BRUNO FACCINI SANTORO CONTROLE PREDITIVO DE HORIZONTE INFINITO PARA SISTEMAS INTEGRADORES E COM TEMPO MORTO

Transcrição

1 BRUNO FACCINI SANTORO CONTROLE PREDITIVO DE HORIZONTE INFINITO PARA SISTEMAS INTEGRADORES E COM TEMPO MORTO São Paulo 11

2 BRUNO FACCINI SANTORO CONTROLE PREDITIVO DE HORIZONTE INFINITO PARA SISTEMAS INTEGRADORES E COM TEMPO MORTO Dssertação apresentaa à Escola Poltécnca a Unversae e São Paulo para obtenção o título e Mestre em Engenhara São Paulo 11

3 BRUNO FACCINI SANTORO CONTROLE PREDITIVO DE HORIZONTE INFINITO PARA SISTEMAS INTEGRADORES E COM TEMPO MORTO Dssertação apresentaa à Escola Poltécnca a Unversae e São Paulo para obtenção o título e Mestre em Engenhara Área e concentração: Engenhara Químca Orentaor: Prof. Dr. Darc Oloa São Paulo 11

4 Este exemplar fo revsao e alterao em relação à versão orgnal sob responsablae únca o autor e com anuênca e seu orentaor São Paulo, 14 e março e 11 Bruno Faccn Santoro (autor) Prof. Dr. Darc Oloa (orentaor) FICHA CATALOGRÁFICA EDIÇÃO REVISADA Santoro, Bruno Faccn Controle pretvo e horzonte nfnto para sstemas nte - graores e com tempo morto / B.F. Santoro. -- São Paulo, p. Dssertação (Mestrao) - Escola Poltécnca a Unversae e São Paulo. Departamento e Engenhara Químca. 1. Controle pretvo. Controle e processos 3. Observaores e estao I. Unversae e São Paulo. Escola Poltécnca. Departamento e Engenhara Químca II. t.

5 AGRADECIMENTOS Ao Prof. Dr. Darc Oloa, pelo apoo, compreensão e pacênca urante a elaboração esta ssertação. Aos membros a banca e qualfcação, pelas sugestões e melhora e correções. Aos meus pas, por terem me preparao para os esafos a va. À mnha avó, pelos ensnamentos. À mnha rmã, que não enteneu o que é tempo morto mas me apoou mesmo assm. À mnha namoraa, pelo ncentvo e companha. À OpB, em especal aos engenheros Mauríco, Zeca e Máro, pelas versas lções e trabalho em grupo, lerança e até mesmo otmzação. Ao Tago, pelas respostas pertnentes às úvas mas nesperaas. Ao Klauss e à Alne, pelas boas rsaas. A toos os amgos o laboratóro, pelo ambente agraável.

6 (...) e pensa em como sera bom se a gente puesse voltar atrás e corrgr toas as escolhas erraas que fez na va, mas como saber se a escolha era erraa ou não, já que a va não tem gabarto? (Luís Fernano Verssmo)

7 RESUMO Controle pretvo baseao em moelo (MPC) recebeu ampla acetação na nústra químca nos últmos 3 anos. O funconamento básco essa técnca é a utlzação e um moelo para calcular o comportamento e uma planta em função as entraas que ela recebera nos próxmos nstantes. Defne-se um objetvo, cuja prncpal contrbução é aa por uma mea a stânca entre a conção preta a planta e um valor esejao prevamente estpulao. Esse objetvo poe nclur ana, por exemplo, penalzações sobre o esforço e controle necessáro para levar a planta a uma conção mas próxma o esejável. São ncorporaas restrções como lmtes físcos a planta e os atuaores e formula-se um problema e otmzação, buscano o ponto ótmo essa função objetvo e respetano as restrções. Neste trabalho é aborao o problema e controle pretvo baseao em moelo para sstemas que apresentem ntegraores e/ou tempos mortos. Estes elementos tornam mas fícl o controle e processos baseao apenas em técncas clásscas. Apresenta-se aqu um moelo em espaço e estaos que permte a representação essas nâmcas e moo sufcentemente precso. A formulação e moelo apresentaa permte ana a ncorporação e nformações sobre stúrbos meos. É feta uma emonstração a establae esse controlaor quano o moelo por ele utlzao é êntco ao comportamento real a planta. Numa aplcação real o controlaor proposto, sera necessáro estmar os estaos a planta a partr as meas as saías. Em geral, utlza-se um Fltro e Kalman para realzar esta tarefa. São estuaos aqu os efetos que a presença esse fltro tera sobre o esempenho o sstema em malha fechaa. É proposto um observaor baseao numa muança heurístca feta sobre o Fltro e Kalman e que permte, em certos casos, uma melhora e esempenho. São apresentaos os resultaos e smulações e uma planta e óxo e etleno com o ntuto e lustrar a atuação o controlaor estável esenvolvo e o observaor proposto. Palavras-chave: Controle Pretvo com Moelo, Processos com tempo morto, Sstemas ntegraores

8 ABSTRACT Moel Prectve Control (MPC) has gane we acceptance n chemcal nustry n the last 3 years. The basc prncple of ths technque s to use a moel to calculate plant s future behavor base on the nputs t woul receve n the next samplng peros. It must be set an objectve, manly compose of some measure of the stance between plant s precte state an a prevously specfe conton. Objectve value may also nclue, for example, penalty on control effort necessary to rve the plant closer to the esre state. It s possble to nclue constrants, such as physcal lmts of the plant or of the actuators an therefore to pose an optmzaton problem, searchng the best value of the objectve functon that satsfes all constrants. Ths wor aresses the problem of MPC apple to ntegratng systems an/or processes wth ea-tme. These ns of plants are often ffcult to control usng only classcal technques. It s presente here a state space moel to represent both cases accurately. Measure sturbances may also be ncorporate to the moel. Fnally, t s shown that the propose controller s stable when ts nternal moel represents exactly plant s ynamcs. In any real applcaton of ths controller, t woul be necessary to estmate plant s states from outputs measures. In general, Kalman Flter solves ths problem. It s stue n ths wor the effects cause by flter s ncluson on close loop performance. A new observer s propose, base on a heurstc mprovement over Kalman Flter whch nuces, for some systems, mprove performance. Numercal smulaton has been performe over a moel of an ethylene oxe plant, llustratng the use of ths stable controller an the propose observer. Keywors: Moel Prectve Control, Processes wth ea-tme, Integratng systems

