CONTROLE H NÃO LINEAR DE ROBÔS MANIPULADORES VIA REPRESENTAÇÃO QUASE-LPV

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1 CONROLE H NÃO LINEAR DE ROBÔS MANIPULADORES VIA REPRESENAÇÃO QUASE-LPV Arano A. G. Squera Marco Henrque erra Departamento e Engenhara Elétrca EESC - Unversae e São Paulo São Carlos, SP, Brasl {squera, terra}@sel.eesc.sc.usp.br Resumo O controle H aplcao a sstemas não lneares consste em garantr que o ganho L entre o stúrbo e a saía o sstema seja lmtao por um nível e atenuação γ. Esta garanta será alcançaa se soluções para equações ferencas parcas e Hamlton-Jacob exstrem, cuja obtenção poe ser e conserável complexae. Um procemento alternatvo consste em caracterzar o problema em termos e esgualaes matrcas lneares. Para tal, o sstema não lnear eve ser representao como um sstema quase lnear com parâmetros varantes (quase-lpv). Neste trabalho, esta técnca é aplcaa a um robô manpulaor expermental planar com três lnks. Abstract: H control apple to nonlnear systems conssts n to guarantee that the L between the sturbance an the output be boune by a attenuaton level γ. hs guaranty wll be reache f there are solutons to the partal fferental Hamlton-Jacob equatons, whose obtanment can be of conserable complexty. A alternatve proceure s to characterze the problem n terms of lnear matrx nequaltes. For ths, the nonlnear system have to be represente as a quas-lnear parameter varyng system (quas- LPV). In ths work, ths technque s apple n a expermental robot manpulator wth three lnks. Keywors: nonlnear H control, quas-lpv systems, lnear matrx nequaltes. INRODUÇÃO Um mportante objetvo em síntese e sstemas e controle para robôs manpulaores é projetar controlaores que atenuam os efetos e stúrbos externos e ncertezas paramétrcas. Um os mas populares procementos para obter este objetvo é o controle H, no qual a relação entre as normas nuzas L os snas e entraa (stúrbos) e saía é lmtaa por um nível e atenuação γ. A generalzação o controle H para sstemas não lneares nvarantes no tempo fo prmeramente apresentaa por (van er Schaft, 99). Bascamente, as conções necessáras e sufcentes para que o problema e controle H tenha solução consstem em resolver equações (nequações) e Hamlton-Jacob. Váras ferramentas foram esenvolvas com o objetvo e obter soluções globas para as nequações e Hamlton-Jacob (van er Schaft, 99). Entretanto, não há algortmos efcentes para resolver tas nequações para sstemas com grane número e estaos. Um procemento alternatvo com propreaes computaconas nteressantes é proposto em (Lu an Doyle, 995). Baseao na possblae o problema e controle H lnear ser caracterzao como um problema convexo, ou seja, utlzano-se esgualaes matrcas lneares (DML), os autores analsaram a convexae o problema e controle H não lnear e caracterzaram as soluções em termos e esgualaes matrcas não lneares, seno na realae DMLs epenentes o estao. Por outro lao, as técncas esenvolvas para sstemas lneares com parâmetros varantes (LPV) (Apkaran an Aams, 998; Wu et all, 996) fornecem controlaores epenentes os parâmetros, também chamaos e ganhos escalonaos, satsfazeno a conção e ganho L menor que γ. A nclusão o conhecmento a taxa e varação os parâmetros na síntese os controlaores eve satsfazer um conjunto e DMLs (Wu et all, 996). Quano aplcao em sstemas não lneares, os parâmetros varantes são funções o estao ao nvés e varáves lvres. Esta representação e um sstema não lnear é enomnaa quase-lpv (quase lnear com parâmetros varantes). Em (Clouter et all, 996), ferentes representações lneares e um mesmo sstema não lnear apresentaram esempenhos ferentes. Com o objetvo e elmnar este comportamento, em (Huang an Jababae, 998) fo proposto ncorporar esta lberae e escolha a representação quase- LPV no processo e construção o controlaor. Assm, em (Huang an Jababae, 998), uma conção e DML e mensão nfnta é ervaa englobano toas as representações lneares a nâmca não lnear. Infelzmente o problema e síntese e realmentação o estao é não convexo em ambas as varáves e projeto, seno vsto como um problema e esgualae matrcal blnear (DMB) e mensão nfnta, não haveno garanta e encontrar um ótmo global. Entretanto, analogamente à teração D K para síntese µ, um algortmo teratvo é esenvolvo para encontrar o melhor esempenho possível. Para resolver o conjunto e DMLs gerao por este algortmo, procementos computaconas utlzano-se bases e funções e vsão o espaço e parâmetros foram esenvolvos em (Wu et all, 996). O controle e robôs manpulaores tem so o objetvo e um grane número e pesqusas (Apkaran an Aams, 998; Chen et all, 994; erra et all, 999). A fculae e controlar as coorenaas generalzaas e um manpulaor com o objetvo e segur uma trajetóra esejaa poe ser e conserável graneza se ncertezas paramétrcas e stúrbos externos estverem presentes.

