CCI-22 CCI-22. 8) Equações Diferenciais. Matemática Computacional. Definições Problemas de Valor Inicial (PVI) Métodos de passo simples

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1 CCI- CCI- Matemátca Computaconal 8 Equações Derencas Carlos Alberto Alonso Sances Métodos de Euler Séres de Talor Runge-Kutta Adams-Basort Adams-Moulton Derenças Fntas Denções CCI- Problemas de Valor Incal PVI Métodos de passo smples Métodos de sére de Talor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basort Métodos mplíctos Adams-Moulton Métodos de prevsão-correção Equações de ordem superor Problemas de Valor de Contorno PVC Denções CCI- Problemas de Valor Incal PVI Métodos de passo smples Métodos de sére de Talor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basort Métodos mplíctos Adams-Moulton Métodos de prevsão-correção Equações de ordem superor Problemas de Valor de Contorno PVC

2 Denções Grande parte dos enômenos íscos é modelada com equações derencas sto é envolvem uma unção desconecda e algumas de suas dervadas Forma geral de uma equação derencal com dervadas até a ordem n: n... n- onde a b A solução desta equação derencal é qualquer unção que a satsaça denda em [ab] e com n dervadas nesse ntervalo Quando é unção de uma únca varável é camada de Equação Derencal Ordnára Uma equação que envolve mas de uma varável ndependente junto com suas dervadas parcas cama-se Equação Derencal Parcal Condções ncas e lneardade A resolução de uma equação derencal geralmente tem como resposta uma amíla de curvas Eemplo: d d c Para especcar uma dessas curvas é precso mpor condções ncas à unção : t k ; t k ;... ; n- t n- k n- Eemplo: -- -; ; Uma equação derencal ordnára é lnear se a unção e suas dervadas possuem uma relação lnear entre s Eemplo: É lnear - Não é lnear PVI e PVC A ordem de uma equação derencal é a mas alta ordem de dervação que aparece nela De modo geral para ndvdualar a solução de uma equação derencal de ordem m são necessáras m condções adconas Dada uma equação derencal de ordem m > se a unção e suas dervadas até a ordem m- são especcadas em um mesmo ponto então temos um Problema de Valor Incal PVI Eemplo onde m: cos - sen ; ; Se as m condções adconas não são dadas em um mesmo ponto então temos um Problema de Valor de Contorno PVC Eemplo barra de comprmento L sujeta a uma carga unorme q: 4 k q ; L L k é uma constante que depende do materal da barra Ao contráro de um PVI é comum que um PVC não tena uncdade de solução Denções CCI- Problemas de Valor Incal PVI Métodos de passo smples Métodos de sére de Talor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basort Métodos mplíctos Adams-Moulton Métodos de prevsão-correção Equações de ordem superor Problemas de Valor de Contorno PVC

3 Problemas de Valor Incal Embora aja garanta teórca da resolução analítca de um PVI essa solução costuma ser de dícl obtenção: por sso utlam-se métodos numércos Dado o PVI onde construímos... n gualmente espaçados embora não seja uma condção necessára e calculamos as apromações nesses pontos Se no cálculo de usarmos apenas teremos então um método de passo smples ou passo um; se usarmos outros valores j j teremos um método de passo múltplo Característcas dos métodos de passo smples: Geralmente é precso calcular e suas dervadas em mutos pontos Temos dculdades em estmar o erro do resultado Denções CCI- Problemas de Valor Incal PVI Métodos de passo smples Métodos de sére de Talor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basort Métodos mplíctos Adams-Moulton Métodos de prevsão-correção Equações de ordem superor Problemas de Valor de Contorno PVC Método de Euler Vamos resolver a equação derencal ordnára de prmera ordem sujeta à condção ncal : ŷ d d Equação da reta onde - : ŷ. Quando tende a ero ŷ tende a :. Generalando temos a epressão do Método de Euler:. Método de Euler A epressão do Método de Euler pode ser deduda de um outro modo Sabemos que [ ]/ onde é algum valor pequeno mas não o Dvdamos [ab] onde a e b n em subntervalos de tamano :. com n Seja n uma apromação para onde é uma solução de Portanto: /..