9 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Fgura -1: Estrutura e controle em camaas, Zann (1) Fgura 6-1: Vsão geral e uma planta e óxo e etleno Carrapço (4) Fgura 6-: Evolução as saías o sstema - sem target nas entraas Fgura 6-3: Evolução as entraas o sstema - sem target nas entraas Fgura 6-4: Função objetvo sem targets nas entraas Fgura 6-5: Evolução as saías o sstema - com target nas entraas Fgura 6-6: Evolução as entraas o sstema - com target nas entraas... 9 Fgura 6-7: Função objetvo com targets nas entraas... 9 Fgura 6-8: Evolução as entraas o sstema com meção o estao ou Fltro e Kalman. 94 Fgura 6-9: Evolução as saías o sstema com meção o estao ou Fltro e Kalman Fgura 6-1: Evolução a função objetvo com meção o estao ou Fltro e Kalman Fgura 6-11: Comparação entre os autovalores as matrzes e transção os erros e estmação s Fgura 6-1: Evolução a estmação o estao x Fgura 6-13 : Evolução as saías quano o estao ncal é esconheco... 1 Fgura 6-14 : Evolução as entraas quano o estao ncal é esconheco Fgura 6-15 : Evolução a função objetvo quano moelo o estao ncal é esconheco 1 Fgura 6-16 : Evolução as saías quano moelo tem ncerteza nas constantes e tempo.. 14 Fgura 6-17 : Evolução as entraas quano moelo tem ncerteza nas constantes e tempo Fgura 6-18 : Evolução a função objetvo quano moelo tem ncerteza nas constantes e tempo... 15

10 LISTA DE TABELAS Tabela 6-1: Conjunto e varáves controlaas Tabela 6-: Conjunto e varáves manpulaas Tabela 6-3: Faxas esejáves para as saías Tabela 6-4: Valores esejáves para as entraas Tabela 6-5: Valores ncas Tabela 6-6: Sntona utlzaa sem conserar targets nas entraas Tabela 6-7: Sntona utlzaa conserano targets nas entraas Tabela 6-8: Sntona utlzaa conserano meção completa o estao... 93

11 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS BMI DMC FCC GAMS IHMPC LMI MATLAB MIMO MPC PNL QP SDCD SISO Blnear Matrx Inequalty Dynamc Matrx Control Flu Catalytc Cracng General Algebrac Moellng System Infnte Horzon Moel Prectve Control Lnear Matrx Inequalty Matrx Laboratory Multple Input, Multple Output Moel Prectve Control Programação não-lnear Quaratc Programmng Sstema gtal e controle strbuío Sngle Input, Sngle Output

12 LISTA DE SÍMBOLOS Matrz nula e mensão qualquer a A Constante utlzaa na emonstração e establae Matrz e transção os estaos AXX, AXZ, A Matrzes a nâmca o sstema quano partconao em X e Z ZZ A B B b b B l B l ( s B l ( Bw l ) s Bw l ) p Bw l C C Matrz utlzaa no cálculo a preção as saías Matrz que relacona as entraas aos estaos o sstema Matrz utlzaa no cálculo a preção as saías (seção 5) Constante utlzaa na emonstração e establae (emas seções) Parte real os pólos complexos conjugaos e uma função e transferênca Matrz que relacona as ações e controle à componente Matrz que relacona as ações e controle (resp. stúrbos meos) à componente x Matrz que relacona as ações e controle (resp. stúrbos meos) à componente s x Matrz que relacona os stúrbos meos à componente Matrz que relacona os estaos às saías o sstema Bloco a matrz C que correspone apenas às saías o sstema, não aos estaos z c Termo constante a função objetvo o problema Pb b Co Matrz usaa na preção os estaos futuros, semelhante à matrz e controlablae C Matrz que relacona o bloco X às saías y yx w, j ( w, j ) Ganho a função e transferênca G, j (resp. G, j ) p, j, (, j, w w ) -ésmo resíuo a função e transferênca G, j (resp. G, j ), j (, j w w ) Incremento na função e transferênca ntegraora G, j (resp. G, j ) D Matrz que concentra toos os,, j x w x

13 p p Dw Matrz que concentra toos os w,, e E [ ] j Erro entre o estao real e o estmao Operaor esperança f Vetor o termo lnear a função objetvo o problema Pb b F F w F G( s ) G j Matrz com a nâmca os moos estáves Matrzes smétrcas utlzaas na efnção e LMIs Matrz com a nâmca os moos estáves as relações stúrbosaía Função e transferênca que representa o sstema a ser controlao Matrzes smétrcas utlzaas na efnção e BMIs H Matrz o termo quarátco a função objetvo o problema Pb b H j Hc Hp I n * I ny Matrzes smétrcas utlzaas na efnção e BMIs Horzonte e controle Horzonte e preção Matrz entae e mensão n Matrz entae mofcaa, em que as componentes as saías não ntegraoras são guas a I Matrz auxlar utlzaa nas restrções e lmte sobre as entraas nu I ny J w J, j Matrz auxlar utlzaa no cálculo a contrbução à função objetvo aa pelo esvo entre as saías e as zonas esejaas Matrz auxlar para realzar a corresponênca entre as ações e controle e as componentes e B l Matrz auxlar para realzar a corresponênca entre os stúrbos meos e as componentes e Instante atual p Bw l K Ganho a função e transferênca G, ( s ) j K K K F L Ganho o Fltro e Kalman Ganho o observaor heurístco proposto Ganho o observaor

14 m M N Horzonte e controle Matrz auxlar utlzaa nas restrções e lmtes sobre as entraas (seção ) Contrbução o ruío e processo ao estao x (emas seções) Matrz auxlar para realzar a corresponênca entre w N as ações e controle e as componentes e Matrz auxlar para realzar a corresponênca entre os stúrbos meos e as componentes e p Bw l na Orem as funções e transferênca G, ( s ) j B l n Dmensão a componente x ( n = nu ny na ) N ( N, N ) n np nu nw ny O P P F Q Q y Matrz utlzaa para extrar a componente Número e saías ntegraoras Dmensão a componente Número e entraas Número e stúrbos meos Número e saías Matrz e observablae x (resp. w x ( np = nw ny na ) Matrz e covarânca o erro e estmação x, s x ) Matrz smétrca postva efna calculaa no algortmo o fltro heurístco Peso a função objetvo (formulação DMC) Matrz utlzaa no cálculo o custo termnal no problema Pb Q Q u Peso na função objetvo o problema Pa sobre os moos ntegraores Peso na função objetvo sobre a stânca entre as entraas e o target esejao Q Extensão a matrz Q u u para conserar too o horzonte e controle Q y Peso na função objetvo sobre a stânca entre as saías e a zona esejaa Q Extensão a matrz Q y y para conserar too o horzonte e controle r -ésmo pólo a função e transferênca G, ( s ), j, j

15 R R R ' Peso na função objetvo sobre as ações e controle Extensão a matrz R para conserar too o horzonte e controle Peso na função objetvo o problema Pa sobre as ações e controle R1, R, R Matrzes e covarânca os ruíos 1 S Peso a função objetvo (formulação DMC) S, j ( s ) Resposta ao egrau a função e transferênca G, j ( s ) S, Su, S y Pesos na função objetvo sobre as varáves e folga δ,, δ,, δ, t T,, T 1 5 u U ( t ) a u b u Tempo Termos a função objetvo o problema Pb Vetor e entraas o sstema Função egrau Vetor e entraas o sstema no problema Pa Vetor e entraas o sstema no problema Pb u Valor esejao (target) para as entraas o sstema es u Lmte superor o valor as entraas o sstema u Lmte nferor o valor as entraas o sstema mn v 1 v Ruío e processo Ruío e mea u y V Custo total (função objetvo) no nstante V Custo total (função objetvo) o problema Pa no nstante a, V Custo total (função objetvo) o problema Pb no nstante b, V ( x, u ) x Função e Lyapunov Vetor e estaos o sstema X s w Bloco com as componentes x, x, x, x x x F x Estao que calcula a evolução os moos estáves o sstema Estao fctíco utlzao no cálculo o fltro heurístco Estao que calcula a evolução os moos ntegraores o sstema x a ( x b ) Estao x calculao no problema Pa (resp. Pb)

