Capítulo 4 CONSERVAÇÃO DA MASSA E DA ENERGIA

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1 Capítulo 4 COSERAÇÃO DA MASSA E DA EERGIA 4.1. Equações para um Sstema Fechao Defnções Consere o volume materal e uma aa substânca composta por espéces químcas lustrao na Fgura 4.1, one caa espéce é representaa por uma fgura geométrca stnta. O sstema fechao é composto pelos mesmos átomos, vsto que não há ntercâmbo e massa com a vznhança. Fgura 4.1. olume materal com espéces químcas stntas. As equações e conservação a massa e um componente e a energa aplcaas a este sstema são aas por: m (4.1.1) m R E Q W (4.1.) one m é a massa o componente, m R é a massa o componente geraa no volume e controle (por exemplo, por meo e uma reação químca) e E a energa total o sstema (energas cnétca e nterna). Q e W são o calor transfero para ou o sstema e o trabalho realzao pelo ou sobre o 1 Copyrght 010. Jaer R. Barbosa Jr.

2 sstema. A convenção e snas prega que Q > 0 se for transfero ao sstema, Q < 0 se for transfero o sstema, W < 0 se for realzao pelo sstema, W > 0 se for realzao sobre o sstema. Por unae e tempo, as equações (4.1.1) e (4.1.) poem ser escrtas na forma: m mr (4.1.3) t E Q W (4.1.4) t t ou m R (4.1.5) one E Q W (4.1.6) R é a taxa e proução (ou e consumo) e massa o componente no sstema (kg() /s), Q é a taxa e transferênca e calor no sstema e W é a taxa com a qual trabalho é realzao pelo sstema (ambas em W) Propreaes ntensvas e extensvas Massa e energa são propreaes globas, pertnentes ao sstema como um too. Chamamo-las propreaes extensvas, ou seja, que epenem o tamanho o sstema (Çengel e Boles, 006). Contuo, poemos efn-las em função e parâmetros locas, específcos por unae e massa total o sstema. Tas parâmetros ou propreaes são os ntensvos e sua ntegração no volume o sstema resulta na propreae extensva corresponente. A massa o componente e a energa total o sstema escrtas em função e propreaes ntensvas são aas por: m X (4.1.7) E e (4.1.8) one X é a fração mássca o componente. Conserano toos os componentes a mstura, é possível mostrar que: m m X X (4.1.9) as equações acma, é a ensae mássca o sstema, efna localmente com o auxílo a Hpótese o Contínuo (Fox e MacDonal, 1998): m lm 0 (4.1.10) Copyrght 010. Jaer R. Barbosa Jr.

3 A equação (4.1.9) permte entfcar, localmente, as seguntes gualaes: 1 (4.1.11) e X 1 1 (.1.1) Além sso, conserano o prncípo e conservação a massa total o sstema, sto é, a mstura, tem-se que: e m 0 (4.1.13) 1 R 0 (4.1.14) a equação (4.1.8), e é a energa específca (J/kg) o sstema: 1 e u 1 v v u v (4.1.15) one u é a energa nterna específca e a seguna parcela é a energa cnétca específca, a qual está assocaa ao movmento macroscópco local o sstema. Alternatvamente, por efnção, a energa nterna é resultao e contrbuções no nível molecular, quas sejam: as energas cnétcas as moléculas calculaas com relação a um referencal se eslocano com velocae v, as energas cnétcas e rotação e e vbração as moléculas e as energas e nteração entre as moléculas (Br et al., 00). Em função e propreaes ntensvas, as equações (4.1.5) e (4.1.6) poem ser re-escrtas na forma: X R (4.1.16) e Q W (4.1.17) Da mesma manera, a conservação a massa total a mstura poe ser escrta na forma: 0 (4.1.18) 3 Copyrght 010. Jaer R. Barbosa Jr.

