CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO DAS RESPOSTAS NUMÉRICAS NÃO-LINEARES ESTÁTICA E DINÂMICA DE ESTRUTURAS RETICULADAS PLANAS

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1 ISSN ONRIBUIÇÃO AO ESUDO DAS RESPOSAS NUÉRIAS NÃO-LINEARES ESÁIA E DINÂIA DE ESRUURAS REIULADAS PLANAS rstna Ferrera e Paula & Sergo Persval Baroncn Proença Resumo O trabalho resume as formulações esenvolvas na tese e outorao a autora, que abora a formulação e mplementação numérca e moelos matemátcos o comportamento e estruturas conserano-se as não-lnearaes físca e geométrca. O equlíbro na posção eslocaa é formulao va Prncípo os rabalhos Vrtuas, empregano-se o métoo os elementos fntos para a scretzação espacal as estruturas e busca e soluções aproxmaas. Incalmente estaca-se com base no caso e trelças planas o emprego e meas e eformação e tensão conjugaas energetcamente. Partcularzano-se a formulação geral o equlíbro para os pórtcos planos apresenta-se uma análse crítca as formulações lagrangana total e atualzaa. Em segua, teno-se em vsta aplcações às estruturas em concreto armao, abora-se o comportamento não-lnear físco pela mecânca o ano em meos contínuos, empregano-se os moelos e ano para o concreto propostos por azars e La Borere. Estenem-se os estuos o comportamento estrutural não-lnear físco (ano) e geométrco ncorporano-se a análse nâmca. Utlza-se para ntegração no omíno o tempo o métoo mplícto e Newmark combnao com o procemento ncremental e teratvo e Newton-Raphson. O amortecmento é levao em conta por meo a regra e Raylegh. Palavras-chave: análse não-lnear; não-lnearae geométrca; não-lnearae físca; mecânca o ano; análse nâmca não-lnear. INRODUÇÃO A tese apresenta-se va nos seguntes capítulos. No capítulo apresenta-se uma breve ntroução fazeno-se referêncas às bblografas mas consultaas no esenvolvmento o trabalho. Doutora em Engenhara e Estruturas EES-USP, crstna.paula@embraer.com.br Professor o Departamento e Estruturas a EES-USP, persval@sc.usp.br aernos e Engenhara e Estruturas, São arlos, v., n. 4, p. 35-5, 8

2 36 rstna Ferrera e Paula & Sergo Persval Baroncn Proença No capítulo apresenta-se a formulação não-lnear geométrca com aplcação a estruturas retculares planas: trelças e pórtcos. A formulação o equlíbro na posção eslocaa é apresentaa va Prncípo os rabalhos Vrtuas. Na aplcação às trelças planas, estaca-se o emprego e meas e eformação e tensão conjugaas energetcamente. Na aplcação aos pórtcos planos esenvolve-se uma scussão sobre as formulações lagranganas total e atualzaa o equlíbro. Nessa aplcação, emprega-se a mea e eformação e Green, nas formas completa e aproxmaa, e a tensão e Pola-Krchhoff e seguna espéce, conserano-se um regme e pequenas eformações. Os exemplos lustram numercamente respostas não-lneares geométrcas e trelças e pórtcos planos. No capítulo 3 apresenta-se uma aboragem para a análse o comportamento não-lnear físco e geométrco e estruturas retculaas planas e concreto armao, em especal vgas e pórtcos. oloca-se em estaque o comportamento não-lnear físco moelao pela mecânca o ano em meos contínuos. Empregam-se os moelos consttutvos e azars e e La Borere, porém outros moelos poeram ter so empregaos. Os exemplos lustram numercamente as respostas obtas verfcano-se que em certos casos a combnação as não-lnearaes físca e geométrca é absolutamente necessára para a realzação e uma smulação numérca e boa qualae. No capítulo 4 estene-se o tratamento anteror para a análse nâmca e estruturas retculares planas, conserano-se os comportamentos não-lneares, físco e geométrco. Para ntegração numérca no omíno o tempo utlza-se o métoo mplícto e Newmark combnao com o procemento ncremental e teratvo e Newton-Raphson. Os exemplos conserano-se as vbrações forçaa e lvre, com e sem amortecmento, lustram partcularmente a nfluênca a anfcação sobre a resposta nâmca e pórtcos planos em concreto armao. No capítulo 5 são apresentaas as conserações fnas e conclusões observaas a partr o conjunto e resultaos obtos nos capítulos anterores. Algumas sugestões para posterores nvestgações complementam o capítulo. No anexo A apresenta-se um breve estuo sobre o procemento e análse ncremental com eslocamentos controlaos utlzao neste trabalho. No anexo B são apresentaos gráfcos que lustram as respostas obtas empregano-se ferentes métoos para a ntegração as tensões ao longo a altura a seção transversal o elemento fnto e pórtco plano. Esse estuo objetvou etermnar o número e pontos e ntegração numérca, utlzao neste trabalho, para o emprego as regras e quaratura. Neste reúnem-se as formulações esenvolvas e moelos consttutvos aotaos na tese para o estuo as respostas estátca e nâmca e estruturas retculares. FORULAÇÃO DO EQUILÍBRIO Poe-se mpor a conção e equlíbro estátco a estrutura utlzano-se o Prncípo os rabalhos Vrtuas, PAULA (997). Aotano-se uma escrção