2 Uma aplcação a técnca LPV em um manpulaor flexível é apresentaa em (Apkaran an Aams, 998). A solução para o caso e realmentação a saía é encontraa utlzano-se as mesmas ferramentas esenvolvas em (Wu et all, 996): escolha e bases e funções e vsão o espaço os parâmetros. Entretanto, não há na lteratura referênca à mplementação e técnca semelhante em robôs reas. Na seção, são apresentaos o problema e controle H por realmentação o estao para sstemas LPV com taxa e varação os parâmetros lmtaa (Wu et all, 996)., a extensão para sstemas quase-lpv (Huang an Jababae, 998) e os procementos computaconas para solução as DMLs epenentes os parâmetros (estaos) (Wu et all, 996). A representação quase-lpv e um robô manpulaor é ervaa na seção. Os resultaos expermentas obtos pela aplcação esta técnca no robô manpulaor UArm II são apresentaos na seção 4. CONROLE H NÃO LINEAR Nesta seção, o procemento e projeto o controlaor H por realmentação o estao será escrto para sstemas LPV e quase-lpv. Utlzar-se-á a segunte notação: R + é o conjunto e números reas não negatvos, C (R m, R n ) é o conjunto e funções contnuamente ferencáves que fazem o mapeamento e R m para R n, e S é o conjunto e matrzes smétrcas. A norma euclana e um vetor é enotaa por., ou seja, z z z para z R k. A notação L será utlzaa para snas com energa lmtaa, ou seja, < L(, ) w : w( t ) t.. Síntese o Controle H para Sstemas LPV va Realmentação o Estao Consere o problema e síntese o controle va realmentação o estao: x( A( ) z( C( ) z ( ) t C ( ) B ( ) ( ) x( w( I u( (.) seno w R p o stúrbo, z [z z ] R q varáves e saía e x R n as varáves e estaos. Os parâmetros ρ varam entro o conjunto: F v : { C + m P ρ ( R, R ) : ρ ( P, ρ v,,..., m} (.) seno P R m um conjunto compacto, e v[v... v m ] com v. O objetvo é encontrar uma função contínua F( tal que o sstema em malha fechaa possua ganho L menor que γ com le e realmentação e estaos gual a u( F()x(. Lema.. (Wu et all, 996) Se exste uma função matrcal contínua ferencável X( > para too ρ P que satsfaz seno E( C( X ( B ( m X ( C I ( B ( < γ I X E( ± ν + Aˆ( X ( + X ( Aˆ( ( ρ (.) ( e Â( A( B (C (, então, com le e realmentação o estao u( ( ( ρ ( ) X ( ) + C ( )) x( o sstema em malha fechaa possu ganho L γ para toa trajetóra paramétrca F. v P O resultao acma é uma generalzação natural a teora e H lnear para plantas lneares com parâmetros varantes. Ao nvés e uma função e Lyapunov quarátca para a planta lnear nvarante no tempo, uma função e Lyapunov paramétrca V(x, x (X - ()x( é assuma. Note que, na realae (.) representa m nequações, pos o termo ± ( ) nca que toa combnação +( ) e ( ) eve ser satsfeta.. Moelo Quase-LPV para Sstemas Não Lneares com Entraas Afns ratano as nâmcas não lneares como sstemas lneares epenentes o estao, poe-se aplcar a técnca LPV para uma classe e sstemas não lneares. Baseao na observação que o moelo quase-lpv não é uncamente etermnao pelas nâmcas não lneares, em (Huang an Jababae, 998) fo proposto ncorporar esta lberae e escolha a representação quase-lpv no problema e otmzação. Prmeramente, é estabeleca a parametrzação e toas as representações lneares epenentes o estao e algumas nâmcas não lneares com entraas afns. Lema.. (Huang an Jababae, 998) Suponha uma função f: R n R n contnuamente ferencável com f(). Então, uma função contínua matrcal estmaa A o (x) : R n R n n poe sempre ser encontraa tal que f(x) A o (x)x. Além sso, toas as possíves funções A(x) satsfazeno f(x) A(x)x poem ser parametrzaas como A ( x) Ao ( x) + N( x) seno que N: R n R n n satsfaz N(x)x. Note que A(x) no lema acma não é uma lnearzação e f(x). De fato, temos um número nfnto e possíves representações matrcas A(x) para uma aa f(x). Portanto, uma nâmca não lnear aa por x f ( x, + g( x, w

