Fundamentos da Física Experimental

Transcrição

1 Curso ntrodutóro de Fundamentos da Físca Epermental Um gua para as atvdades de laboratóro Elaborado por: Marca Muller José Luís Fabrs Agosto de 07

2 Prefáco A déa orgnal que será abordada neste teto é a de que, por meo de uma Dscplna de Fundamentos da Físca Epermental, sejam desenvolvdos elementos e habldades da metodologa centífca que possam ser empregados nas mas dversas áreas do conhecmento. ão se trata de realzar epermentos compleos, mas sm por meo de montagens smples, crar uma metodologa que possa aular nos problemas enfrentados no cotdano quer do professor, do pesqusador ou mesmo da pessoa. Abordaremos nas págnas seguntes questões relaconadas com a resolução de problemas, desde a dentfcação do problema em s, passando pelo estabelecmento das possíves técncas para sua solução, fnalzando com a análse dos resultados obtdos e sua conclusão geral. Para o desenvolvmento da Dscplna, optamos por um encamnhamento um tanto dferente dos habtualmente encontrados nos cursos de Métodos de Físca Epermental. A déa é não fazer uma abordagem dos dversos conteúdos necessáros ao curso na forma de tens fragmentados, mas sm de forma ntegrada ao longo de todo o trabalho. Assm, por eemplo, o funconamento dos nstrumentos de medção será abordado à medda que estes se tornarem necessáros. Também procuramos não nos estender demas abordando dversos nstrumentos, mas sm fornecer as bases para compreensão e etensão do que há de fundamental nestes nstrumentos a outros que porventura possam ser necessáros. Os concetos estatístcos (erro, valor médo, desvo padrão...) necessáros ao tratamento de dados epermentas também serão apresentados segundo a mesma flosofa. o tocante a questão de gráfcos, uma mportante ferramenta na área epermental, procuramos fazer uma abordagem ncal que possblte a elaboração de um gráfco otmzado sem softwares especalzados. uma segunda etapa, os recursos computaconas serão então eplorados permtndo um ncremento na qualdade dos resultados obtdos. Ao conclur esta Dscplna, você deverá estar apto a satsfazer as demandas dversas não apenas deste Curso de Lcencatura em Físca, mas também deverá estar mas preparado para o desempenho de suas futuras atuações profssonas. Versão orgnal: novembro de 008 / Versão revsada: Março/05

3 Índce Capítulo - Dscussão geral ntrodutóra A metodologa centífca na Físca Epermental... Capítulo - Meddas e seus erros Classfcação dos erros Tratamentos estatístcos de meddas com erros aleatóros Tratamento de meddas com erros sstemátcos Incerteza padrão e ndcação do valor meddo Algarsmos sgnfcatvos....6 Arredondamentos... Capítulo 3 - Propagação de ncertezas Algumas fórmulas de propagação Estmatvas de erros...7 Capítulo 4 Gráfcos Construção gráfca Ajuste de reta Método da mão lvre Método dos mínmos quadrados Gráfcos em computador...30 Capítulo 5 Hstogramas...43 Capítulo 6 Funções de dstrbução...47 Apêndce A Trabalhando com pequenas amostragens: Dstrbução t de student...50

4 Índce de tabelas e fguras Tabela - Espessura de uma moeda de um real, medda com um paquímetro com resolução de 0.0 mm...3 Tabela - Espessura de uma moeda de um real, medda com um paquímetro com resolução de 0.0 mm...3 Tabela 3 - Frequênca de aparção do valor da espessura de uma moeda de um real, ao longo de 8 medções...3 Tabela 4 - Eemplos de arredondamentos de números...3 Tabela 5 - Dmensões do corpo de prova empregado, meddas com paquímetro de resolução de... mm...4 Tabela 6 - Idade em meses de dversas cranças e os correspondentes dados de altura..4 Tabela 7 - Dados obtdos para período do pêndulo em função do comprmento do mesmo, e valores de período elevado ao quadrado...3 Tabela 8 - Valores obtdos y (dstânca focal da lente) em mm...44 Tabela 9 - Tabela para construção do hstograma com oto ntervalos, obtda a partr dos dados da tabela 8. O símbolo ndca ntervalo fechado à esquerda; note que o valor ncal do prmero ntervalo fo ajustado para englobar o valor mas bao de y...45 Tabela A - Valores de probabldades percentuas da função t de student para dferentes números de graus de lberdade...5 Fgura a) Boa eatdão ( accuracy ) e precsão rum, b) Boa precsão e eatdão ( accuracy ) rum...5 Fgura - Paquímetro com nôno de 0 dvsões...0 Fgura 3 - Paquímetro smples com nôno de 0 dvsões... Fgura 4 - Paquímetro smples com nôno de 0 dvsões... Fgura 5 - Área do quadrado em função do lado mostrando as ncertezas em L e propagada para a área...5 Fgura 6 - Letura de uma régua mlmetrada...8 Fgura 7 - Letura de um paquímetro...9 Fgura 8 - Deslocamento em função do tempo para um móvel em MRU: (a) símbolos muto pequenos, sem legendas, sem barras de erros; (b) grandezas sem undade, má ocupação do espaço, sem barras de erros... v

5 Fgura 9 - Deslocamento em função do tempo para um móvel em MRU: (a) má ocupação do espaço, lnha rregular conectando os pontos; (b) dagramação adequada... Fgura 0 - Reta ajustada aos pontos epermentas do deslocamento em função do tempo para um móvel em MRU...4 Fgura - Gráfco representando dados de medções fetas em condções de reprodutbldade. A cada ponto epermental está assocada uma ncerteza estatístca dferente...6 Fgura - Gráfco representando dados de medções fetas em condções de repettvdade...7 Fgura 3 - Telas ncas dos programas Orgn TM e ScDAVs...3 Fgura 4 - Tela do programa Orgn TM com a planlha de dados preenchda...33 Fgura 5 - Tela de salvamento de dados do programa Orgn TM...33 Fgura 6 - Tela de salvamento de dados do programa Orgn TM devdamente preenchda e com o local de salvamento defndo...34 Fgura 7 - Planlha de dados salvos no Orgn TM...34 Fgura 8 - Planlha de dados com a nclusão de uma coluna adconal no Orgn TM...35 Fgura 9 - Tela que permte nserr dados automatcamente numa coluna no Orgn TM...35 Fgura 0 - Preenchmento da tela que permte nserr dados automatcamente numa coluna no Orgn TM...36 Fgura - Tela que permte nomear uma coluna de dados no Orgn TM...37 Fgura - Tela da planlha de dados com o nome escolhdo para cada coluna no Orgn TM...37 Fgura 3 - Inserndo uma coluna de erros na planlha de dados no Orgn TM...38 Fgura 4 - Planlha de dados com as colunas de erros no Orgn TM...39 Fgura 5 - Planlha de dados com as colunas de erros preenchdas no Orgn TM...39 Fgura 6 - Seleconando as colunas que serão plotadas no Orgn TM...40 Fgura 7 - Gráfco plotado com os dados fornecdos ao programa no Orgn TM...40 Fgura 8 - Procedmento ajustar de uma reta aos dados plotados no Orgn TM...4 Fgura 9 - Tela fnal mostrando o gráfco ajustado no Orgn TM e os erros respectvos...4 Fgura 30 - Hstograma com oto ntervalos para os valores meddos da dstânca focal da lente...45 v

6 Fgura 3 - Dstrbução gaussana de probabldades, mostrando o valor médo meddo e o desvo padrão epermental, bem como a relação entre a probabldade e a área sob a curva...48 Fgura A - Forma da dstrbução normal (curva em preto) e das dstrbuções de probabldade da função t de Student para alguns valores de graus de lberdade v...5 v

