Classificação das Equações de Conservação

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1 Angela Neckele PUC-Ro Classcação as Equações e Conservação Equação erencal parcal lnear e seguna orem, com uas varáves nepenentes (x, y) ou (x, t) B AC 0 elíptca Classcação: B AC 0 parabólca B AC 0 perbólc a

2 Angela Neckele PUC-Ro A classcação só epene os termos e alta orem Para problemas não lneares [A, B, C= (x,y,u)], o scrmnante também poe ser utlzao para classcação local o escoamento O tpo e equação é nvarante com relação ao sstema e coorenaas, sto é, transormação e coorenaas não altera a classcação Processos íscos nepenem o sstema e coorenaas Introução e smplcações, poe alterar a classcação as equações Regme permanente: parabólca elíptca Camaa lmte: elíptca parabólca

3 Angela Neckele PUC-Ro Somente varações ocorras antes o tempo conserao, poem nluencar na temperatura

4 Angela Neckele PUC-Ro

5 Angela Neckele PUC-Ro 5

6 Angela Neckele PUC-Ro 6

7 Angela Neckele PUC-Ro Natureza os Métoos Numércos Objetvo e um Métoo Numérco Obter a strbução e em termos e um número nto e valores numércos. (Este número eve ser grane o sucente para uma aplcação prátca.) A maora os métoos numércos consera o valor e esconeco em um número ao e localzações. O propósto e um métoo numérco é encontrar estes valores. 7

8 Angela Neckele PUC-Ro Métoos e Dscretzação Um métoo e scretzação ornece: (a) um conjunto e equações algébrcas para os valores e nos pontos noas, e (b) um algorítmo para resolver as equações. As equações algébrcas são ervaas a partr as equações erencas ao conserar-se um perl para a varação e entre pontos noas. Estes pers em geral são pers em ntervalos. 8

9 Angela Neckele PUC-Ro Equação e Dscretzação É uma relação algébrca conectano o valor e para um grupo e pontos noas. É ervaa e uma equação erencal e expressa a mesma normação ísca. A mea que o número e pontos noas cresce, esperase que a solução as equações e scretzação se aproxme a solução exata a equação erencal. As possíves equações e scretzação são mutas, por em espera-se obter a mesma solução quano o número e pontos noas é muto grane. 9

10 Angela Neckele PUC-Ro Métoo e Resíuos Poneraos () vamos representar a equação erencal por L() = 0 () assumr solução aproxmaa com um número e coecentes netermnaos = a o + a x + a x + ::::: + a n x n () substtução e na equação erencal exa um resíuo R, R = L() 0, o qual eseja-se mnmzar (v) propõe-se WRx = 0, one W é a unção peso e a ntegração é sobre too o omíno e nteresse (v) escoleno-se as unções peso, poe-se gerar o número sucente e equações para etermnar os coecentes e obter a solução aproxmaa a equação erencal 0

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12 Angela Neckele PUC-Ro Derenças Fntas Formulação com Sére e Taylor para Equações e Dscretzação uso e séres truncaas obtém aproxmações para =x, =x,etc. e substtu na equação erencal x O esquema e Derença Fntas poe ser classcao em explícto ou mplícto Esquemas e erença explíctos exprmem a ervaa noal como uma soma poneraa os valores noas a unção

13 Angela Neckele PUC-Ro Fórmulas e erença x x x x 6 ( ) x x para rente erenças e a. orem x x x x 6 ( ) x x para trás

14 Angela Neckele PUC-Ro x x x x 6 x x x x 6 (I) (II) (I)-(II) ) ( x x centraa

15 Angela Neckele PUC-Ro Fórmulas e erença x x x x x x x x (I) (II) (III) (IV) x x x x 6 x x x x 6

16 Angela Neckele PUC-Ro (III)-(I) para rente (III)+(IV) centraa (IV)-(II) erenças e a. orem para trás ) ( ) ( ) ( ) ( x x x ) ( ) ( ) ( ) ( x x x ( ) x x

17 Angela Neckele PUC-Ro 8 Esquemas e erença mplíctos exprmem as ervaas noas como uma soma poneraa explícta os valores noas a unção. ' ' ' 0 '' '' ''

18 Angela Neckele PUC-Ro Os esquema mplíctos são sgncatvamente mas precsos que os esquemas explíctos, para o mesmo espaçamento. O aumento em precsão é obto as custas a nversão e matrzes (em geral tr-agonas). O esquema mplícto mas popular é camao e esquema Paé JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS 5, 58 (998) A Famly o Hg Orer Fnte Derence Scemes wt Goo Spectral Resoluton Krsnan Maes 9

19 Angela Neckele PUC-Ro Desvantagens equações resultantes não possuem sgncao ísco reto não exste controle em relação a natureza e a orma nal as equações os termos e orem mas elevaa oram esprezaos e sto poe levar a consequêncas nesejáves 0

20 Angela Neckele PUC-Ro Formulação e Volumes e Controle (o métoo e volumes ntos) O omíno é vo em um número e volumes e controle tal que exsta um volume e controle ao reor e caa ponto noal. A equação erencal é ntegraa sobre caa volume e controle para obter uma equação algébrca conteno os valores e nos pontos noas. A equação e scretzação resultante expressa o prncípo e conservação para um volume e controle nto, assm como a equação erencal expressa o mesmo para um volume e controle nntesmal erencal.

21 Angela Neckele PUC-Ro A equação resultante mplca que o prncípo e conservação ntegral (e massa, quantae e movmento, energa, etc.) é peretamente satseto para qualquer grupo e volumes e controle, e consequentemente, para too o omíno. Este ato, acontecerá para qualquer número e pontos noas, não só para mala muto na. É necessáro supor uma varação e entre os pontos noas. É possível, se esejao, utlzar erentes pers para ntegrar erentes termos a equação erencal.