4 Eemplo Consderando como unção de resolver no ntervalo 5 quando Pelo Método de Euler temos:.. Consderando : Consderando : As mudanças não oram muto grandes. Veremos depos uma estmatva para os erros cometdos Denções CCI- Problemas de Valor Incal PVI Métodos de passo smples Métodos de sére de Talor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basort Métodos mplíctos Adams-Moulton Métodos de prevsão-correção Equações de ordem superor Problemas de Valor de Contorno PVC Métodos de sére s de Talor Suponamos que de alguma manera estejam dsponíves as apromações... n para em... n respectvamente A sére de Talor de k-ésma ordem de em torno de é k '' k ' L ET! k! k ξ onde k ET k! Sendo podemos obter a segunte apromação para : k k ' '' L k! É ácl vercar que a sére de Talor de ª ordem é equvalente ao Método de Euler: Métodos de sére s de Talor Para se encontrar as séres de Talor de ordens mas altas será precso calcular os valores de... k Consderando vamos calcular :. onde e são as dervadas parcas de em relação a e a respectvamente. Desse modo a sére de Talor de ª ordem é. [. ]/ Vamos calcular agora :. [. ] É possível perceber como se torna dícl o cálculo de dervadas mas altas. Isso é eto somente quando tem uma epressão smples...

5 Eemplo Usando a sére de Talor de ª ordem calcular onde e -/ / / - / / / / / Sére de Talor de ª ordem: - - / - /4 /4 5 Eemplo Dado que e determnar e 4 utlando sére de Talor de 4ª ordem Vamos consderar Sére de Talor de 4ª ordem:. / /6 4 4 / / /6 4 4 / Portanto 4995 Método de Euler Apereçoado Vejamos agora o Método de Euler Apereçoado também camado de Método de Heun: A reta L com coecente angular L L une os pontos Q P ŷ L e P ŷ : L L : -. Por P traça-se a reta L com coecente angular ŷ : Q L : ŷ -. ŷ Por P traça-se a bssetr L sto é com nclnação méda entre L e L : [ ŷ ]/ Por Q traça-se a reta L paralela a L : É passo smples L: -.[ ŷ ]/ A partr de L e de obtém-se o valor de : Só calcula -.[ ŷ ]/ Concde com um [. ]/ Método de Runge- [. ]/ Kutta de ª ordem Denções CCI- Problemas de Valor Incal PVI Métodos de passo smples Métodos de sére de Talor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basort Métodos mplíctos Adams-Moulton Métodos de prevsão-correção Equações de ordem superor Problemas de Valor de Contorno PVC

6 Métodos de Runge-Kutta A dea básca destes métodos é aprovetar as qualdades dos métodos de sére de Talor e ao mesmo tempo elmnar sua maor dculdade de mplementação: o cálculo das dervadas de Característcas dos Métodos de Runge-Kutta de ordem n : São métodos de passo smples Não egem o cálculo de qualquer dervada de ; por esse motvo calculam em város pontos Após epandr por Talor para unção de duas varáves em torno de e agrupar os termos semelantes sua epressão concde com a do método de sére de Talor de ordem n O Método de Euler equvalente ao método de sére de Talor de ª ordem é um Método de Runge-Kutta de ª ordem e o Método de Euler Apereçoado é um Método de Runge-Kutta de ª ordem Runge-Kutta de ordem n Fórmula geral dos Métodos de Runge-Kutta: Φ Φ é camada unção ncremento e pode ser nterpretada como a nclnação no ntervalo consderado Fórmula geral da unção ncremento de ordem n : Φ a k a k... a n k n k k p q k k p q k q k... k n p n- q n- k... q n-n- k n- a p j e q j : constantes obtdas gualando-se a órmula geral de Runge-Kutta com os termos da epansão em sére de Talor k : relações de recorrênca cálculo computaconal ecente Os termos despreados são de ordem O n o que acarreta um erro global de ordem O n pos < Runge-Kutta de ª ordem A partr dessa denção o Método de Runge-Kutta de ª ordem é a k a k onde k e k p q k Epandndo k por Talor em torno de : p q k p q k O Substtundo na órmula de Runge-Kutta: a k a [ p q k O ] a a a p a q O Por outro lado a sére de Talor de ª ordem para é: /! [ ] / / / Despreando os termos de O para que ambas epressões sejam guas é precso que: a a a p ½ a q ½ equações e 4 ncógntas: á nntas soluções Runge-Kutta de ª ordem Há três versões mas utladas: a ½ a ou a / Método de Heun a ½ a ½ p q : ½k ½k k k k Método do Ponto Médo a a p q ½: k k k ½ ½k Método de Ralston a / a / p q /4: k / k / k k /4 k /4 Este método ornece um lmtante mínmo para o erro de apromação nos Métodos de Runge-Kutta de ª ordem

7 Runge-Kutta de ª e 4ª 4 ordens De modo semelante podem ser dedudas as órmulas de Runge-Kutta de ordens superores Em cada ordem também averá nntas versões mas conecdos: ª ordem: k 4k k /6 k k ½ ½k k - k k 4ª ordem: k k k k 4 /6 k k ½ ½k k ½ ½k k 4 k Eemplo Usando o Método de Runge-Kutta de ª ordem Método de Heun resolva tal que Consderaremos - k k k ½k ½k k k Runge-Kutta de ordens superores Há um conecdo Método de Runge-Kutta de 5ª ordem camado Método de Butcer: 7k k k 4 k 5 7k 6 /9 k k /4 k /4 k /4 k /8 k /8 k 4 / k / k k 5 /4 k /6 9k 4 /6 k 6 - k /7 k /7 k /7 - k 4 /7 8k 5 /7 Evdentemente é possível obter órmulas de Runge- Kutta de ordens superores mas de modo geral o gano em precsão acaba sendo contrabalanceado pelo esorço computaconal egdo no seu cálculo Comparação Dado um PVI com solução analítca conecda podemos resolvê-lo com métodos de Runge-Kutta de ª a 5ª ordens com dversos tamanos do passo Se compararmos os resultados obtdos com a solução eata teremos um gráco semelante ao abao: Erro relatvo % Euler Heun RK de ª ordem RK de 4ª ordem Butcer Total de camadas n b-a/ n é o número de camadas da unção em cada teração do método O total de camadas relete o tempo gasto na eecução do método Conclusões: Métodos de ordem superor alcançam uma precsão maor com o mesmo esorço computaconal Depos de um certo passo sua dmnução representará um gano muto pequeno na precsão

8 Denções CCI- Problemas de Valor Incal PVI Métodos de passo smples Métodos de sére de Talor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basort Métodos mplíctos Adams-Moulton Métodos de prevsão-correção Equações de ordem superor Problemas de Valor de Contorno PVC Métodos de passo múltplom Vmos que para encontrar uma apromação de os métodos de passo smples precsam apenas de além de cálculos de e de outras dervadas em város pontos Por outro lado suponamos que além de também são conecdas apromações... k em pontos equdstantes sto é <k Os métodos que utlam o valor de em mas de um ponto são camados métodos de passo múltplo Esses métodos baseam-se na percepção de que uma ve que o cálculo tena começado normação valosa já está à dsposção: a curvatura ormada pelos valores anterores permte uma melor apromação da trajetóra da solução Métodos de Adams Entre os métodos de passo múltplo á uma classe conecda como Métodos de Adams que se baseam na ntegração numérca de de até : 'd d d Por sua ve sso pode ser eto através de dos tpos de métodos: Adams Basort métodos eplíctos ou órmulas abertas : sem usar o ponto Adams-Moulton métodos mplíctos ou órmulas ecadas : usando o ponto Denções CCI- Problemas de Valor Incal PVI Métodos de passo smples Métodos de sére de Talor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basort Métodos mplíctos Adams-Moulton Métodos de prevsão-correção Equações de ordem superor Problemas de Valor de Contorno PVC