4 .. Equações para um Sstema Aberto (Forma Integral)..1. Teorema e Transporte e Reynols Um sstema aberto (ou volume e controle, ) é uma regão pré-etermnaa o espaço que permte o ntercâmbo e massa com a vznhança através e sua frontera. Desta forma, para se escrever os prncípos e conservação a massa e a energa para este sstema, é necessáro contablzar a entraa e a saía as propreaes ntensvas corresponentes com a massa transportaa pela frontera o sstema. A obtenção as equações e conservação para um é realzaa a partr as equações e conservação para um sstema fechao, aplcano-se o Teorema e Transporte e Reynols. Consere a Fgura 4. em que é mostrao um sstema fechao (ou seja, um volume materal e partículas e fluo, ) em um nstante t. este mesmo nstante, entfca-se a frontera o volume e controle,, o qual conce com o volume materal e engloba toas as partículas e fluo. A caa porção e área nfntesmal a frontera o, é possível assocar um vetor untáro normal nˆ apontano para fora o sstema. Em um nstante t t, em função e eslocamentos e eformações no fluo, o volume materal ocupa a regão emarcaa na fgura e, como resultao, há um transporte e massa e fluo através a frontera o. Parte a massa orgnal exa o (M s ) e é substtuía por novas partículas e fluo que atravessaram para entro a frontera o (M e ). nˆ nˆ M s M (t) M (t+t) (t) M e (t+t) Fgura 4.. Ilustração o volume materal e o volume e controle. O Teorema e Transporte e Reynols assoca a taxa e varação e uma propreae extensva e um sstema à sua varação no através a segunte relação (Crowe et al., 1998; Br et al., 00): x,t x,t x,t t v nˆa (4..1) 4 Copyrght 010. Jaer R. Barbosa Jr.

5 O prmero termo o lao reto a equação acma, conheca como a 1ª Forma o Teorema e Transporte e Reynols, é o resultao global (ntegral) as contrbuções e varação local a propreae extensva x,t no volume e controle. O seguno termo é o resultao global (ntegral) os fluxos e x,t através a frontera o. v é a velocae local com que a propreae ntensva transportaa atravessa a frontera o com relação a um referencal nercal. A equação (4..1) poe ser combnaa com a Regra e Lebnz (estena ao ) para prouzr a ª forma o Teorema e Transporte e Reynols. Para uma função f qualquer o tempo e e uma mensão no espaço, a Regra e Lebnz é aa por (Crowe et al., 1998): x x x1 x fx,tx fx,tx fx 1,t fx,t t x (4..) 1 x1 t Para uma função e três mensões one a ntegração é realzaa em um volume nterno a uma superfíce, a Regra e Lebnz se transforma em: t f x,t fx,t fx,t t v nˆa I (4..3) one v I é a velocae local a frontera o com relação a um referencal nercal. Combnano as equações (4..1) e (4..3), é possível esenvolver a ª forma o Teorema e Transporte e Reynols, aa por: one I t x,t x,t x,t wnˆa (4..4) w v v é a velocae local com que a propreae transportaa atravessa a frontera com relação a um referencal na frontera Prncípos e Conservação Aplcaos a um olume e Controle Substtuno a ª forma o Teorema e Transporte e Reynols nas equações e conservação, tem-se: t X X w nˆa R (4..5) e ewnˆa Q W t (4..6) As equações acma representam as relações funamentas a formulação ntegral os prncípos e conservação a massa o componente e a energa para um volume e controle. É mportante observar que, na equação (4..5), a velocae que aparece no termo e fluxo pela frontera é a velocae a propreae transportaa, ou seja, a velocae o componente, e não a velocae méa mássca a mstura (ve Seção 3.). A equação e conservação a massa total, 5 Copyrght 010. Jaer R. Barbosa Jr.

6 obta a partr a equação (4.1.18) ou a soma as equações e conservação a massa os componentes é aa por: t wnˆa 0 (4..7) Termos e Transferênca e Geração Os termos o lao reto as equações (4..5) e (4..6) contemplam fenômenos que poem ocorrer na frontera o ou no própro nteror o. o prmero caso, os termos são escrtos a partr e fluxos por unae e área a frontera. o seguno, os termos são escrtos sob a forma e taxa por unae e volume. Para a conservação a massa o componente, a taxa e proução ou e consumo e massa o componente é aa por: R R (4..8) one R é a taxa e proução ou consumo local o componente por unae e volume (kg /m 3.s) ecorrente e uma reação químca homogênea no. Para a conservação a energa, a taxa e transferênca e calor é escrta na forma: one Q q nˆ A q (4..9) f q f é o vetor fluxo e calor (W/m ) resultante a fusão através a frontera. q é a taxa e geração e calor por unae e volume (W/m 3 ) ecorrente fenômenos como o efeto Joule, o efeto Pelter, reações nucleares, etc. a equação (4..9), o snal negatvo no prmero termo o lao reto é evo ao vetor untáro normal apontar para fora o volume e controle e à convenção e snas stngur que calor e massa transferos ao volume e controle são granezas postvas. O termo e trabalho é escrto na forma: T~ vnˆ A W w (4..10) one T~ v nˆ é a taxa com a qual trabalho é realzao pelo na frontera evo a forças e superfíce (normas e tangencas), em W/m. T ~ é o tensor e tensões, que para um fluo newtonano é ao por (Br et al., 00): T~ p ~ I ~ p ~ I v v T vi ~ 3 (4..11) one p é a pressão termonâmca, I ~ é a matrz entae, é a vscosae nâmca e é a vscosae e latação. Fnalmente, o seguno termo o lao reto a equação (4..10) 6 Copyrght 010. Jaer R. Barbosa Jr.

7 representa a taxa com que forças e campo realzam trabalho sobre o, seno W/m 3 a unae e w no SI. Para resolver as equações e conservação a massa e a energa, é necessáro apresentar relações consttutvas para os fluxos e calor e e massa e as respectvas taxas e geração por unae e volume. Tas relações são escrtas em função e graentes e propreaes ntensvas, como a temperatura e a concentração o componente. Desta forma, o contexto mas aequao para apresentação estas relações e o fechamento o problema é o a formulação as equações e conservação na forma ferencal, tópco a seção a segur Equações e Conservação na Forma Dferencal A obtenção as equações na forma ferencal é efetuaa substtuno os termos e transferênca e geração nas equações (4..5) e (4..6). Assm: t X X w nˆa R (4.3.1) t e ewnˆa q f nˆ A q T~ vnˆ A w (4.3.) Alternatvamente, as equações acma poem ser re-escrtas após a aplcação a 1ª forma o Teorema e Transporte e Reynols na forma: X t X v nˆa R (4.3.3) e t ev nˆa q f nˆ A q T~ vnˆ A w (4.3.4) O Teorema a Dvergênca e Gauss-Ostrogrask transforma ntegras e área a frontera o em ntegras e volume por meo o operaor vergente: nˆa (4.3.5) A one é um vetor ou um tensor, e: A nˆ A (4.3.6) one é um escalar. Meante a aplcação o Teorema a Dvergênca às equações e conservação, obtém-se: X t X v R (4.3.7) e t ev q f q T~ v w (4.3.8) 7 Copyrght 010. Jaer R. Barbosa Jr.

8 t v 0 (4.3.9) Como o é um volume arbtráro, ele poe ser elmnao as equações acma para ar forma às equações e conservação na forma ferencal. Convêm observar que as equações resultantes terão mensões e massa o componente, e energa e e massa total a mstura, toas por unae e volume. X t e t t X v R ev q q T~ v w v 0 f (4.3.10) (4.3.11) (4.3.1) ote que, nas equações acma, o vergente representa um balanço local a respectva propreae (por exemplo, o fluxo e calor) no elemento e volume nfntesmal, através e sua frontera. Para um sstema multcomponente (ou seja, com espéces químcas), há -1 equações e transporte nepenentes para as frações másscas (equação ), vsto que X 1. É mportante observar que, em alguns casos, as equações (4.3.10) e (4.3.1) também poem ser mas convenentemente escrtas nas formas: X m R t (4.3.13) m 0 t one m é o fluxo total o componente ao pela equação (3.3.6): m v J e m é o fluxo a total a mstura: m. m 1 (4.3.14) (3.3.6) os capítulos a segur, trataremos e escrever as equações e conservação a massa e a energa na forma ferencal em função e propreaes ntensvas como a temperatura a pressão e concentração. Serão estas formas as mas utlzaas nas aplcações e fusão e calor em massa aboraas neste texto. Juntamente com as equações e conservação apresentaremos também as conções e contorno, obtas a partr e balanços e massa e energa aplcaos em volumes e controle envolveno a nterface entre os meos ajacentes. 8 Copyrght 010. Jaer R. Barbosa Jr.

9 Referêncas Br, R.B., Stewart, W.E., Lghtfoot, E.., 00, Transport Phenomena, n E., Wley, Y. Crowe, C.T., Sommerfel, M., Tsuj, Y., 1998, Multphase Flow wth Droplets an Partcles, CRC Press, FL. Çengel, Y.A., Boles, M.A., 006, Termonâmca, 5 a E., McGraw-Hll, São Paulo. Fox, R.W., McDonal, A.T., 1998, Introução à Mecânca os Fluos, 5ª E., LTC, Ro e Janero, Copyrght 010. Jaer R. Barbosa Jr.