Método dos Mínimos Quadrados com ênfase em variâncias e com recursos matriciais (13/2/2014)

Transcrição

1 Método dos Mínmos Quadrados com ênfase em varâncas e com recursos matrcas (3//4) Otavano Helene Curso de etensão unverstára, IFUSP, feverero/4 Baseado no lvro Método dos Mínmos Quadrados com Formalsmo Matrcal, LF Edtoral, ª. edção, 3

2 Problema sem solução m 6 kg m +f 65 kg f 4 kg m=6 m+f=65 f=4 SISTEMA INCONSISTENTE Quanto pesam crança e mãe? feverero/4

3 I Solução do MMQ Procurar valores de m e f que mnmzem Q( m, f ) ( m 6) ( m f 65) ( f 4) feverero/4 3

4 Valores de Q para dferentes valores de m e f Q( m, f ) ( m 6) ( m f 65) ( f Flho, f (kg) Mãe, m (kg) ,5 6,5 7,5,5,5 4,5 4, 3, 5,,, 5, 4,5,5 3,5,5,5 6,5 5, 9, 3,, 3, 9, 5,5 8,5 3,5,5 5,5,5 4) feverero/4 4

5 Outro eemplo meddas de um quadrado Lado do quadrado: l= cm Área do quadrado: a= cm Perímetro: p=35 cm Evdentemente, nconsstentes Q( l) ( l ) ( l ) (4l 35) feverero/4 5

6 Q(l) l (cm) O melhor valor para l é,9 cm feverero/4 6

7 Solução analítca Quando os dados dependem lnearmente dos parâmetros a serem ajustados, há uma solução analítca para os valores que mnmzam Q. Eemplo m 6 m+f 65 f 4 Q( m, f ) ( m 6) ( m f 65) ( f 4) feverero/4 7

8 Q( m, f ) ( m 6) ( m f 65) ( f 4) Q m m~, ~ f Q f m~, ~ f Os valores ajustados têm um tl ( m ~ 6) ( m ~ ~ f 65) ( m ~ f 65) ( ~ f 4) feverero/4 8

9 m ~ ~ f 5 m~ f 69 Escrevendo na forma de matrzes m~ 5 ~ f 69 ~ m ~ f ,3 4,3 A menos de arredondamento, são os mesmo valores obtdos numercamente acma feverero/4 9

10 Vamos nos restrngr ao caso lnear. O caso não lnear é uma apromação, e algumas propredades ótmas do MMQ não são váldas. Dearemos sso para o fm. feverero/4

11 Sobre o MMQ ) O MMQ é mas geral do que se pensa. Ele não serve apenas para ajustar funções, os dados não precsam obedecer a dstrbuções normas e pode haver dependênca entre eles. (A Wkpéda em português está errada!) ) O MMQ tem lmtações que nem sempre são consderadas (p. e., nos casos em que há erro na varável dependente ou a relação entre dados e parâmetros não é lnear). feverero/4

12 II O desvo padrão e alguns eemplos de ajustes de parâmetros Há caso em que alguns dados são mas precsos do que outros. Eemplos: como combnar meddas com nstrumentos dferentes (paquímetro e régua); meddas de uma mesma grandeza com técncas dferentes (aceleração da gravdade por queda lvre ou por osclação de pêndulos); meddas fetas por pessoas com habldades dferentes (estudantes e pesqusadores eperentes)... feverero/4

13 Aprendendo o que fazer com meddas equvalentes, e 3 três meddas equvalentes (mesmos procedmentos, equpamentos, epermentadores, condções eternas...). O melhor resultado (veremos em breve o que melhor quer dzer) é uma méda smples: 3 3 feverero/4 3

14 Suponha, agora, que e 3 tenham sdo combnados,,3 e não sabamos mas seus valores, apenas o valor médo,3. Como combná-lo com? Como,3 fo calculado usando dos dados, é razoável que ele tenha peso. Portanto, a méda deve ser 3 ;,3, feverero/4 4

15 O peso deve refletr a precsão de um dado. Esse dado pode ser o resultado de váras medções, uma méda, o resultado de um ajuste... O peso é proporconal ao nverso da varânca: /σ. σ é a varânca e σ é o desvo padrão. σ é uma medda de quanto um valor flutua em torno do valor verdadero da grandeza medda. Eemplo: σ régua,3 mm; σ paquímetro,5 mm feverero/4 5