16 s x y y y e Preção a saía o sstema em estao estaconáro Vetor e saías o sstema Vetor e preção as saías o sstema Vetor e saías o sstema esteno, ncorporano os estaos z y( + ) Prevsão no nstante a saía no nstante + y Lmte nferor a zona esejaa para as saías mn y Lmte superor a zona esejaa para as saías sp y Set-pont para a saía y Set-pont calculao pelo controlaor no nstante sp, Z z l w z l Bloco com as componentes z,, 1 e z θ w z,, 1 w z τ Estao que armazena a ação e controle ocorra há l períoos e amostragem Estao que armazena a varação nos stúrbos meos ocorra há l períoos e amostragem Símbolos utlzano alfabeto grego α β δ Parte real o resíuo e uma função e transferênca com pólos complexos conjugaos Parte magnára o resíuo e uma função e transferênca com pólos complexos conjugaos Varável e folga (slac) δ Varável e folga para os moos ntegraores, δ Varável e folga para o esvo entre o valor a entraa e o valor u, esejao δ Varável e folga para o esvo entre o valor a saía e o set-pont y, calculao K, j Incerteza relatva ao valor e K, t u Tempo e amostragem Varação na entraa (ação e controle) u Vetor e ações e controle em too o horzonte m j

17 a u Vetor e ações e controle o problema Pa em too o horzonte m b u Vetor e ações e controle o problema Pb em too o horzonte m u Maor varação amssível nas ações e controle U Vetor conteno a maor varação amssível nas ações e controle em too o horzonte e controle w Varação nos stúrbos meos τ, j, Incerteza relatva ao valor e τ, j, θ Tempo morto a função e transferênca G, ( s ), j θ Maor tempo morto entre as entraas manpulaas e saías λ, j Autovalor a ser mnmzao no cálculo o fltro heurístco w τ Tempo morto a função e transferênca G, ( s ) τ -ésma constante e tempo a expansão em frações parcas a, j, função e transferênca G, ( s ) τ Maor tempo morto entre os stúrbos meos e saías Φ w Φ Ψ Matrz auxlar para construção e Ψ Matrz auxlar para construção e Ψ Matrz que relacona as saías com a componente j w j j x w Ψ ω Matrz que relacona as saías com a componente Parte magnára os pólos complexos conjugaos e uma função e transferênca w x Sobrescrtos T ^ Transposta e uma matrz Valor estmao - Complexo conjugao w * Solução ótma ~ Solução vável Valores corresponentes a stúrbos meos

18 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO.... REVISÃO BIBLIOGRÁFICA HISTÓRICO DE CONTROLADORES PREDITIVOS PROCESSOS INTEGRADORES OBSERVADORES DE ESTADO CONTROLE POR FAIXAS DESIGUALDADES MATRICIAIS IHMPC PARA SISTEMAS INTEGRADORES E COM TEMPO MORTO MODELO EM ESPAÇO DE ESTADOS Moelo Conteno Apenas Estaos Reas MODELO CONSIDERANDO DISTÚRBIOS MEDIDOS DETECTABILIDADE DOS MODELOS PROPOSTOS FORMULAÇÃO DO PROBLEMA EM 1 PASSO FORMULAÇÃO DO PROBLEMA EM PASSOS REPRESENTAÇÃO DOS PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO COMO PROGRAMAÇAO QUADRÁTICA Transformano Pa em um problema e programação quarátca Transformano Pb num problema e programação quarátca Transformano P1 em um problema e programação quarátca DESENVOLVIMENTO DE UM OBSERVADOR HEURÍSTICO FILTRO DE KALMAN OBSERVADOR HEURÍSTICO Aplcação Ao Moelo Proposto ANÁLISE DE ESTABILIDADE DO CONTROLADOR PROPOSTO...77

19 6. SIMULAÇÕES E ANÁLISES NUMÉRICAS ESTUDO DE CASO BASEADO NUM SISTEMA REAL COMPARAÇÃO ENTRE AS FORMULAÇÕES COM 1 E PASSOS COMPARAÇÃO ENTRE OBSERVADOR HEURÍSTICO E FILTRO DE KALMAN Caso 1: comparação entre o Fltro e Kalman e estao completamente meo Caso : comparação entre o Fltro e Kalman e o observaor heurístco com moelo nomnal Caso 3: comparação entre o Fltro e Kalman e o observaor heurístco com moelo ncorreto 1 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS CONCLUSÕES SUGESTÕES DE CONTINUIDADE REFERÊNCIAS...11

20 1. INTRODUÇÃO O controle e processos na nústra químca é uma ferramenta funamental para questões e segurança, respeto à legslação ambental e operação lucratva e uma planta. No caso e plantas complexas, com mutas varáves que nteragem entre s, as estratégas e controle regulatóro clássco não são sufcentes para obter a máxma lucratvae possível. A partr o fnal os anos 197, com as crses o petróleo, buscaram-se soluções para o controle e refnaras e moo a aumentar a efcênca os processos através a operação em conções mas próxmas os lmtes os equpamentos. Nesse contexto fo esenvolvo o Controle por Matrz Dnâmca (Dynamc Matrx Control ou DMC na sgla em nglês), ano orgem ao controle pretvo baseao em moelos (Moel Prectve Control ou MPC). Habtualmente utlza-se uma estrutura e controle va em camaas. Em um prmero nível e planejamento são calculaas as conções operaconas que conuzrão à proução mas lucratva possível. Essas conções são transmtas à camaa e controle pretvo (supervsóro), a qual calcula as melhores ações e controle a tomar em caa nstante e amostragem. Por fm, essas ações levam à muança e valores objetvo (set-ponts) a camaa e controle regulatóro, que mantém, e fato, a operação a planta o mas próxmo possível as conções ótmas. O funamento o controle pretvo é a utlzação e um moelo a planta para estmar o estao futuro para uma etermnaa alteração nas varáves manpulaas o processo. Defnese uma função objetvo para mensurar o resultao a aplcação e uma muança nas entraas o processo. Em termos smples, essa função objetvo é composta por uas parcelas: uma mea a stânca entre o estao prevsto e o estao esejao a planta e outra conserano o esforço e controle necessáro. Formulano-se a stuação escrta anterormente em termos rgorosos, obtém-se um problema e otmzação em que são calculaas as entraas futuras a planta e moo a mnmzar essa função custo, respetano-se as restrções o processo como saturação os atuaores e lmtes operaconas os equpamentos, entre outros. Apesar a solução o problema ser um conjunto e entraas para os nstantes futuros, apenas a entraa relatva ao nstante atual é e fato aplcaa na planta. No próxmo nstante e amostragem repete-se too o procemento e cálculo e e mplementação apenas a entraa relatva àquele nstante. Essas preções são realzaas em malha aberta, no sento que os erros que ocorrerão entre as saías futuras e seus valores prevstos não são utlzaos no

