4 Análise de confiabilidade de estruturas

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1 4 Análse de confabldade de estruturas Nos prmórdos da engenhara cvl, o desconhecmento técnco-centífco conduza a proetos excessvamente seguros, mas em contrapartda de custo muto elevado. Hoe em da, o progresso centífco nos permte proetar estruturas confáves e econômcas. Na teora da confabldade de estruturas, mutas técncas efcentes têm sdo desenvolvdas nos últmos 30 anos para se estmar a confabldade. Dentre elas têm-se, prncpalmente, o método de confabldade de prmera ordem (Frst Order Relablty Method, FORM) e o método de confabldade de segunda ordem (Second Order Relablty Method, SORM) (Melchers, 00). O FORM propca, na maora dos problemas, uma precsão satsfatóra com um tempo de análse computaconal reduzdo quando comparado a outros métodos, o que ustfca sua larga utlzação nas mas dversas aplcações de proeto, como por exemplo neste trabalho. São consderados dos tpos de varáves:. Varáves determnístcas x: são as ncógntas do problema de dmensonamento ótmo. Elas formam o vetor que representa os parâmetros de controle do sstema, sendo elas as dmensões geométrcas da estrutura e as áreas transversas de aço longtudnal e transversal (vde seção 5.3.);. Varáves randômcas u: essas varáves representam as ncertezas assocadas à estrutura, sendo as propredades mecâncas dos materas e as ações externas. São dentfcadas por suas dstrbuções e por seus parâmetros probablístcos. Em conunto com o vetor x, elas são usadas no processo de otmzação baseado em confabldade (Vde seção 6.5). No FORM, a análse de confabldade requer a dentfcação das dstrbuções e dos parâmetros probablístcos de cada varável aleatóra. Sendo assm, é necessáro compreender cada um destes parâmetros para que haa uma boa caracterzação das varáves aleatóras que compõem o problema.

2 Análse de confabldade de estruturas Concetos báscos de probabldade Há dos tpos de expermentos: determnístcos e não-determnístcos. Quando os resultados dos expermentos de um determnado fenômeno são prevsíves, o fenômeno é chamado de determnístco. Caso contráro, se os resultados dos expermentos não forem prevsíves, o fenômeno é chamado de aleatóro ou não-determnístco. Neste últmo caso, cada expermento deve ser assocado a um valor de probabldade de ocorrênca do evento relaconado ao fenômeno em observação. Usualmente uma função densdade de probabldade f X (x), é dentfcada por PDF (Probablty Densty Functon). Sendo expressa matematcamente em (4.) a probabldade da varável X assumr valores entre a e b. P ( a X b) = f ( x) dx b a X ( 4.) onde X é a varável aleatóra (randômca). Para que f X (x) sea consderada uma PDF ela deve satsfazer as seguntes condções: f X ( x) 0, 0 para qualquer x ; f X ( x) dx =, 0 ; b f X ( x) dx = P( a X b). a ( 4.) A função cumulatva de probabldades (Cumulatve Dstrbuton Functon, CDF), F X (x), é defnda por: F ( ) = 0, 0 ; X 0 F X ( x), 0 ; F ( ) =, 0. X ( 4.3) Exstem mutas funções teórcas que satsfazem as condções descrtas para a PDF e para a CDF. A escolha de uma delas para representar um determnado fenômeno (ou varável) depende, bascamente, de se fazer austes em relação aos dados coletados. A PDF que mas se aproxmar do hstograma que representa os dados coletados para a varável, será utlzada para representá-la na análse.

3 Análse de confabldade de estruturas Parâmetros de uma varável aleatóra A operação matemátca que é utlzada para a obtenção da expectânca é a ntegração ponderada de uma varável randômca. A expectânca de uma função de uma varável randômca é: + E g( X ) g( x) f x ( x) dx ( 4.4) onde g(x) é a função da varável randômca e f x (x) é a PDF de X. Como se pode observar pela Eq. (4.4) a expectânca de uma função de uma varável randômca é a ntegral do produto de g(x) por f x (x). A prncpal expectânca é conhecda como méda ou valor esperado (prmero momento) de uma varável aleatóra X e é obtda com g(x) = X: E( X ) = xf x ( x) dx = μ X ( 4.5) são: Outras expectâncas mportantes de uma função de uma varável randômca. o valor quadrado médo (segundo momento) de uma varável randômca, + E X x f x ( x) dx ( 4.6). a varânca (segundo momento em torno da méda ou segundo momento central) de uma varável randômca é defnda como Var + ( X ) E X X x X ( X μ ) = ( x μ ) f ( x) dx = E X ( μ ) ( 4.7) 3. o desvo padrão da varável randômca é defndo como σ X = + Var(X ) ( 4.8) pela méda: O coefcente de varação, δ, de X é expresso pelo desvo padrão dvddo