3 poe ser transformaa para x A( x) x + g( x) w, que se assemelha a um sstema lnear, mas com matrzes e estao epenentes as varáves e estao ao nvés e serem constantes como no caso lnear. Para manter o número e parâmetros varantes a um mínmo, a epenênca as matrzes e estao A(x) e g(x) nas varáves e estao será muaa para x) C (R n,r m ) com m n, sto é, A(x) e g(x) tornam-se A( e g( respectvamente. Por enquanto, x) poe smplesmente representar parte as varáves e estao. A segunte representação quase-lpv o sstema não lnear com entraas afns será usaa para o problema e síntese o controlaor: x A( z C( z C ( B ( ( x w (.4) I u Esta representação é ferente o veraero moelo LPV (.), apenas pelo fato que os parâmetros ρ s são agora funções as varáves e estao, sto é, ρ x). Vsano atenuar os efetos as entraas exógenas para toas as trajetóras paramétrcas permtas, o tratamento LPV nevtavelmente ntrouzrá algum conservaorsmo evo à conecção entre os parâmetros e as varáves. Como estabeleco no lema., tem-se um número nfnto e escolhas na construção o moelo quase-lpv para nâmcas não lneares. Na próxma seção, será proposto um meo sstemátco para gerar uma escolha orgnal e A(x) que poe resultar no melhor esempenho.. Síntese o Controle H para Sstemas Quase-LPV va Realmentação o Estao: Iteração X N Consere o moelo quase-lpv (.4). Assume-se que o parâmetro ρ vare no conjunto permssível F (.). eorema.. (Huang an Jababae, 998) Se for possível encontrar uma X( > e uma N( com N(x que satsfaçam as seguntes esgualaes matrcas: E ( C( X ( B ( seno E X ( C I ( X B ( < γ I m ( ± v ( ( ρ ( + (.5) ( Aˆ( + N( ) X ( + X ( ( Aˆ( + N( ) e Â( A( B (C ( para too ρ P, então o sstema em malha fechaa possu ganho L γ sujeto a le e realmentação o estao: v P u x) ( B ( ρ ( X ( + C ( ( ) x. ( ρ Comparao com o resultao o LPV parão estabeleco no lema., uma nova função matrcal estmaa N( é acrescentaa para compensar a não uncae o moelo quase-lpv evo às nâmcas não lneares. O melhor nível γ assocao com uma partcular A( pelo lema. serve como um lmte superor o melhor ganho L possível o sstema não lnear em malha fechaa. Note que a equação (.5) não é afm em X( e N(. Para um valor e ρ, (.5) é uma DMB em X e N. A mnmzação e γ para ambas X e N nesta DMB é um problema não convexo, entretanto, quano X ou N é fxaa e tenta-se mnmzar γ para a outra, este se torna um problema convexo. Analogamente à teração D - K para síntese µ, uma teração X N é proposta como um esquema prátco para encontrar o melhor esempenho:. Encontre uma representação quase-lpv (.4) para o sstema não lnear em malha aberta.. Escolha os parâmetros varantes ρ, os lmtes o parâmetro P e a taxa e varação lmte v.. Calcule o melhor nível γ possível para o moelo quase- LPV (lema.). Se o esempenho é satsfatóro, pare. 4. Relaxe γ lentamente, resolva (.) para uma X( > factível. 