7 Capítulo - Dscussão geral ntrodutóra Este capítulo faz uma abordagem sobre a metodologa que deve ser empregada quando se realza um trabalho epermental seja ele, uma smples eperênca desenvolvda em sala de aula, ou um trabalho de pesqusa. Serão apresentadas no transcorrer do capítulo as formas adequadas de documentar as atvdades e os resultados obtdos. As nformações aqu obtdas deverão ser aplcadas na dscplna e futuramente nas atvdades profssonas.. - A metodologa centífca na Físca Epermental A prmera questão que deve se consderada aqu dz respeto à documentação detalhada de todas as atvdades desenvolvdas durante o período letvo. A melhor manera de se provdencar tal documentação é por meo do emprego de um caderno de laboratóro. este caderno, todas as atvdades pertnentes deverão ser anotadas, segundo o esquema cronológco da Dscplna. Este caderno poderá ser utlzado como fonte de consulta ndvdual durante as avalações, e será ele própro um dos nstrumentos que permtrá a verfcação do desempenho do aluno. É mportante para as aulas de laboratóro uma calculadora smples (calculadoras de celulares não são adequadas). A cada da, sugere-se a utlzação da segunte sequênca de anotações: Data, Epermento, Equpe Anote o da em que o epermento fo realzado, o nome do epermento, e os nomes dos partcpantes da equpe encarregada da eecução das atvdades. Objetvos Aqu, de forma sucnta e numerada, deverão ser estabelecdos os objetvos geras do epermento. A clara defnção destes objetvos permtrá o planejamento e desenvolvmento de toda a eperênca. Os objetvos não devem ser muto etensos nem em número demasado, de forma a não dspersar a atenção em atvdades e detalhes desnecessáros. Esta parte é de suma mportânca para o sucesso do epermento, e a ela deve ser dada a devda atenção.

8 Materas e Métodos Uma vez que se tenha defndo o que se deseja com dado epermento, deve-se traçar um plano de atvdades que permta alcançar os objetvos prevamente estabelecdos. Podem compor este tem a teora necessára para a realzação do epermento, os equpamentos e materas empregados no seu desenvolvmento com respectvos dagramas das montagens e descrção das característcas técncas dos nstrumentos, bem como a descrção dos procedmentos empregados na realzação dos epermentos. Resultados Epermentas esta etapa devem ser apresentados os resultados das medções realzadas durante todo o transcorrer do epermento. ão se deve apagar ou descartar dados suspetos de estarem ncorretos; sto pode resultar em dfculdades para a realzação de análses posterores. ão esqueça que mutos resultados mportantes nas mas dversas áreas do conhecmento humano surgram de erros em epermentos! Duas mportantes ferramentas que podem ser empregadas aqu são as tabelas e gráfcos. Estes são tão mportantes que serão dscutdos em detalhes mas adante. Dscussões e Conclusões Fnalmente, tudo que você realzou no epermento deve agora ser consderado. A nterpretação dos dados aponta para alguma característca ou le? O que se pode aprender do que fo epermentado? Evte conclusões e dscussões que nada somam como por eemplo a teora se verfca na prátca ou o epermento fo váldo! Você deve ser capaz de não apenas aprender com sua prátca, mas também possbltar as outras pessoas compreender o que fo feto, concordar ou dscordar das conclusões e segur seus passos para refazer o mesmo epermento, eventualmente com uma nova abordagem ou metodologa. Tabelas As tabelas podem ser utlzadas para agrupar séres de dados coletados em epermentos, bem como resultados de análses estatístcas aplcadas a estes dados. Deve-se tomar o cudado para dar um nome a cada tabela, com uma legenda para facltar sua compreensão. Esta legenda é normalmente apresentada na parte superor da

9 tabela. Se for o caso, na tabela deve-se ndcar também a undade da grandeza que está sendo analsada. Veja eemplos abao, onde constam os dados de 8 medções do dâmetro de uma moeda, realzada com um paquímetro com resolução de 0.0 mm. Tabela - Espessura de uma moeda de um real, medda com um paquímetro com resolução de 0.0 mm. Medda n o. Espessura (mm) Outros formatos de tabela com os mesmos dados podem ser utlzados, dependendo do espaço dsponível para apresentação ou a fnaldade a que se destna. Tabela : Espessura de uma moeda de um real, medda com um paquímetro com resolução de 0.0 mm. Medda n o Espessura (mm) Tabela 3 - Frequênca de aparção do valor da espessura de uma moeda de um real, ao longo de 8 medções. Espessura (mm) Frequênca Total 8 3

10 Capítulo Medções e seus erros Sempre que realzamos um epermento para medr alguma grandeza (ou mensurando), ndependentemente da forma como a medção é realzada e por mas cudadoso que seja o processo de medção, o resultado obtdo sempre estará sujeto a um erro epermental. O valor meddo é sempre uma apromação do valor verdadero do mensurando e o erro epressa a ncerteza na sua determnação. A teora de erros tem como objetvo fornecer, a partr dos resultados das medções realzadas, a melhor estmatva para o valor do mensurando e determnar o quanto o valor meddo dfere do valor verdadero. Sendo assm, o valor meddo para a grandeza (ou mensurando) deve vr acompanhado de uma undade, que pode ser epressa no Sstema Internaconal de Undades de Medda (SI), e da ncerteza correspondente. este conteto, a ncerteza pode ser defnda como um parâmetro que, assocado ao mensurando, caracterza a dspersão dos valores que pode ser atrbuída razoavelmente ao mensurando. Já o erro pode ser entenddo como a dferença entre o resultado de uma medção e o valor verdadero do mensurando. Uma vez que o valor verdadero do mensurando é uma quantdade desconhecda, o erro da medção também é desconhecdo. Portanto, erro e ncerteza são concetos bastante dferentes que não devem ser confunddos. Somente após um tratamento adequado dos resultados das medções é possível nterpretar e trar conclusões dos resultados epermentas obtdos. Sendo assm, o estudo da teora de erros é parte fundamental de qualquer cênca epermental e é de suma mportânca no desenvolvmento de um curso de físca epermental. O teto desta apostla fo escrto com base nas nformações contdas no Evaluaton of measurement data Gude to the epresson of uncertanty n measurement escrto por um grupo de trabalho apoado pelo: Bureau Internatonal des Pods et Measures, Internatonal Organzaton for standardzaton e Internatonal Organzaton of Legal Metrology []. 4

11 . - Classfcação dos erros Os erros epermentas podem ser classfcados como erros sstemátcos ou erros aleatóros também chamados de erros estatístcos. Erros sstemátcos são aqueles gerados por fontes dentfcáves e, portanto podem ser elmnados ou compensados. Os erros sstemátcos numa medção epermental podem ser resultantes de uma lmtação mposta pelos equpamentos usados, de varações de parâmetros eternos que nfluencam a grandeza que está sendo medda, bem como da metodologa empregada pelo operador e de apromações e smplfcações realzadas para por em prátca o epermento. Portanto, o erro sstemátco é sempre o mesmo nos n resultados, ou seja, os resultados são todos desvados para a mesma dreção com relação ao valor real. Como eemplo, erros sstemátcos podem ser ntroduzdos em uma medção: pelo uso de um equpamento descalbrado ou defetuoso (termômetro, cronômetro, paquímetro, multímetro...), pela varação da temperatura ambente que afeta uma medção espectroscópca, pelo posconamento angular do observador ao vsualzar a escala do equpamento (erro de paralae), ou anda desconsderando a resstênca do ar na medção da aceleração da gravdade baseada no tempo de queda de um corpo. Logo, quando o epermento é dealzado deve-se tentar dentfcar e elmnar o maor número possível de fontes de erros sstemátcos. A solução está, portanto, no adequado planejamento do epermento. Os erros sstemátcos fazem com que as medções fetas estejam acma ou abao do valor real, prejudcando a eatdão ("accuracy") da medção (ver fgura.a). (a) (b) Fgura (a) Eatdão ( accuracy ) rum e precsão boa; (b) Precsão rum e eatdão ( accuracy ) boa. a prátca, pode ocorrer que seja dspendoso ou complcado, ou smplesmente desnecessáro reduzr ou corrgr os erros sstemátcos (por eemplo, em eperêncas ddátcas, onde o maor nteresse não é eatamente o resultado fnal da medção). este 5