4 Análse de confabldade de estruturas 55 σ X δ = μ X ( 4.9) Por convenção, δ é adotado sempre postvo, mesmo que a méda venha a ser negatva. A expectânca também pode ser aplcada a mas de uma varável randômca. Assm, a expectânca de uma função de váras varáves randômcas g(x,x,...,x n ) é defndo como E g( X, X,, X ) + + x= xn = n g( x, x,, x ) f ( x, x,, x ) dx dx dx n x n n ( 4.0) Quando se fala de expectânca de duas varáves randômcas, exstem dentre elas algumas que são freqüentemente útes, tas como:. o valor esperado do produto de duas varáves randômcas X e X é + + E X X x x f ( x, x ) dx dx x = x = x, x ( 4.) Cov onde de f x,x (x, x ) é a PDF conunta de X e X ;. quando exstrem duas varáves randômcas, exstrão váras meddas estatístcas que podem ser usadas para capturar como as duas varáves randômcas se movem untas através do tempo. As duas mas largamente usadas são a correlação (coefcente de correlação) e a covarânca. A covarânca fornece uma medda não padronzada do grau no qual elas se movem untas, e é estmada tomando o produto dos desvos da méda para cada varável em cada período. Assm, a covarânca entre X e X é defnda como ( X X ) E ( X μ )( X μ ) = = E X + + ( x μ )( x μ ) f x, x x = x = + + x = x = x, x X E X E X μ x f ( x, x ) dx dx ( x, x ) dx dx E X ( 4.)

5 Análse de confabldade de estruturas E X μ x f ( x, x ) dx dx x = x = x, x 3. o coefcente de correlação estabelece um índce de relação lnear entre duas varáves aleatóras e pode ser representado matematcamente por, ρ Cov = σ ( X, X ) X σ X ( 4.3) onde σ X e σ X são os desvos padrões das varáves randômcas. O coefcente de correlação entre duas varáves aleatóras tem seu valor sempre dentro do ntervalo ( ρ ) como pode ser vsualzado na Fgura 4. e classfcado verbalmente pela Tabela 4.. y y x ρ X, Y = y y ρ X, Y = 0 x 0 < ρ X, Y < x ρ X, Y = x Fgura 4. Representação gráfca do coefcente de correlação. Intervalo do ρ Grau de dependênca 0,0 à 0,3 Baxo 0,3 à 0,5 Médo 0,5 à 0,7 Importante 0,7 à 0,9 Forte 0,9 à,0 Muto Forte Tabela 4. Grau de dependênca de correlação entre varáves (Soares e Venturn, 00).

6 Análse de confabldade de estruturas 57 Quando ρ = 0 dz-se que as varáves aleatóras são estatstcamente ndependentes ou não-correlaconadas, pos suas característcas estatístcas não se alteram devdo à presença de uma outra varável, ou sea, a realzação de uma varável não depende ou nflu na realzação da outra varável. A maora das varáves da análse de estruturas pertence a este grupo Dstrbuções probablístcas Todas as funções que atendam às condções estabelecdas em (4.) para uma função PDF podem ser usadas como dstrbução de probabldades. Buscando-se que a PDF represente estatstcamente da melhor forma possível um determnado fenômeno, as mas dversas dstrbuções podem ser utlzadas. Nas dversas bblografas (Hart, 98; Nowa, 000; JCSS 3, 000; JCSS, 00; Melchers, 00) são apresentadas váras funções de dstrbução de probabldades que podem ser utlzadas na prátca da engenhara, tas como: Dstrbução normal ou Gaussana; Dstrbução lognormal; Dstrbução exponencal; Dstrbução de Raylegh; Dstrbução unforme; Dstrbução Tpo I (máxmos extremos) ou Gumbel; Dstrbução Tpo I (mínmos extremos); Dstrbução Tpo II (máxmos extremos); Dstrbução Tpo III (mínmos extremos) ou Webull; Dstrbução Gamma; Dstrbução Beta. No Apêndce B são apresentados mas detalhes com relação às prncpas dstrbuções de probabldades Função densdade de probabldade conunta Em análses onde se tenha duas ou mas varáves aleatóras, é necessáro estabelecer o comportamento conunto destas varáves. Para a compreensão deste

7 Análse de confabldade de estruturas 58 comportamento de dependênca, será empregada aqu a descrção para duas varáves aleatóras dependentes entre s, X e Y. Contudo, estes mesmos concetos se estendem para um número qualquer de varáves aleatóras. Através da PDF conunta, f X,Y (x,y), das varáves aleatóras dependentes entre s, X e Y, determna-se a CDF conunta de probabldades, por: a b X, Y ( a, b) = P( X a, Y b) = f X, Y F ( x, y) dx dy ( 4.4) onde a PDF conunta das varáves aleatóras deve satsfazer as condções seguntes: f X Y ( x, y) 0, 0 para qualquer x e y;, f ( x, y) dx dy, 0 X, Y = ; ( 4.5) b d X, Y d. a c f ( x, y) dx dy = P( a X b, c Y ) 4.. Estado lmte O conceto de um estado lmte relaconado à confabldade de estruturas pode ser defndo como o lmte entre um desempenho acetável ou não acetável da estrutura. Este lmte é representado matematcamente por uma função de comportamento ou função de estado lmte. A função de falha pode representar város estados lmtes que mpossbltem a utlzação de uma determnada estrutura, onde tradconalmente cada modo de falha pode ser consderado separadamente e, assm, pode-se defnr para cada modo um estado lmte específco. Três tpos de estados lmtes podem ser consderados, segundo a NBR 68 (ABNT, 004):. Estados lmtes últmos (ELU) correspondem ao esgotamento da capacdade resstente da estrutura como um todo ou de parte da mesma. Podem-se ctar alguns exemplos de modos de falha: Perda do equlíbro da estrutura, admtda como corpo rígdo; Esgotamento, total ou parcal, da capacdade resstente da estrutura, devdo às solctações normas, tangencas e efetos de segunda ordem.

8 Análse de confabldade de estruturas 59. Estados lmtes de servço (ELS) caracterzam a não recomendação de utlzação da estrutura, mesmo que não tenha sdo esgotada a capacdade resstente da mesma. Alguns exemplos de modos de falha são: Estado lmte de formação de fssuras estado em que se nca a fssuração; Estado lmte de abertura de fssuras estado em que as fssuras se apresentam com aberturas guas aos máxmos valores especfcados. Quando ultrapassado pode possbltar corrosão da armadura, penetração de agentes externos e perda rreversível de resstênca da seção de concreto; Estado lmte de deformações excessvas estado no qual os lmtes de deformação estabelecdos para utlzação normal da estrutura são atngdos; Estado lmte de vbrações excessvas estado no qual as vbrações atngem os lmtes estabelecdos para a utlzação normal da construção. 3. Estados lmtes de fadga (ELF) estão relaconados com o acúmulo de danos à estrutura devdo à atuação de cargas cíclcas que geram um mecansmo que envolve a formação e a propagação de fssuras até o colapso da estrutura. O ELF ocorre nas barras de aço nserdas no concreto, partcularmente naquelas sob tração Função de falha (função de comportamento ou função de estado lmte) As funções de comportamento ou de estado lmte são formuladas utlzando equações fornecdas em normas que descrevem os dversos estados lmtes. Tomando como exemplo a seção de uma vga que estea submetda a um momento fletor devdo a cargas externas, para se garantr que a capacdade resstente da seção não sea ultrapassada (condção R>S, também conhecdo como problema básco) pode-se estabelecer a segunte função de falha:

