Análise da Estabilidade Dinâmica em sistemas elétricos por meio de interface gráfica.

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1 Unversae e Brasíla - UnB Faculae UnB Gama - FGA Engenhara e Energa Análse a Establae Dnâmca em sstemas elétrcos por meo e nterface gráfca. Autor: ncus Squera Orentaor: Prof. Dr. Lus Flomeno e J. Fernanes Brasíla - DF 6

2 ncus Squera Análse a Establae Dnâmca em sstemas elétrcos por meo e nterface gráfca. Monografa submeta ao curso e grauação em Engenhara e Energa a Unversae e Brasíla, como requsto parcal para obtenção o ítulo e Bacharel em Engenhara e Energa. Unversae e Brasíla UnB Faculae UnB Gama FGA Orentaor: Prof. Dr. Lus Flomeno e J. Fernanes. Brasíla DF 6

3 Squera, ncus. Análse a Establae Dnâmca em sstemas elétrcos por meo e nterface gráfca. /ncus Squera Brasíla-DF p. : l. ; 3 cm. Orentação: Prof. Dr. Lus Flomeno e Jesus Fernanes Monografa (Grauação Unversae e Brasíla -UnB Faculae UnB Gama - FGA, Brasíla, 6..Establae..SEP. 3. Dnâmca. 4. Interface. 5.MALAB.6. Moelagem. I. Flomeno e Jesus Fernanes. Lus. III. Faculae UnB Gama. I. Análse a Establae Dnâmca no sstema elétrco por meo e nterface gráfca.

4 REGULAMENO E NORMA PARA REDAÇÃO DE RELAÓRIOS DE PROJEOS DE GRADUAÇÃO FACULDADE DO GAMA FGA ncus Squera Monografa submeta como requsto parcal para obtenção o ítulo e Bacharel em Engenhara e Energa a Faculae UnB Gama - FGA, a Unversae e Brasíla, em e e apresentaa e aprovaa pela banca examnaora abaxo assnaa: Prof. Dr. Lus Flomeno e J. Fernanes UnB/ FGA Orentaor Prof. Dr. Flavo Henrque Justnano Rbero a Slva UnB/ FGA Membro Convao Prof. Dr. José Felíco a Slva UnB/ FGA Membro Convao Brasíla, DF 6

5 Agraecmentos A Deus por estar sempre ao meu lao, conceeno coragem para que eu puesse transpor mnhas barreras. Aos meus pas Nlma e Beneto, por too o suporte ao longo e mnha va, à calma e compreensão com mnha pessoa, e à mnha rmã Carolna que também sempre me apoou. À mnha namoraa Amana e toa sua famíla também por me apoarem em város momentos e sempre me ano suporte para que eu consga conclur meus planos. Ao professor Lus Flomeno e Jesus Fernanes, por acetar me orentar nessa nova etapa a va acaêmca, além e sua amzae, pacênca e números ensnamentos. A toos meus amgos a Unversae e Brasíla, Eson hago, Euaro Xaver, Bruno Dobersten, Danel Auler, Danel Juswak, Igor e Olvera, Fellype Lev, Euaro Sampao, Danlo osta, Mateus Ofre. Campus Gama, que me acompanharam nessa trajetóra. Em especal um agraecmento póstumo ao amgo Allan Salba. Aos meus amgos e Anápols, mnha cae natal, que sempre me apoaram no meu crescmento. ambém agraeço aos novos amgos o Mnstéro Públco Feeral pelos ensnamentos passaos no períoo o estágo, tanto na Dvsão e Sustentablae quanto na Secretára e Engenhara e Arqutetura.

6 á confante na reção os seus sonhos. va a va que você magnou. Henry Dav horeau. (87-86

7 Resumo A establae nos sstemas e potênca representa um os aspectos mas mportante para que as cargas (centro consumoras recebam energa elétrca com qualae e e moo nnterrupta. O estuo e montoramento os moos e osclação eletromecâncos provencam a nformação necessára para a análse a establae em um sstema elétrco e potênca. Este trabalho e conclusão e curso propõe-se um smulaor gráfco para o estuo e establae nâmca por meo e uma nterface gráfca o MALAB. Usa-se a moelagem os spostvos os sstemas e potênca-geraor, regulaores e tensão e e velocae, e os establzaores para, e moo átco, preparar os estuantes sobre essa área o conhecmento. Palavras-chave: Establae, SEP, Dnâmca, Interface, MALAB, Moelagem.

8 Abstract he stablty of power systems s one of the most mportant aspects for the loas (consumer center receve electrcty wth qualty an unnterrupte manner. he stuy an montorng of electromechancal oscllaton moes prove the necessary nformaton for analyss of the stablty of an electrc power system. hs course concluson work proposes a graphc smulator for the stuy of ynamc stablty through a graphcal MALAB nterface. the moelng of evces of powergeneratng systems, voltage regulators an spee s use, an stablzers for, actc way, prepare stuents for ths area of knowlege. eywors: Stablty, SEP, Dynamc, Interface, MALAB, moelng

9 Lsta e Fguras Fgura : Classfcação os problemas e establae o SEP Fgura : Dagrama fasoral que tem como referênca os exos síncronos D e Q ou os exos e q a -enésma máquna Fgura 3: Dagrama fasoral teno como referênca os exos síncronos D e Q Fgura 4: Dagrama fasoral teno como referênca os exos e q a -enésma máquna Fgura 5: Dagrama fasoral a -enésma máquna Fgura 6: Dagrama e blocos o sstema Fgura 7: Dagrama e blocos o establzaor com snal e entraa e velocae.... 5

10 Lsta e abelas abela : pos e barras para Fluxo e Carga abela : Conteúo programátco esperao para o seguno semestre o ano e

11 Lsta e Sglas [ I ] ng X - etor coluna os ncrementos as componentes as correntes nos exos retos as máqunas [ I q ] ng X - etor coluna os ncrementos as componentes as correntes nos exos quaratura as máqunas. [I s]- etor coluna a corrente referente ao Exo o sstema e referênca. [L q ] ng X ng e [M ] ng X ng - Matrzes e termos amensonas. [P q ] ng X ng - Matrz e termos corresponentes a correntes. [Q q ] ng X ng - Matrz e termos corresponentes as amtânca. [ s]- etor coluna a corrente referente ao Exo o sstema e referênca. [ΔE q ] ng X - componentes e fluxo no exo reto. [ δ] ng X - etor coluna os ncrementos os ângulos e torque as máqunas. E q - etor coluna as tensões. [I q ] - etor as componentes as correntes nos exos em quaratura. [ ] - Matrz as constantes e tempo transtóras o exo reto para o crcuto e campo em aberto. - Escalar que representa o fasor a tensão a barra nfnta. Y j - A amtânca entre a -enésma e j-enésma barra. [x q ]- Matrz e reatânca o exo em quaratura. E FD - Componente o fluxo e campo. I - Incremento a corrente no exo reto a -enésma máquna. I q - Incremento a componente a corrente no exo em quaratura a -enésma máquna. e - Incremento o torque elétrco. Ω k Conjunto as barras vznhas. ө k - Ângulo a tensão noal. ө km Defasagem angular o ramo km.

12 B km Suceptânca o ramo km. G km Amtânca o ramo km. I S - Corrente referente ao Exo o sstema e referênca. I k Magntue a corrente na barra k. j, j, 3j, 4j, 5j e 6j Constantes e ganho o sstema. s - Ganho o establzaor, M e D - Atrtos vscosos. P k - Geração líqua e potenca atva. P k Potênca atva a barra k. Q k - Injeção líqua e potênca reatva. Q k Potênca reatva a barra k. S k - Potênca aparente a barra k.,, 3 e 4 - Constantes e tempo os compensaores e avanço e fase, e orque elétrco rfásco. S - ensão termnal referente ao Exo o sstema e referênca. - ensão no termnal a máquna no Exo reto. k - Magntue a tensão noal a barra k. n Magntue a tensão noal a barra n. q - ensão no termnal a máquna o exo e quaratura. t - ensão nos termnas a máquna. Y kk Amtânca própra a barra k. Y kn Amtânca o ramo kn. exo reto a -enésma máquna. f, f, f n - Funções o sstema. q exo e quaratura a -enésma máquna. x, x, x 3,., x n Estmatvas ncas. δ - Ângulo que va o exo e quaratura o ESR ao q.

