8 I = [ f( 4) + f(7 8) ] = subntervalos /4 /6 7/8 I = [ f( ) + f(5 8) + f( 4) ] = Estmatva de erro E = I I = E = ( ) E = < = ε OK Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

18 Integração adaptatva teratva Troço [7/8, ], h=/8, tolerânca ε =.5x0 subntervalo 7/8 I = [ f(7 8) + f() ] = subntervalos 7/8 5/6 I = [ f(7 8) + f(5 6) + f() ] = Estmatva de erro E = I I = E ( ) E = < = ε OK Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

19 Integração adaptatva teratva 0 tolerânca ε =x0 0 ε = 5x0 / / ε = 5x0 E = x0 E = 5x0 / ε =.5x0 /4 /4 ε =.5x0 E =.x0 E = 7.4x0 /4 ε =.5x0 7/8 7/8 ε =.5x0 E = 0.7x0 E =.4x0 Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

20 Valor obtdo para o ntegral Integração adaptatva teratva 0 I [0, ] =? 0 I [0, /] = / / / /4 /4 I [/, /4]= /4 I [/4, 7/8]= /8 7/8 I [7/8, ]= Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer

21 Valor obtdo para o ntegral Integração adaptatva teratva 0 / /4 7/8 I = I + I + I + I = [0, ] [0, ] [, 4] [ 4, 7 8] [7 8, ] = = 0.48 I h = x e Valor exacto 5 x If dx ( 5 ) ( ) = = e = e = Erro efectvo Eefectvo = Iexacto I aproxmado = = E efectvo < 0 = ε (tolerânca) Matemátca Computaconal, MEMec, LEAN, MEAer