5. Calcule o melhor γ sobre toa N( com X( fxaa o passo anteror (teorema.). Se o novo γ é satsfatóro ou não se alterou, pare. 6. Relaxe γ lentamente, resolva (.5) com X( o passo 4 para uma N( factível. 7. Substtua A( por A( + N(. Retorne ao passo. Note que esta estratéga não é garanta e convergênca para um ótmo global porque este problema não é convexo para ambas X e N. Nos passos 5 e 6, a DMB (.5) é reuza para uma DML em N( ese que X( é manta fxa. Seleconano um conjunto e funções e base para N( que satsfaçam N(x, poe-se encontrar uma solução aproxmaa para (.5) resolveno a DML..4 Conserações Computaconas Um esquema computaconal prátco (Huang an Jababae, 998; Wu et all, 996) poe ser utlzao para resolver as DMLs presentes nos problemas LPV e quase-lpv. Por smplcae, consere o problema e encontrar X( na equação (.). Prmero, escolha um conjunto e funções ( ρ, como base para X(, ou seja, C,{ f } M ) X ( ρ ) M f ( ρ ) X (.6)

4 seno X S nxn a matrz coefcente para f (. Se X( em (.) é substtuío por (.6), o vínculo (.6) são DMLs em termos as varáves matrcas { X } M quano o parâmetro ρ é fxao. Para resolver este problema e otmzação e mensão nfnta, ve-se o conjunto e parâmetros P em L pontos { } L k ρ em caa mensão. Então calcula-se as DMLs acma k para estes pontos. Dese que (.) consste e m vínculos, um total e ( m +)L m esgualaes matrcas afns em termos as M varáves matrcas { X } evem ser resolvas. Uma aproxmação a ensae e pontos partconaos que garantem uma solução global as DMLs é ao em (Wu et all, 996). funções C,{ Para a equação (.5), eve-se escolher um conjunto e g } M ( ρ ), como base para N(, lembrano que a conção N(x eve ser satsfeta para too ρ. Por exemplo, se o vetor e estao o sstema é a forma x [x x x x 4 ] então uma possível forma para a matrz N( é aa por: N( ρ ) M g ( ρ )N [ x x x x ] Este esquema computaconal possu algumas lmtações. O número e parâmetros conseraos e o número e vsões L evem ser escolhos tal que a solução seja alcançaa em um número e terações realzáves. Outro problema é a falta e justfcatvas teórcas na escolha as funções e base para X( e N(. Geralmente, escolhem-se funções smlares às encontraas nas matrzes e estao A( (Apkaran an Aams, 998). ROBÔS MANIPULADORES Nesta seção, a equação em espaço e estaos o erro e acompanhamento e um robô manpulaor é ervaa, seno os stúrbos ervaos e ncertezas paramétrcas e perturbações externas na entraa. A equação nâmca e um robô perturbao poe ser formulaa pela eora e Lagrange como: com τ + δ δ 4 ( q) q + C ( q,q) q + F ( q) G ( q) M +. (.) ( M ( q) q + C( q,q) q + F( q) + G( q) w) como: O erro e acompanhamento o estao é efno q q x~ q q q ~ q ~ (.) seno q e q R n a trajetóra e referênca esejaa e sua corresponente velocae, respectvamente. Assume-se que as q, q q varáves e, a aceleração esejaa, satsfazem os lmtes físcos e cnemátcos o objetvo e controle. A equação nâmca para o erro e acompanhamento o estao é encontraa utlzano (.) e (.) com A ( x) ~ x A ~ ~ + + ( x ) x Bu Bδ ( q) C ( q, q) ~ M I n In B u M ( τ M q C( q, q) q F ( q) G( q) ). (.4) Embora a matrz M epena explctamente as posções, poe-se conserá-la como função o erro e acompanhamento e posção e o tempo. al afrmação poe ser vsualzaa pela segunte observação: ( q ) M ( q ~ + q ) M ( ~ x ). M O mesmo poe ser observao para C. Portanto, a equação (.4) poe ser conseraa uma representação quase- LPV para o robô manpulaor, ou seja, com A ( ~ x ). Nota-se que esta representação fo geraa naturalmente a partr e um sstema não lnear escolheno-se a matrz C. Exstem váras possblaes e se escolher a matrz C, entretanto, a mas utlzaa é a que faz com que a matrz N( q,q) C ( q,q) + ( / ) M ( q,q) seja ant-smétrca. 