13 [x ]- Matrz e reatânca o exo reto. [ X ] - etor as ervaas no tempo as varáves e estao. [ X] - etor e varáves e estao o sstema. [A] Matrz e estao. X 5 e X 6 - aráves e estao (ncluías pelo establzaor u e (s- Incremento o snal e controle suplementar. ESR- Exo o sstema e referênca. FACS - Flexble AC ransmsson Systems. GPS - Global Postonng System. H - Momento e nérca a máquna. I Corrente. NB Número e barras o sstema. PMU - Phasor Measurement Systems. PQ Barras e Carga. PSS - Power System Stablzers. pu Sstema por unae. P Barras e Geração. rms roots means square (valor efcaz. SEP - Sstema Elétrco e Potênca. ensão a barra. Barras e Referênca ou Slack. Y Amtânca. δ- Ângulo e Carga. ΔQ Dferença os valores calculaos e os especfcaos. D- Matrz o conjunto e equações. J Matrz Jacobana. R- etor e arações.

14 - Constante e tempo o ervaor, Δx, Δx, Δx 3,... Δx n Correções as estmatvas ncas. ε alor etermnao como parâmetro e fm e teste. ω elocae angular a máquna.

15 Sumáro - Introução Hstórco pos e Fenômenos e Establae Establae Angular Establae e ensão Classfcações os estuos e establae Establae ranstóra Establae Dnâmca Uso a Establae Dnâmca nos Sstemas e Potêncas Moernos....4-Conclusão Fluxo e Carga Introução pos e algortmos e análse e fluxo e carga Métoo e Gauss Métoo e Gauss-Seel Métoo e Newton Métoo e Newton Raphson Moelo Matemátco/ Físco o Newton-Raphson Algortmo e Newton-Raphson Conclusão Moelagem o Sstema Elmnação a barra nfnta Sstemas e referênca e notações Correntes nas máqunas Lnearzação as equações e corrente Determnação e j e j Determnação e 3j e 4j Determnação e 5j e 6j Formação a matrz estao A Moelo e Heffron-Phllps com establzaores Moelo Mulltmáqunas A matrz o sstema com nclusão o snal aconal.... 5

16 Conclusões Etapas Futuras Desenvolvmento Programação Referêncas

17 - Introução Em um sstema e potênca nterlgao exstem váras máqunas elétrcas, lnhas e transmssão, cargas as mas versas naturezas tas como nustras, comercas e resencas. Para a operação correta e contnua os sstemas elétrcos e potênca (SEP alguns estuos são efetuaos off-lne, como a análse e curto-crcuto, regulação e tensão, e prncpalmente e establae. Na atualae, com o ncremento as lnhas e transmssão as áreas proutoras e energa que stam os granes centros consumores, e alaos a sso exstem restrções ambentas que mpeem a construção e expansão e novas nstalações elétrcas, têm surgo fculaes e operação e montoramento os SEP s. Assm, metoologas para o controle e supervsão os sstemas elétrcos vêm seno esenvolvos [, ]. O prncpal componente os SEP s são as máqunas (geraores esses em funconamento orgnam ou são submetos à osclações eletromecâncas locas ou remotas (nter-áreas provocaas pelas nterações entre as maqunas nstalaas na mesma planta (usna ou geraores e outras usnas [3]. As naturezas as osclações são: as pouco amortecas e as bem amortecas. As osclações e pouco amortecmento, ou ana nstáves, colocam em pergo a operação o sstema, levam a restrção o fluxo e potênca nas nterconexões e transmssão e poem levar o sstema ao colapso [4]. Contuo, as osclações bem amortecas são as mas presentes nos SEP s na maora o tempo e operação estes [4]. Para a análse e establae nos SEP s efetuam-se estuos transtóros (granes perturbações e nâmcos (pequenas perturbações. No estuo a establae a pequenas perturbações enfatzam-se as osclações eletromecâncas que se basea na técnca e análse e sstemas lneares [, 5]. Nas ultmas uas écaas com o surgmento e processaores potentes, o sstema e posconamento global (Global Postonng System- GPS e a transmssão e aos através a Internet, surgram as PMU s ( Phasor Measurement Systems que tem ao uma contrbução expressva nos estuos e osclações eletromecâncas bem como novos métoos para estuar esse assunto [6,7]..-Hstórco Dese os prmóros a humanae sempre exstu uma necessae muto grane por uma fonte e energa, ao qual puesse se obter conforto e melhor qualae e va. 7

18 A energa elétrca representa um mportante papel no que tange o esenvolvmento humano como fonte e bem estar, contrbuno, assm, para uma melhora conserável no esenvolvmento socal [5]. O aumento o os setores nustras e econômcos foram acompanhaos também pela emana e energa elétrca. Seno assm, para suprr essa procura os sstemas e potênca tveram que ser expanos; sstemas que eram solaos foram se nterconectano, aumentano a confablae no servço e atenmento à emana esse nsumo [5]. Porém com a ncorporação e sstemas solaos, e por consequênca as crações esses novos sstemas trouxeram a tona, com o ntercambo e energa, problemas que antes não eram observaos. Dentre esses problemas está o e establae [5]. Dese a écaa e que problemas relaconaos com a establae e sstemas e potênca, são tos como mportantes varáves no que z respeto à segurança e operação e sstemas []. Para que se possa ter uma ea a mportânca esse parâmetro, mutos os granes apagões foram causaos evo à nstablae os sstemas e potênca [, 5]. Seguno [], efnr e classfcar problemas relaconaos com a establae e sstemas e potenca já é conserao antgo, porém ana não são refletos e forma completa nas atuas necessaes, experêncas e entenmentos a nústra, as efnções não apresentam tanta precsão e as classfcações não estão em conformaes com toos os cenáros possíves e establae. A establae poe ser ta como o equlíbro e forças opostas. Poe ser efna também como seno a capacae e um sstema, para certa conção e operação ncal, e se recuperar a um estao e equlíbro operaconal após ter so submeto a alguma perturbação físca, seno que toas as granezas estão entro os lmtes e operação. A efnção acma poe ser aplcaa a um sstema nterlgao na sua totalae, no entanto também nclu a nstablae e tempo útl e esconexão e um elemento (geraor, que sem ele o sstema se torna nstável [5]..- pos e Fenômenos e Establae Os SEP s moernos evo a sua complexae são sstemas que possuem orem elevaa, composto e númeras varáves ervaas os componentes eletromecâncos e eletrôncos, que com suas atuações nfluencam o esempenho os sstemas. Em conções normas e operação esses sstemas são mofcaos evo ao chaveamento e cargas, poeno causar muanças na topologa estes e 8