3 ontrbução ao estuo as respostas numércas não-lneares estátca e nâmca e estruturas lagrangana total, a também chamaa forma fraca o equlíbro representa-se o segunte moo: r. V S. δ ε V b. δ V t. δ A δ () V V V A Devo ao fato e que a equação o PV é essencalmente não-lnear nos eslocamentos, sua lnearzação é normalmente empregaa como uma estratéga efcente para encontrar, e moo teratvo, uma solução que a satsfaça. Deste moo, o métoo e Newton-Raphson surge a lnearzação a equação (), obta a partr o truncamento em a orem o seu esenvolvmento em sére em torno o nstante t, tal como: V r. δ V t Δt V r. δ V t t r. δ V V Δ t Neste trabalho optou-se pela estratéga traconal e Newton-Raphson por ser sufcente para as análses numércas realzaas. Entretanto, estratégas mas robustas como aquelas ervaas o métoo e arco poeram ter so mplementaas. Nas aplcações numércas, por outro lao, observou-se uma taxa e convergênca quarátca com a estratéga e Newton-Raphson. t () 3 PÓRIOS PLANOS Nesta seção apresenta-se um estuo o comportamento não-lnear geométrco em estruturas aportcaas planas, utlzano-se as formulações lagranganas total e atualzaa. A mea e eformação empregaa é a e Green e a tensão corresponente é a e Pola-Krchhoff e a espéce. onsera-se um regme e pequenas eformações. 3. Descrção o campo e eslocamento o regme e flexão: análse plana Objetvano-se a construção e um moelo o comportamento e elementos e barra, lmtano-se a conseração a não-lnearae àquela ecorrente o campo e eslocamentos, amtem-se, como hpóteses báscas, que as eformações sejam pequenas e que o materal tenha resposta lnear elástca com sotropa. om relação ao campo e eslocamentos vale a hpótese cnemátca e Euler- Naver-Bernoull: seções transversas planas e ortogonas ao exo antes a eformação permanecem planas, neformaas e normas ao exo após a eformação. Na confguração ncal, neformaa, a barra prsmátca possu comprmento L o, seção transversal com área A o e, por convenênca, um plano e smetra longtunal concente com o plano e carregamento, embora essa não seja uma conção mposta pelo moelo. Aotano-se uma as extremaes a barra para a orgem e um referencal, ao qual se assoca um sstema e coorenaas cartesano,

4 38 rstna Ferrera e Paula & Sergo Persval Baroncn Proença consera-se que os exos x e y efnam o plano longtunal e smetra, que contém o exo a barra. aores etalhes ver PAULA (). 3. Relação eformação-eslocamento onheceno-se o campo e eslocamentos, passa-se à efnção o tensor e eformações a ser assocao a certo ponto a barra. omo a formulação utlzaa neste trabalho é a lagrangana, por motvos e smplfcação algébrca na escrção o equlíbro na posção eslocaa, o tensor e eformação e Green torna-se mas nteressante o que o tensor e eformação lnear, seno ao por: ε ( ) com o vetor eslocamento e (. ) o operaor graente com relação às coorenaas ncas. oerentemente com a hpótese feta sobre o campo e eslocamentos, a únca componente não nula o tensor e eformação e Green é ε XX. Para ε XX resulta a segunte expressão: ε ( ) ( ) XX u u v ycosαα ycosαu α ysenαv α y ( α ) A eformação aa pela expressão (4) é completa, mas seguno GARIA & VILLAÇA (999), poe ser aproxmaa pela segunte forma: ε X ε X yk (5) (3) (4) seno: ε ( ε ) X XX Y respectvamente. e k, a eformação e a curvatura o exo a barra, 3.3 Relação entre os tensores e tensão e e eformação Seno vála a hpótese e pequenas eformações, tem-se que as equações consttutvas nas formas secante e tangente, para um meo elástco lnear, poem ser aas por: S ε S & D ε& (6a,b) D seno D o tensor consttutvo o materal íntegro, que no caso unmensonal se reuz ao móulo e rgez o materal, E.