12 caso, os erros sstemátcos não corrgdos ou mnmzados são chamados de erros sstemátcos resduas. este teto, adotamos o ponto de vsta de que as ncertezas sstemátcas resduas devem ser consderadas como ncertezas estatístcas, para efeto de epressar a ncerteza fnal no resultado de uma medção. Os erros aleatóros, por sua vez, são provocados por fatores mprevsíves e causam flutuações no valor meddo mesmo quando a medção é repetda usando os mesmos equpamentos e empregando a mesma metodologa. É mportante salentar que estes erros ocorrem mesmo numa eperênca bem planejada. Os erros aleatóros afetam a precsão ("precson") da medção (ver fgura.b). É mportante salentar que nem sempre se pode dentfcar as fontes de erros aleatóros. Erros aleatóros podem ser ntroduzdos por flutuações nas condções ambentas: mudanças não prevsíves na temperatura, voltagem da lnha, correntes de ar, vbrações. Por eemplo, por correntes de ar ou vbrações numa medção de massa usando uma balança, causadas por passagem de pessoas perto do aparato epermental ou veículos nas vznhanças. Os erros aleatóros podem ser mnmzados reduzndo os fatores aleatóros que nterferem no processo de medção. Outra solução para reduzr estes erros consste na repetção do epermento, sob as mesmas condções, váras vezes seguda de um tratamento estatístco dos resultados. Estem também os erros grosseros causados por enganos e que, portanto, não podem ser consderados erros do ponto de vsta da teora de erros. ão é admssível apresentar resultados que contenham erros grosseros. Quando houver suspeta da ocorrênca de um erro grossero em uma medção esta deve ser repetda, se possível, ou elmnada do conjunto de dados. Conclundo, o erro é nerente ao processo de medção e nunca é completamente elmnado, porém podemos mnmzá-lo. Costuma-se dzer que ão este medção sem erro. Uma classfcação alternatva para as ncertezas resultantes de medções é consderar Incertezas do Tpo A aquelas que surgem em função de fenômenos estatístcos ou aleatóros em séres de observações, e Incertezas do Tpo B as decorrentes de qualquer outra fonte não estatístca de ncerteza. 6

13 . - Tratamentos estatístcos de medções com erros aleatóros Os erros sstemátcos (ncertezas do tpo B) desvam os valores meddos do valor real de uma mesma quantdade, enquanto que os erros aleatóros (ncertezas do tpo A) produzem uma flutuação dos resultados em torno do valor real da grandeza e portanto uma dstrbução smétrca de erros. Assm, se as medções forem realzadas cudadosamente e com planejamento, sob as mesmas condções e mantendo a mesma metodologa, buscando desta manera sempre mnmzar os erros sstemátcos, uma boa estmatva do valor real da grandeza medda é fornecda pela méda artmétca dos valores meddos. Sendo assm, o valor mas provável da grandeza será: y y () Onde y é o valor obtdo na -ésma medção, e é o número total de medções realzadas. O valor médo é dferente do valor verdadero porém a ncerteza assocada com o valor médo é menor que a ncerteza para cada um dos valores y. Ao se realzar váras medções da mesma grandeza nas mesmas condções, a ncdênca de erros aleatóros faz com que os valores meddos estejam dstrbuídos em torno da méda. Espera-se que o valor médo se torne tanto mas precso quanto maor for o número de medções. Para uma sére de medções a dspersão, que ndca quanto os resultados se espalham em relação ao valor médo por causa dos erros aleatóros, pode ser calculada a partr do desvo médo quadrátco ou desvo padrão obtdo a partr dos resultados epermentas. Suponha que foram realzadas medções de uma grandeza y, que forneceram os valores y, y, y3,... y para a grandeza. Para cada medção calcula-se o desvo com relação ao valor médo: d y y () A melhor estmatva epermental para o desvo padrão (desvo padrão epermental) será: (3) y y 7

14 Ou anda: y y (4) A segunda equação é mas fácl de ser resolvda, pos só é necessáro calcular o somatóro de y no lugar do somatóro de y y. Se fossem realzados k conjuntos de n medções da grandeza, cada conjunto fornecera um valor médo. Sendo assm, teríamos k valores médos para a grandeza. Estes valores médos apresentam uma dspersão em torno do valor médo verdadero que é fornecda pelo desvo padrão do valor médo m. (5) m k y j ymv k j A melhor estmatva para o desvo padrão do valor médo é (pressupondo uma dstrbução com densdade de probabldade gaussana): m (6) O desvo padrão do valor médo de uma grandeza é a ncerteza fnal correspondente aos erros estatístcos nas medções. Esta estmatva leva em conta a dspersão causada pelos erros estatístcos, contudo, anda restam os eventuas erros sstemátcos que devem ser determnados para que o resultado possa ser corrgdo..3 - Tratamento de medções com erros sstemátcos O desvo assocado aos erros sstemátcos é bem mas dfícl de ser avalado e não este nenhum método padrão bem estabelecdo para fazer sto. A ncerteza padrão deve ser fornecda na forma de um desvo padrão, no entanto, como não são fetas dversas medções não há como aplcar os médodos estatístcos convenconas. Portanto, neste caso o bom senso do operador é fundamental uma vez que, por mas bem elaborada que seja a eperênca, sempre haverá um erro sstemátco resdual. A ncerteza deve ser avalada com base na nformação dsponível sobre a varação ntroduzda no valor do mensurando. Essa nformação pode ser obtda por meo de dados de epermentos prévos, pela eperênca do epermentador, pela especfcação de fabrcantes, etc, o que torna o processo bastante subjetvo. O processo sugerdo no Gude to the 8

15 Epresson of Uncertanty n Measurement (GUM) consste em admtr uma dstrbução de probabldades para a varável. A dstrbução de Laplace-Gauss, conhecda como dstrbução Gaussana ou ormal é bastante empregada para estes fns, representando a dspersão dos valores possíves de uma quantdade. Uma relação que pode ser usada para estmar o erro sstemátco resdual é apresentada na equação (7). Geralmente o lmte de erro Lr é estmado verfcando o manual fornecdo pelo fabrcante dos equpamentos empregados. Lr r (7) Esta relação pode ser empregada no caso de uma dstrbução gaussana de erros e um lmte de erro com apromadamente 95% de confança. Para uma dstrbução de probabldade retangular (para régua, paquímetro, cronômetro,...): r L r ( 3) a falta de dados do fabrcante, o lmte de erro de calbração de um nstrumento pode ser admtdo como a a menor dvsão da escala ou a menor letura que o nstrumento pode fornecer..4 - Incerteza padrão e ndcação do valor meddo As ncertezas estatístca e sstemátca podem ser combnadas pela epressão a segur fornecendo a ncerteza padrão p: p (8) m r Assm, o valor da grandeza medda é epresso como: y y (9) p Quando não estem nformações sufcentes dos equpamentos o lmte de erro Lr pode ser estmado como sendo a menor dvsão ou menor letura fornecda pelo nstrumento. Por eemplo, se uma régua é usada como nstrumento de medção o erro estmado com base na menor dvsão da régua será mm. Eercíco : A dstânca focal de uma lente fo medda =0 vezes usando uma régua mlmetrada, obtendo-se os seguntes valores em mm: 04,; 05,3; 08,0; 07,5; 06,3; 05,5; 07,; 04,8; 08,; 07,. Calcular o valor médo y, o desvo padrão 9