21 1 cálculo. Assm, as preções poeram se stancar a realae para horzontes e preção muto granes, aí a vantagem e mplementar apenas a entraa sobre a qual há menos ncerteza. Essa manera e recalcular as ações e controle caracterza um os prncípos mas mportantes os controlaores pretvos, que é o horzonte rolante (rollng horzon ou movng horzon). Com essa retroalmentação, é possível lar com ncertezas no moelo, nerentes a qualquer representação a planta. Algumas as prncpas vantagens a utlzação e um controle pretvo baseao em processo são: conseração explícta as restrções o processo, evtano que a planta seja levaa a operar em conções fora as faxas e segurança ou e lmtes ambentas; faclae em lar com o caso e sstema com váras entraas e saías (Multple Input, Multple Output MIMO), que é tratao por procemento vrtualmente êntco ao e sstemas com uma entraa e uma saía (Sngle Input, Sngle Output SISO); tratamento e tempos mortos e forma natural, já que eles poem ser ncorporaos ao moelo o sstema. Por outro lao, ana há algumas questões que lmtam o uso a técnca. Em prmero lugar, o sucesso e uma estratéga e controle pretvo epene a exstênca e um moelo precso e atualzao, cuja obtenção e manutenção poem ser emasaamente custosas. Além sso, como é necessáro resolver em tempo real um problema e otmzação com algumas centenas ou mlhares e varáves, restrnge-se a aplcação a processos e nâmca lenta, o que não é grane nconvenente para a nústra químca. O presente trabalho apresenta um controlaor pretvo para sstemas ntegraores e com tempo morto. Uma as prncpas propreaes este controlaor é a garanta e establae quano o processo representao pelo moelo for nomnal, ou seja, o moelo reprouzr exatamente o comportamento a planta. O controlaor exge o uso e um estmaor e estaos como um Fltro e Kalman e, a partr e meas os valores e saía, é então possível estmar os estaos nternos a planta, possbltano a mplantação este controlaor em sstemas nustras em que não se tem acesso reto aos estaos. Este ocumento vese em 7 seções: na seção é feta uma revsão a lteratura e controle pretvo, apresentano as prncpas formulações e resultaos teórcos obtos nas últmas écaas. É aborao também o tópco e observaores e estao e são fornecos funamentos teórcos a teora e esgualaes matrcas. Em segua, a seção 3 apresenta com etalhes um moelo usao para representar sstemas com tempo morto e/ou ntegraores. São escrtas uas varações esse moelo: a prmera

22 elas permte a ncorporação e stúrbos meos e a seguna é um rearranjo e matrzes para evtar a presença e números magnáros no moelo. Ana na seção 3 é formulao um controlaor pretvo nomnalmente estável, baseao nos moelos esenvolvos anterormente. A seção 4 apresenta uas estratégas stntas que poem ser empregaas no problema e síntese e um observaor e estaos para o sstema. A prmera estratéga é baseaa no Fltro e Kalman e a seguna é uma proposção e um observaor heurístco. Na seção 5 é apresentaa a eução formal a establae o controlaor quano o moelo empregao é exato. Já na seção 6 são mostraos resultaos e smulações fetas com este controlaor. Comparam-se em prmero lugar as uas formulações o controlaor apresentaas na seção 3 e também os os observaores efnos na seção 4. Por fm, a seção 7 contém as conclusões este trabalho e uma ncação e possíves contnuações a lnha e pesqusa.

23 3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.1. HISTÓRICO DE CONTROLADORES PREDITIVOS Hstorcamente, os prmeros esenvolvmentos na área e controle pretvo baseao em moelos ocorreram a partr o fnal os anos 197, com a aparção o Moel Prectve Heurstc Control (Controle heurístco com preção baseaa em moelo) em Rchalet et al. (1978). Alguns os prncpas pontos as estratégas e controle pretvo aparecem claramente já neste trabalho ponero: faclae em aborar problemas com versas entraas e saías, o uso e um moelo nterno para prever as relações entre entraas e saías e a especfcação e uma trajetóra e referênca que se tenta alcançar. O moelo nterno utlzao é baseao na resposta mpulsva o sstema, emanano o armazenamento e uma grane quantae e valores e moo a reprouzr a nâmca o sstema em too o ntervalo entre uma perturbação e a establzação posteror. Como o própro nome nca, esta estratéga emprega métoos heurístcos para calcular as melhores entraas, sem formular formalmente um problema e otmzação. A estratéga e horzonte móvel, em que a caa tempo e amostragem são recalculaas as entraas ótmas com base na atualzação as meas a planta, também está presente. Posterormente, com o esenvolvmento o DMC em Cutler e Ramaer (198), passa-se a calcular as melhores entraas a partr e um problema e otmzação com restrções com função objetvo equvalente a: Hp Q = j= Hc sp mn V = y y( + ) + u( + j ) u S (-1) Seno: Hp Instante atual Horzonte e preção Hc Horzonte e controle y( + ) Prevsão no nstante a saía no nstante + sp y Set-pont para a saía

24 4 u Q, S V Varação na entraa (ação e controle) Pesos a função objetvo Custo total no nstante Colocano-se restrções lneares sobre os valores as entraas, as saías e os esforços e controle, além as relações lneares entre entraas e saías, tem-se um problema e programação quarátca (Quaratc programmng, QP na sgla em nglês). Uma alternatva em relação ao moelo baseao na resposta mpulsva é o uso e uma realzação em espaço e estaos. De acoro com Morar e Lee (1999), essa aboragem em estaos tornou-se omnante na lteratura e controle pretvo. Representa-se um sstema lnear varante no tempo screto na segunte forma: x( + 1) = A( ) x( ) + B( ) u ( ) y( ) = C ( ) x( ) (-) Seno: Instante atual x n Vetor e estaos o sstema ( x R ) u nu Vetor e entraas o sstema ( u R ) y Vetor e saías o sstema ( ny y R ) A, B, C Matrzes e mensões apropraas que caracterzam a nâmca o sstema No caso partcular e sstemas nvarantes no tempo, as matrzes A, B, C não epenem o nstante e amostragem. Neste trabalho serão aboraos somente sstemas nvarantes no tempo. Uma as prncpas vantagens a substtução e moelos baseaos na resposta mpulsva ou resposta ao egrau por aqueles em varáves e estao é a economa e nformação que eve ser manta em memóra para o cálculo as preções. Outro benefíco é a possblae e utlzar conhecmentos clásscos a teora e sstemas lneares e moo reto para analsar um sstema. Devo à presença e restrções que poem estar ou não atvas em um ao nstante, não é possível etermnar uma expressão analítca para a le e controle. Com sso, o estuo a