19 ocasonar esequlíbro que poem consequentemente orgnar algum tpo e nstablae. Assm, exstem três tpos prncpas e categoras e establae e sstemas e potênca, a establae angular, establae e tensão e a establae e frequênca. Nas próxmas sub-seções se fará um etalhamento estas categoras e establae []. Uma as formas e classfcar os problemas envolveno establae é apresentao na Fgura. Nela estão classfcaas caa tpo e establae. Fgura : Classfcação os problemas e establae o SEP...- Establae Angular Este tpo e establae esta relaconao aos snas transtóros chamaos rngown, evo a granes perturbações, como curtos-crcutos, a pera e algum equpamento (geraor, transformaor, etc. O estuo o problema e establae angular envolve o estuo as osclações eletromecâncas nerentes aos geraores e potênca, one o prncpal fator é o ângulo as máqunas síncronas quano varam com as osclações os rotores [4]. A essênca a establae angular está relaconaa à capacae a máquna em manter o equlíbro entre o torque eletromagnétco e o torque mecânco, ocorreno à nstablae quano esse equlíbro for pero, fazeno com que aumentem as osclações angulares e sso levará a pera o sncronsmo e consequentemente a nstablae o sstema. A establae o sstema e potênca é uma função entre a potênca e a varação a posção angular o rotor, seno essa uma relação não lnear []. 9

20 ..- Establae e ensão Na ocorrênca e alguma perturbação num sstema elétrco ocorre sempre o aumento ou ecréscmo a tensão aos termnas os geraores e/ou as barras o sstema. Desta manera, esse fenômeno é e uma mportânca relevante na fase e estuos e e operação. A establae e tensão poe ser ta como a capacae e um sstema e potênca em manter suas tensões constantes em toas as barras o sstema após ser submeto a algum tpo e perturbação a partr e uma aa conção e funconamento ncal [, 5, 9, ]. A capacae e manter ou restaurar o equlíbro entre emana e fornecmento e carga o sstema é um os prncpas fatores e epenênca esse tpo e establae [, 5, 9, ]. A quea progressva as barras e tensões e um sstema poe ser assocaa com a establae angular. Para suprr esse esequlíbro, alguns equpamentos como reatores shunt, capactores e spostvos FACS são alocaos nas barras e/ou nas lnhas e transmssão. Ou seja, o aumento a nstablae angular leva a nstablae a tensão e por consequênca o sstema. A establae e tensão justfca-se, pos os sstemas atuas trabalham em seus lmtes, e é e mportânca vtal ao planejamento e longo prazo se conserar os efetos e sobrecarga e possíves nstablaes e ângulo [8]. A crescente emana e consumo faz com que os sstemas tenam a operar em seus lmtes, e para mtgar os problemas que possam causar o colapso ou nstablae, alguns equpamentos têm so nstalaos, como por exemplo, FACS [9], vsano melhorar os níves e tensão nas rees...3- Establae e Frequênca A observação o comportamento a frequênca permte nferr sobre o moo e funconamento as máqunas e um sstema elétrco. Nos estuos e na operação os sstemas essa varável elétrca vara numa estreta faxa o qual não eve sar, pos acarretará a pera e sncronsmo e algumas máqunas. Em conção normal a frequênca os geraores eve permanecer no seu valor nomnal. Na ocorrênca e alguma falta essa varável vara, mas everá se establzar no seu valor nomnal. Esse tpo e establae poe ser to como a hablae o sstema e potênca em se manter estável entro os parâmetros a frequênca em uma faxa nomnal, em função e uma brusca osclação no sstema [, 5, ]. A stuação e establae é epenente ntmamente a capacae o sstema em restaurar o balanço entre geração e carga com um mínmo e pera e carga.

21 Geralmente esses problemas estão lgaos às naequaas respostas e equpamentos, fraca coorenação e controles e equpamentos e proteção ou reserva e geração nsufcente [, ]. Perturbações nos sstemas geralmente resultam em granes excursões e frequênca, fluxo e potênca, voltagem e outras varáves o sstema, requereno a atuação e controlaores e o sstema e proteção []. Em sstemas mult-máqunas é frequente nos proverem com uma caea e proteção que garantam o máxmo e fornecmento e energa, com o mínmo e peras e unaes geraoras. Quano possível separam-se alguns subsstemas formano lhas que poem fornecer energa a partes o subsstema manteno a establae e ambos. A estratéga este tpo e análse foca-se na análse e sub frequênca ou sobre frequênca..3- Classfcações os estuos e establae Na análse e establae angular, os tpos e caso são conseraos: pequenas perturbações, o que está relaconao com a establae nâmca e granes perturbações ou rngown que refere-se a establae transtóra. A ferença sgnfcatva entre elas está na representação matemátca o sstema. Na prmera consera-se um sstema lnearzao enquanto que na seguna o moelo usa equações ferencas epenentes o tempo..3. Establae ranstóra Na establae transtóra a natureza o stúrbo tem um mpacto sgnfcatvo nos parâmetros que ele epenem. Este tpo e establae angular se caracterza por um evento rápo e curta uração tas como a quea e uma árvore sobre uma lnha e transmssão, um curto-crcuto ou a pera e um equpamento como um geraor. Nesse tpo e establae a análse se basea no comportamento angular no tempo, e moo a avalar se as osclações nerentes à falta são e natureza crescente ou ecrescente. A análse esse tpo e establae exge uma moelagem etalhaa o sstema, o que nclu as característcas transtóras etalhaas os geraores []. Os moelos matemátcos usaos na representação e establae transtóra são complexos e usam parâmetros que varam com o tempo. No referente ao ntervalo e tempo e nteresse em estuos e establae transtóra, o mesmo é geralmente e 3 a 5 seguno seguntes a perturbação, poeno se estener a ate segunos para sstemas muto granes [].

22 Em [9], fo proposto um smulaor gráfco utlzano a nterface gráfca (GUI- Gue User Interface o Matlab para ensno e análse transtóra. Dano prossegumento a anteror, neste trabalho propõe-se uma nterface gráfca para estuos e establae a pequenos snas, para fns átcos..3. Establae Dnâmca Seguno unur [4]. et al, esse tpo e establae é conserao e moo ferente, seguno os autores e localzação geográfca e seus países. Para este trabalho se aota o conceto a lteratura, one a establae nâmca sgnfca como o estuo e pequenas perturbações. Ao contraro a establae transtóra, a establae nâmca é ocasonaa por pequenas perturbações no sstema, como pequenas varações e carga que vão ocorreno ao longo o a e que acarretam em ajustes na geração [4]. Do ponto e vsta matemátco, uma pequena perturbação poe ser efna como um pequeno esvo em torno o ponto e operação o sstema, seno assm toas as equações que escrevem o sstema poe ser lnearzao em torno e um ponto e equlíbro [4]. Em análse off-lne ou em sstemas em operação (real tme o objetvo é estuar os moos e osclação eletromecâncos, ou seja, a obtenção os autovalores, que são as raízes e um sstema lnear. Esses nos SEP s aparecem na forma e pares complexos conjugaos, eveno possur parte real negatva para que ocorra a establae. Mutas técncas para análse e pequenas perturbações têm so apresentaas [, 5, 7,,, ]..3.3 Uso a Establae Dnâmca nos Sstemas e Potêncas Moernos A análse a establae, hstorcamente, tem so o problema e maor preomnânca na maora os sstemas, atrano assm maor parte a atenção a nústra []. O maor estaque se á a establae angular no geral e em partcular a establae nâmca. Concetualmente, essa análse basea-se no equlíbro entre torque eletromagnétco e saía e o torque mecânco e entraa em um geraor, e manera que a velocae e rotação o rotor e o motor prmáro permaneça constante. ão logo ocorra uma perturbação o rotor poe acelerar ou frear epeneno as les e aceleração. Se aumentar a ferença angular reuz a transferênca e potênca e poe orgnar a pera a establae. Assm o estuo e establae o ângulo ve-se em establae transtóra e establae nâmca, e acoro com a Fgura.