4 RESULADOS EXPERIMENAIS O algortmo e projeto proposto na seção. como solução o problema H para sstemas quase-lpv va realmentação o estao fo aplcao ao robô manpulaor expermental planar e três lnks UArm II (Fgura ). seno q R n as posções angulares as juntas, M R n n a matrz e nérca (smétrca e postva efna) nomnal, C R n n a matrz e Corols nomnal, F R n os torques e frcção nomnas, G R os torques gravtaconas nomnas e τ R n os torques aplcaos. As matrzes M C F G são as ncertezas paramétrcas relaconaas às matrzesm, C, F e G, repsectvamente. Os stúrbos externos estão ncluíos no vetor w.

5 epenente as velocaes angulares as juntas, e. Entretanto, uma escolha e ρ que também consere os erros e velocae as juntas, ou seja, ρ conteno 5 elementos, faz com que número e DMLs a serem resolvas cresça absuramente. Consera-se como saías o sstema, z e z, os erros e posção e velocae representaos pelo estao e a varável e controle u, respectvamente. Portanto o sstema poe ser escrto pela equação (.4) com: A( ρ ( A( ~ x )) B ( ( B ρ B ( ( B ρ Fgura - UArm II. As matrzes M, C e G a equação (.) são encontraas faclmente pela teora e Lagrange para um manpulaor planar. Entretanto, o termo F é etermnao e acoro com o tpo e atrto e frcção atuano no robô. Neste trabalho, um termo e frcção epenente a velocae é utlzao: fq F f q fq seno os valores f, f e f escolhos após testes empírcos. Os parâmetros nomnas cnemátcos e nâmcos o manpulaor utlzaos para calcular as matrzes nomnas M, C, F e G são mostraos na abela. Junta M (kg) I (kg.m ) l (m) lc (m) f (kg.m /s ),85,75,,96,8,85,75,,96,8,65,6,,77, abela. Parâmetros o robô Os parâmetros massa, centro e massa e nérca foram calculaos a partr as meas os componentes (rotor, estator, sstema e freo, fos) os lgamentos, obtas pelos construtores o robô. Observa-se que o robô fo aquro com suas partes montaas, não seno possível realzar novas meas para conferr as mensões os lgamentos separaamente. Para aplcar o algortmo escrto na seção., o sstema robô manpulaor eve ser representao pela equação (.4). Escolhe-se como parâmetros os estaos representano os erros e posção as juntas e, ou seja, [ q~ ~ ] ~ x ) q seno ~q e ~q os erros e posção as juntas e, respectvamente. Esta escolha é baseaa no fato que a matrz e nérca, M, e a matrz e Corols, C, são funções a posção as juntas e, e como vsto anterormente, são epenentes o erro e posção estas juntas. A matrz C também é C ( I n e ( ( C ρ. Os possíves valores para os parâmetros estão contos no conjunto compacto, P, efno por ρ [-,]º [-,]º. A taxa e varação os parâmetros é lmtaa por ρ 5º/s. Como fo vsto anterormente, uma alternatva para a escolha as funções utlzaas como base para X( e N(, consste em utlzar funções contas nas matrzes e estao. A função trgonométrca cosseno está presente nas matrzes M e C que compõem a matrz e estao A, e portanto, as funções escolhas foram: e f f f g g g cos( q ~ ) cos( ~ q ) cos( q~ ). cos( q~ ) As matrzes X( e