25 establae e controlaores pretvos baseaos em moelo só fo possível com a utlzação e métoos nretos como os baseaos em funções e Lyapunov. Conforme efno em Macejows (), uma função V ( x, u ) postva efna é ta função e Lyapunov quano as seguntes conções são satsfetas: 5 T T T T a) Se x1, u1 > x, u então V ( x1, u1) V ( x, u) ; b) Ao longo e qualquer trajetóra o sstema x( + 1) = f ( x( ), u( )) numa vznhança a orgem, V ( x( t + 1), u( t + 1)) V ( x( t), u( t)). Keerth e Glbert (1988) emonstraram a establae e um controlaor pretvo ese que se nclua uma restrção sobre o valor termnal o estao. Impono-se que o estao está na orgem ao fnal o horzonte pretvo, a prova e establae ecorre naturalmente. No entanto, essa aboragem possu uma lmtação mportante em termos e factblae o problema e otmzação. Como normalmente as entraas estão em faxas lmtaas e atuação, é possível mostrar que exste um estao a partr o qual a orgem não poe ser alcançaa entro o horzonte e preção, o qual é fnto. Esse algortmo não é retamente aplcao a um controlaor nustral pos um stúrbo poera levar a planta a regões one o problema e otmzação é nfactível. O argumento prncpal para a emonstração e establae feta por Keerth e Glbert (1988) é a entfcação a própra função objetvo como uma função e Lyapunov, o que garante a establae o controlaor. Uma extensão esta técnca fo apresentaa em Mchalsa e Mayne (1993) mofcano a restrção sobre a conção o estao ao fnal o horzonte pretvo ao nvés e etermnar que o estao everá se encontrar exatamente sobre a orgem, mpõe-se que ele eve estar no nteror e um conjunto S que engloba a orgem. Este conjunto eve ser nvarante, no sento e que uma vez que o estao esteja em seu nteror sua evolução não forçaa para qualquer nstante posteror permanecerá nessa regão. Uma vez que o estao encontre-se no nteror esse conjunto, é aplcaa uma realmentação que o conuzrá à orgem. Esse tpo e controlaor é enomnao MPC ual por ter uas regras e controle ferentes, entro e fora o conjunto S. No entanto, mesmo com o aumento sgnfcatvo a regão que o estao eve alcançar ao térmno o horzonte pretvo em relação à proposção e Keerth e Glbert (1988), stúrbos

26 sufcentemente granes ana poem exar o estao em um ponto a partr o qual a regão termnal não é alcançável entro o horzonte necessáro, por causa as lmtações na entraa a planta. Portanto, a estratéga para garantr establae ante e qualquer magntue e stúrbo precsa ser mofcaa. Rawlngs e Muse (1993) mostraram que uma emonstração e establae poe ser obta ao se conserar um controlaor pretvo baseao em moelo com horzonte e preção nfnto (IHMPC, na sgla em nglês). Prmeramente, mostra-se que caso o sstema esteja em uma conção tal que o problema e otmzação é vável no nstante, então o problema no nstante + 1 também será vável, o que é chamao e factblae recursva. Além sso, poe-se ver que nessas conções o valor a função objetvo será estrtamente ecrescente caso o sstema não tenha atngo o estao estaconáro. A establae assntótca o controlaor ecorre a observação e que a função objetvo é uma função e Lyapunov o sstema. Quano se usa um horzonte nfnto e preção, a função objetvo passa a conter uma sére nfnta e termos relaconaos ao erro entre saías prevstas e o snal e referênca. Para tornar o problema numercamente tratável, essa sére é va em uas contrbuções: a prmera é o somatóro os erros urante o horzonte e controle e a seguna é um custo termnal. Este custo termnal poe ser calculao a partr e uma matrz e pesos apropraamente efna e o estao prevsto ao fnal o horzonte e controle. Com essa manpulação, o problema torna-se smplesmente uma questão e programação quarátca cuja aboragem computaconal está bem estabeleca. Esta aboragem estava ncalmente lmtaa ao problema e rejeção e perturbações, não e acompanhamento a trajetóra e referênca (set-pont tracng). Além sso, como o horzonte e controle utlzao permaneca fnto, a técnca proposta só era vála para sstemas estáves em malha aberta. O moelo utlzao em Rawlngs e Muse (1993) para representar em tempo screto a planta, suposta lnear e nvarante no tempo, era a forma traconal em espaço e estaos (posconal). Este tpo e moelo é bastante aequao para o caso regulaor (rejeção e perturbações), em que o estao estaconáro é conheco prevamente e por sso poe ser feta uma muança e coorenaas e moo a exá-lo na orgem o novo sstema e coorenaas. Na nústra e processos químcos é comum a muança os set-ponts as saías, seno esses valores normalmente calculaos numa camaa e otmzação econômca a planta. Como os moelos entfcaos sempre apresentam algum grau e ncerteza, não é possível 6

27 7 etermnar exatamente, a partr a equação o moelo, o valor necessáro e entraa para gerar uma etermnaa saía. Numa tentatva e contornar essa fculae, Lee, Morar e Garca (1994) propuseram uma nova formulação para o sstema enomnaa ncremental, usano varações nas entraas e não as entraas propramente tas: x( + 1) = A x( ) + B u ( ) y( ) = C x( ) (-3) Qualquer uma as formas poe ser faclmente converta na outra. Portanto a escolha entre (-) ou (-3) é feta apenas baseano-se apenas no objetvo que se eseja alcançar, não haveno nenhuma fculae técnca aconal quano utlzaa a forma (-3). Com essa formulação ncremental qualquer estao estaconáro correspone a u = e a algum valor e u que não precsa ser explctamente calculao pelo controlaor. Isso permtra, em prncípo, crar um controlaor pretvo capaz e acompanhar muanças no valor e referênca as saías. No entanto, ao utlzar esse moelo ncremental num controlaor pretvo, são acrescentaos moos ntegraores mesmo quano a planta é orgnalmente estável em malha aberta. Em ecorrênca sso, a garanta e establae o controlaor não é uma questão trval a prncípo, apesar o uso e um horzonte nfnto. Torna-se necessáro utlzar alguma estratéga smlar àquela e Muse e Rawlngs (1993), zerano os moos ntegraores ao fnal o horzonte e controle. O ntuto esta seção é ar uma vsão geral o uso e evolução os controlaores pretvos nas últmas écaas. Uma scussão mas ampla o assunto poe ser encontraa em Garca, Prett e Morar (1989), Morar e Lee (1999) ou Camacho e Borons (4)... PROCESSOS INTEGRADORES Na nústra químca são freqüentes os processos ntegraores, seja evo à presença e tanques e vasos ou a correntes e recclo. Como as prmeras emonstrações e establae e controlaores pretvos repousavam sobre a hpótese e establae os sstemas em malha aberta, fo precso crar uma estratéga ferente para esses casos. Rorgues e Oloa (3) propuseram a vsão a otmzação em os subproblemas: o prmero tenta zerar os moos ntegraores e o seguno é um MPC traconal para levar as saías aos valores