23 No seguno tpo e establae, que é o objetvo esse trabalho, consera-se que o sstema everá permanecer em sncronsmo quano submeto a pequenas varações e carga em torno o seu ponto e operação, e tal manera que a relação potênca ângulo que é não lnear possa ser conseraa lnear. Dessa manera a análse e establae nâmca e um SEP se faz usano um moelo lnearzao. Esse tpo e establae esta relaconao ao fraco amortecmento as osclações eletromecâncas. Essa característca os moos poem ser amortecos com o uso e PSS (ESP ou establzaores e sstemas e potênca. Esses os spostvos aconam snas que exctam os geraores. Atualmente spostvos FACS são ncorporaos aos sstemas elétrcos contrbuno para o amortecmento as osclações e melhorano o perfl e tensão os sstemas [4]. Em estuos e projeto e expansão, esta análse nfluenca nas tomaas e ecsão as possíves confgurações e geração e carga a futura expansão o sstema. Ou até mesmo nas própras nústras geraoras a Eletrcae, estuano formas e obter os ajustes mas efcentes relaconaos com parâmetros e regulaores e velocae e controlaores que estão lgaos nos sstemas e exctação []. Com a evolução esses sstemas e por consequênca o aumento contínuo e nterlgações, o uso e novas tecnologas para o mantmento o controle e o aumento e processos em conções aversas, trouxeram novos estuos trazeno a tona novos tpos e establae []. O estuo a establae nâmca poe ser atrbuío a sstemas e potênca moernos, como por exemplo, a establae nâmca e máqunas síncronas, que é um problema envolveno o comportamento o ângulo e carga (δ e a velocae o rotor quano eparaos com pequenas perturbações [8]. Para análse e establae nâmca, um pré-requsto é o estuo estátco a ree elétrca. Para esse fm, exstem alguns métoos e resolução que se poe utlzar, tas como, os métoos e Gauss, Gauss-Seel, Newton e Newton-Raphson. Que serão mas bem exemplfcaos em outras seções. A establae nâmca envolve moos locas e globas já escrtos anterormente. Realça-se que as frequêncas os moelos locas estão na faxa e a Hz, enquanto que as frequêncas os moos globas ou nter-áreas encontram-se na faxa e, a Hz [3]. São os estuos estes moelos obtos e mostraos grafcamente que são o objeto esse trabalho..4-conclusão Neste capítulo são apresentaos os tpos e establae nos sstemas elétrcos. Fo estacaa a establae o rotor assocaa a pequenas perturbações. Apresentou- 3

24 se e moo resumo a bblografa estuos os moelos e osclações eletromecâncos em SEP s usano aos e smulação. No próxmo captulo será apresentao o fluxo e carga, que fornece os aos estátcos sobre um ao momento o SEP e que a partr o qual se fará o estuo a establae nâmca. 4

25 - Fluxo e Carga Neste capítulo será apresentaa uma breve ntroução sobre o fluxo e carga, os métoos Gauss, Gauss-Seel, Newton e Newton-Raphson para análse e fluxo e carga, o moelo matemátco que será utlzao na contnuação o trabalho e apresentação o algortmo e cálculo.. Introução Dese níves e operação até níves e planejamento e expansão as rees elétrcas, o esenvolvmento e metoologas para o cálculo o fluxo e carga é e extrema mportânca na análse e sstemas elétrcos e potênca. Seguno [], uma ferramenta que é utlzaa com bastante frequênca no estuo e sstemas e potênca é o cálculo as conções e operação o sstema em regme permanente, que também poe ser chamao como cálculo o fluxo e carga, para uma aa conção e carga e geração. Em uma ree e energa elétrca o cálculo e fluxo e carga, ou também chamao fluxo e potênca, poe ser efno essencalmente como a etermnação o estao a ree, strbução os fluxos e e algumas outras granezas [3]. Problemas que envolvem fluxo e potênca requerem a moelagem o sstema como seno estátca, sso sgnfca que a ree é representaa por um conjunto e equações e nequações algébrcas [3]. A carga ou a potênca em um SEP apresenta uma varação aleatóra e, por essa razão, o que se tem conhecmento são valores méos estmaos para uma hora etermnaa o a. Devo a sto a carga poe ser nterpretaa como uma perturbação para o sstema [3]. Seno assm o cálculo e fluxo e carga consste bascamente na obtenção as conções e operação (magntue e fase as tensões nas barras o sstema, fluxos e potênca nas lnhas e transmssão e transformaores e uma ree elétrca aa em função a sua topologa e e níves e geração e potênca e emana [4]. Seguno [3], a formulação mas smples o problema, ou seja, a formulação básca a caa barra a ree é assocaa a quatro varáves. Seno elas: k - Magntue a tensão noal a barra k. ө k - Ângulo a tensão noal. P k - Geração líqua e potenca atva. Q k Injeção líqua e potênca reatva. Depeneno as varáves que entram como aos e as conserações tomaas como ncógntas, poem-se efnr três tpos e barras. As barras e carga, as barras e geração e as barras e referênca []. 5

26 A barra e carga representam as subestações e energa elétrca nas quas estão conectaas as cargas o sstema elétrco. Por sua vez a barra e geração representa as nstalações que possuem geraores que poem realzar o controle a sua tensão por nterméo a njeção e potênca reatva. E a barra e referênca, mutas vezes enomnaa como slack, entre as três é a únca com mportânca para a formulação o problema em função e suas característcas que poem fornecer um ângulo e referênca e fechar o balanço e potênca o sstema []. A abela aaptaa e [] emonstra os três tpos e barras com suas respectvas notações, aos e entraas e ncógntas a serem avalaas. abela : pos e barras para Fluxo e Carga. po e Barras Notação Daos Incógntas Barras e Carga PQ P k e Q k k e ө k Barras e Geração P P k e k Q k e ө k Barras e referênca k e ө k P k e Q k. pos e algortmos e análse e fluxo e carga Com o ecorrer os anos os SEP s foram se tornano mas complexos, haveno assm uma necessae e métoos e resolução mas robustos e efcentes. Dentre os város métoos poem-se ctar quatro, seno eles: métoo e Gauss, métoo e Gauss-Seel, métoo e Newton e métoo e Newton-Raphson. As equações báscas o fluxo e carga são obtas mpono-se a conservação as potêncas atva e reatva em caa nó a ree, sto é, a potênca líqua njetaa tem e ser gual à soma as potêncas que fluem pelos componentes nternos que tem este nó com um e seus termnas [3]. Como fo menconao anterormente, os problemas e fluxo e carga poem ser formulaos por um sstema e equações e nequações algébrcas não lneares que servem como analoga às les e rchhoff e a um conjunto e restrções operaconas a ree elétrca e e seus componentes [3]. As respostas obtas pelos métoos poem ser e os tpos, retas ou nteratvas. A segur são escrtos as metoologas utlzaas na análse e fluxo e potênca nos SEP s...- Métoo e Gauss É semelhante ao processo e elmnação e Gauss, one na matrz e estao que é montaa com as amtâncas e tensões a barra, esperano como resultao as correntes. Como to acma poe ser relaconaa com as les e rchhoff e obeece a forma: 6

27 I = Y (.. One I é a corrente njectaa nas barras, Y as amtânca e lnhas e a tensão as barras. É feto a elmnação as barras one exste fonte e corrente, porém esse métoo também é válo para problemas que não apresentam fonte e corrente na barra que será elmnaa. Esse métoo poe ser vo em os passos. O prmero consste na normalzação a prmera equação, transformano a matrz o sstema em uma matrz trangular superor. Já o seguno passo é a elmnação a varável pvotaa nas outras equações encontrano o valor e uma varável que pelo métoo a retrosubsttução poe-se etermnar as outras varáves e nteresse... Métoo e Gauss-Seel De manera semelhante ao métoo e Gauss, a moelagem e Gauss-Seel trabalha com as equações e estao e um SEP, porém e manera ferente o métoo e Gauss que é obto e manera reta, o métoo e Gauss Seel é obto e manera nteratva [3]. A equação e nteração o métoo Gauss-Seel poe ser obto por meo e (. Sabe-se que * * S k k I (.. k Substtuno ( em (, e conserano a prmera le e rchhoff, a soma e toas as correntes encontra-se a equação: NB * * * S ( k Y kn n ky kk (.3. k k n k One Ω k, é o conjunto as barras vznhas e NB é o número e barras o sstema. Então a tensão k é obta pela equação: S (.4. Y kn n n * k k * Y kk k E a partr essa equação é feto algumas nterações até que o valor comece a convergr a um valor especfcao (ε através a relação apresentao na equação a segur Δ k = k k ( < ε (.5. 7