16 epermental, o desvo padrão do valor médo m, o desvo padrão do erro sstemátco r, a ncerteza padrão p e epressar o valor médo corretamente. Paquímetro como nstrumento de medção O paquímetro é um nstrumento capaz de medr dstâncas com frações de décmos ou centésmos de mlímetros ou polegadas. Isto é possível graças a uma escala adconal que deslza sobre a régua prncpal chamada de nôno ou verner. medda de dâmetro nterno trava medda de profunddade nôno régua medda de dâmetro eterno Fgura - Paquímetro com nôno de 0 dvsões. Utlzando os bcos, as orelhas ou a haste de medção adequadamente, o nstrumento pode realzar medções de dmensões eterna, nterna e profunddade. Estem dferentes tpos de paquímetros, porém todos apresentam característcas de funconamento semelhantes. O nôno tem n dvsões que correspondem a (-) dvsões da régua prncpal. Esta relação pode ser encontrada faclmente quando o nôno é posconado sobre a régua de tal forma que a posção dos zeros das duas escalas concda. Suponha, por eemplo, que o nôno tenha 0 dvsões que correspondem a 9 dvsões da régua prncpal. Usando regra de três smples encontramos que uma dvsão do nôno corresponde a 9/0 de dvsão da régua ou, que a prmera dvsão do nôno é /0 mas curta que a da régua prncpal. Assm, se a prmera dvsão da régua corresponde a mm, a prmera dvsão do nôno corresponderá a 0,9 mm. Consequentemente, quando os zeros das duas escalas concdem, a dstânca entre o da escala prncpal e o do nôno é de 0, mm, entre o da escala prncpal e o do nôno é de 0, mm e assm por dante. Isso permte que se meça eatamente até 0, mm (a resolução do nstrumento), pos a dferença entre a menor dvsão da régua e a menor dvsão do nôno é de 0, mm. Quando um objeto é posconado entre os bcos de medção, a medção da dmensão L do objeto corresponde a dstânca entre o zero da régua e o zero do nôno. O valor de L será o valor epresso em mlímetros correspondente ao número de dvsões da régua 0

17 antes do zero do nôno, somado a fração da menor dvsão da régua que falta para o zero do nôno. Esta fração é obtda encontrando a dvsão do nôno que concde com a da régua prncpal e multplcando pela resolução ou seja, pelo menor valor que pode ser meddo. Eercíco : Em um paquímetro o nôno tem 0 dvsões que correspondem a 9 dvsões da régua prncpal, sendo que a menor dvsão da régua prncpal corresponde a mm. Qual é a resolução do nstrumento? Quando é realzada uma dada medção o nôno deslza sobre a régua obtendo-se a letura da fgura 3. Qual o valor meddo para a dmensão deste objeto? a) b) Fgura 3 - Paquímetros smples com nôno de 0 dvsões. Eercíco 3: Em um paquímetro, o nôno está dvddo em 0 partes, sendo que quando os zeros da régua prncpal e do nôno são concdentes, a 0 a dvsão do nôno concde com a marca de 9 mm da régua prncpal. Qual será a resolução deste paquímetro? Eercíco 4: Qual a resolução do paquímetro da fgura 4? Qual a letura feta no nstrumento? Fgura 4 - Paquímetro smples com nôno de 0 dvsões..5 - Algarsmos sgnfcatvos Algarsmo sgnfcatvo em um número pode ser entenddo como sendo aquele que soznho tem algum sgnfcado quando o número é escrto na forma decmal. Portanto, os zeros a esquerda do prmero número dferente de zero são algarsmos não sgnfcatvos. O número de casas decmas que devem ser apresentadas num resultado epermental é determnado pela ncerteza padrão neste resultado. ão este uma regra

18 bem defnda para estabelecer o número de dígtos da ncerteza padrão, porém podem ser adotadas algumas regras: A ncerteza padrão deve ser dada com algarsmos quando o prmero algarsmo na ncerteza for ou. A ncerteza padrão deve ser dada com ou algarsmos quando o prmero algarsmo na ncerteza for 3 ou maor. A ncerteza maor do que 99 deve ser escrta usando notação centífca ou trocando as undades. A rgor não há problema em escrever a ncerteza padrão com mas de algarsmos sgnfcatvos. o entanto tem-se que analsar se é possível determnar a ncerteza com tal eatdão. Eemplos: Se o valor calculado da ncerteza padrão for 0,3 m, a forma mas adequada para ndcar esta ncerteza será 0,3 m ou 3 cm. Se por outro lado a ncerteza calculada for 3,49 cm, ela pode ser ndcada como 3,5 cm ou 3 cm. Porém, usando a regra, uma ncerteza calculada levemente dferente da anteror, 3,5 cm por eemplo, pode ser escrta como 3,5 cm ou 4 cm. Assm, os valores prómos, 3,49 e 3,5, seram arredondados para 3 ou 4 que são valores bem dferentes. Este problema desaparece se a ncerteza é ndcada com algarsmos sgnfcatvos. Uma ncerteza de 800 m deve ser escrta com notação centífca como 8,0 0 m ou 8 0 m e a ncerteza calculada de 0,0963 cm, como 0,096 cm ou 0,0 cm. ão se deve usar mas do que dos algarsmos sgnfcatvos para epressar a ncerteza, uma vez que é muto dfícl de se obter a ncerteza com tal precsão..6 - Arredondamentos os eemplos acma ocorreram alguns arrendondamentos após se truncar o resultado. A necessdade de realzar arredondamentos ocorre frequentemente uma vez que o resultado obtdo após operações realzadas com ou mas quantdades devem ser escrtos com o mesmo número de algarsmos sgnfcatvos. O arredondamento também deve ser empregado para elmnar algarsmos sgnfcatvos ecedentes. Supondo que a quantdade precsa ser arredondada num dado algarsmo X. Por eemplo, a grandeza...w,yxabc.... O arredondamento deve segur as seguntes regras: Se após o algarsmo X tem-se um conjunto ABC entre 000 e 499, este conjunto deve ser smplesmente elmnado (é o arredondamento para bao).

19 Se após o algarsmo X tem-se um conjunto ABC entre 500 e 999, este conjunto deve ser elmnado e o algarsmo X deve ter o seu valor aumentado de (é o arredondamento para cma). o caso X , o arredondamento deve ser tal que o algarsmo X seja par depos do arredondamento. Tabela 4 - Eemplos de arredondamentos de números.,4,4 3,789 3,79 4,4499 4,4 5,4500 5,4 5,5500 5,6 Eercíco 5: Um resultado epermental e a respectva ncerteza padrão são calculados, obtendo-se: y = 0, m σ = 0, m Represente corretamente estas grandezas (em metros e em mlímetros) levando em conta as regras aprenddas de algarsmos sgnfcatvos e arredondamentos. Usar notação centífca se necessáro. Epermento : Elabore no seu caderno de laboratóro uma descrção do epermento de acordo com o rotero a segur: Data: Epermento: Medção das Dmensões de Corpos de Prova Utlzando o Paquímetro Equpe: Objetvos: Empregar corretamente o paquímetro para determnação das dmensões de corpos de prova Determnar os erros aleatóros e sstemátcos envolvdos no epermento 3

20 Epressar os valores meddos e suas ncertezas padrão Materas e Métodos: Teora: Serão utlzados os concetos estatístcos de valor médo, desvo padrão epermental, desvo padrão do valor médo m, o desvo padrão do erro sstemátco r e ncerteza padrão p. Equpamentos e materas: Paquímetro com resolução de... mm, corpo de prova com forma..., feto de... e com dmensões a serem determnadas. Procedmentos empregados: Para cada dmensão do corpo de prova, foram realzadas 0 medções com o paquímetro. Resultados epermentas: Os resultados das medções para cada uma das dmensões do corpo de prova estão apresentados na tabela. Tabela 5 - Dmensões do corpo de prova empregado, meddas com paquímetro de resolução de... mm. medção Dmensão (mm) Dmensão (mm) Cálculos: Com os dados da tabela, foram encontradas as grandezas estatístcas assocadas, para cada dmensão medda. (Apresentar os resultados e epressar os valores meddos com as respectvas ncertezas padrão.) Dscussões e Conclusões: Comente os resultados, compare os valores obtdos e as ncertezas padrão, dscuta possíves fontes de erro, ndque o que podera ser feto para reduzr as ncertezas... Eercíco 6: a) Escrever em m, cm, mm: 0,0035 km = b) Escrever em m, cm, mm : 0,0035 km = c) Escrever em cm 3 : 3875 mm 3 = d) Escrever corretamente em cm 3 : (3875 ± 47) mm 3 =...cm 3 4