28 esejaos. A éa e vr o problema o MPC em os passos com objetvos stntos hava prmeramente so ntrouza, em outro contexto, por Lee e Xao (). No contexto as prmeras formulações e controle pretvo, como no caso o DMC, sstemas ntegraores eram trataos apenas e forma aproxmaa. O moelo usao nessas formulações era a convolução as entraas prevstas com coefcentes obtos a partr a resposta a uma perturbação o tpo egrau. Entretanto, como a saía e um sstema ntegraor verge quano exctao por esse tpo e perturbação, os coefcentes a resposta ao egrau eram truncaos após um número sufcentemente grane e períoos e amostragem. Obvamente, não há garanta e establae para controlaores formulaos essa manera. Formulações mas rgorosas começaram a ser esenvolvas em Muse e Rawlngs (1993). Neste trabalho aponta-se que os moos nstáves evem ser zeraos após o horzonte e controle, pos, caso contráro, eles contnuarão evoluno em função o tempo e não convergrão para. No entanto, essa restrção provoca uma grane reução a regão vável o problema e otmzação, o que poe nvablzar o uso o controlaor. Por outro lao, é apresentaa uma emonstração a factblae recursva o controlaor proposto quano o moelo o controlaor é exato (caso nomnal). Rorgues e Oloa (3) esenvolveram uma nova realzação em espaço e estaos para sstemas ntegraores que permte provar a establae nomnal para um controlaor pretvo baseao em um moelo com essa realzação. Essa realzação é la com o tempo e forma contínua, o que não é o mas freqüente na lteratura e controle pretvo. São mpostas restrções termnas sobre os moos ntegraores, tanto os naturas o sstema quanto aqueles ntrouzos pela representação em velocae. Para aumentar a regão vável, é colocaa uma varável e folga ou slac ( δ ) na restrção que mpõe o valor termnal para as saías. Esse tpo e procemento é bastante comum, garantno que a restrção seja sempre respetaa. Por outro lao, penalza-se o valor a varável e folga na função objetvo, e moo que a solução tenha valores ferentes e zero para essa varável apenas se não houver uma solução vável com δ =. Carrapço e Oloa (5) esteneram o procemento e Rorgues e Oloa (3) para esenvolver um controlaor pretvo nomnalmente estável para sstemas ntegraores. Mostrou-se que é possível nclur varáves e folga para relaxar a restrção termnal sobre os moos ntegraores e ana assm manter a establae nomnal o controlaor. Isso não é uma extensão trval o trabalho e Rawlngs e Muse (1993) porque quano as varáves e ecsão ncluem slacs os moos ntegraores, a solução o nstante não permte a 8

29 etermnação e um majorante para a função objetvo no nstante + 1. Portanto, não se consegue encontrar faclmente uma função e Lyapunov para o sstema e a questão e establae permanece não resolva. Em Carrapço e Oloa (5) foram utlzaos os procementos para contornar essa fculae. No prmero eles, fo aconaa uma restrção e contração o valor a norma as varáves e folga relaconaas aos ntegraores. Assm, mpõe-se e forma nreta que essas varáves evem tener a e, conseqüentemente, os moos ntegraores também tenem a. Na outra aboragem, o problema e otmzação fo vo em os subproblemas: no prmero, foram calculaas ações e controle e moo a mnmzar as varáves e folga os moos ntegraores. O seguno problema é smlar a um MPC parão, ferno apenas pela nclusão e uma restrção que força as contrbuções sobre os moos ntegraores as ações e controle a serem guas às contrbuções obtas no prmero problema. Os os problemas são sempre váves e o resultao é que, caso não haja stúrbos, após um tempo fnto é atngo um estao a partr o qual os moos ntegraores poem ser zeraos entro e um horzonte e controle. Assm, concla-se a formulação traconal e MPC para sstemas nstáves com a garanta e vablae o problema resolvo pelo otmzaor. González, Marchett e Oloa (7) esteneram e certa manera o trabalho e Carrapço e Oloa (5) e moo a garantr a robustez o controlaor. O moelo utlzao para o sstema parte o pressuposto que o moelo a planta real é esconheco mas está localzao no nteror e um poltopo cujos vértces são moelos conhecos. González, Marchett e Oloa (7) também usaram um controlaor com os passos, o prmero responsável por zerar os moos ntegraores e o seguno busca conuzr o sstema ao ponto operaconal esejao. A establae robusta é garanta ao mpor a contração a função objetvo em too o conjunto e moelos conhecos. Dessa forma, a função objetvo que sera calculaa se o moelo a planta real fosse conheco também é ecrescente. No entanto, a formulação o controlaor é feta apenas para sstemas sem tempos mortos OBSERVADORES DE ESTADO Quano se utlza um moelo em espaço e estaos para representar um sstema real, este moelo é uma aproxmação a realae. Mesmo assumno que o sstema se comporte e moo lnear em toa a regão e nteresse, o que é uma hpótese bastante restrtva, sera

30 3 necessáro conhecer com exatão toos os parâmetros as matrzes A, B, C para obter um moelo capaz e reprouzr perfetamente a nâmca o sstema. Fnalmente, mesmo se esses parâmetros fossem etermnaos exatamente, o comportamento mensurável a planta poera ser ferente o calculao pelo moelo evo a erros aleatóros nerentes ao processo e meção. Em resumo, por causa e smplfcações ou erros e moelagem e e mprecsões nas meas, o moelo não prevê completamente a evolução o sstema real. Fca claro, portanto, que é necessáro corrgr e alguma forma os estaos calculaos pelo moelo e moo a alcançar resultaos mas próxmos a planta real. Este problema levou ao esenvolvmento a teora e estmação e estaos, ncalmente pesqusaa com o ntuto e auxlar os projetos aeroespacas nas écaas e 195 e 196. Um os marcos funaores a teora recente fo o esenvolvmento o fltro e Kalman, atualmente empregao em toos os campos e engenhara, economa, bologa e outras cêncas. (Smon, 6) Para exemplfcar a ação e um observaor e estaos, consere uma planta lnear nvarante no tempo cuja evolução é aa por: x( + 1) = A x( ) + B u ( ) y( ) = Cx( ) (-4) Amta que as matrzes A, B, C são conhecas e que se spõe e meas e y e u até o nstante. Caso se quera smular esse comportamento, é necessáro também conhecer o estao x. Utlza-se o símbolo ^ para ncar valores estmaos, ferencano-os os valores reas. Suponha que apenas uma estmatva ˆx esteja sponível, então a smulação ara resultaos conforme as equações xˆ ( + 1) = A xˆ ( ) + B u ( ) yˆ ( ) = Cxˆ ( ) (-5) Uma mea o erro a estmatva é a comparação entre a saía real e a saía smulaa, y( ) C xˆ ( ). Esse erro poe ser utlzao como retroalmentação para corrgr (-5): ( ) xˆ ( + 1) = A xˆ ( ) + B u ( ) + L y( ) C xˆ ( ) (-6)