5 ontrbução ao estuo as respostas numércas não-lneares estátca e nâmca e estruturas Aplcação o métoo os elementos fntos: matrz e rgez tangente e vetor os esforços nternos Para o elemento e barra e pórtco plano (ou vga-coluna) efne-se nas extremaes o elemento um conjunto e ses graus e lberae, três por nó, corresponentes ao eslocamento na reção o exo, eslocamento transversal a ele e rotação em torno o exo perpencular ao plano xy. om o objetvo e calcular as ntegras que aparecem nas equações que levam às expressões o vetor os esforços nternos e a matrz e rgez tangente o elemento e pórtco plano, aotam-se funções que aproxmam as componentes u e v os eslocamentos e pontos o exo. as eslocamentos consttuem nterpolações sobre os graus e lberae noas. A representação matrcal a nterpolação é aa por: φ( x)q (7) one u( x ) v( x ) é vetor eslocamento o exo, N ( x ) N 4 ( x ) φ ( x) é a matrz que contém as N ( x ) N 3( x ) N 5( x ) N 6 ( x ) funções e nterpolação e q { u v φ u v φ } { q q q3 q4 q5 q6} vetor e eslocamentos noas. Para funções e nterpolação, utlzam-se as mesmas formas usuas apresentaas, por exemplo, no trabalho e AZZILLI (988), one o eslocamento axal u possu varação lnear, o eslocamento transversal v tem varação cúbca e a rotação a seção é obta ervano-se o eslocamento transversal uma vez em relação a x: Nesse sento, utlzano-se a expressão (), na sua forma matrcal, e colocano-se em evênca o vetor e eslocamentos vrtuas, tem-se que os vetores os esforços nternos fcam efnos por: F nt B S V V F nt B S V V a (8a,b) segue que as matrzes e rgez tangente para o elemento fnto e pórtco plano fcam aas por: K B EB V GS V B EB a V a V V K G S V (9a,b) V V a

6 4 rstna Ferrera e Paula & Sergo Persval Baroncn Proença 3.5 Implementação numérca as formulações lagranganas total e atualzaa Na mplementação a formulação lagrangana total a confguração e referênca é sempre a ncal e com relação a ela são calculaas as ntegras (8) a (9). omo por convenênca, assm como neste trabalho, normalmente se aotam aproxmações sobre os gros, nos casos one ocorrem granes eslocamentos e rotações a formulação lagrangana total poe levar a uma escrção mprecsa o equlíbro, na mea em que confguração atual se afasta a confguração e referênca. Daí a atualzação a confguração consttur-se em alternatva nteressante, pos permte que se mantenham as aproxmações sobre os gros sem pera e precsão a resposta numérca. onforme observao anterormente, na formulação lagrangana atualzaa empregaa neste trabalho toas as ntegras são calculaas com relação à últma stuação equlbraa, o que a torna mas aequaa para casos e granes eslocamentos e rotações. De acoro com RISFIELD (997) sua mplementação numérca exge uas operações stntas: a) atualzação as coorenaas As novas posções os nós são etermnaas aconano-se o vetor os Δ u ao vetor as coorenaas cartesanas noas eslocamentos ncrementas { } referentes à últma confguração equlbraa, { X }, ou seja: {} x { X } { Δu} () seno n{ x } o vetor as ovas posções noas que reúne as componentes X e Y. b) atualzação a escrção o tensor e tensão a confguração anteror para a atual e referênca Portanto, no caso e pequenas eformações o tensor e tensão e Pola- Krchhoff e a espéce a confguração anteror é gual ao tensor e tensão e auchy na confguração atualzaa. Assm, no passo e carga segunte, gera-se um ncremento e tensão Δ S que smplesmente se soma à tensão S : S S ΔS () Um outro aspecto relatvo à mplementação numérca, z respeto ao cálculo as ntegras que aparecem nos prncípos varaconas e equlíbro. Entretanto, neste trabalho tas ntegras são calculaas numercamente utlzano-se as quaraturas e Gauss ou e Gauss-Lobatto, HUGHES (987). Para a ntegração ao longo o comprmento eve-se conserar um número e pontos superor ou gual a 6. Para a ntegração ao longo a altura além as quaraturas e Gauss e Gauss-Lobatto poese empregar a estratfcação a seção em camaas e gual espessura; neste caso, eve-se conserar um número e pontos e ntegração superor a 3 quano se