21 Capítulo 3 - Propagação de ncertezas A propagação de ncertezas ocorre quando uma grandeza é obtda ndretamente a partr de valores obtdos epermentalmente para outras grandezas. Como cada valor epermental possu uma ncerteza padrão, estas ncertezas rão se propagar para a grandeza ndreta. E o valor da grandeza será epresso como: w w Onde w é a grandeza obtda ndretamente e w é a ncerteza propagada. Como eemplo, suponha que se deseje determnar a área de um quadrado de lado L, cuja ncerteza padrão (na medção de L) é σl, dada pela eq. (8). ão é possível medr dretamente a ncerteza σa na área A=L, mas esta ncerteza é certamente maor que σl, e deve ser obtda por meo de propagação de ncertezas (veja a fgura 5). Em L = mm, uma ncerteza σl= ± 0,5 mm equvale a uma ncerteza de σa= ± mm². 6 4 A = L² (mm²) L² 0 L L (mm) Fgura 5 Área do quadrado em função do lado mostrando as ncertezas em L e propagada para a área Algumas fórmulas de propagação As relações que permtem calcular a ncerteza propagada para alguns casos comuns são mostradas a segur. estas relações, as grandezas, y, z,... devem ser obrgatoramente dferentes. a) Se a grandeza é obtda pela soma ou subtração: 5

22 w y z... (0) A ncerteza propagada é calculada como:... () w y z Onde σ,σ, e σ são as ncertezas padrão assocadas com cada uma das grandezas y z meddas dretamente. b) Se a grandeza é obtda por uma relação lnear: w a b () Onde a e b são constantes, a ncerteza propagada será dada por: w a (3) c) Se a grandeza é obtda pelo produto ou por uma razão: w y ou estes casos a ncerteza propagada será: w (4) y y w w (5) y OBS: Para o cálculo da propagação da ncerteza em, a epressão (7) deve ser utlzada, com p= e q=0. q: d) Se a grandeza é obtda pelo produto de grandezas elevadas a certas potêncas p e w p y q (6) A ncerteza propagada será: y w w p q (7) y ota: Todas as epressões apresentadas aqu podem ser encontradas a partr da equação geral. w w w w y z (8) y z 6

23 Eercíco 7: Consdere a peça retangular com as seguntes meddas: L =(50,00±0,05) mm L =(0,00±0,05) mm L3 =(5,00±0,0) mm L A L3 L a) Determne a área A com a ncerteza correspondente. b) Determne o volume V desta peça com a ncerteza correspondente. Eercíco 8: Consdere um clndro de altura (LL) e rao (R±R). Encontre as relações que fornecem: a área da base A, o volume do clndro V, e as ncertezas propagadas para estas grandezas. R L Eercíco 9: Encontre a ncerteza propagada para o perímetro de um retângulo de lados A e B Estmatvas de erros Estem algumas regras geras para efetuar a letura de nstrumentos de medção e fazer as estmatvas das ncertezas correspondentes. Alguns eemplos serão dscutdos a segur. Como regra geral, quando é realzada uma medção com um determnado nstrumento de medção, o valor meddo deve ser representado com todos os dígtos que o nstrumento permte ler dretamente, mas um dígto que deve ser estmado pelo observador. O deal é medr váras vezes a grandeza calcular a méda e o desvo padrão para determnar a ncerteza estatístca. Entretanto, quando somente uma medção é realzada, este a possbldade de estmar a ncerteza estatístca a partr do lmte do erro estatístco. O lmte de erro estatístco é defndo como: Le 3 (9) e 7

24 O lmte de erro estatístco possblta o estabelecmento de um ntervalo de confança com 99,7% de possbldade de acerto, quando os erros estatístcos seguem uma dstrbução gaussana. Podemos ctar como eemplo uma medção realzada com uma régua graduada em mlímetros. O valor meddo deve nclur a fração de mlímetro que pode ser estmada pelo observador. Consdere a letura ndcada na régua da fgura 6. Fgura 6 - Letura de uma régua mlmetrada. A medda ndcada dretamente pela régua é mlímetros e a fração de mlímetro pode ser estmada como 0,3 mm. Assm, o resultado da medção é,3 mm. O erro de medção pode ser consderado aleatóro, e se dferentes pessoas realzarem a letura da régua os resultados podem flutuar provavelmente entre,0 mm e,6 mm. Pode parecer grande esta flutuação, mas não se deve esquecer que também este um erro assocado com o ajuste do zero da régua. Assm, podemos estmar o lmte de erro aleatóro ou estatístco como Le = (,6 -,0) / = 0,3 mm e desta forma obter a ncerteza estatístca: L e 3 0,mm e (0) Este anda o erro lmte de calbração Lr (que corresponde a um erro sstemátco), representado pela menor dvsão da escala, no caso Lr = mm. A ncerteza sstemátca assocada será (ver eq. 7): L r r 0,3 mm () 3 A ncerteza padrão é obtda conforme a equação 8: e r 0,3 mm () E o resultado da medção pode ser escrto como: p 8

25 y,3 0, 3mm (3) este caso a ncerteza estatístca é desprezível em comparação com a ncerteza sstemátca representada pelo lmte de calbração e a ncerteza padrão pode ser representada pela metade da menor dvsão ou menor letura fornecda pelo equpamento. o entanto, podem estr stuações nas quas os erros aleatóros são comparáves ou até maores do que os erros de calbração. estes casos adotar a metade da menor dvsão como ncerteza, resulta em ncertezas subestmadas. a medção de um comprmento com uma régua estem váras fontes de erros como varações na graduação orgnal da escala, varações na graduação devdo a efetos térmcos ou deformações, erro de letura assocado com paralae ou avalação da fração, erro de posconamento e alnhamento do objeto, etc. Quando um paquímetro é utlzado, pode acontecer a stuação de nenhuma marca do nôno concdr eatamente com uma marca da régua. Portanto, deve ser estmado o algarsmo segunte. Por eemplo, consdere a stuação da fgura 7. Fgura 7- Letura de um paquímetro Duas marcas do nôno (7 e 8) se apromam de marcas da régua. Verfcamos que a prmera está mas próma da marca da régua do que a segunda, logo podemos estmar o prómo algarsmo como,, 3, 4 ou 5. A letura pelo nôno pode ser admtda como 0,73 mm, resultando num valor meddo de,73 mm. O lmte de erro estatístco na avalação do últmo dígto é menor ou gual a 4 (0,05mm-0.0mm=0,04) mm e portanto a ncerteza assocada será: L 0,04 e e 0,03 mm (4) 3 3 O lmte de erro de calbração, que é a menor letura do paquímetro, será 0, mm no caso de um paquímetro com nôno de 0 dvsões e fornece uma ncerteza: 9

26 L r r 0,03 mm (5) Assm, a ncerteza padrão será: e r 0,03 mm (6) p o caso de um cronômetro dgtal dsparado e parado manualmente o lmte de erro estatístco pode ser estmado lembrando que este um erro assocado ao níco e fnal da cronometragem devdo ao operador. Pode-se admtr o lmte de erro estatístco como sendo de Le = 0,5 s e o desvo padrão: L e 3 0,7 s e (7) A menor letura do cronômetro é 0,0 s e, portanto, o desvo assocado que corresponde ao erro de calbração (ou sstemátco) é de 0,005 s. Este caso é um eemplo onde a ncerteza estatístca é bem maor que a ncerteza de calbração do nstrumento. Quando nas medções é empregado um equpamento dgtal é possível estmar o últmo dígto da letura por meo das flutuações observadas neste dígto. É óbvo que para sto é de suma mportânca escolher uma escala adequada para a medção. Por eemplo, usando um multímetro dgtal a medção ndcou,34 _ V. O últmo dígto osclou entre e 5, e portanto podemos estmar o últmo dígto como sendo 3. O lmte de erro estatístco neste caso será estmado como 0,003 V, e o desvo padrão correspondente como 0,00 V. Epermento : Usando os resultados obtdos no epermento e segundo um rotero semelhante, calcular o volume do corpo de prova (paralelepípedo) e epressar o resultado com a ncerteza propagada. V. y. z, y z V V, V V V y z Epermento 3: Pêndulo smples: Usar um pêndulo smples com pequenas osclações para calcular a aceleração da gravdade local (com propagação de erros) sem técncas gráfcas. Para um valor de L, medr dversos T. 0