28 ..3 Métoo e Newton O métoo e Newton se basea também nas les e rchhoff e no teorema e ellegen, o que garante a conservação a potênca complexa na ree. Amtno assm a conservação e potêncas atva e reatva nos nós a ree [5]. Portanto as potencas atvas e reatvas poem ser escrtas como: P G B sen k k m kmcos (.6. km km km Q k Me k Me m G km sen km B km cos km (.7. One P k e Q k são as potêncas atvas e reatvas a barra k, respectvamente, k e m são as magntues as tensões nas barras k e m, G e B são as amtânca e suceptânca o ramo km e ө km é a efasagem angular entre as barras. Esse moelo assm como o e Gauss-Seel é e múltplas nterações até que o valor venha a convergr a um valor menor a outro prevamente especfcao, obeeceno a ( Métoo e Newton Raphson É um métoo nteratvo, requer que o usuáro nce o processo fxano uma estmatva ncal a solução. É uma estratéga complcaa, se uma noção a solução não estver ao alcance, por esse motvo os métoos e Gauss e e Gauss- Seel são utlzaos como conções ncas para uma parta segura esse métoo. Porém problemas envolveno fluxo e carga, as magntues as tensões na barra são aproxmaamente guas a pu. Seno assm poe-se aotar esse valor para se ncar esse procemento. O métoo e Newton-Raphson possblta o cálculo as raízes o conjunto e equações, a partr e um ponto fxo. Dentre os quatro métoos apresentaos, o que é mas utlzao é o e Newton- Raphson, por apresentar maor robustez e precsão nas respostas. oos os outros métoos apresentam problemas relatvos ao tamanho a matrz, o que se faz necessáro uma grane quantae e memóra, aumentano o custo a montagem a matrz, ou problemas com a lentão o processo [4]. O métoo e Newton-Raphson é mas efcente para granes sstemas e potênca. A prncpal vantagem este métoo é que o número e nterações necessáro para obter a solução é nepenente o tamanho o problema e computaconalmente é mas rápo. 8

29 .3 Moelo Matemátco/ Físco o Newton-Raphson O métoo e Newton-Raphson poe ser efno como um conjunto e equações: y = f (x, x, x 3,, x n y = f (x, x, x 3,, x n (.8. y n = f n (x, x, x 3,, x n eno como estmatva ncal a solução o segunte vetor e varáves o sstema: x, x, x 3,., x n (.9. Se conserarmos que Δx, Δx, Δx 3,... Δx n são as correções as respectvas estmatvas ncas, tem-se que: y = f (x ( + Δx, x ( + Δx, x 3 ( + Δx 3, x n ( + Δx n y = f (x ( + Δx, x ( + Δx, x 3 ( + Δx 3, x n ( + Δx n (.. y n = f n (x ( + Δx, x ( + Δx, x 3 ( + Δx 3, x n ( + Δx n Caa equação abaxo poe ser expana por sére e aylor, e se esconserarmos os termos e orem mas elevaa teremos: y = f [(x (, x (, x3 (,. xn ( + (Δx f x + + Δx n f n x n ] y = f [(x (, x (, x 3 (,. x n ( + (Δx f x + + Δx n f n x n ] (.. y n = f n [(x (, x (, x3 (,. xn ( + (Δx f x + + Δx n f n x n ] Na notação matrcal poemos reescrever esse conjunto e funções como: y f (x (, x (, x3 (, xn ( ( ( ( ( y f (x, x, x3, xn = [ y n f n (x (, x (, x ( 3, x ( n ] [ f x f x f x f x f x f x f Δx x n Δx f x ] [ Δx n ] f x n (.. 9

30 One se poe efnr : D = y f (x (, x (, x ( 3, x ( n ( ( ( ( y f (x, x, x3, xn [ y n f n (x (, x (, x ( 3, x ( n ] (.3. Obteno a matrz as funções f conheca como matrz Jacobana. J = [ f x f x f x f x f x f x f x n f x n f x ] (.4. De uma manera nteratva poe-se escrever as equações. One R é to como etor e varações. D (p = J (p R (p (.5. Δx R = Δx [ Δx n ] (.6. Isolano (6 em (5. R (p = [J (p ] ¹D (p (.7. O novo valor para caa varável x s poe ser calculao como: x (p+ = x (p + Δx (p (.8. O processo é repeto até que os valores sucessvos para caa x tenha uma ferença estabeleca por uma tolerânca especfcaa (ε. Reescreveno as equações o fluxo e potênca: Q P n k Y cos( n Y k k Y ( k sen k k k k (.9. (.. 3

31 Q Y sen( n Y k k k k sen( k k (.. P n Y k k k cos( k k (.. As equações o fluxo e potênca consttuem um conjunto e equações algébrcas não-lneares em termos as varáves nepenentes, móulo a tensão e ângulo e fase que poe e eve ser expresso em raanos. Expanno as equações em sére e aylor, tem-se então: (p ΔP n (p ΔP n = (p ΔQ (p [ ΔQ n ] [ P (p ( Q (p n (p P ( P (p δ n (p δ (p ( P n (p Δδ (p (p Δδ n (p (p P n P n ( P (p n δ δ n (p ( P (p n n (p ( Q (p (p ( Q (p (p ( Q (p δ δ n (p ( Q (p Δ (p n (p (p ( Q (p n (p ( Q (p n δ δ n (p ( Q (p n n (p ] [ Δ n (p ] (.3. A equação (3 poe ser escrta numa forma matrcal mas compacta. [ ΔP ΔQ ] = [J J ] [ Δδ J 4 Δ ] (.4. Os elementos a agonal prncpal e e fora a agonal a partção J são: Para (.6, j. P P J 3 cos( (.5. j j j j j Y Y j (.6. sen ( j j Por sua vez os elementos a agonal prncpal e e fora a agonal a partção J são: P Y cos( ( cos( j j j (.7. j j Y 3

32 P j Y j cos( j j (.8. Para (.8, j. Para a partção J 3 os elementos a agonal prncpal e e fora a agonal são: Q Q j j j j Y Y j j cos( cos( j j j j (.9. (.3. Para (.3, j. Os elementos a agonal prncpal e e fora a agonal a partção J 4 são: Q Y cos( ( cos( (.3. j Y j j j j (.3. cos( j Q j Y j j Para (.3, j. Os termos ΔP e ΔQ, são as ferenças entre os valores calculaos e os especfcaos ΔP (k = P sch P (k ΔQ (k = Q sch Q (k (.33. (.34. As novas estmatvas para as tensões nas barras são: δ (k+ = δ (k + Δδ (k (.35. (k+ = (k + Δ (k (.36. O processo eve contnuar até que os valores resuas alcancem parâmetros essa forma ΔP (k < ε (.37. ΔQ (k < ε (.38. 3