7 ontrbução ao estuo as respostas numércas não-lneares estátca e nâmca e estruturas... 4 empregam as quaraturas e Gauss e Gauss-Lobatto ou no mínmo camaas para o métoo a estratfcação. No anexo B justfcam-se as sugestões quanto ao número e pontos e ntegração numérca, quano se consera a não-lnearae físca o materal. onforme sugere PIENA (996), ese que se aote uma eformação méa assocaa ao esforço normal constante para toa a barra, as ntegras (8b) e (9b) poem ser calculaas e forma analítca. 4 ODELO ONSIUIVO DE AZARS O moelo e azars, apresentao orgnalmente em azars (984), ntrouz uma varável escalar D que representa e quantfca o estao local e eteroração o materal. Destacam-se as seguntes hpóteses geras: as eformações permanentes são esprezaas, sejam elas e natureza plástca, vscosa, ou nuzas pelo própro processo e anfcação e o carregamento é proporconalmente crescente (raal). Além sso, amte-se que o aparecmento e a evolução o ano ecorram exclusvamente a exstênca e alongamentos. Nesse sento, efne-se a eformação equvalente como uma varável escalar representatva o estao local e extensão. A eformação equvalente é calculaa em função a parte postva as componentes prncpas a eformação por: ~ ε ε (,..., 3 ) () No moelo e azars, o ano se nca quano a eformação equvalente atnge um valor e referênca gual à eformação ε, à qual correspone a resstênca máxma em ensaos e tração unaxal. O crtéro e anfcação, que permte entfcar stuações e evolução o ano, é ao pela segunte função: f ~ ε, ~ (3) ( ) ε s( ) Para nclur estaos e tensão mas complexos, mas preservano-se as característcas os casos unaxas, a varável e ano é então efna como uma combnação lnear e e na forma: α α (4) respetano-se sempre α α ; naturalmente α para tração unaxal e α para compressão unaxal. Nos casos e carregamento raal têm-se:

8 4 rstna Ferrera e Paula & Sergo Persval Baroncn Proença ( ~ ε ) ε ( A ) ~ ε exp ~ ( ~ ε ) ε ( A ) ~ ε exp ~ A [ B ( ε ε )] A [ B ( ε ε )] (5) (6) Nas expressões anterores A, B e ε são parâmetros característcos o materal que poem ser entfcaos com base em resultaos e ensaos e tração unaxal com eformação controlaa. Os parâmetros A e B poem ser entfcaos com resultaos e ensaos e compressão unaxal com eformação controlaa, ÁLVARES (993). Em termos e relação tensão-eformação, o ano escalar penalza retamente toas as componentes o tensor e rgez elástca. Assm seno, a relação consttutva o moelo, nas formas secante e tangente, é expressa, respectvamente, por: σ ( )ε (7) D ( )& ε D & ε & σ D (8) one: F ( ~ ε ) F ~ ( ε ) A taxa o ano é aa por: ε~ ε & X ~ ε ε X t ( A ) ε A B ; ~ ε exp ~ ( A ) ~ ε exp ~ F [ B ( ε ε )] [ B ( ε ε )] ε~ ε ( ~ ε ) & ε X ε A B ε ~ ; ε X se > (9) ε ~ ε e ν se ε < ε 5 ODELO ONSIUIVO DE LA BORDERIE Este moelo aplca-se prncpalmente a stuações e solctações cíclcas com nversão e snal. Na sua formulação permte-se levar em conta o aspecto unlateral a resposta o materal, fenômeno nerente ao comportamento mecânco o concreto que consste na nepenênca os processos e anfcação e estaos e tração e e compressão. Defnem-se, então, uas varáves escalares representatvas o ano. A atvação e um ou outro processo em tração ( ) e o ano em compressão ( ) e anfcação, por efeto o fechamento ou abertura e fssuras, quano a nversão o processo e carregamento, é feta meante um controle sobre o snal as tensões prncpas. onseram-se, também, eformações anelástcas ou resuas evas exclusvamente ao ano.

9 ontrbução ao estuo as respostas numércas não-lneares estátca e nâmca e estruturas As relações entre as varáves e estao e as suas varáves assocaas poem ser euzas a partr e um potencal e estao. No moelo consttutvo e La Borere sugere-se o potencal e energa lvre e Gbbs ( χ ) como potencal e estao, LA BORDERIE (99), a aotar seno o mesmo ao pela segunte expressão: χ σ : σ σ : σ ν σ r E E ( σ,,,z,z ) ( ) ( ) E( ) β β f ( r( σ )) σ E ( σ : σ ( )) ( ) G ( z ) G ( ) r E( ) z () one: σ e σ são, respectvamente, as partes postva e negatva o tensor e tensões, r ( σ ) é o prmero nvarante o tensor e tensões, ν é o coefcente e Posson o materal vrgem, E é o móulo e elastcae o materal íntegro, β e β são os parâmetros a serem entfcaos, relaconaos ao aparecmento e eformações anelástcas; G ( z ) e G ( z ) são funções e encruamento. Além sso, a função f ( r( σ )), que permte levar em conta a abertura e o fechamento e fssuras, assume ferentes relações e acoro com a relação entre os valores e r ( σ ) e a tensão e fechamento e fssuras, entfcao. As expressões propostas são: σ f, conseraa um parâmetro o materal a ser f ( r( σ )) r( σ ) quano r( σ ) [, [ f ( r( σ )) f r( σ ) r( σ ) quano r( σ ) ] σ, [ σ σ f f ( r( σ )) r( σ ) quano r( σ ) ], σ ] As les e estao ervam o potencal e estao, ao pela equação () e efnem as varáves assocaas às varáves e estao meante ervaas parcas. Assm, o tensor e eformações resulta e: χ ε ε e ε an σ seno ε e a parcela e eformações elástcas e ε an o tensor e eformações anelástcas. as componentes são aas, respectvamente, por: ε σ σ e E ε ( ) E( ) an β E f ν E ( σ r( σ ) I ) β ( ) σ E( ) I f f () () (3) (4)

10 44 rstna Ferrera e Paula & Sergo Persval Baroncn Proença Neste trabalho aotam-se as expressões para a etermnação as varáves assocaas às varáves e ano propostas em PIUBA et all (999): Y Y β f ( σ ) ( ) βr( σ ) ( ) σ : σ α E χ (5) χ σ : σ α (6 E one os coefcentes (, ) α assumem o valor untáro quano a varável e ano for ferente e zero; caso contráro são nulos. As varáves Z poeram ser efnas e forma análoga. Entretanto, em lugar e explctar as G que aparecem na equação () e a partr elas, por ervação, obter aquelas varáves, sugere-se empregar retamente expressões para resultantes e ajustes sobre resultaos expermentas. A forma geral essas expressões é a segunte: one A, Z B e G z ( z ) Y A B Y são parâmetros a serem entfcaos. (, ) Nota-se que as varáves Z tem valores ncas aos por Z ( ) Y. As Expressões (7) aparecem, na verae, nas funções crtéro e anfcação F Y Z, as quas caracterzam conções para a evolução ou não o ano em tração ou em compressão. as conções são: (7) Se Y < Z então & e a resposta meata é elástca lnear (8) Z Se Y Z e Y & >, então Y & Z& e & (9) Haveno evolução e ano poe-se etermnar a partr a equação (7): B [ A ( Y Y )] (3) Detalhes sobre a mplementação numérca para o caso unmensonal ver LA BORDERIE (99). 6 ONSIDERAÇÃO DO EFEIO DINÂIO Levano-se em conseração o prncípo e D Alembert, ARGYRIS & LEJNEK (99), num certo ntervalo e tempo, pelo Prncípo os rabalhos Vrtuas,