16 Como saber o valor de σ? O fabrcante de um equpamento pode nformar Fazendo váras meddas de uma mesma grandeza Estudando as propredades físcas do processo Conhecmento anteror σ é o d.p.; σ é a varânca feverero/4 6

17 Estmando o d.p. I - Mutas vezes, precsamos estmar o d.p. a partr de meddas ndependentes de uma mesma grandeza, p. e.,,, 3... n. Neste caso, o desvo padrão de cada dado é n estmado por n feverero/4 7

18 II O desvo padrão da méda de n dados ndependentes é méda n III Eventos contáves, como o número de decamentos de uma fonte radoatva (dstrbução de Posson). Se N eventos forem observados, σ N. IV Por epermentos anterores, conhecemos muto bem o d.p. feverero/4 8

19 No que segue: Vamos nos restrngr ao caso em que os parâmetros a serem ajustados dependem lnearmente do dados. Vamos supor conhecdos os desvos padrões. Abrr mão dessas lmtações têm consequêncas que veremos mas adante. feverero/4 9

20 Dos eemplos Consumo de combustível: g c e g e (ltros/km) dstânca percorrda consumo (km) (l) cdade estrada feverero/4

21 a equação do MMQ Q( g c, g e (3g c ) (g g e c g 43) e 8) (4g c 49) Dervando em relação a g c e g e, gualando a zero 6 g ~ 5 g ~ Solução: c c 5 g ~ 5 g ~ g~ g~ c e e e , l / km,77 l / km feverero/4

22 Ajuste dos parâmetros da função =a +b 3 aos dados abao - 3,9 -,6,4 3-5 Q ( a, b) a b 3 feverero/4

23 Dervando em relação a a e b... 3 b a b a ~ ~ ~ ~,4 ~,6 ~ b a Solução feverero/4

24 feverero/4 4

25 Essa forma estranha de escrever é pelo segunte 5 A função é =a +b 3 b a b a ~ ~ ~ ~ b a b a ~ ~ ~ ~ feverero/4

26 Isso faclta as cosas =a f+b g+c h+..., f, g, h... são valores conhecdos e a, b, c... parâmetros a serem ajustados. 6 n ch bg af c b Q a...,...),, ( c b a h h g h f h g g g f h f g f f h g f ~ ~ ~ feverero/4

27 Pequena dgressão sobre tendencosdade Prmero eemplo Suponha que o tempo verdadero a ser meddo seja de s Suponha que haja um meddor de tempo não tendencoso que meça os valores abao com as probabldades ndcadas: resultado probabldade,8 s 5%, s 5%, s 5% feverero/4 7

28 Um dado obtdo pode ser,8s,,s ou,s. E. de alguns dados possíves:,8,,,,,,. A méda que será adotada como resultado, pos o epermentador não sabe que as probabldades são aquelas será (,8+,+,+,)/4=,5s. Fazer sso garante a não tendencosdade das meddas de tempo. Não tendencosdade sgnfca que se essa medda for repetda ndefndamente, a méda será,8,5+,,5+,,5=,, que é o valor verdadero. Conclusão: o tempo é meddo de forma não tendencosa feverero/4 8

29 Mas... Suponha que alguém meça a aceleração da gravdade por queda lvre, de um altura de m e, para smplfcar, suponha que o valor verdadero seja g=m/s, a velocdade ncal seja nula e a posção ncal, dem. Ou seja, s g t ou g Suponha, agora, que aquele mesmo processo seja usado para medr o tempo: t s feverero/4 9

30 Os resultados de g serão estes, com as probabldade ndcadas: resultado probabldade g (m/s ),8 s 5%,35, s 5%,,s 5% 8,6 Essa é uma medda tendencosa de g, pos,35,5+,,5+8,6,5=,5m/s. Orgem da tendencosdade: relação não lnear entre o dado e o parâmetro feverero/4 3

31 Segundo eemplo medda da massa de um lqudo em um recpente Dez meddas não tendencosas das massas do líqudo no recpente e do recpente vazo. As dferenças são os dados correspondentes ao líqudo apenas Dados (g) Dados (g) Dferenças (g),56,4,5,,96 -,74 3,5,9,6 3,9,74,6 4,9,84,5,38,84,54,7,67,6 3,78,5,53,58 3,5 -,47 3,99,76 3,3 feverero/4 3