9 Análse de confabldade de estruturas 60 G( R, S) = R S ( 4.6) onde R representa a capacdade resstente da seção e S o esforço solctante na seção. Consderando ncalmente as varáves no espaço orgnal U, sendo R e S varáves ndependentes com dstrbuções normas (Fgura 4.a), é possível obter as varáves normas reduzdas (padrão, ou sea, com méda zero e desvo padrão untáro), r e s: R μ R r = σ R ( 4.7) S μ S s = σ S ( 4.8) No espaço das varáves reduzdas, V (ou sea, com méda zero e desvo padrão untáro, Fgura 4.b) a função de falha G(V) pode ser escrta como: G( V ) = rσ R + μ sσ R S μ S ( 4.9) onde σ e μ são o desvo padrão e a méda das varáves randômcas, respectvamente. R PDF Conunta (R,S) f R,S Ponto de Proeto Méda G(r,s) < 0 r Superfíce de falha G(r,s) = 0 Regão segura G(R,S) > 0 G(R,S) = 0 Superfíce de falha Regão de falha G(R,S) < 0 d 0 PDF conunta f r,s (r,s) G(r,s) > 0 s 0 S (a) (b) Fgura 4. Representação da superfíce de falha na PDF conunta: (a) espaço orgnal U; (b) espaço reduzdo V. A função de falha delmta o lmte deseável e não deseável de tensões na seção (G=0). Desta forma, quando G 0 a estrutura está segura ou atende ao

10 Análse de confabldade de estruturas 6 crtéro de comportamento deseado, á quando G < 0 a estrutura não está segura ou não atende ao crtéro de desempenho deseado. A probabldade de falha (P f ) é dada pela probabldade de ocorrer G < 0, e é representada da segunte forma: P f = P( R S < 0) = P( G < 0) ( 4.0) A Fgura 4. mostra, para o caso de duas varáves aleatóras normas, ndependentes e contínuas (R e S), a superfíce de falha (defnda por G = 0), o espaço seguro (dado por G > 0) e o espaço de falha (defndo por G < 0). A área hachurada representa a regão onde a função de comportamento assume valores menores do que zero. Na Fgura 4. os círculos representam valores constantes da função PDF, f R,S (R,S), e d a menor dstânca de G(r,s)=0 até a orgem. Pode-se descrever o exemplo anteror de uma forma mas geral fazendo u={x, X,..., X n } como o vetor das varáves randômcas que pode representar os parâmetros de resstênca, cargas, dmensões e outros. Logo, a função de comportamento fca G(X, X,..., X n ) dependente do vetor u Índce de confabldade Na Fgura 4.b é mostrada a superfíce de falha do problema básco G(r,s) = G(V) = 0 no espaço das varáves reduzdas. Através da geometra analítca é fácl demonstrar que a dstânca da reta G(V)=0 até a orgem, no espaço das varáves reduzdas é gual a: d = μ μ R R S S σ + σ ( 4.) que é também conhecdo como índce de confabldade, β. Portanto, a dstânca do ponto sobre a superfíce de falha mas próxmo a orgem é o própro índce de confabldade. Deve ser observado que o ponto sobre a superfíce de falha mas próxmo à orgem é também o ponto sobre a reta com maor probabldade de ocorrênca, ou sea, o ponto com maor valor de função PDF, f R,S (R,S) sobre a superfíce de falha. Este ponto é chamado de ponto de proeto ou ponto mas provável de falha (MPP- Most Probable Pont).

11 Análse de confabldade de estruturas 6 Estendendo-se para um número n qualquer de varáves aleatóras normas estatstcamente ndependentes X = N(μ, σ ), usando X para dentfcar as varáves aleatóras envolvdas na análse e x para suas correspondentes varáves reduzdas, caso G(u) sea uma função lnear das varáves X tem-se: n ( ) = a0 + G u = a X ( 4.) onde a são as constantes. Assm, o índce confabldade é representado como a β = 0 + n = n = a μ a σ ( 4.3) Uma outra forma de nterpretação e obtenção de β é encontrada na lteratura. Tomando-se novamente o problema básco G(u)=R - S, como uma combnação lnear de duas varáves randômcas normas padrão ndependentes. Assm, G(u) é consderada uma função de varáves aleatóras normas ndependentes, para a qual é possível mostrar que: μ G( u) = μ μ R S ( 4.4) σ + G( u) = σ R σ S ( 4.5) sendo μ, μ, μ σ (, σ, σ as médas e os desvos padrões das varáves G( u) R S, G u) R S aleatóras e da função de comportamento. Desta forma, pode-se determnar a probabldade de falha como, P f μg( = P( G( u) 0.0) = Φ σ G( u) u) ( 4.6) onde Φ é a função cumulatva da dstrbução normal padrão. Fazendo = G(u) = 0 obtém-se a probabldade da função de falha ser volada.