N(, quano representaas nesta base são aas por: X ( e f ( X [ q~ q~ ] N( ρ ) g ( N. Verfca-se que a matrz N( satsfaz a conção N(x. O espaço os parâmetros fo vo em 5 pontos, ou seja L 5. Utlzano-se a expressão geraa na seção.7 com m, obtém-se que 5 LMIs evem ser resolvas para as varáves X e N. Para resolver este problema fo utlzao o toolbox LMI o MatLab. O valor e atenuação mínmo encontrao, realzano-se terações X-N, fo γ,. O expermento fo realzao para posção ncal q() [,, ]º e posção fnal esejaa q() [-,, -]º, seno que o vetor [ ] contém os tempos e uração a trajetóra e referênca para caa junta. Este vetor é aequaamente escolho levano em conta a ferença entre a posção ncal e a posção fnal e caa junta. A trajetóra e

6 referênca, q, é um polnômo e qunto grau. Os resultaos smulaos: posção angular, velocae angular e torque aplcao, para a confguração AAA, com [,4 4, 4,], são mostraos nas Fguras, e 4, respectvamente. Nas fguras, a lnha sóla representa a junta, a lnha traço-ponto a junta e a lnha pontlhaa a junta. 4 orque (N.m) Posç ã o angular (graus) empo (s) Fgura 4 orque aplcao. Velocae angular (graus/s) empo (s) Fgura Posção angular as juntas empo (s) Fgura Velocae angular as juntas. 5 CONCLUSÃO Verfca-se, a partr os gráfcos obtos, que o controlaor projetao utlzano uma representação quase-lpv para o robô expermental UArm II apresentou bom esempenho, ou seja, as juntas o manpulaor alcançaram a posção fnal esejaa no tempo estabeleco. Nota-se que as curvas e posção angular e velocae angular apresentam um comportamento suave ao longo a trajetóra, seno esta uma característca esejaa. A aplcação esta técnca em robôs manpulaores subatuaos vem seno esenvolva pelos autores e será apresentaa em trabalhos futuros. 6 REFERÊNCIAS Apkaran, P. an Aams, R. J. (998) Avance ganscheulng technques for uncertan systems. IEEE ransactons on Control Systems echnology, Vol. 6, No., pp. -. Chen, B. S.; Lee. S. an Feng, J. H. (994) "A nonlnear H control esgn n robotc systems uner parameter perturbaton an external sturbance". Internatonal Journal of Control, Vol. 59, No., pp Clouter,J. R.; D Souza, C. N. e Marcek, C. P. (996) "Nonlnear regulaton an nonlnear H control va the state-epenent Rccat equaton technque". Proc. st Internatonal Conference on Nonlnear Problems n Avaton an Aerospace, Daytona Beach, Flora, USA. Huang, Y. an Jababae, A. (998) "Nonlnear H Control: An Enhance Quas-LPV Approach". Workshop n H nonlnear control by J. C. Doyle, Caltech, Conference on Decson an Control - CDC98. Lu, W. M. an Doyle, J. C. (995) H control of nonlnear systems: a convex characterzaton. IEEE ransactons on Automatc Control, Vol. 4, No. 9, pp erra, M. H.; Squera, A. A. G. an Bergerman, M. (999) Uneractuate Manpulator Robot Control va Lnear Matrx Inequaltes. Conference on Decson an Control-CDC 99 - Phoenx, Arzona, USA. van er Schaft, A. J. (99) L -gan analyss of nonlnear systems an nonlnear state feeback H contro. IEEE ransactons on Automatc Control, Vol. 7, No. 6, pp Wu, F. an Yang, X. H.; Packar, A. an Becker, G. (996) "Inuce L -norm control for LPV systems wth boune parameter varaton rates". Internatonal Journal of Robust an Nonlnear Control, Vol. 6, pp Agraecmento: Este trabalho conta com apoo a FAPESP (Funação e Amparo à Pesqusa o Estao e São Paulo), proc. n. /88-9.