32 Se as meddas de massa são não tendencosas, então as dferenças também não o são. A méda das dferenças também não é tendencosa. Essa méda é,9 g. Entretanto, se os dados não físcos (massas negatvas) forem descartados, a méda, que será,76 g, será tendencosa. A tendencosdade surge por causa de um procedmento nadequado do epermentador: os valores negatvos são não físcos, mas estatstcamente necessáros! feverero/4 3

33 Função densdade de probabldade III Varâncas Função densdade de probabldade (fdp) P ntervalo f ( ) d,,75,5, varável feverero/4 33

34 Mutas vezes, a fdp é conhecda. E: Mawell; lorentzana; unforme... A varânca mede a dspersão da grandeza e pode ter sgnfcado físco ou nformação estatstcamente relevante ( ) ( ) f ( ) d sendo f ( ) d feverero/4 34

35 Outras vezes conhecemos a forma e algum parâmetro da fdp e desconhecemos outro(s) E. Sabemos que a fdp é gaussana, ou lorentzana etc., mas não conhecemos algum parâmetros Gaussana: Conhecemos σ e desconhecemos. f ( ) A e ( ) / feverero/4 35

36 Podemos conhecer (ou estmar muto bem) a varânca a partr de epermentos anterores e, no epermento em questão, só precsamos estmar feverero/4 36

37 f(, ) Covarâncas cov(, ) f (, ) d d feverero/4 37

38 Representando varâncas e covarâncas V Y cov( ) cov( ) cov( cov( n n ) ) cov( n ) cov( n ) n feverero/4 38

39 Propagação de varâncas uma função de uma varável z é uma função que depende de, z(). Se epandrmos z até prmera ordem em torno de dz z( ) z( ) ( ) d então z dz z( ) z( ) ( ) z( ) d pos <>= feverero/4 39

40 A varânca de z pode ser calculada assm: feverero/4 4

41 Propagação de matrzes de covarânca Repetndo o procedmento com mas funções e mas varáves z (,,... n ), z (,,... n ),... z m (,,... n ), são m funções de n varáves: feverero/4 4

42 4 t D V D V Y Z n m m m n n z z z z z z z z z D feverero/4

43 Eemplo Lados de um retângulo: =5 (4), =48 (3) 6 V 9 Varânca do perímetro, z=( + ) D z z feverero/4 43

44 fazendo as contas.. V z 6 9 () o desvo padrão do perímetro é z Perímetro é 36 () ou 36± feverero/4 44

45 Eemplo Varânca da área z=. Neste caso não lnear, a varânca é apromada D z z 48 5 V z (3689 ) área = 54 (368) feverero/4 45

46 Eemplo 3 Perímetro e área, z =( + ), z =. Varânca e covarânca D z z z z 48 5 V feverero/4 46

47 As varâncas do perímetro e da área aparecem na dagonal e a covarânca entre ambas, fora da dagonal Perímetro = 36± Área = 54±368 Covarânca = 346 feverero/4 47

48 Eemplo 4 Ajuste dos parâmetros de uma reta =a+b (mas adante, veremos como estmar a matrz de covarânca dos parâmetros ajustados). -,9 -,,6 -,7-3,6 feverero/4 48

49 Matrz de covarânca dos parâmetros ajustados,, Varâncas em nterpolações nt =a aj +b aj ( ),, (,, ) feverero/4 49

50 Incertezas nas nterpolações e etrapolações feverero/4 5

51 Covarâncas entre valores nterpolados ou etrapolados: V a a b, b, a b t V a b,,,, a a b,,,, a b b Valores nterpolados ou etrapolados são cavarantes; são correlaconados uns com os outros. Isso é mportante. feverero/4 5

52 Eemplo da relevânca da correlação entre valores nterpolados: cálculo da ncerteza de Δ= a - b ( ),,,, a a b,,,, a b b [, ( a b ), a b ] Se a = b, evdentemente a ncerteza em Δ será nula, como esperado. feverero/4 5

53 Fontes de covarânca Cálculos a partr de valores ajustados Meddas com um mesmo equpamento (a ncerteza do equpamento afetará todos os dados gualmente), E: régua, aceleradores Não confundr covarânca com erro sstemátco feverero/4 53