12 Análse de confabldade de estruturas 63 fg( u) ( u) βσ G(u) G( u) < 0 G( u) > 0 Falha Seguro P f μ ) 0 G(u Fgura 4.3 Margem de segurança. G(u) A Fgura 4.3 mostra a representação gráfca do índce de confabldade, β, e da probabldade de falha, P f. Assm tem-se: μ β = σ P G( u) G( u) = f G ( u) 0 μ μ σ R R S + σ S f G( u) ( u) du ( 4.7) ( 4.8) Observa-se, portanto, que o índce β mede a dstânca entre o valor médo de G(u) e a orgem (ponto zero) em undades de desvos padrões de G(u). Para uma função qualquer, o método FORM aproxma G(u) por um hperplano que passa pelo MPP e é tangente a G(u) nesse ponto, permtndo assm o cálculo aproxmado de β pela Equação (4.7), ou sea, os valores calculados da méda e da varânca de G(u) são aproxmados devdo à lnearzação da função. A avalação da Equação (4.8) para o problema básco (R, S) pode ser obtda exatamente. De uma forma geral, a função G(u) pode não ser lnear e conter váras varáves randômcas, ou sea, conduzndo a uma função PDF conunta de múltplas varáves randômcas e correlaconadas, f G(u) (u), no espaço orgnal U. Tal ntegral n-dmensonal (n é o número de varáves randômcas) num domíno complexo (G(u) 0) é de dfícl obtenção e mutas vezes dspendosa computaconalmente. Por sso costuma-se calcular o índce de confabldade β no espaço reduzdo V (espaço normal padrão) e correlaconá-lo com a probabldade de falha (métodos de segundo momento), P f (Eq. (4.9) e Tabela 4.).

13 Análse de confabldade de estruturas 64 β = Φ ( P ) ou = Φ( β ) f P f ( 4.9) Com o obetvo de obter o índce de confabldade, β, para as mas varadas dstrbuções e funções de desempenho com varáves dependentes ou não, foram elaborados város métodos ao longo das ultmas décadas. Entre eles destacam-se por sua relatva efcênca e smplcdade os métodos de segundo momento (Second-Moment Methods, FORM e SORM). Como á menconado, o método FORM que é um método de segundo momento de prmera ordem, lnearza a função de comportamento no ponto de proeto. O termo segundo momento se deve à necessdade somente da utlzação das médas e das varâncas. P f β 0 -,8 0 -, , , , ,75 Tabela 4. Relação entre Índce de confabldade β e probabldade de falha P f Índces de confabldade relaconados à vda do proeto As normas brasleras anda não regulamentaram a verfcação dos níves de confabldade requerdos para as estruturas. Entretanto, o CEN (00) defne, três níves de classes de conseqüênca, para a análse de confabldade. A Tabela 4.3 estabelece valores mínmos de índces de confabldade relaconados com as classes de conseqüêncas e confabldade para os estados lmtes últmos (ELU) e os estados lmtes servço (ELS). Além dsso, são fetas correspondêncas com os períodos de referênca de um e 50 anos. Por exemplo, para uma estrutura pertencente à classe de conseqüênca CC e consderando o ELU com um período de referênca de 50 anos tem-se β = 3,8 (Tabela 4.3), ou sea, estma-se que haverá uma probabldade de falha máxma de P f = 7,x0-5 em 50 anos. Mutas vezes as análses de estruturas cvs de concreto armado são consderas pertencentes à classe de conseqüênca CC. Esta classe corresponde a conseqüêncas médas para a perda de vdas humanas, econômcas, socas ou