33 .4 Algortmo e Newton-Raphson Para melhor entenmento, e para conhecmento a manera como eve se agr quano se for resolver um problema envolveno o métoo Newton-Raphson, nesta seção será escrto um algortmo e resolução seguno o métoo e Newton- Raphson. Iníco. Montagem a Matrz Y barra,. Arbtrar conções ncas as varáves e estao (ө (, ( e fazer =; 3. Calcular P k e Q k e verfcar a convergênca. Se max{ P k } < ε p e max{ Q k } < ε q parar. P k = P k (especfcao Pk (calculao, k {PQ, P} Q k = Q k (especfcao Qk (calculao, k {PQ} 4. Fazer = + e montar a matrz jacobana J 5. Soluconar o sstema lnearzao: 6. Atualzar a solução o problema 7. oltar para o passo 3. Fm [ P Q ] = J [ ө ] [ ө + ] = [ ө ] + [ ө ].5 - Conclusão Neste capítulo apresentou-se as ferentes metoologas para o estuo e fluxo e carga. Foram apresentaos os moelos e Gauss, Gauss-Seel, Newton e Newton- Raphson. Justfcou-se o uso a metoologa e Newton-Raphson que será aotao nesse trabalho. 33

34 3 Moelagem o Sstema Inepenente o estuo SEP nâmco, a escolha e um moelo matemátco aequao eve ser escolho [6]. São város os tpos e problemas relaconaos a um sstema e potênca nâmco (alta ou baxa osclação e frequênca, pequena ou grane perturbação no sstema e um grane ou pequeno SEP. Porém eles apresentam um número lmtao e componentes mportantes o sstema para o estuo nâmco (turbnas hráulcas e a vapor, o geraor síncrono e o sstema e exctação, one para caa componente se tem um moelo básco e entre eles o mas mportante e complcao é o o geraor síncrono [6]. Este moelo apresenta como base o prncípo e que as potencas atvas e reatvas se balanceam e que são contnuamente satsfetos, nepenentemente a barra o sstema e em qualquer processo nâmco. Seno assm se obtém um moelo resultante lnear, que poe ser usao na análse a establae e pequenos stúrbos. 3. Elmnação a barra nfnta. Nos estuos e moelagem nâmca sempre se consera uma barra conteno um geraor com elevao (grane momento e nérca que o torna nsensível a qualquer perturbação. Como consequênca na formação a matrz e estao, nepenente a moelagem a máquna, exstrão autovalores próxmos e zero, que estão lgaos a essa máquna. 3.- Sstemas e referênca e notações. O moelo esenvolvo nesse capítulo é uma nteração mútua a -enésma com a j- enésma máquna, seno assm, se tem a necessae e se aotar um sstema e referênca comum, que é apresentao na Fgura aaptaa e [7]. 34

35 Fgura : Dagrama fasoral que tem como referênca os exos síncronos D e Q ou os exos e q a -enésma máquna. Assm, serão usaos o exo o sstema e referênca (ESR, como representao no agrama fasoral, one os exos cartesanos poem ser chamaos e D (reto e Q (quaratura, que gram na frequênca síncrona, no sento ant-horáro que por convenção será conserao postvo para a mea os ângulos [7]. O exo e quaratura rá concr com o fasor a tensão o barramento nfnto. E os símbolos e q se referem aos respectvos exos a -enésma máquna, já o δ é o ângulo que va o exo Q o ESR ao q a -enésma máquna [7]. Serão fetas com frequênca transformações e coorenaas e um sstema para outro, ora em relação ao ESR, ora para os própros exos as máqunas. A muança os exos e referênca é ta como uma transformação lnear o tpo rotação. One δ no sento ant-horáro quano é passao o ESR para os exos as máqunas e δ as máqunas para o ESR. O que é emonstrao nas Fguras 3 e 4 [7]. Fgura 3: Dagrama fasoral teno como referênca os exos síncronos D e Q. 35

36 Fgura 4: Dagrama fasoral teno como referênca os exos e q a -enésma máquna. Para as granezas fasoras I e que serão apresentaas a segur, que são efnas em pu, o subscrto s nca que os fasores são relatvos ao ESR. E o ínce, correspone a -enésma máquna [7]. I S = I Q + ji D = I S e J (3... S = Q + j D = S e J (3... I = I Q + ji D = Ie J (3..3. Comparano as fguras 3 e 4, poe-se perceber que I s = I. Na Fgura 5 é mostrao um agrama fasoral a -enésma máquna [7]. Fgura 5: Dagrama fasoral a -enésma máquna. 3.3 Correntes nas máqunas É e funamental mportânca a etermnação as correntes para que se possa realzar a moelagem o sstema e matrzes. Reuzr o sstema a ng (número e 36

37 geraores barras geraoras e amtno a matrz o barramento nfnto antes Y B para a representação Y BR, e assumno a exgênca e que a soma e toas as correntes que entram nos nós evem ser gual a zero (ª le e rchoff, a equação a corrente na forma matrcal poe ser escrta como: I S (3.3.. Y BR ( ng X ( ng X ( ng ( ng X One os vetores [I s] e [ s], tem como coorenaas os fasores as correntes njetaas nas barras e suas tensões [7]. As lnhas o prouto matrcal a (3.3. poem ser reescrtas: I S = +Y S Y S Y ng Sng S I S = Y S + Y S Y ng Sng (3.3.. I S = Y ng S Y ng S + Y ngng Sng As amtânca seguem efnções normas para o caso as matrzes que são o tpo Y B, one a amtânca entre a -enésma e j-enésma barra poe ser representao como: Para j com =,..., ng, e j =,...,ng, [7]. E a amtânca própra a barra é aa como: Com =,...,ng, e j =,...,ng, [7]. Y j = Y j e jβ j ( Y j = Y j e jβ j = Y + Y + Y + + Y j ( Em (3.3.4, a varável Y emonstra que esta amtânca está conectaa à terra. O ínce s, as tensões e correntes, mostram que elas estão no ESR. Fazeno a transformação e (3.3. para a forma matrcal novamente, tem-se: I Y Y g S G S ngx ngx ngx ( Em (3.3.5 [I s] e [ s], são vetores colunas as correntes e tensões o sstema reuzo, esconserano o barramento nfnto, e é um escalar que representa o fasor a tensão a barra nfnta. A matrz [Y G ] ng X ng, poe ser obta a matrz Y BR, quano são elmnaas suas prmeras lnha e coluna. E a matrz [Y g ] ng x é o 37

38 negatvo o vetor composto as ultmas componentes a prmera coluna a matrz Y BR [7]. De (3.3.5, solano a matrz e tensão se obtém: E a partr e (3.3.6, se tem: [ S] = [Y G ] {I S + [Y g ] } ( [Y G ] [I S] = [ S] [Y G ] [Y g ] ( E a partr a Fgura 4 poe-se escrever para a -enésma máquna: E q = + jx I + j(x q x I q ( Passano a referênca a -enésma máquna para o ESR poe-se escrever: E qs = S + jx I S + j(x q x I qs ( One E qs = E q e jδ e I qs = I q e jδ, então (3.3.9 fca: Evencano o termo S a (3.3.. E q e jδ = S + jx I S + j(x q x e jδ I q (3.3.. S = E q e jδ jx I S + j(x q x e j(δ π I q (3.3.. E a partr e (3.3. poe-se crar uma equação para a generalzação e um sstema com ng máqunas, colocano na forma matrcal. One, E q j ' j ' ' j( S e E q x I S ngx ngx ngx ngx x q x e I q (3.3.. é o vetor coluna as tensões (rms, que são proporconas às componentes e fluxo no exo reto. [I q ] é o vetor as componentes as correntes nos exos em quaratura. [e j(δ π ] = ag(e j(δ π,, e j(δ ng π. [e jδ ] = ag(e jδ,, e jδ ng. [x ] = ag(x [7]. Substtuno (3.3. em (3.3.7,, x ng. [x q x ] = ag(xq x,, x qng x ng j e j( j ' x I xq x e I q ' ' Y g S Y G ngx One se poe efnr: e E ngx ngx Y G ngx (