54 IV a Equações do MMQ com matrzes As equações do MMQ escrtas de forma matrcal são mas smples do que na forma tradconal. Como sso só fcará totalmente claro daqu a pouco, peço alguma pacênca. feverero/4 54

55 Peso mãe e crança m 6 kg m +f 65 kg f 4 kg m=6 m+f=65 f=4 SISTEMA INCONSISTENTE, POIS HÁ ERROS feverero/4 55

56 6kg 65kg 4kg f m m m, f valores verdaderos (e desconhecdos) das massas e etc. erros de medda. Essas equações podem ser escrtas como e 3 e f e m f e e e 3 feverero/4 56

57 Atenção: erro= dferença entre valor verdadero e valor epermental. Não confundr erro com desvo padrão Erro é desconhecdo (desvo padrão é conhecdo) feverero/4 57

58 Parâmetros de uma reta b a e b a e b a e b a e e e b a feverero/4

59 Notem: as equações são lneares nos parâmetros (m, f, a, b ). Caso geral, a a... a e m m a a... a e m m a a... a e n n n m nm n m m a a e e n n n nm a m e n feverero/4 59

60 Escrevendo o problema m m a a e e n n n nm a m e n Y X A e feverero/4 6

61 Y X A e O que precsamos mnmzar: Q( A) (Y X A) t V (Y X A) V é a matrz de covarânca dos dados Quando não há covarânca entre os dados, essa epressão se reduz à Q( a, b, c,...) n af bg ch... feverero/4 6

62 Estmatva dos parâmetros pelo MMQ Dervando Q(A) em relação a cada um dos parâmetros e gualando a zero obtemos o valor ajustado, Q a j, j,,...m Vamos chamar o valor ajustado de Ã. Ele é dado por ~ A (X t V X) X t V Y feverero/4 6

63 Eemplo : pesos, mãe e flho m f e e e 3 Vamos supor que todos os desvos padrões sejam guas a (V=matrz dentdade de ordem n=3) e não haja covarânca entre os dados feverero/4 63

64 m f e e e 3 Y X V ~ A (X t V X) X t V Y ~ A 6,3 4,3 Evdentemente, o mesmo resultado que havíamos obtdo usando o procedmento tradconal feverero/4 64

65 Eemplo : parâmetros de uma reta =a +b o -,8 -,4-4, -7,5 5 -,8 =a +b o +e =a +b o +e 3 =a +b o 3 +e 3 4 =a +b o 4 +e 4 5 =a +b o 5 +e 5 X 5 Y,8,4 4, 7,5,8 V feverero/4 65

66 ~ A (X t V X) X t V Y Ã,57,85 feverero/4 66

67 Eemplo 3: méda de dos dados a) e com mesmos desvos padrões σ: = o + e = o + e Y X A e ~ A Y t (X V X) ~ X X t V Y A V o feverero/4 67

68 b) e com desvos padrões dferentes: = o + e = o + e Y X A e Y ~ A (X t X V X) X t A V Y o ~ feverero/4 68

69 IV b Varâncas e covarâncas dos parâmetros ajustados ~ A (X t V X) X t V Y Como à depende de Y, sua matrz de covarânca depende da matrz de covarânca de Y. Vamos calcular sso por propagação. feverero/4 69

70 Portanto, 7 Y V X X) V (X A t t ~ t t A V X X) (X V D n m m m n n A A A A A A A A A ~ t A A A X) (X V D V D V t ~ ~ ~ feverero/4

71 ~ A (X t V X) X t V Y V~ t (X V X) A feverero/4 7

72 Quatro equações báscas Y X A e ~ A (X t V X) X t V Y V~ t (X V X) A V Z D V Y t D feverero/4 7

73 Eemplo : pesos, mãe e flho Vamos supor que todos os desvos padrões sejam guas a e não haja covarânca entre os dados e e e f m V X feverero/4

74 V~ t (X V X) A V~ A,67,33,33,67 ~ A 6,3 4,3 m 6,3±,8 kg f 4,3±,8 kg Covarânca (m,f)= -,33 feverero/4 74

75 Eemplo : Consumo de combustível: g c e g e (ltros/km) dstânca percorrda consumo (km) (l) cdade estrada feverero/4 75

76 g g c e e Vamos supor que V seja uma matrz dentdade, V ~ A (X t V X) X t V Y ~ A,,77 V~ t (X V X) A V A,48,48 ~,48,48 4 feverero/4 76