14 Análse de confabldade de estruturas 65 consderáves conseqüêncas ambentas, sendo aplcável a escolas, resdêncas, hotés e etc. ELU Valores de β Classe de Conseqüêncas Classe de Confabldades ano de período de referênca 50 anos de período de referênca ano de período de referênca 50 anos de período de referênca CC3 RC3 5, 4,3 - - CC RC 4,7 3,8,9,5 CC RC 4, 3,3 - - Tabela 4.3 Classes de conseqüêncas e confabldade, e valores de índces de confabldade (JCSS, 000; CEN, 00; Gulvanessan et al., 00) Método de smulação de Monte Carlo (MC) O método de MC surgu ofcalmente, no ano de 949, com o artgo The Monte Carlo Method de autora dos matemátcos John Von Neumann e Stanslaw Ulam. Este método de cálculo de probabldade, que se basea em smulações aleatóras, é um dos mas antgos do gênero, sendo de fácl compreensão físca e amplamente utlzado pelos engenheros. Este método apresenta boa precsão e é de fácl mplementação computaconal, não exgndo maores conhecmentos matemátcos. Como o própro nome ndca, o método de smulação de MC envolve a geração de um grande número de valores randômcos para cada varável aleatóra. Com estes valores, a função de comportamento é avalada e assm observados seus resultados. No caso da análse da confabldade de estruturas, sto quer dzer que cada varável randomcamente gerada va formar um vetor u ={X, X,..., X n } de varáves randômcas. A função de comportamento é então avalada G(u ), se ela for volada (.e. G(u ) 0), a estrutura ou o elemento não satsfez às condções mínmas exgdas. Assm o expermento é repetdo mutas vezes e em cada vez um novo vetor u ={X, X,..., X n } é gerado. Fnalmente, se um número N de expermentos são fetos, a probabldade de falha é dada aproxmadamente por: P f n ( G( u ) 0) N ELS ( 4.30)

15 Análse de confabldade de estruturas 66 onde n(g(u ) 0) é o número de vezes que a função de comportamento teve valores G(u ) 0 e N é o número de avalações da função de comportamento necessáras para a precsão deseada. Apesar da smplcdade do método de smulação de MC, o tempo necessáro para a obtenção da probabldade va MC demanda númeras análses da função de comportamento, ou sea, a sua utlzação não é recomendável em problemas de otmzação consderando ncertezas, nos quas são utlzados métodos teratvos, o que conduzra a um número excessvo de análses, nvablzando o processo. Para mas detalhes sobre este método podem ser consultadas as seguntes referêncas: Hart (98), Soares e Venturn (00) e Melchers (00) Método de confabldade de ª ordem (FORM) No método FORM as varáves aleatóras u, cuas dstrbuções são quasquer, correlaconadas ou não (espaço orgnal U), são transformadas em varáves normas padrões reduzdas e ndependentes (espaço normal padrão V). A função de comportamento G(U) é escrta em função das varáves no espaço V como G(V). A superfíce de falha G(V) = 0,0 é aproxmada por uma superfíce lnear (ou hperplano) no ponto com a menor dstânca até a orgem, dentfcado como V * (ponto de proeto no espaço das varáves reduzdas ou ponto mas provável de falha, MPP Most Probable Pont ), que é também o ponto sobre o hperplano, cuo valor da função densdade de probabldade conunta das varáves é maor. Com a obtenção do ponto, determna-se o índce de confabldade (β) que é a dstânca deste ponto até a orgem, calculada pela Eq. (4.3). A probabldade de falha (P f ) pode ser então smplesmente calculada pela Eq. (4.3). P f β = sgn * ( G( μ) ) V ( F ) = f ( V ) dv Φ( β ) = P F V ( 4.3) ( 4.3) onde, F ndca o domíno de falha G(V)< 0, conforme lustra a Fgura 4.4 para um caso bdmensonal (duas varáves aleatóras), Φ é a CDF normal padrão e V * é o ponto de proeto (MPP) no espaço reduzdo.

16 Análse de confabldade de estruturas 67 Superfíce de falha aproxmada v G(v, v ) = 0 Superfíce de falha G(v, v ) < 0 Regão de falha d = β MPP 0 Regão segura G(v, v ) > 0 v FORM Fgura Função de falha com duas varáves randômcas no espaço normal padrão reduzdo. Como se pode observar, a determnação do ponto V * (MPP) é um dos passos fundamentas para a obtenção da probabldade de falha pelo método FORM. Para encontrar este ponto, formula-se um problema de otmzação P (ou de programação não-lnear) com uma restrção, tal que: P: mnmzar V ( 4.33) Sueto a G(V) = 0 A obtenção do ponto de proeto V *, leva a um problema de otmzação, que pode ser resolvdo por város algortmos. O algortmo mas usado na análse de confabldade estrutural é o desenvolvdo por Hasofer e Lnd (974) e aprmorado por Racwtz e Fessler (978). Este algortmo é comumente dentfcado como HLRF e é resumdo pela segunte expressão recursva: V = G( V ) T [ G( V ) V G( V )] G( V ) + ( 4.34) onde G( V ) é o gradente da função de falha no espaço reduzdo e G(V ) é o valor da função de falha, ambos avalados no ponto V. Outros algortmos também são recomendáves para a avalação de V *, tas como: programação quadrátca seqüencal (PQS) e método do gradente proetado. Para a análse de confabldade pelo método FORM é necessáro um processo teratvo, como descrto resumdamente a segur:

17 Análse de confabldade de estruturas 68. Escolher um ponto de partda U no espaço orgnal (geralmente o vetor das médas) e calcular a matrz dos coefcentes de correlação normas equvalentes; ρ = Fρ E UU UU ( 4.35a) E onde ρu U é o coefcente de correlação equvalente das varáves aleatóras U e U e F depende do tpo de dstrbução de ambas as varáves (Melchers, 00);. Calcular as médas e desvos padrões normas equvalentes no ponto de partda através das expressões μ N U σ N U = φ = U σ - { Φ ( FU ( U )} f ( U ) N U U Φ ( F ( U ) U ( 4.35b) ( 4.35c) e montar a matrz σ e o vetor m, com os respectvos desvos padrões e médas normas equvalentes; 3. Avalar a função de falha G(U), o Jacobano e o gradente de G(V) no espaço reduzdo através das expressões a segur, G ( V) = G( U) ( 4.35d) J = Γσ ( 4.35e) G( V) = ( J ) T G( U) ( 4.35f) onde Γ = L e contém a nversa da matrz trangular nferor, L, obtda da decomposção de Choles da matrz dos coefcentes de correlação normas equvalentes; 4. Transformar o ponto de partda para o espaço reduzdo usando transformação de Nataf (Melchers, 00); V = J(U m) ( 4.35g) + 5. Avalar o novo ponto V através do algortmo HLRF (Eq. 4.34); 6. Avalar o índce de confabldade; β = sgn + ( G( μ) ) V ( 4.35h) 7. Avalar o novo ponto U + no espaço orgnal através da expressão a segur; U = U + T + ( J ) ( V V ) + ( 4.35)

18 Análse de confabldade de estruturas Tomar U + como novo ponto de partda e repetr os passos a 8 até a convergênca,.e., V + V V + TOL ( 4.35) 9. Avalar a probabldade de falha pelo método FORM através de: P f FORM = Φ( β ) ( 4.35) Entretanto, há casos em que se pode ter mas de uma função de comportamento, G(U). Nesses casos há que se efetuar a análse de confabldade de sstemas Confabldade de sstemas Para o caso onde se têm mas de uma função de falha, verfca-se ncalmente se o sstema é um sstema em sére ou em paralelo. A probabldade de falha de cada função de falha pode ser calculada, usando o método FORM, para cada modo de falha, sendo depos avalada a probabldade do sstema falhar como um todo, consderando a contrbução de todos os modos. É consderado um sstema em sére quando a falha de um dos seus componentes sgnfca a falha completa do mesmo e neste caso a probabldade de falha do sstema é dada pela probabldade de qualquer um dos componentes falhar (Fgura 4.5). Esta probabldade é expressa pela unão dos eventos que representam a falha dos componentes ndvduas, ou sea: P s f = P = ( G ( V ) 0.0) onde é o número de componentes ndvduas dentfcados na análse. ( 4.36)

19 Análse de confabldade de estruturas 70 v g (V)=0 g (V)=0 β β β β 0 v Fgura 4.5 Defnção de sstema na análse de confabldade de estruturas, sstema em sére. Um sstema é consderado em paralelo quando a falha do mesmo somente ocorre após a falha de todos os seus componentes (Fgura 4.6). A probabldade de falha deste sstema é expressa pela ntersecção dos eventos que representam a falha dos componentes ndvduas: P P f = P = ( G ( V ) 0.0) ( 4.37) v g (V)=0 g (V)=0 β β β β 0 v Fgura 4.6 Defnção de sstema na análse de confabldade de estruturas, sstema em paralelo. Outros detalhes são comentados no apêndce A.

20 Análse de confabldade de estruturas Determnação dos coefcentes parcas de segurança para um proeto específco Em proetos estruturas dmensonados pelo método semprobablístco, os estados lmtes são verfcados utlzando-se certos valores de proeto para as varáves. O valor de proeto resulta do produto ou dvsão do valor característco (no sentdo mas desfavorável ao proeto) da varável por um coefcente parcal de segurança. O valor característco é defndo como um valor que, de acordo com a dstrbução de probabldades da varável, representa um determnado percentual que pode ser ultrapassado. Esses valores característcos dependem do tpo de materal e da classe da estrutura. Na determnação dos coefcentes parcas de segurança de uma estrutura específca, determnam-se, para um estado lmte, os valores destes coefcentes depos de se obter o resultado ótmo, ou sea, após se obter um resultado cuo valor deseado da probabldade de falha é alcançado. Assm, a determnação dos coefcentes parcas de segurança pode ser feta com a caracterzação estatístca das varáves aleatóras do problema e com a determnação de um valor alvo (ou acetável) para a probabldade de falha. Em seguda determna-se um proeto ncal (dmensões ncas) e procede-se teratvamente obtendo novas dmensões e avalando as respectvas probabldades de falha da função de comportamento consderada pelo método FORM, até que se obtenha um proeto que satsfaça a probabldade de falha deseada. Após se chegar ao proeto ótmo e se obter, pelo FORM, o MPP desse proeto, os fatores parcas de segurança podem ser obtdos em relação a cada varável aleatóra a partr de: γ f = U * U ( 4.38) γ m U = U * ( 4.39) onde γ f é fator parcal de segurança relaconado às ações mpostas à estrutura, γ m é fator parcal de segurança relaconado às resstêncas dos materas, * U é o valor correspondente à varável no ponto de proeto quando a probabldade de falha é alcançada e U é o valor característco desta varável.

21 Análse de confabldade de estruturas 7 Város trabalhos têm sdo desenvolvdos nos últmos anos com relação a este assunto, tas como: Ellngwood (996), Nowa e Szerszen (004), Dnz (005) e Santos e Ebol (006) Fator de mportânca O fator de mportânca das varáves aleatóras para cada função de falha, Eq. (4.40), é fornecdo, também, pelo método FORM, sendo determnado pelo quadrado da sensbldade, Eq. (4.4), que é o gradente da função de comportamento normalzado no ponto de proeto (V * ). I = α ( 4.40) α = G( V G( V * * ) ) ( 4.4) esse fator ndca qual o nível de mportânca de cada varável aleatóra para a obtenção da confabldade da estrutura no ponto de proeto Níves dos métodos de proeto De acordo com Soares e Venturn (00), são menconados na lteratura quatro níves para a classfcação quanto ao nível do método de proeto de confabldade de uma estrutura: Métodos de nível I são métodos de confabldade que usam apenas um parâmetro estatístco (valor médo) para cada varável aleatóra do proeto. Este método também é conhecdo por método das tensões admssíves; Métodos de nível II são métodos de confabldade que usam dos parâmetros estatístcos (valores característcos) para cada varável aleatóra do proeto (méda e desvo padrão). Este método também é conhecdo por método semprobablístco; Métodos de nível III são métodos de confabldade que usam como medda a probabldade de falha e assumem como conhecdas às

22 Análse de confabldade de estruturas 73 funções de dstrbuções probablístcas das varáves aleatóras do proeto; Métodos de nível IV são métodos de confabldade que buscam a unão da otmzação com a estatístca, assm sendo, é um proeto ótmo que leva em consderação as ncertezas das varáves de nteresse. Através dos níves ctados acma se pode agora classfcar este trabalho como fazendo parte dos métodos de nível IV. Pos o mesmo busca o proeto ótmo de estruturas planas de concreto armado consderando as ncertezas das varáves de nteresse.