11 ontrbução ao estuo as respostas numércas não-lneares estátca e nâmca e estruturas a equação e equlíbro seguno uma escrção lagrangana total, poe ser escrta na forma: r. δ V V V S. δ ε V ( ρ( X ) && ). δ V μ( X ) V bo( t ). δ V t ( t ). δ A V A V ( & ). nc δq. f ( t ) δ V (3) Numa nterpretação alternatva, normalmente usaa quano se empregam estratégas teratvas e busca o equlíbro, a equação (3) fornece o resíuo ou ferença entre o trabalho vrtual nterno acrescentao o trabalho vrtual as forças nercas e sspatvas, e o trabalho vrtual externo. O trabalho vrtual nterno é ao pela soma os proutos as tensões pelas eformações vrtuas. O trabalho vrtual externo é ao pelo prouto entre as forças externas aplcaas e os respectvos eslocamentos vrtuas. Na equação (3) δ q é o vetor e eslocamentos vrtuas corresponentes aos pontos one o vetor e forças concentraas, f ( t ), é aplcao; nc é o número esses vetores. Uma forma aproxmaa para a relação (3), já se conserano o caso e estruturas retculares planas, poe ser obta, como vsto no capítulo (PAULA ()), empregano-se o métoo os elementos fntos. Assm seno, o vetor eslocamento e um ponto genérco e um elemento fnto e barra, stante y o seu exo, poe ser escrto em função os eslocamentos noas por meo a segunte forma matrcal: q (3) φ one q é o vetor os graus e lberae noas e φ é a matrz que contém as funções e forma e suas ervaas com relação a x, seno aa por: φ N y N N N N 3 N N 4 3 N N 4 5 N 6 N 5 N 6 (33) Assm, a equação e equlíbro seguno uma escrção lagrangana total, poe ser escrta na forma: V δ q V δq B a S V δq φ V φ b( t ) V V δq ρ ( X ) φ q&& V q ( X ) δ φ μ φ t ( t ) A V nc δq f ( t ) φ q& V (34)

12 46 rstna Ferrera e Paula & Sergo Persval Baroncn Proença Vsto que os eslocamentos vrtuas noas são arbtráros, a nulae expressa pela equação (34) poe ser verfcaa a partr a segunte conção: V B a S V V φ ρ V ( X ) φ q&& V ( X ) φ μ φ b( t ) V V V φ φ t ( t ) A q& V nc f ( t ) A relação anteror poe ser expressa seguno o arranjo proposto por ARGYRIS & LEJNEK (99) e DESAI & ABEL (97): (35) nt ext q& q& F F ( t ) (36) one: nt F B S V (37) V a ( X ) φ ρ φ V (38) V ( X ) φ μ φ V (39) V F ext ( t ) φ b( t ) V t ( t ) A φ V V nc f ( t ) (4) Neste estuo as forças externas são conseraas concentraas nos nós a estrutura, amtno-se tpos e solctações com as seguntes varações no tempo: solctação constante ao longo o tempo, solctação varável no tempo, solctação ncremental constante no tempo, solctação em forma e pulso, solctações harmôncas. A matrz e massa para o elemento fnto e pórtco plano é obta através a ntegração numérca a equação (38), utlzano-se a quaratura e Gauss. Na matrz e massa aparece a matrz φ, aa pela expressão (36), a qual fo obta utlzanose a expressão completa o campo e eslocamento. Na exstênca e massas concentraas que possam gerar qualquer tpo e perturbação na estrutura, tas como as provenentes e maqunáro nustral, as mesmas evem ser ntrouzas na matrz e massa global a estrutura. Nesse sento é mportante observar que se conseram neste trabalho apenas massas concentraas que possuam eslocablae nas reções globas x e y, esconserano-se, portanto, o efeto rotaconal as mesmas. Desse moo, caa massa concentraa eve estar assocaa à um ponto noal, possbltano-se computar a sua contrbução meante a ação aos termos a agonal prncpal a matrz e massa o sstema estrutural. Em prncípo, a matrz e amortecmento o elemento e barra poe ser obta pela ntegração a equação (39), porém a etermnação a magntue o parâmetro e amortecmento vscoso o materal é um tanto fícl. Uma alternatva, muto usual,