77 Consumo em qulômetros/ltro? c =/g c =8,7km/l, e =/g e =3,km/l V V D V D t D g g c c e c g g c e e e g c g e c =(8,7±,5) km/l e =(3,±,5) km/l feverero/4 77

78 Vale a pena nsstr: resumo Relação lnear entre dados e parâmetros Y X A e ~ t t t V~ A A matrz de covarânca dos dados deve ser conhecda (os erros são desconhecdos) (X V X) X V Y (X V X) A Em nenhum momento fo feta qualquer hpótese quanto a forma da função densdade de probabldade dos dados. feverero/4 78

79 V Teste de qu-quadrado (χ ) O teste de qu-quadrado é muto utlzado em cêncas epermentas. Mas ele nada tem a ver com o Método dos Mínmos Quadrados. Para que o teste de χ seja utlzado (na forma que segue) é necessáro que os dados obedeçam dstrbuções gaussanas (o que o MMQ não ege) e que conheçamos seus desvos padrões. Rsco de confusão do teste com o MMQ. feverero/4 79

80 Defnção Comparação com valor verdadero n onde representa os dados epermentas, os valores que se pretende testar, σ os desvos padrões dos dados e não haja covarâncas entre dferentes dados. No que segue vamos supor que os dados epermentas obedeçam a f.d.p.s gaussanas, centradas nos valores verdaderos feverero/4 8

81 O valor absoluto de Portanto, n é da ordem de. De fato, o valor esperado de é da ordem de n. é gua l a n se for realmente o valor verdadero da grandeza medda e a varânca de. Valor esperado: <χ>=n e seu desvo padrão é gual a feverero/4 8

82 Eemplo Algumas meas-vdas e valores prevstos por uma teora (ou hpótese, ou modelo...) aparecem abao. Vamos testar a teora Valor Prevsto ( - ) /σ epermental pela teora ±8 35,5 ±7 33,7 837±47 78,4 3± 8,6 8± 7, χ =6,. Como o valor esperado é 5, desvo padrão 3,, os valores prevstos pela teora não dscordam dos epermentos. Não devemos rejetar a hpótese que a teora esteja correta feverero/4 8

83 Eemplo Teste de um produto Outra teora/modelo/hpótese Peso esperado peso meddo (d.p.) dferença/dp Res. quad. g 98, (,) g,8 3, g 97,7 (,5) g,6,6 5 g 497, (,) g,7 3, kg,98 (,) kg,7,7, kg,98 (,) kg,7,8 3, kg,975 (,5) kg, 4,3 feverero/4 83

84 Χ =8,6. Valor esperado: 6,; σ χ =3,6. O que conclur? O produto está falsfcado? P(Χ >8,6)=,5%.,6,4,,,8,6 Função densdade de probabldade de ququadrado com 6 graus de lberdade P,4, 5 5 feverero/4 84

85 Defnção Comparação com valores ajustados n ~ Q( parâmetros) n ( parâmetros) feverero/4 85

86 Valor esperado: <χ>=n-m, m parâmetros. Desvo padrão gual a Eemplo: ajuste de parâmetros de uma reta () n ~ ~ a b feverero/4 86

87 feverero/4 87

88 feverero/4 88

89 feverero/4 89

90 Eemplo com os ajustes acma Dados epermentas: n=; Parâmetros ( é uma parábola): m=3. Portanto, <χ>=n-m=8 com desvo padrão (n m) 4 Se tudo estver bem, esperamos que o ququadrado observado não seja muto dferente de 8, sendo a dferença não muto maor do que 4. feverero/4 9

91 qu-quadrado observado 6,6 prómo ao esperado,7 muto menor que o esperado 3 muto maor que o esperado P(χ >valor observado) 58% 99,95% zero feverero/4 9

92 Dagnóstcos 58% - Não podemos rejetar a hpótese que tudo esteja em ordem 99,95% - Desvos padrões dos dados superestmados ou há covarâncas entre os dados não consderadas % - Os desvos padrões dos dados estão errados (subestmados ou há covarâncas); ou a função modelo está errada; ou houve problemas durante os epermentos. feverero/4 9

93 Defnção geral nclundo covarâncas (Y X ~ t ~ A) V (Y X A) Não confundr com a Q do MMQ Teste de qu-quadrado: dados precsam ser gaussanos feverero/4 93

94 VI Estmando as varâncas um breve capítulo ) Se os dados são ndependentes, todos têm o mesmo desvo padrão e, =,,...n, são n dados correspondentes a meddas de uma mesma grandeza, n n é uma estmatva não tendencosa da varânca de cada dado. Lembrete: méda n feverero/4 94

95 ) Mutas vezes conhecemos a varânca de um conjunto de dados a partr de eperêncas anterores, ou de nformações do fabrcante de um equpamento. 3) Há casos nos quas o desvo padrão pode ser estmado com base em razões físcas ou estatístcas. Por eemplo, eventos que obedecem a uma dstrbução de Posson com méda a têm desvo padrão, a feverero/4 95

96 4) Como <χ >=n-m, se todos os dados de um epermento têm o mesmo desvo padrão e são estatstcamente ndependentes, a varânca de cada dado por ser estmada por observado n m onde o valor de qu-quadrado é o resultado observado correspondente ao ajuste de m parâmetros e consderando σ=. (O tem () acma é um caso partcular deste.) feverero/4 96

97 5) Se houver dos conjuntos de dados de meddas de duas grandezas dferentes, dgamos n dados,,... n e m dados,,... m, com desvos padrões guas e σ e σ forem estmatvas desses desvos padrões, então ( n ) n ( m m ) é uma estmatva (melhor) da varânca dos dados. feverero/4 97

98 VII Algumas propredades do MMQ e o TCL (a) Não tendencosdade O que se espera em cêncas epermentas é que se é uma medda de uma grandeza (um dado, uma méda, o resultado de um ajuste...), seu valor esperado seja gual ao valor verdadero da grandeza, feverero/4 98

99 O MMQ é não tendencoso quando os dados também são não tendencosos Se representa os dados e < >=, como = +e, onde e é o erro, então <e >=. Vamos ver como fca o valor esperado de parâmetros ajustados pelo MMQ: ~ A (X t V X) X t V Y feverero/4 99

100 O valor esperado de à é ~ A (X t V X) X t V Y Como os dados se relaconam com os parâmetros na forma Y X A então e Y X A e X A feverero/4

101 portanto, A ~ (X t V X) X t V Y (X t V X) X t V X A A ~ A Conclusão: se os dados não são tendencosos, os parâmetros ajustados pelo MMQ também não serão tendencosos feverero/4

102 (b) Mínma varânca Entre todas as estmatvas de parâmetros que dependem lnearmente dos dados e que não sejam tendencosas, o MMQ fornece aquelas com menor varânca Eemplo: dos dados com mesmo desvo padrão σ e não covarantes. O resultado do MMQ é / feverero/4

103 Outra estmatva geral, lnear nos dados e não tendencosa: a ( a) Qual valor de a leva à menor varânca dessa estmatva? ( a ( a) ) feverero/4 3

104 Dervando em relação à a e gualando a zero, obtemos: que é o resultado do MMQ: feverero/4 4

105 (c) O Teorema Central do Lmte Eemplo: médas de dados unformemente dstrbuídos entre zero e um. Um só dado 8 6 a 4 feverero/4 5

106 Méda de dos, quatro e oto dados 8 6 b 5 c d 5 feverero/4 6

107 O TCL garante que n n n tende uma gaussana com desvo padrão gual a, quasquer que sejam as f.d.p.s dos dados feverero/4 7

108 O TCL no conteto do MMQ ~ A (X t V X) X t V Y Ã é uma méda dos város dados epermentas, com pesos nversamente às respectvas varâncas feverero/4 8

109 Eemplo d.p. Tpo -3 5,, gaussana - 3,5,3 unforme -,3,7 tpo qu,, gaussana -,6,5 bnomal -,,4 duas unformes 3 -,8,5 bnomal =a+b, onde os dferentes valores obedecem a dferentes f.d.p.s feverero/4 9

110 Parâmetros a e b ajustados:,(8); -,4(9) devem obedecer a uma f,d,p, gaussana ou bem perto dsso, Sera eatamente gaussana se a quantdade de dados fosse nfnta feverero/4

111 Ilustração com mutas smulações Valores ajustados de a e b feverero/4

112 VIII Outros desenvolvmentos Medda de uma grandeza altera valores de outras Vínculos entre parâmetros Funções não lneares nos parâmetros Incertezas nas varáves dependentes feverero/4

113 a) Medda de uma grandeza altera outras Eemplo: a e b foram meddos, obtendo-se os valores, e,, com matrz de covarânca V 8 8 Uma medda ndependente de b forneceu o valor 5, com varânca gual a. Vamos ao MMQ. feverero/4 3

114 Y 5 V a b e e e 3 Ã (X'V X) X'V Y,,5 V 6,8 4, 4, 5, Evdentemente, valor adotado para b fo alterado; seu d. p., dem. Menos evdente: o valor adotado para a é alterado e seu d.p., dem. feverero/4 4

115 b) Vínculos entre parâmetros Eemplo: mede-se os três ângulos nternos de um trângulo, dgamos,,, e 3, sendo os resultados,σ ;, σ ; 3, σ 3. Mas queremos ~ ~ ~ o mpor a condção 8. 3 Um procedmento geral é ajustar valores para os parâmetros,, e 3, mpondo o vínculo. feverero/4 5

116 Uma forma geral de escrever vínculo lneares: j m g a j j onde a j são os parâmetros a serem ajustados e g j e r são valores conhecdos. No caso do trangulo só há um vínculo (r=8 o ) e todos os gs são guas a. r feverero/4 6

117 A equações de vínculo podem ser escrtas como GA R Solução do MMQ: ~ A V~ X t V Y BC R A V H BC B A ~ t t H X V X B H G t C GH G t feverero/4 7

118 Eemplo Ângulos de um trângulo: 48 o, 4 o, 94 º (soma=83 o ) todos com σ= e não covarantes. G=[ ] e R=[8]. 48 Y 4 94 V feverero/4 8

119 Resultado: Valores ajustados: 47 o, 4 o, 93 o, cuja soma é 8 o : obedece ao vínculo. As varâncas dmnuem,67 -,33 -,33 V V -,33,67 -,33 -,33 -,33,67 Vela a pena mpor vínculos? Depende. P. e., se o que queremos é apenas um dos ângulos, sm. feverero/4 9

120 c)funções não lneares nos parâmetros O MMQ é não tendencoso no caso lnear. Mas quando os dados não dependem lnearmente dos parâmetros, tudo muda, Eemplo: Ajustar λ da epressão (t)= ep(-λ t) consderando os dados (t, ): (, 55) e (3; -), ambos com desvo padrão gual a. Resultado do ajuste: ã=,8 feverero/4

121 Problema: o valor estmado é superestmado. Por smulação, fo possível estmar a superestmação em 4,%. Corrgndo a superestmação, o valor a se adotar é,79 feverero/4

122 d) Erros em váras varáves Eemplo: Ajuste dos parâmetros da função =a+b, com ncertezas em e, a) Ajusta-se os parâmetros consderando apenas as ncertezas em b) Propaga-se as ncertezas de para, consderando-se d/d=b ajustado novo( ) bajustado c) Faz-se novamente o ajuste com os novos d.p.s. feverero/4

123 Pergo: se as ncertezas de não forem muto menores do que a dspersão dos valores, o ajuste é tendencoso feverero/4 3

124 Eemplo com uma smulação: Y=+, com dstrbuções normas para e, com desvos padrões guas a O valor ajustado de b flutua em torno de,7 Portanto, há uma tendênca para subestmar b feverero/4 4

125 Breve resumo O MMQ deve ser usado: Sempre que as ncertezas dos dados sejam conhecdas (ou todas sejam guas) Há uma relação lnear entre os dados e os parâmetros a serem ajustados feverero/4 5

126 O ajuste é não tendencoso Os dados não precsam obedecer a nenhum f.d.p. partcular Se há uma quantdade grande de dados, as f.d.p.s dos parâmetros ajustados tende a uma gaussana Não precsa haver uma relação funconal do tpo =() As covarâncas são tão mportantes quanto as varâncas feverero/4 6

127 Cudados ou lmtações Repetndo: atenção às covarâncas Caso não lnear: problema Idem, quando há erros nos termos que multplcam os parâmetros a serem ajustados feverero/4 7