39 Y ' j Y G x j G Y G Y g GR GI ngx ngx ngx ngx ( ( Seno que os ínces R e I sgnfcam parte real e parte magnára [7]. Explctano I sa ( [I S ] = [Y ]{[e jδ ][E q ] + [x q x ][e j(δ π ][I q ] [ G]} ( Seno assm a corrente a -enésma máquna o sstema ng refera em ESR fca: I S ng Y j O que nclu o termo j=. Porém j e j ' ' j( ( qj xqj xj e qj Gj E I I = I Se jδ ( Substtuno (3.3.8 em ( I ng j Y j e j ' ' j( j j j E qj x qj xj e I qj Gje ( Conserano: Substtuno (3.3.3 e (3.3.4 em ( ng I = Y j {e j(β j δ j E qj j= δ j = δ δ j ( (x qj x j e j(β j δ j π I qj Gj e j(β j δ } (3.3.. One se poe ecompor a corrente I a (3.3. em parte real (I q e em parte magnára (I ng I q = Real(I = Y j {C j E qj j= ng I = Imag(I = Y j {S j E qj j= + (x qj x j I qj S j F j GR + E j GI } (x qj x j I qj C j E j GR F j GI } (3.3.. (

40 One: C j = cos (β j δ j ( S j = sen(β j δ j ( F j = cos (β j δ ( E j = sen(β j δ ( Lnearzação as equações e corrente O ncremento e I é efno por: I = (I q + ji = I q + ji (3.4.. Seno I o ncremento a corrente no exo reto a -enésma máquna e I q o ncremento a componente a corrente no exo em quaratura a -enésma máquna. Em que essas uas componentes as correntes estão em função e f(δ,, δ ng, E q,, E qng, I q,, I qng [7]. Para j=,...,ng; e expanno I q em (3.3., por meo a sére e aylor tem-se: ng I q = I q + I q δ δ j + I q j j= ng E j= qj ng E qj + I q j= I qj I qj (3.4.. One o subscrto, nca que as ervaas parcas são calculaas nos valores e regme os δ j, E qj e I qj [7]. Utlzano (3.4. para se calcular as ervaas parcas a partr e (3.3., se obtém a expressão: ng I q = Y j {[S j E qj j= (x qj x j I qj C j E j GR F j GI ] δ + C j E qj + (x qj ng x j S j I qj } + Y j {[ S j E qj j= + (x qj x j I qj C j ]} δ j ( De manera análoga a expressão e I (3.3.3 poe ser obta a mesma manera, por meo a sére e aylor em volta o ponto I. 4

41 ng I = Y j {[ C j E qj (x qj x j S j I qj F j GR E j GI ] δ + S j E qj j= ng (x qj x j C j I qj } + Y j {[C j E qj + (x qj x j I qj S j ]} δ j j= ( Poe-se reescrever as equações (3.4.3 e (3.4.4 colocano-as em forma matrcal. Q ' Lq I q Pq ngx ( ngx q E ngx q Q ' I ngx P ngx q E ngx q ( As matrzes [P q ], [Q q ], [L q ], [M ], [Q ] e [P ], são toos calculaos nos valores e regme e δ j, δ, E qj e I qj [7]. [L q ] ng X ng, poe ser ta como a matrz e termos amensonas e seno representaa e forma expana: L qj = I q I = Y j (x qj x j S j ( qj L q = I q I = Y (x q x S ( qj Para (3.4.7 j ; =,...,ng e j=,...,ng. E para (3.4.8 =,...,ng. O vetor coluna os ncrementos as componentes as correntes nos exos quaratura as máqunas é representao por [ I q ] ng X, e a matrz e termos corresponentes a correntes é representaa por [P q ] ng X ng. Seno que P qj a (3.4.5, poe ser escrto como: Para j; =,...,ng; e j =,...,ng. P qj = I q δ = Y j [ S j E qj j E P q a (3.4.6, poe também escrto como: ng P q = I q δ = Y j (E j GR + F j GI j= + (x qj x j C j I qj ] ( (

42 Para =,...,ng. O termo [ δ] ng X (3.4.5 é o vetor coluna os ncrementos os ângulos e torque as máqunas. A matrz [Q q ] ng X ng é chamaa e matrz e termos corresponentes as amtâncas, e poe ser escrta como: Q qj = I q E = Y j C j (3.4.. qj O vetor coluna os ncrementos as tensões em rms, proporconas às componentes e fluxo no exo reto e o vetor coluna os ncrementos as componentes as correntes nos exos retos as máqunas são representaos respectvamente por: [ΔE q ] ng X e [ I ] ng X. A matrz e termos corresponentes a correntes é [P ] ng X ng, e poe ser escrta como: P j = I δ = Y j [C j E qj + (x qj x j S j I qj ] j P = I δ = P j + Y j (F j GR E j GI Para (3.4. j; =,...,ng; e j =,...,ng; e para (3.4.3 =,...,ng. ng j= ng j= A matrz e termos corresponentes as amtâncas : Para =,...,ng e j=,...,ng. (3.4.. ( Q j = I E = Y j S j ( qj E a matrz e termos amensonas [M ] ng X ng poe ser escrta como: M j = I I = Y j (x qj x j C j ( qj Se explctarmos [ I q ], na equação (3.4.7, temos: [ I q ] = [L q ] [P q ][ δ] + [L q ] [Q q ][ E q ] ( Substtuno (3.4.6 em (3.4.8, teremos: 4

43 [ I q ] = {[P ] + [M ][L q ] [P q ]} [ δ] + {[Q q ] + [M ][L q ] [Q q ]} [ E q ] ( Poe-se reescrever as equações (3.4.6 e (3.4.7 obteno as uas equações a segur: ' I q F q Y q ngx ngx E ( ngx ' I ngx F ngx Y E q ( As matrzes [F q ] ng X ng, [F ] ng X ng, [Y q ] ng X ng, [Y ] ng X ng, poem ser calculaas a partr e: q F ngx q (3.4.. Lq P q Q Y (3.4.. L q q q q F (3.4.. P M F Q q Y M Y ( Determnação e j e j Analsano o agrama e blocos a Fgura 6 aaptaa e [6], é possível perceber que as constantes, apresentaas no capítulo anteror, se relaconam com os ncrementos os ângulos δ e as tensões E q com o torque elétrco a máquna. Para facltar o processo, o torque elétrco será expresso em função essas varáves poeno ser escrta como e = f( δ, E q [7]. 43

44 Fgura 6: Dagrama e blocos o sstema. De acoro com [7], a velocae a máquna é escrta como ω = ω + δ t, a seguna parcela a velocae é ta em conções normas e operação na orem e centésmos e Hz, seno assm em pu, a velocae angular é pratcamente a mesma a unae. eno como consequênca, que o torque elétrco em pu é numercamente gual à potenca elétrca. Seno assm o torque trfásco em pu poe ser escrto como na forma e equação: e P e = 3 (v + v q q = I + q I q (3.5.. Seno e q, as componentes e tensão nos termnas a máquna no exo reto e em quaratura, respectvamente. Poeno ser escrtos por meo as equações a segur. = v 3 = x qi q (3.5.. q = v q 3 = x I q + E q ( Substtuno as equações (3.5. e (3.5.3 em (3.5., posterormente lnearzano esta equação em torno o ponto e operação, é ao a equação o ncremento o torque. e = I q E q I (x q x I + {E q I (x q x } I q ( One os termos I, I q e E q são os valores e regme as correntes nos exos reto, em quaratura e a tensão proporconal à componente o fluxo o exo reto. É passaa a equação (3.5.4 na forma matrcal para as ng máqunas o sstema. 44

45 ' I q ' I q ' ngx e E ngx q x q x I ngx E q I I ngx ( Em que [ e ] é o vetor os ncrementos o torque elétrco, [ E q ], [I ] e [I q ], são as agonas, one o ínce vara e a ng. Nas equações (3.4.8 e (3.4.9 temos que [ I q ] = [ I ] = f( δ, E q. Substtuno as mesmas em (3.5.5, e reagrupano os coefcentes [ δ] e [ E q ]. em-se: Seno: ' ngx e ngx E ( ngx q j = D F j + Q F qj ( j = D Y j + Q Y qj ( = D Y + Q Y q + I q ( D = (x q x I q (3.5.. Q = (x q x I q + E q (3.5.. Com e j varano e ate ng Determnação e 3j e 4j Para que se possa etermnar os coefcentes é suposto que o sstema a Fgura 5, contenha apenas uma máquna em um barramento nfnto, assm a transformaa a tensão E q (s, poerá ser expressa a partr a equação (3.5., que relacona E FD e δ(s [7]. ( 3 + s E q (s = E FD + 4 δ(s (3.6.. A tensão e campo o geraor ( E FD está relaconaa com a tensão proporconal ao fluxo o exo reto e com a corrente e exo reto pela equação [7]. E FD = ( + s E q (x x I (3.6.. São conseraos pequenos snas nas vznhanças o ponto e equlíbro a equação (3.6., chegano a uma nova equação que é passaa para a forma matrcal chegano a (3.6.3 [7]. 45

46 I s ' ' ' E ngx FD E ngx q x x I ngx ( Conserano [ E FD ], como o vetor os ncrementos as tensões e campo; [I]a matrz entae e [x x ]a agonal, que vara e até ng ; e [ ]como a matrz as constantes e tempo transtóras o exo reto para o crcuto e campo em aberto [7]. Substtuno o valor e [ I ] obto em (3.4.9, rearranjano os termos e epos passano para a -enésma máquna poe-se escrever. ng ng [ + (x x Y s ] E q = E FD (x x Y j E qj (x x F j δ j j= j Ao comparar a expressão (3.6.4 com a (3.6., poe-se efnr [7]: Com e j varano e até ng. j= ( = { + (x x Y } ( j = { + (x x Y j } ( j = (x x F j ( Determnação e 5j e 6j Seguno [7], ana no agrama e blocos a Fgura 5, poe-se perceber que estas constantes relaconam os ncrementos os ângulos δ e as tensões E q com a tensão termnal a máquna. One t é a tensão nos termnas a máquna. Lnearzano (3.7. t = + q (3.7.. t = ( t + ( q t q (3.7.. One, t e q,são os valores as tensões nos exos reto, a tensão termnal e em quaratura, respectvamente. Utlzano as equações (3.6. e (3.6.3 e as lnearzano. = x q I q (

47 q = x I + E q ( Utlzano as equações (3.5.3, (3.5.4 em (3.5. para um sstema com uma únca máquna, generalzano para um sstema mult-máqunas e passano para a forma matrcal para as ng máqunas o sstema. Seno : x q I q ' q t q t ' ngx t t ngx t o vetor os ncrementos as tensões termnas, [ t ] e [ q t ] as agonas que varam e a ng, x I ngx E ngx q ( E as matrzes e reatânca [x q ] e [x ] as agonas as matrzes e reatânca o exo em quaratura e o exo reto, respectvamente. Substtuno em (3.5.5 as correntes lnearzaas fornecas por (3.4.8 e (3.4.9 e reescreveno na forma matrcal tem-se. One ' ngx t 5 ngx 6 E ngx ' t q q q t 5 x F q x F ( ( ' t q q q t 6 x Y ( x Y 3.8 Formação a matrz estao A Caa bloco refero o agrama representao pela Fgura 5 representa uma equação ferencal ornára (EDO e prmera orem, one a varável e saía será tomaa como seno uma varável e estao, poeno se obter a matrz e estao A [7]. X 4ngX A X 4ngX 4ng 4ngX 4ng (3.8.. Amtno [ X ] como vetor as ervaas no tempo as varáves e estao [ X] como vetor e varáves e estao o sstema. 47

48 Na Fgura 5 poe-se observar que na malha superor o agrama, também nomeaa e malha mecânca [7], o sstema fornece: δ (s = (ω B s ω (s (3.8.. δ = ω B ω ( Porém como a varável e estao δ (s, epene apenas e ω (s, então toas as lnhas e estao terão apenas um elemento gual a ω B e too o resto serão nulos. Nesta malha também é forneco: ng ω (s = { ( D + sm j δ (s j E qj (s} j= ( One o coefcente e nerca a -enésma máquna e os atrtos vscosos são representaos por M e D. Manpulano a equação (3.8.4 se obtém. ng ω (s = ( j j= M δ j j M E qj D ω M ( Na malha nferor, também nomeaa e malha elétrca [7], no bloco no camnho reto que representa o crcuto e campo e a reação a armaura e que tem como varável e saía E q (s, e manpulano as equações se tem: E q ng = ( 4j δ j E qj + E FD 3j j= ( Ana na malha nferor, é também representao o regulaor e tensão e exctaor e ana no camnho reto obtemos. A ng E FD (s = { ( 5j δ j (s + 6j E qj (s} + s A j= Passano para o omíno o tempo a equação ( ng E FD = ( A 5j δ j (s A A 6j E qj A E FD A j= (

49 49 ( E por fm por meo as equações (3.8.3,(3.8.5, (3.8.6 e a (3.8.8, é possível fazer a montagem a matrz e estao A. H H D H H H H H H H D H A A A A A A A A A B A A A A A A A A A B A, 6(, 6(, 6(, 5(, 3(, 4(, 3(, 4(, (, (, (, ( 6(, 5(, 6(, 5(, 3(, 4(, 3(, 4(, (, (, (, (, ( Moelo e Heffron-Phllps com establzaores. Com o ntuto e melhorar a qualae o transtóro as máqunas, aumentano o amortecmento as osclações nter-máqunas os rotores, snas aconas são ntrouzos por meo o sstema e exctação o geraor. Em sua essênca, caa máquna procura prouzr uma componente e torque elétrco, que seja proporconal à varação a velocae o rotor, ou seja, em fase com ela [7]. Para se consegur sso, a partr a velocae é gerao um snal, que passa por rees, ntrouzno avanço na fase a frequênca e osclação a máquna, e njetano na tensão e referênca, compensano, assm o atraso na fase provocao pelo sstema e exctação e regulaor e tensão [7] Moelo Mulltmáqunas. A Fgura 7 representa o agrama e blocos o establzaor com snal e entraa e velocae [7].

50 Fgura 7: Dagrama e blocos o establzaor com snal e entraa e velocae. Seno que: s - Ganho o establzaor, - Constante e tempo o ervaor,,, 3 e 4 - Constantes e tempo os compensaores e avanço e fase, X 5 e X 6 - aráves e estao (ncluías pelo establzaor u e (s- Incremento o snal e controle suplementar. A essênca o prmero bloco apresentao na Fgura 7 é essencalmente ervaor, a constante, é nerente à construção físca o sstema e se procura faze-la a menos manera possível. E os outros blocos representam a ree e avanço e fase [7]. Para o prmero bloco a Fgura 7 poe-se escrever no omíno o tempo One X 5é o ncremento a ervaa no tempo e X 5 (s. Por meo a substtução e (3.8.5 na equação anteror ng X 5 = ( j S j= M X 5 = S ω X 5 (3.9.. δ j j S M E qj D s M E para o seguno bloco a mesma Fgura 7, poe-se efnr que: ω X 5 (3.9.. X 6 = X 5 + X 5 X 6 ( One X 6é o ncremento a ervaa no tempo e X 6 (s. Substtuno a (3.9. em (3.9.3, se obtém. ng X 6 = ( j S δ M j j S M j= E qj D S M ω + ( X 5 X 6 E fnalmente o últmo bloco a Fgura 7 tem-se para o omíno o tempo. (