13 ontrbução ao estuo as respostas numércas não-lneares estátca e nâmca e estruturas para contornar essa fculae, consste na utlzação o métoo e amortecmento e Raylegh, one a matrz e amortecmento vscoso é ntrouza envolveno frações específcas o amortecmento crítco, maores etalhes ver PAULA (). 7 ONSIDERAÇÕES FINAIS Na tese apresentou-se um estuo sobre os comportamentos não-lneares nas respostas e estruturas retculares planas. As formulações o equlíbro estátco e nâmco funamentaram-se na aplcação o Prncípo os rabalhos Vrtuas seguno as escrções lagranganas total e atualzaa. Prmeramente apresentou-se a não-lnearae geométrca em trelças planas, utlzano-se uma formulação lagrangana total e empregano-se as meas e eformações e Green e lnear. Nesse caso, o prncpal objetvo fo mostrar a mportânca e meas e eformação e tensão conjugaas numa aboragem consstente; quano esta consstênca é verfcaa os resultaos são nepenentes a escolha os pares e tensão e eformação. Restrngno-se ana à não-lnearae geométrca, a efcênca as escrções lagranganas total e atualzaa fo verfcaa em exemplos clásscos e vgas, cujas respostas analítcas são conhecas. A mecânca o ano fo empregaa para a conseração a não-lnearae físca nas estruturas em concreto. Partcularmente, a equação consttutva utlzaa para a análse o comportamento o concreto na tração e na compressão unaxal baseou-se nos moelos e anfcação apresentaos orgnalmente por AZARS (984) e LA BORDERIE (99). Nas ntegrações numércas relatvas à etermnação a matrz e rgez tangente e o vetor e esforços noas nternos aplcaram-se as quaraturas e Gauss, Gauss-Lobatto e o métoo e ntegração por estratos, os quas se mostraram efcentes no caso e elementos em concreto armao. Os exemplos e aplcação consstno e análses estátcas, empregano-se os os moelos e ano para a conseração a não-lnearae físca, apresentaram boa concorânca com resultaos expermentas sponíves. As aplcações realzaas ncaram que a moelagem aotaa é potencalmente nteressante para a análse e estruturas planas em concreto armao em regmes e servço (fssuração fusa), nos quas a conseração a não-lnearae físca é, e fato, necessára. Verfcou-se também que a combnação as não-lnearaes físca e geométrca em alguns casos é absolutamente necessára para a obtenção e uma resposta numérca e boa qualae. Vale ressaltar que a boa qualae a resposta numérca com moelos e ano epene fortemente e uma convenente entfcação paramétrca. Nos casos estuaos, os valores méos aotaos conuzram a bons resultaos, o que nem sempre poerá ocorrer. Na análse nâmca, para ntegração no omíno o tempo, utlzou-se o procemento mplícto e Newmark combnao com o procemento ncremental e teratvo e Newton-Raphson, porém outros métoos poeram ter so empregaos.

14 48 rstna Ferrera e Paula & Sergo Persval Baroncn Proença Observou-se, como era e se esperar, que a resposta nâmca a estrutura sofre a nfluênca o acréscmo e anfcação nuzo pelas forças nercas. Apesar e não ter so possível realzar um confronto com resultaos expermentas, as respostas obtas nos ferentes exemplos analsaos mostraram-se bastante coerentes. Sobre a análse nâmca, vale etalhar algumas conclusões específcas: Observano as respostas as análses nâmcas conserano-se a não-lnearae o concreto, verfca-se que elas são ferentes empregano-se os moelos e ano e azars e e La Borere. Os resultaos obtos em geral, evencam que os seguntes aspectos evem ser levaos em conta para a smulação numérca: - mnução a rgez o materal com a anfcação; - recuperação a rgez quano ocorre fechamento e fssuras; - eformações anelástcas provocaas pela anfcação. Dante estas conserações, pelas suas característcas e, sobretuo pelos resultaos obtos nas smulações numércas, o moelo e ano e La Borere é mas aequao que o moelo e ano e azars nas análses nâmcas. Para os estuos sobre amortecmento e freqüênca e vbração utlzou-se, neste trabalho, para a matrz e amortecmento as expressões (4.7) ou (4.), ou seja, conserou-se uma matrz e amortecmento constante ou varável em função o nível e ano urante toa a análse. Um resultao mportante obto a smulação numérca é que a anfcação mnu o amortecmento e a freqüênca e vbração lvre a estrutura. Essa conclusão está e acoro com os resultaos expermentas e ensaos realzaos em vgas e concreto armao, apresentaos por RIERA & RIOS (). Apesar a concorânca os resultaos numércos com os expermentas, essa conclusão ana não eve ser tomaa como efntva, pos, exstem, na lteratura, algumas vergêncas quanto a se utlzar o moelo e Haylegh para a conseração o amortecmento. AZARS et al (), por exemplo, propõem um moelo e ano ncluno o comportamento hsterétco resual alegano que sto evta, em certos casos, uma representação fscamente não coerente a sspação por anfcação que poe acontecer quano se usa amortecmento vscoso. 8 REFERÊNIAS ÁLVARES,. S. (993). Estuo e um moelo e ano para o concreto: formulação, entfcação paramétrca e aplcação com o emprego o métoo os elementos fntos. 3p. São arlos. Dssertação (estrao) - Escola e Engenhara e São arlos - Unversae e São Paulo. ARGYRIS, J.; LEJNEK, H. P. (99). Dynamcs of structures. Noth-Hollan. v.5 OOK, R. D.; ALKUS, D. S.; PLESHA,. E. (989). oncepts an applcatons of fnte element analyss. New York: John Wley.

15 ontrbução ao estuo as respostas numércas não-lneares estátca e nâmca e estruturas RISFIELD,. A. (99). Non-lnear fnte element analyss of sols an structures. New York: John Wley. v.. DESAI,. S.; ABEL, J. F. (97). Introucton to the fnte element methos. New York: Van Nostran Renhol ompany. GARIA, L. F..; VILLAÇA, S. F. (999). Introução à elastcae não lnear. OPPE/UFRJ. 3. e. HINON, E. (993). Introucton to nonlnear fnte element. Glasgow, UK: NAFES. HUGHES,. J. R. (987). he fnte element metho lnear statc an ynamc fnte element analyss. Englewoo lffs: Prentce-Hall Internatonal. LA BORDERIE,. (99). Phenomenes unlateraux ans un materau enommageable: moelsaton et applcaton a l analyse e structures en beton. hese e Doctorat e l Unverste Pars. AZARS, J.; RAGUENEAU, F.; PIJAUDIER-ABO, G. (). ontnuum amage moellng for concrete structures n ynamc stuatons. In: ONINUU DAAGE EHANIS OF AERIALS, achan, France, Oct.,. Damage mechancs of materals an structures. achan: NRS. 36p. (Lectures seres) AZARS, J. (984). Applcaton e la mécanque e l enommagement au compotaement non lneare et à la rupture u béton e structure. PhD thess, Unversté Pars 6. AZZILLI,. E. N. (988). onserações sobre não-lnearae geométrca em estruturas retculaas planas. Anas EPUSP, Engenhara vl, Engenhara e Estruturas e Funações, v., sére A. pt., p PAULA,. F. (). ontrbução ao estuo as respostas numércas nãolneares estátca e nâmca e estruturas retculaas planas. São arlos. 8p. ese (Doutorao) - Escola e Engenhara e São arlos - Unversae e São Paulo. PAULA,. F. (997). Estuo as escrções lagrangana e eulerana na análse não-lnear geométrca com o emprego o métoo os elementos fntos. São arlos. p. Dssertação (estrao) - Escola e Engenhara e São arlos - Unversae e São Paulo. PEREGO,. A. (99). Danneggamento e materal lape: legg costtutve, analss per element fnt e applcazon. ese (Laurea) - Poltecnco e lano. PIENA, P.. (996). Análse não-lnear e pórtcos planos: teora exata vs teora e seguna orem. Anas EPUSP, Engenhara vl, Engenhara e Estruturas e Funações. 7p. PIUBA, J. J..; PROENÇA, S. P. B.; ÁLVARES,. S. (999). Estuo o esempenho e moelos e ano para estruturas retculares em concreto armao. In: ILAE,., São Paulo, 999. D-Rom.

16 5 rstna Ferrera e Paula & Sergo Persval Baroncn Proença RIERA, J. D.; RIOS, R. D. (). Evolução o amortecmento com o nível e ano em estruturas e concreto armao. In: JORNADAS SUDAERIANAS DE INGENIERIA ESRUURAL, 9., Punta Del Este,. p. D-Rom.