27 Elaborar o rotero para realzação do epermento, anear teora e avalar corretamente todas as fontes de erro envolvdas. A propagação de erros em g é dada por: g g L L T T Avale o resultado para as seguntes condções:. Calculando a méda das váras medções de L e T.. Usando os valores de L e T obtdos com uma únca medção e estmando as ncertezas. 3. Calculando a méda das váras medções de T e estmando a ncerteza para uma únca medção de L. Capítulo 4 - Gráfcos A apresentação de resultados de eperêncas e medções em formato gráfco pode ser consderada um capítulo em separado na físca epermental, tamanha a dversdade de opções e a quantdade de dados que podem ser etraídos deles. o entanto, algumas normas geras devem ser observadas logo de níco para que se possa trar o mámo proveto dos gráfcos Construção gráfca Deve-se tomar o cudado para dar um nome a cada gráfco, com uma legenda para facltar sua compreensão. Esta legenda é normalmente apresentada na parte nferor do gráfco. Os gráfcos devem conter nos seus eos o nome da grandeza que está sendo mostrada e sua respectva undade. Os números que vão ndcar a escala de valores da grandeza sob consderação devem ser de tamanho adequado, sem um número ecessvo de casas decmas. Eventualmente pode-se ndcar a estênca de um fator multplcador comum a todos os valores na própra legenda do eo. Para a marcação de cada dado deve ser escolhdo um símbolo de tamanho adequado, sobre o qual também devem ser apresentadas as respectvas barras de erro de cada medção (tenha em mente que nenhuma medção é senta de erro!).

28 Se aos dados epermentas for ajustada uma curva que sga uma le físca ou apenas uma lnha para facltar a vsualzação, sto deve ser claramente dto (use legendas para dentfcar cada caso). Também se deve tomar o devdo cudado para que os pontos epermentas do gráfco não fquem acumulados em apenas uma regão; todo o espaço dsponível deve ser utlzado, o que faclta não só a nterpretação como a obtenção de valores. A segur, nas Fguras 8 e 9, são mostrados alguns gráfcos, ndcando o que deve ser buscado para uma boa dagramação. 30 (a) 30 5 (b) espaço tempo Fgura 8 - Deslocamento em função do tempo para um móvel em MRU: (a) símbolos muto pequenos, sem legendas, sem barras de erros; (b) grandezas sem undade, má ocupação do espaço, sem barras de erros. deslocamento (m) (a) deslocamento (m) 5 (b) pontos epermentas ajuste lnear 0 (t) = -.70 m +.7 t tempo (s) tempo (s) Fgura 9 - Deslocamento em função do tempo para um móvel em MRU: (c) má ocupação do espaço, lnha rregular conectando os pontos; (d) dagramação adequada Ajuste de reta Um problema frequentemente encontrado no tratamento de resultados epermentas é o ajuste dos dados. O procedmento de ajustar uma função a um conjunto de dados epermentas é conhecdo como regressão. O problema pode ser formulado da segunte manera:

29 Duas grandezas e y são relaconadas pela epressão analítca abao: y f, a, b,... (8) Onde f é uma função conhecda e a,b,... são parâmetros desconhecdos. Epermentalmente são determnados os pares de valores y para,, e,..., se quer determnar os parâmetros a,b,... de tal manera que a curva y f, a, b,... melhor se aprome dos valores epermentas. Quando a relação analítca entre e y é lnear, uma reta é ajustada ao conjunto de dados epermentas e a regressão é dta lnear. este caso a epressão analítca que relacona com y é: y a b (9) Para efetuar o ajuste dos dados epermentas a função dada pela equação 9 é precso encontrar os parâmetros desta reta de manera que ela se aprome o mámo possível dos pontos epermentas y., Vamos dscutr dos métodos que podem ser empregados para resolver este problema: O método da mão lvre O método dos mínmos quadrados Ambos tratam de adaptar ao conjunto de pontos epermentas a reta que mas se aprome de todos eles ao mesmo tempo Método da mão lvre O método da mão lvre utlza o bom senso do observador já que ele mesmo terá que ajustar a melhor reta a partr da observação vsual do conjunto de pontos y. Utlzando uma régua transparente posconada sobre o gráfco contendo todos os pontos epermentas, o observador pode escolher a reta que passa pelo meo da dstrbução dos pontos. Este procedmento tenta garantr que a dstânca entre a reta e os pontos epermentas seja mnmzada. Obvamente o método fornece resultados apromados uma vez que a escolha da melhor reta é subjetva e depende muto da prátca e bom senso do observador., 3

30 Uma vez ajustada a melhor reta aos dados epermentas, pode-se determnar os valores das constantes a e b, que correspondem respectvamente aos coefcentes angular e lnear da reta, dretamente a partr do gráfco. Veja eemplo no gráfco da fgura 0. a b y y c y s s (30) Onde y, y,, são pontos pertencentes a reta escolhda, e yc corresponde a letura s s no gráfco onde a mesma ntercepta o eo y. y 0 (0,0) 80 DESLOCAMETO (m) y 60 s 30 (5,60) (0-5)=5 (0-60)=50 y c s TEMPO (s) COEF. AGULAR: a=50/5=0 m/s Fgura 0 - Reta ajustada aos pontos epermentas do deslocamento em função do tempo para um móvel em MRU. Eercíco 0: Foram efetuadas as medções das alturas de váras cranças com dades dferentes e os dados obtdos são apresentados na tabela abao. Estme o erro estatístco para a medção de altura realzada usando uma escala mlmetrada. Suponha nsgnfcante o erro na dade em meses (as cranças são meddas eatamente no da em que fazem o anversáro mensal). Encontre a melhor reta que se ajusta aos dados epermentas e a epressão obtda de correlação entre dade e altura. Tabela 6 - Idade em meses de dversas cranças e os correspondentes dados de altura. Idade (meses) Altura (cm) 76, 77 78, 78, 78,8 79,7 79,9 8, 8, 8,8 8,8 83,5 4

31 Faça um gráfco das alturas (eo y) contra as dades (eo ). Ajuste uma reta usando o método da mão lvre e a partr do gráfco encontre os coefcentes lnear e angular da reta. Epresse os resultados encontrados na forma da equação de uma reta. Epermento 4: Determnação da aceleração da gravdade utlzando um pêndulo smples (sem propagação de erros para g) com técnca gráfca. Para o pêndulo smples, a relação entre o período e o seu comprmento é dada pela epressão: T L 4 T L (3) g g Esta é a equação de uma reta y a b, onde y=t e =L, com coefcente lnear b=0 e coefcente angular a 4 g. este epermento, medr uma únca vez o período do pêndulo para pequenas osclações e dferentes comprmentos (logo, a técnca de estmatva de erros deve ser empregada para L quanto para T). Encontrar a aceleração da gravdade usando método de ajuste a mão lvre. Atenção: Pense na dfculdade da medção (meo da bolnha, começo do fo, dsparo do cronômetro,...) e avale o processo para estmar as ncertezas estatístcas para L e T. Cudado: Deve ser feto o gráfco de T L para resultar uma reta (este processo chamase lnearzação). Como se mede T, o erro deve ser propagado para T Método dos mínmos quadrados O método dos mínmos quadrados pode ser deduzdo para medções fetas em condções de repetbldade ( medções fetas sob as mesmas condções) ou em condções de reprodutbldade ( medções fetas sob condções dferentes). Eemplos de medções fetas em condções de reprodutbldade são aquelas realzadas por meo de dferentes métodos, dferentes epermentadores ou dferentes nstrumentos de forma que a dstrbução dos erros estatístcos pode ser dferente para cada medção. este caso, a cada um dos valores meddos está assocada uma ncerteza padrão dferente. A stuação descrta pode ser vsualzada com a ajuda da fgura. 5