31 Como efno em Gla e Ljung (1999), a matrz L 31 n ny R é o ganho o observaor. Seja e( ) = x( ) xˆ ( ) o erro entre a estmatva e o estao real. Utlzano essa efnção em (-6) e smplfcano a expressão obta, tem-se ( ) ( ) ( ) ( ) x( + 1) e( + 1) = A x( ) e( ) + B u ( ) + L y( ) C x( ) e( ) e( + 1) = A LC e( ) (-7) Logo, quano os autovalores e ( A LC) estão localzaos estrtamente no nteror o círculo untáro o erro tene a zero. Em outros termos, a estmatva o estao tene assntotcamente ao valor real. Poe-se emonstrar que exste ao menos uma matrz L satsfazeno à conção os autovalores se e somente se o sstema for etectável (Hespanha, 9). A escolha a matrz L eve levar em conta os fatores confltantes: por um lao, quanto mas próxmos os autovalores estverem a orgem, mas rápa a convergênca o erro para zero. Contuo, esses autovalores muto pequenos levam a estmatva a osclar bastante na presença e ruíos. Uma solução ótma, num certo sento, para esse conflto é o Fltro e Kalman. Ele pressupõe que se tenha um moelo os ruíos, permtno quantfcar a sensblae o observaor a essas varações. A escrção o Fltro e Kalman apresentaa a segur fo aaptaa e Gla e Ljung (1999). Consera-se ncalmente um sstema lnear, nvarante no tempo, em tempo screto a forma x( + 1) = A x( ) + Bu ( ) + Nv ( ) y( ) = C x( ) + v ( ) 1 (-8) em que v1( ) e v( ) são processos estocástcos, enomnaos, respectvamente, ruío o processo e ruío e mea. Esses processos são conseraos ruíos brancos, gaussanos, e méa nula e não auto-correlaconaos. Sejam R 1, R suas matrzes e covarânca e R1 a matrz e correlação cruzaa. O ganho o fltro é calculao e moo que a esperança o erro e estmatva seja mínmo, ou seja,

32 3 ( ˆ ) ( ˆ ) mn E x( ) x( ) x( ) x( ) T (-9) Poe-se emonstrar que para sufcentemente grane este ganho é ao por: K APC NR CPC R 1 ( T T K = + 1 )( + ) (-1) em que P, a matrz e covarânca o erro e estmação, é a solução a equação P = APA + NR N ( APC + NR )( CPC + R ) ( APC + NR ) (-11) T T T T 1 T T CONTROLE POR FAIXAS Apesar as prmeras formulações e controlaores pretvos baseaos em moelos amtrem que o objetvo o controlaor é manter as varáves controlaas guas a valores e referênca pré-etermnaos (Macejows, ), há exemplos e sstemas reas em que essa premssa não é vála. Por exemplo, no caso o controle e nível e um tanque, é funamental que a varável controlaa, o nível permaneça entro e lmtes mínmo e máxmo estabelecos anterormente. Contuo, poe não haver necessae e estabelecer um valor ótmo para o nível o tanque, já que qualquer nível entro os lmtes já é aequao para o bom funconamento a planta. Outros casos e varáves em que o controle por faxas é uma estratéga aequaa foram aboraos em Zann, Tvrzsa e Gouvêa e Oloa (), como por exemplo a temperatura no reator ou nos ferentes estágos o regeneraor e uma unae e craqueamento catalítco em leto fluzao (FCC). Numa estratéga e controle em camaas, há uma camaa e otmzação que, a partr o planejamento e longo prazo a planta, calcula o ponto e operação mas aequao o ponto e vsta econômco. Essa camaa e otmzação fornece, portanto, valores ótmos para as entraas e saías as versas unaes a planta, que poem ser utlzaos na camaa e controle avançao. Esse esquema está sntetzao na Fgura -1:

33 33 Fgura -1: Estrutura e controle em camaas, Zann (1) Na formulação proposta em González e Oloa (9) a função objetvo o controlaor penalza esvos as entraas o sstema em relação aos valores esejáves calculaos na camaa e otmzação (targets). Por outro lao, as saías o sstema são penalzaas na função objetvo apenas se estverem fora e uma faxa e operação que engloba o valor ótmo para caa saía. Essa aboragem fornece mas graus e lberae ao controlaor o que a manera traconal e mpor uma trajetóra e referênca..5. DESIGUALDADES MATRICIAIS De acoro com Boy et al. (1994), uma esgualae matrcal lnear (Lnear Matrx Inequalty, LMI na sgla em nglês) poe ser efna como: F ( x) = F + x F > m = 1 (-1)

34 34 em que m x R é uma varável e as matrzes smétrcas n n F R,,, = m são constantes. O símbolo > é utlzao, por abuso e lnguagem, para representar que a matrz F( x) é postva efna. Apesar a forma aparentemente lmtaa essa efnção e LMI, uma restrção na forma (-1) poe representar versas stuações comuns em problemas e controle. Conforme exemplfcao em Boy et al. (1994), essa restrção poe ser mofcaa e manera que a varável o problema seja uma matrz, e não um smples vetor. Poe-se mostrar que o conjunto e pontos m x R que satsfaz (-3) é convexo. Um os resultaos funamentas a teora e LMI é o Complemento e Schur, que estabelece a equvalênca entre uma esgualae não lnear e uma LMI. O enuncao precso esse lema é ao a segur: Complemento e Schur: sejam Q( x) = Q( x) T, R( x) = R( x) T, S( x) matrzes que epenem e x e manera afm. Então as esgualaes 1 T R ( x) >, Q ( x) S ( x) R ( x) S ( x) > (-13) são equvalentes à LMI Q ( x) S ( x) > S ( x) R( x) (-14) Uma emonstração poe ser vsta em VanAntwerp e Braatz (). Esse resultao é partcularmente útl para a análse a establae e um sstema. Um sstema lnear na forma (-3) é estável em malha aberta se e somente se exste uma matrz P smétrca postva efna tal que a segunte Equação e Lyapunov tem solução (Hespanha, 9): T A PA P < (-15) Através o Complemento e Schur, a equação na forma (-15) poe ser transformaa numa LMI. A prncpal vantagem essa transformação é a exstênca e algortmos efcentes para a

35 35 solução numérca e problemas e otmzação com função objetvo lnear e restrções que são LMIs. Uma scussão mas completa esses algortmos fo feta em Boy et al. (1994). Outra classe e esgualaes matrcas é a esgualae matrcal blnear (Blnear Matrx Inequalty, BMI na sgla em nglês). Conforme VanAntwerp e Braatz (), uma BMI poe ser escrta na forma: F ( x, y) = F + x F + y G + x y H > m n m n j j j j = 1 j = 1 = 1 j = 1 (-16) As varáves e uma BMI são os vetores n n F R, G j n n R, H j m x R e n n R ( =,, ; = 1,, Ao contráro as LMIs, o conjunto e pontos m j n ) são constantes. m y R, enquanto as matrzes smétrcas m x R, m y R que satsfaz (-16) não é convexo. Em ecorrênca esse fato, os algortmos exstentes para resolução e BMIs são menos efcentes que aqueles voltaos para LMIs.