9 Métodos eplíctos Na apromação dessa ntegral os Métodos de Adams- Basort utlam m pontos m Por sso são camados métodos de ordem m Isso é eto através da ntegração do polnômo nterpolador p m : p m d A unção é apromada pelo polnômo p m que nterpola os pontos m -m. Basta escoler o valor de m Camando -j -j -j j m podemos epressar p m através da orma de Lagrange: p m L -m -m... L - - L Ordem 4: caso com p Pontos de nterpolação: p L - - L - - L - - L L - [ ]/--- L - [ ]/-- L - [ ]/- L [ ]/ Sejam s - / d.ds e s. Então: L - s -sss/6 -s s s/6 L - s sss/ s 4s s/ L - s -sss/ -s 5s 6s/ L s sss/6 s 6s s 6/6 Substtundo na ntegral: L sds 6 6 d pd Lsds Lsds L sds pd [ ] 4 Ordem 4: estmatva de erro Pontos de nterpolação: Vmos anterormente que o erro na nterpolação com p é E n 4 ξ/4! onde ξ - Portanto o erro cometdo é: 4 e ξ ξd 4! Com s - / d.ds e s : 5 4 e s s s s ξ ξds 4! Como gs ssss não muda de snal em [;] o Teorema do Valor Médo para ntegras garante que este η ; tal que: s s s s ξ ξds η η gsds η η 4! 4! 4 Portanto: e η η η Denções CCI- Problemas de Valor Incal PVI Métodos de passo smples Métodos de sére de Talor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basort Métodos mplíctos Adams-Moulton Métodos de prevsão-correção Equações de ordem superor Problemas de Valor de Contorno PVC

10 Métodos mplíctos Na apromação da ntegral os Métodos de Adams- Moulton utlam os pontos... -m Neste caso o método tem ordem m e a ntegração é eta através de p m : p m d O polnômo p m nterpola os pontos... -m -m De modo análogo aos métodos eplíctos basta escoler o valor de m e calcular a ntegração da orma de Lagrange: p m L -m -m... L - - L L Ordem 4: caso com p Pontos de nterpolação: p L - - L - - L L L - [ ]/--- L - [ ]/-- L [ ]/- L [ ]/ Sejam s - / d.ds e s. Então: L - s -sss-/6 -s - s/6 L - s sss-/ s s - s/ L s -sss-/ -s s s - / L s sss/6 s s s/6 Substtundo na ntegral: d pd Lsds Lsds L sds Lsds 6 6 [9 9 5 ] 4 está presente em : ormulação mplícta Ordem 4: estmatva de erro Pontos de nterpolação: De orma análoga com s - / d.ds e s : e 5 s s ss 4! 4 ξ ξds Como gs ssss- é sempre menor ou gual a ero em [;] então este η ; tal que: e 5 5 η 9 7 Eemplo Seja o PVI 4 onde Usando o Método de Adams-Basort de ordem 4 apromar com e É possível vercar que a solução eata do PVI é e 4 Através dessa solução podemos calcular e Em seguda utlamos a órmula desse método: /4 solução eata

11 Alguns casos Métodos eplíctos Adams-Basort: Ordem Fórmula Erro - / 5 ξ/ / 9 4 ξ/ / ξ/ / ξ/44 Métodos mplíctos Adams-Moulton: Ordem Fórmula Erro / - ξ/ / - 4 ξ/ / ξ/ / ξ/44 Denções CCI- Problemas de Valor Incal PVI Métodos de passo smples Métodos de sére de Talor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basort Métodos mplíctos Adams-Moulton Métodos de prevsão-correção Equações de ordem superor Problemas de Valor de Contorno PVC Métodos de prevsão-corre correção Uma das prncpas desvantagens dos métodos de passo múltplo é que não se auto-ncam: precsam de outros dados geralmente obtdos por algum método de passo smples Runge-Kutta ou sére de Talor por eemplo Por outro lado parece dícl utlar métodos mplíctos pos na epressão de aparece... Na verdade eles são usados em pares prevsor-corretor : Através de um método eplícto camado prevsor encontrase a prmera apromação para Calcula-se então Com um método mplícto camado corretor utla-se o valor acma para calcular uma nova apromação para 4 Volta-se ao passo e o processo contnua até que um determnado erro relatvo de seja alcançado 5 Caso se deseje calcular calcula-se e volta-se ao passo Eemplo Seja o PVI - onde. Deseja-se obter valores de com erros relatvos menores que -4 Consderemos por eemplo Neste caso como sabemos que a solução analítca é / vamos utlá-la para calcular e pos usaremos métodos de ordem 4: - / / / Prevsor: / Corretor: / Corretor: / / < -4 Calcular 4 usar o prevsor no cálculo de 5 e contnuar o processo...

12 Convergênca Questões sobre os métodos de prevsão-correção: Em que condções á garanta de convergênca para? Quantas terações do corretor são necessáras para se atngr essa convergênca na precsão desejada? Teorema: Se e / são contínuas em e em todo o ntervalo [ab] as terações do corretor vão convergr desde que. / < Na prátca basta escoler sucentemente pequeno... Além dsso a eperênca d que se o par prevsorcorretor or da mesma ordem e satser as condções do teorema bastam apenas uma ou duas terações do corretor Voltando ao eemplo anteror Seja o PVI - onde / - Para que o teorema da convergênca seja satseto. < ou seja < / garante a convergênca Todos os valores obtdos para no eemplo anteror são menores que ou seja / > O espaçamento satsa a condção egda para a convergênca Denções CCI- Problemas de Valor Incal PVI Métodos de passo smples Métodos de sére de Talor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basort Métodos mplíctos Adams-Moulton Métodos de prevsão-correção Equações de ordem superor Problemas de Valor de Contorno PVC Equações de ordem superor Uma equação derencal m... m- de ordem m pode ser aclmente transormada em um sstema de equações derencas de ordem : m- m- m m m... m-... m Sejam... m- m- Este sstema pode ser resolvdo através dos métodos de passos smples já vstos onde as unções têm agora ou mas varáves e os cálculos precsam obedecer uma determnada sequênca: Fase :... m- Fase :... m-

13 Eemplo Eemplo Usando o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem calcule 5 e 5 onde e - tal que e 5 Sejam e g e Sabemos que e Fórmulas de cálculo Runge-Kutta de 4ª ordem: k k k k 4 /6 k g k g k g k g4 /6 Sequênca de cálculos que deve ser obedecda: k ; ; k g g g; ; e k ½ ½k ½k g 5; ; 5 5 k g g ½ ½k ½k g g5; ; 5 e k ½ ½k ½k g 5; 65; k g g ½ ½k ½k g g5; 65; e k 4 k k g 5; 65; k g4 g k k g g5; 65; 68 e k k k k 4 / /6 48 k g k g k g k g4 / / Tercera varável Irá determnar a sequênca dos cálculos 5 e Um caso partcular Um caso partcular É possível por eemplo dedur uma órmula especíca do Método de Heun para a resolução de uma equação derencal de ª ordem: Sejam e Troca de varáves: Camando [ ] T : ' ' ' F F ' O Método de Heun para uma equação é: [ ]/ No nosso caso: [F F ]/ Valores que aparecem na epressão acma: F ' F F Um caso partcular Um caso partcular Voltando ao Método de Heun: F F / ] ' [ ] [ F ] [ F / / / Denndo p e q: q p p / / p p q Eemplo Eemplo Seja o PVI 4 - onde 4/9 e 7/ Consderaremos 5 Troca de varáves: 4 4 F / / Aplcando o Método de Heun: p /.4/9 q p 55; 8; q p p / / /. /. / / / Desse modo 5 78 e 5 58

14 Denções CCI- Problemas de Valor Incal PVI Métodos de passo smples Métodos de sére de Talor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basort Métodos mplíctos Adams-Moulton Métodos de prevsão-correção Equações de ordem superor Problemas de Valor de Contorno PVC Problemas de Valor de Contorno Como vmos anterormente dada uma equação derencal de ordem m > se as condções ncas envolvendo a unção e suas dervadas até a ordem m- não são especcadas em um mesmo ponto então temos um Problema de Valor de Contorno PVC Concretamente a orma geral dos PVC de ª ordem é: a w b w c a b c a a b b c e c : constantes reas conecdas a e b não podem ser nulos smultaneamente Se e c c o PVC é omogêneo: tem solução Veremos a resolução de um PVC de ª ordem através do Método das Derenças Fntas : As dervadas são apromadas por derenças ntas A equação derencal transorma-se em um sstema de equações algébrcas Se esse sstema or lnear pode ser resolvdo com os métodos estudados no Capítulo ; caso contráro utlam-se os métodos do Capítulo 4 Apromações das dervadas Consderando o ntervalo [ab] dvddo em n partes guas de tamano onde a e n b são três as apromações mas usadas para a prmera dervada no ponto : Derença avançada / Derença centrada - / Derença atrasada - / Podemos estmar os erros cometdos nessas apromações através da órmula de Talor de em torno de onde ξ está entre e :.-... k.- k /k! k ξ.- k /k! Estmatva do erro O erro cometdo no cálculo de através da derença avançada pode ser estmado com a órmula de Talor de em torno de consderando k :.- ξ.- / No ponto :. - ξ. - /. ξ. / [ - ]/ - ξ./ Se or lmtada em [ab] então: - / O Um resultado análogo pode ser obtdo em relação à derença atrasada : - / O

15 Estmatva do erro O erro cometdo no cálculo de através da derença centrada pode ser estmado com a órmula de Talor de em torno de consderando k :.-.- / ξ.- /6 Nos pontos e - :.. / ξ. / / - ξ -. /6 Subtrando as equações: - -. [ ξ ξ - ]. /6 [ - - ]/ - [ ξ ξ - ]. / Se or lmtada em [ab] então: - / O Como geralmente < esta órmula é mas precsa Apromação da dervada segunda Com a órmula de Talor de em torno de agora com k é possível estmar o erro cometdo no cálculo de Nos pontos e - :.. /!. /! 4 ξ. 4 /4! /! -. /! 4 ξ -. 4 /4! Somando as equações: -. [ 4 ξ 4 ξ - ]. 4 /4 [ - ]/ - [ 4 ξ 4 ξ - ]. /4 Se 4 or lmtada em [ab] então: - / O Eemplo PVC lnear onde e - Usaremos as apromações com erro O : - / - / Substtundo-as na equação e consderando : - / - / pos <<n Como n e n - cegamos ao sstema abao:. O M M n n n n Soluções com a tabela ao lado não está completa: solução eata erro e Eemplo PVC não lnear.sen. onde e 5 Usaremos a apromação - / Substtundo-a na equação e consderando : - /.sen. -.[ sen ] pos Como n e n 5 cegamos ao sstema não lnear abao:.[ sen ] - -.[ sen ] <<n- n- n-.[ sen n- n-] 5 Soluções com a tabela abao também não está completa: Resultado