32 f() Fgura - Gráfco representando dados de medções fetas em condções de reprodutbldade. A cada ponto epermental está assocada uma ncerteza estatístca dferente. a dedução do método as varáves são consderadas sentas de erros, e são consderadas somente as ncertezas estatístcas em f(), ou seja, em y. o entanto, quando as ncertezas em são sgnfcatvas elas podem ser transferdas para as varáves y. Estem regras para sso, mas esse procedmento não será abordado neste teto. a dedução do método dos mínmos quadrados são usadas somente ncertezas estatístcas, desconsderando as ncertezas sstemátcas (no entanto, as ncertezas sstemátcas resduas devem ser consderadas). Isto é justfcado pelo fato do erro sstemátco desvar todos os pontos epermentas numa mesma dreção, o que só afeta o coefcente lnear da reta e não o angular. O método dos mínmos quadrados mnmza a soma dos desvos ao quadrado dos pontos epermentas relatvamente a reta ajustada, obvamente não sendo nfluencado pelo erro sstemátco. Vale observar que se a determnação do coefcente lnear é um dado mportante no epermento, os possíves erros sstemátcos devem ser dentfcados e elmnados a pror. Quando as medções são fetas sob as mesmas condções, ou seja, em condções de repetbldade, os dados são levantados por um mesmo epermentador e com os mesmos nstrumentos num curto ntervalo de tempo. essa stuação a ncerteza padrão para todos os valores de y é a mesma e a solução é smplfcada. Veja o eemplo da fgura. 6

33 f() Fgura - Gráfco representando dados de medções fetas em condções de repetbldade. Sendo assm, o método dos mínmos quadrados permte ajustar retas a pontos epermentas em dferentes condções: pontos com ncertezas arbtráras para as grandezas e y, pontos com ncertezas guas para as grandezas e y, e reta passando pela orgem. este método as equações que fornecem os valores das constantes de ajuste a e b em cada stuação são deduzdas usando concetos matemátcos. Em suma o método consste em encontrar os valores dos coefcentes a e b que fornecem o menor valor possível para a soma dos quadrados das dstâncas vertcas da reta a cada um dos pontos epermentas. a stuação em que as ncertezas em f() são guas (condção de repetbldade) as equações mostram que os valores de a e b são ndependentes da ncerteza padrão nos pontos epermentas. Isto é nteressante pos mostra que se pudermos supor que as ncertezas são apromadamente guas, mesmo que o valor destas ncertezas não seja conhecdo é possível fazer o ajuste da reta e encontrar os valores de a e b. Se a ncerteza padrão p (dos dados epermentas) é conhecda, as ncertezas em cada parâmetro, a e b, podem ser obtdas. Ajuste de reta a pontos epermentas com ncertezas guas Conforme o método dos mínmos quadrados, os melhores valores para a e b e para as suas ncertezas são dados pelas epressões a segur se as ncertezas para os dferentes pontos puderem ser consderadas apromadamente guas. y a (3) y 7

34 8 a (33) y y b (34) b (35) Ajuste de reta passando pela orgem a pontos epermentas com ncertezas guas o caso partcular de uma reta passando pela orgem as epressões acma são smplfcadas e temos: y a (36) a (37) Coefcente de correlação Para avalar o quanto os valores observados estão prómos da reta ajustada pelo método dos mínmos quadrados é usado o coefcente de correlação lnear R (coefcente de Pearson). R (38) Quanto mas prómo de - ou + melhor será o ajuste. O coefcente de correlação de Pearson é calculado pela relação:. y y y y R (39)

35 Eercíco : Usando os dados fornecdos no eercíco 0 e as epressões do método dos mínmos quadrados calcule os coefcentes da reta e epresse os resultados encontrados na forma da equação de uma reta. Compare os resultados obtdos e tre conclusões sobre a aplcação destes dos métodos. Epermento 5: Determnação da aceleração da gravdade utlzando um pêndulo smples. Usar os dados do epermento 4 para encontrar a aceleração da gravdade usando método gráfco com utlzação do método dos mínmos quadrados. Cudado, lembre-se que o gráfco deve ser de T L para resultar numa reta. Estme os erros nas meddas de período usando as técncas de estmatvas de erros estudadas. Será precso propagar o erro para o T. Usar para sso a fórmula de propagação de potênca (equação 7). A estmatva de σt deve levar em consderação a propagação de erros na potênca T : Da equação 6, e da equação 7: w p y q, com q = 0, p = e = T, w = T y q T w w p T T T y T (40) T ote que o erro propagado para os valores de período ao quadrado não são guas. o entanto remos supô-los como apromadamente guas, o que va nos permtr a utlzação das equações do método dos mínmos quadrados para ncertezas guas, que são mas smples. OBS: Para o cálculo de apromação será verfcada na próma secção. Tendo o desvo padrão T melhor reta e seu erro a. (reta passando pela orgem)., usar o valor médo de. A valdade dessa a para o T podemos calcular o coefcente angular a da T a y L y T T a 9

36 Tendo sdo calculado o coefcente angular a da melhor reta e seu erro a podemos obter o g e seu erro g: L T g 4 coef. ang. a g T 4 L g comparando com a eq.da reta y a b, b 0 e 4 g a 4 a Para encontrar o erro em g será precso propagar a ncerteza: Da equação, equação 3: ' w a w a b ' ', com a =4, b =0 e =a -, w=g=4 a - e da g a 4 Da equação : w p y q com q = 0, p = - e = a w = a - e da equação: y a a w w p q a a y a a a g a Fnalmente: g 4 a a Gráfcos em computador A utlzação de computadores e programas específcos para a construção de gráfcos é uma poderosa ferramenta que pode ser empregada no tratamento de dados e análse de resultados epermentas. ormalmente, os programas utlzam rotnas baseadas no método dos mínmos quadrados para obter a função analítca que melhor se ajusta aos dados epermentas. Utlzaremos os programas Orgn TM ou ScDAVs para construção de gráfcos com auílo de computador. o caso do Orgn TM as telas mudam um pouco dependendo da versão do programa utlzada. esta apostla as telas apresentadas correspondem a versão 6. do Orgn TM. Os dados empregados serão aqueles obtdos no epermento 4, onde foram meddos os períodos de osclação T do pêndulo smples para dferentes comprmentos L do pêndulo. Para cada par (L, T), uma únca medção de cada grandeza fo realzada, sendo as ncertezas encontradas através da técnca da Estmatva de Erros (tem 3.). 30

37 Ao ncar o programa deve aparecer uma tela semelhante a apresentada na fgura 3. As colunas A(X), B(Y), C(Y),... ou (X), (Y), 3(Y),...no Worksheet Data ou Table, servem para a nserção dos dados coletados. Fgura 3 - Telas ncas dos programas Orgn TM e ScDAVs. Para o pêndulo smples, a relação entre o período e o seu comprmento é dada pela epressão (3). Embora não seja necessára a lnearzação dos gráfcos quando se faz o tratamento dos gráfcos com auílo do computador, optaremos pela lnearzação para possbltar a comparação com os resultados do epermento 5 (tem 4.4). 3

38 T L g T 4 L g Esta é a equação de uma reta y a b, onde y=t e =L, com coefcente lnear b=0 e coefcente angular a 4. Assm, devemos nserr na coluna A(X) ou (X) g os dados referentes aos valores de L, na coluna B(Y) ou (Y) os dados referentes aos valores de T, e na coluna C(Y) ou 3(Y) anda nestente os dados referentes a T. O ajuste de uma reta aos dados epermentas no gráfco de L (no eo X) contra T (no eo Y) permtrá encontrar a aceleração da gravdade g a partr do coefcente angular pela epressão g 4. Suponha que os resultados encontrados para as a medções sejam os mostrados na tabela 7. Estamos supondo que os valores de L e T foram meddos apenas uma únca vez, de forma que os erros estatístcos devem ser encontrados utlzando a técnca da estmatva de erros (secção 3.). Tabela 7 - Dados obtdos para período do pêndulo em função do comprmento do mesmo, e valores de período elevado ao quadrado. L(mm) T(s) T (s ) 50,3 0,79 0,64 7,7 0,9 0,8464 4,,03, ,6,, ,5,9,664 43,,3,76 Poscone o cursor do mouse na célula A() ou () e clque sobre a mesma com o botão esquerdo do mouse (todos os clques são com o botão esquerdo, a menos que se especfque o contráro), nsra o dado correspondente. Adote o mesmo procedmento para nserr os dados nas outras células. Após a ntrodução dos dados de L e T nas colunas A(X) ou (X) e B(Y) ou (Y) respectvamente, a tela deve se apresentar como a da fgura 4. ote que o separador decmal que deve ser empregado (vírgula ou ponto) depende da confguração do computador. 3

39 Fgura 4 - Tela do programa Orgn TM com a planlha de dados preenchda. Salve o projeto em algum local, clcando em Fle Save Project As. A tela abao deve aparecer: Fgura 5 - Tela de salvamento de dados do programa Orgn TM. É possível defnr a pasta (pré-estente) onde o projeto será salvo (por eemplo, Salvar: Apostla), bem com um nome para o projeto (por eemplo, ome do arquvo: PenduloSmples). A tela deve aparecer como na fgura 6. 33

40 Fgura 6 - Tela de salvamento de dados do programa Orgn TM devdamente preenchda e com o local de salvamento defndo. Após pressonar a tecla Salvar, o programa deve retornar a tela como a da fgura 7. Fgura 7 - Planlha de dados salvos do Orgn TM. ote que anda precsamos nserr os dados de T, e para sto é necessára a nclusão de mas uma coluna no Worksheet. o Orgn TM, clque em Column Add new Columns, defna o número de novas colunas necessáras (no caso ) e pressone OK. O programa retorna uma tela como na fgura 8. o ScDAVs, clque em Table Add 34

41 Columns, e uma nova coluna será adconada. ão esqueça de salvar o seu projeto regularmente para evtar perda de dados. Fgura 8 - Planlha de dados com a nclusão de uma coluna adconal no Orgn TM. Agora você pode nserr manualmente os dados de T na coluna C(Y), ou então realzar esta tarefa automatcamente. A segunda opção é mas rápda quando se tem um grande número de dados. Poscone o cursor na prmera célula da coluna C(Y)ou 3(Y), no caso C() ou 3(), e clque al. o Orgn TM, clque com o mouse em Column Set Column Values, e a tela deve se apresentar como na fgura 9. Fgura 9 - Tela que permte nserr dados automatcamente numa coluna do Orgn TM. 35

42 Dgte no espaço em azul a epressão matemátca que deve ser efetuada, ou seja, elevar a coluna B(Y) ao quadrado (col(b)^), e ndque a quas células a epressão deve ser aplcada, ou seja, For row [] to 6. A tela deve estar como na fgura 0. Fgura 0 - Preenchmento da tela que permte nserr dados automatcamente numa coluna do Orgn TM. Após pressonar OK, a coluna C(Y) estará preenchda com os valores de T. o ScDAVs, marque a coluna e clque com o botão dreto do mouse. Selecone Edt Column Descrpton e na aba Formula nsra a equação desejada. ote que para facltar estem comandos prontos na parte nferor da janela. Quando um Worksheet começa a apresentar mutas colunas com dados, é possível crar uma descrção adconal (um rótulo ou label) para dentfcá-las. Para sto, clque com o botão dreto sobre a célula A(X) ou (X) para seleconar esta coluna, no Orgn TM clque em Propertes e no espaço Column Label dgte um nome para esta coluna (por eemplo, L (mm)). A tela deve estar como na fgura. Pressone OK e nomee da mesma forma as colunas B(Y) e C(Y). Após sto, a tela deve estar como na fgura. o ScDAVs, clque em Change Type & Format e na aba Descrpton preencha o campo ame com o nome da coluna. Em seguda clque no botão Apply. 36

43 Fgura - Tela que permte nomear uma coluna de dados do Orgn TM. Fgura - Tela da planlha de dados com o nome escolhdo para cada coluna do Orgn TM. O prómo passo é defnr os erros epermentas que serão consderados no gráfco. o eemplo, será utlzada a técnca de Estmatva de Erros (secção. 3.). Conforme dscutdo na secção onde fo apresentado o Método dos Mínmos Quadrados (secção 4.4), apenas os erros estatístcos (aleatóros e sstemátcos resduas) devem ser consderados, deando de lado os erros sstemátcos. Utlzando as equações 0, e, a ncerteza medda no comprmento do pêndulo L com uma régua graduada em mlímetros é σl =0,5 mm, para todos os valores meddos. 37

44 Insra uma nova coluna D(Y) ou 4(Y), clque com o botão dreto sobre ela, poscone o mouse sobre Set As ou Set Column(s) As e depos sobre X Error, clcando aí com o botão esquerdo. Antes do clque a tela deve se apresentar como na fgura 3. Fgura 3 - Inserndo uma coluna de erros na planlha de dados do Orgn TM. omee a coluna como, por eemplo, Er(L) para ndcar o Erro de L, e ntroduza os valores estmados de L (0,5 mm). Já a estmatva de σt deve levar em consderação a propagação de erros na potênca T. Veja como sto fo feto na descrção do epermento 5. ovamente, consderando apenas os erros estatístcos (aleatóros e sstemátcos resduas), a ncerteza na medda do período é de σt = 0,7 s (veja eq. 7), para todos os valores de T meddos. o entanto, a ncerteza não será a mesma para todos os valores de T, devendo ser calculada ndvdualmente para cada valor específco de T (equação 40). Introduza uma nova coluna E(Y), ou 5(Y) assoce-a ao erro de Y (Set As ou Set Column(s) As, Y Error) e atrbua um nome (Propertes, Column Label no Orgn TM ou Change Type & Format, Descrpton, ame no ScDAVs) como por eemplo Er(T^). A tela deve estar como na fgura 4. Para calcular os erros assocados a cada valor de T, poscone o cursor na prmera célula da coluna E(yEr) ou 5(yEr) clque al. o Orgn TM lque com o mouse em Column Set Column Values e dgte a epressão para cálculo de cada erro, 38

45 conforme a equação 40. o ScDAVs, selecone Edt Column Descrpton e na aba Formula nsra a equação desejada. *col(b)*0.7 Ao fnal desta etapa, a tela deve se apresentar como na fgura 5. Fgura 4 - Planlha de dados com as colunas de erros do Orgn TM. Fgura 5 - Planlha de dados com as colunas de erros preenchdas no Orgn TM. Para plotar o gráfco no Orgn TM, clque em Plot Scatter, e selecone as colunas adequadas para formar o gráfco, conforme a fgura 6. Clque em OK e o gráfco deve aparecer como na fgura 7. o caso, o erro assocado ao eo X é menor que o tamanho dos símbolos, e não aparece no gráfco. 39

46 Clcando duas vezes sobre a legenda de cada eo (X As Ttle e Y As Ttle), é possível atrbur a legenda adequada, respectvamente L (mm) e T (s ). Fgura 6 - Seleconando as colunas que serão plotadas no Orgn TM. Fgura 7 - Gráfco plotado com os dados fornecdos ao programa Orgn TM. o ScDAVs, aperte o botão Control do teclado e com o mouse clque em todas as colunas que serão usadas para plotar o gráfco. Em seguda clque em Plot Scatter. Para ajustar uma reta no Orgn TM, clque sobre Tools Lnear Ft (ver fgura 8) marque a opção Through Zero uma vez que para este problema a reta deve passar pela orgem, desmarque a opção Use Reduced Ch^ para que o erro não seja 40

47 subestmado, marque a opção Error as Weght para ndcar que as barras de erro devem ser consderadas no ajuste, e clque sobre Ft (ver fgura 9). Obs. mportante: A opção Analyss Ft Lnear não obrga a passagem da reta pela orgem, o que nesse caso podera resultar num erro maor e não corresponde à realdade do problema. o ScDAVs, dependendo da função que se deseja ajustar, o ajuste pode ser feto tanto usando o Analyss Quck Ft quanto o Analyss Ft Wzard. Fgura 8 - Procedmento ajustar de uma reta aos dados plotados no Orgn TM. Fgura 9 - Tela fnal mostrando o gráfco ajustado no Orgn TM e os erros respectvos. O valor do coefcente angular ajustado aparece no quadro Results Log. 4