36 36 3. IHMPC PARA SISTEMAS INTEGRADORES E COM TEMPO MORTO 3.1. MODELO EM ESPAÇO DE ESTADOS Consere um sstema com nu entraas e ny saías, seno n ntegraoras. Esse sstema poe ser representao por um moelo e funções e transferênca G( s ) : G1,1 ( s) G1, nu ( s) G( s) =, Gny,1( s) Gny, nu ( s) (3-1) Seja na a orem as funções e transferênca G, ( s ). A expressão essas funções poe ser aa por: j nb b, j, + b, j,1 s + + b, j, nb s (3-) θ, j s G, j ( s) = e s( s r )( s r ) ( s r ), j,1, j,, j, na As respostas ao egrau untáro essas funções e transferênca poem ser obtas a partr as expansões em frações parcas: G ( s) S s e e e e, j, j, js, j,1, js, j, na, js, j, js, j ( ) = = θ + θ + + θ + θ s s s r, j,1 s r, j, na s (3-3) Seja t o períoo e amostragem. Assm, (3-3) poe ser reescrta em tempo screto na segunte forma: r, j,1 t θ, j r, j, na t θ, j ( ) S ( t) = + e + + e + ( t θ ) U ( t θ ), (3-4), j, j, j,1, j, na, j, j, j seno U ( t) a função-egrau, ou seja,

37 37, se t < U ( t) =, 1, se t (3-5) Este sstema poe ser representao em espaço e estaos com entraas ncrementas: x( + 1) = A x( ) + B u( ) y ( ) ( ) e = C x (3-6) Em que o estao x é efno como x( ) s x ( ) x ( ) x ( ) z ( ), z( ) zθ ( ) = 1 (3-7) s ny x R, ny. nu. na x C, ny x R,,, nu z1 z θ R nx x C, nx = ny + n + θ nu, n = ny. nu. na, O estao x s () correspone à preção a saía o sstema em estao estaconáro, estano relaconao com os moos ntegraores ntrouzos pela escrção ncremental que fo proposta. Já os estaos x () e x () respectvamente, o sstema orgnal. A saía expana zem respeto aos moos estáves e ntegraores, y e agrega as saías físcas o sstema y e os estaos z l (), que armazenam as últmas θ varações na entraa, z l ( ) = u( l). Por sua vez, θ = θ, j, ou seja, armazenam-se tantas entraas já, j mplementaas quanto necessáro para calcular o valor a saía com maor tempo morto. Explctano as matrzes A, B e C, tem-se:

38 38 s * s s s s s s x ( + 1) Iny tin B1 B... B 1 B x ( ) θ θ B x ( + 1) F B1 B... Bθ 1 Bθ x ( ) B * x ( 1) + In B1 B... Bθ 1 B x ( ) θ B z1( + 1) =... z1( ) + I ( ) nu u z( + 1) Inu... z( )... zθ ( + 1)... I z ( ) nu θ (3-8) s x ( ) y( ) I Ψ... x ( ) ny z1( ) Inu... x ( ) z1( ) = I... nu z1( ) z( ) zθ ( )... I nu zθ ( ) As matrzes A, B e C são compostas por versas submatrzes. Por abuso e notação, representam-se por toas as matrzes nulas, seno suas mensões etermnaas pelo contexto. In representa uma matrz entae e mensão n. Por outro lao, * Iny é uma matrz quaraa e mensão ny, agonal, em que as posções corresponentes às saías ntegraoras valem 1, enquanto as corresponentes às emas saías valem. Se os pólos estáves o sstema não se repetrem, então a matrz F efne a nâmca os moos estáves e é a segunte forma: ( t r1,1,1 t r 1,,1 1,,,1,1,1,,,1,, ) 1,1, na t r nu t r nu na t rny t rny na t rny nu t rny nu na F = ag e e e e e e e e F C n n s As matrzes que e fato relaconam as entraas o sstema aos estaos são Bl, Bl, B l, com l =,, θ. Toas as matrzes s Bl e Bl têm ny lnhas e nu colunas. Usano a notação [ X ], j para representar o elemento a -ésma lnha e j-ésma coluna e uma matrz X, as regras para construção e s Bl e B l são:

39 39 Se l θ, j, então s B l = ;, j B l =, j Caso contráro, s B l =, j + t, j ; B l =, j, j, j Por fm, a construção e Bl é um pouco mas sutl porque ela tem n lnhas e nu colunas, portanto essa matrz não tem as mesmas mensões a função e transferênca G( s ). É necessáro estabelecer a correta entfcação entre caa elemento e corresponentes. B l e a entraa e saía Se não houvesse tempos mortos, então ocorrera apenas o caso l = e se tera B = D F N, seno: 1 na 1 J 1 J n nu N = na ny, N R ; J nu na nu = 1, J R J 1 na 1 ( 1,1,1 1,1, na 1, nu,1 1, nu, na ny,1,1 ny,1, na ny, nu,1 ny, nu, na ) D = ag D C n n Dessa forma, D FN = r1,1,1 1,1,1 e r1,1, na 1,1, nae r1,,1 1,,1 e r1,, na 1,, nae 1, nu, nae rny,1,1 ny,1,1e r1, nu,1 1, nu,1e ny, nu, na r1, nu, na e rny, nu, na, D FN R n nu

40 Na presença e tempos mortos, os elementos e matrzes B l, l =,, θ. Para tanto, caa matrz 4 D FN evem ser strbuíos entre as Bl é uma cópa e D FN mas os elementos corresponentes às funções e transferênca com tempo morto ferente e l são substtuíos por zeros. Por exemplo, se o tempo morto a função e transferênca 1,1,1 relaconano a prmera entraa e a prmera saía é gual a, então r B = 1,1,1 e ao 1,1 passo que B l =, l. 1,1 A relação entre os estaos e as saías é aa por ( ) s y = x ( ) + Ψ x ( ), seno Φ Ψ =, Φ ny n nu na Ψ R, Φ = [ 1 1], Φ R Moelo Conteno Apenas Estaos Reas A formulação esenvolva na seção 3.1 compreene algumas matrzes que não são necessaramente reas, como F e D. Conseqüentemente, o estao x poe não ser estrtamente real caso o sstema tenha pólos complexos conjugaos. A presença e números complexos não-reas causa problemas quano essas matrzes são utlzaas em problemas e LMI, uma vez que os algortmos atuas lam apenas com valores estrtamente reas. Consere-se ncalmente um sstema com uma entraa, uma saía sem tempo morto. Amte-se que a função e transferênca é e seguna orem, e manera que os pólos sejam complexos conjugaos: α + β α β G( s) = + s + b + ω s + b ω (3-9) De acoro com (3-4), a resposta esse sstema a um egrau untáro é

41 41 r t r t S( t) = + e + e ( α b + ωβ) = b + ω = α + β, = α β r = b ω, r = b + ω (3-1) Expanno as exponencas complexas, tem-se: b t b t S( t) = + αe cos( ω t) + βe sn( ω t) (3-11) s A representação em espaço e estaos esse sstema tem 3 componentes: x ( ), x ( ) 1 e x ( ). Na formulação com varáves complexas, tem-se que a saía é a soma essas 3 s componentes, ou seja, y( ) = x ( ) + x1 ( ) + x ( ). Ao restrngr a formulação apenas a s varáves reas, é convenente efnr y( ) = x ( ) + x1 ( ), e manera que a contrbução os moos estáves para a saía esteja concentraa apenas em uma as componentes. No entanto, a componente ( ) x afeta x ( ) 1 e, nretamente, também nterfere na saía. A matrz e transção A poe ser reefna através e uma relação e smlarae: 1 b t Caso complexo: A = e ( cos( ω t) + sn( ω t) b t e ( cos( ω t) sn( ω t ) 1 b t b t Caso real: A = e cos( t) e sn( t) ω ω b t b t e sn( ω t) e cos( ω t) (3-1) Até este ponto, amtram-se estruturas partculares para as matrzes A e C. Resta calcular as componentes B 1 e B a matrz B, efnas e acoro com: