Grupo I. 1. Uma caixa contém bolas indistinguíveis ao tacto e de duas cores diferentes: azul e roxo.

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1 Exames Naconas EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Le n. 74/2004, e 26 e Março Prova Escrta e Matemátca A 2. Ano e Escolarae Prova 63/2.ª Fase Duração a Prova: 0 mnutos. Tolerânca: 30 mnutos 200 VERSÃO Gruo I Na resosta a caa um os tens este gruo, seleccone a únca oção correcta. Escreva, na folha e resostas, o número o tem e a letra que entfca a oção selecconaa. Não aresente cálculos, nem justfcações. Cotações. Uma caxa contém bolas nstnguíves ao tacto e e uas cores ferentes: azul e roxo. Sabe-se que: o número e bolas azus é 8 extrano-se, ao acaso, uma bola a caxa, a robablae e ela ser azul é gual a Quantas bolas roxas há na caxa? 2 (A) 6 (B) 2 (C) 8 (D) 4 2. Consere toos os números e cnco algarsmos que se oem formar com os algarsmos, 6, 7, 8 e 9. De entre estes números, quantos têm, exactamente, três algarsmos? (A) C 3 * 4 A 2 (B) C 3 * 4 2 (C) A 3 * 4 2 (D) A 3 * 4 C 2 3. Na sequênca segunte, rerouzem-se os três rmeros elementos e os três últmos elementos e uma lnha o Trângulo e Pascal. 0 0 São escolhos, ao acaso, os elementos essa lnha. Qual é a robablae e a soma esses os elementos ser gual a 0? (A) (B) (C) (D)

2 Exames Naconas 4. De uma função h, e omíno R, sabe-se que: h é uma função ar; lm (h (x) - 2x) 0 Qual é o valor e lm h (x)? x "-? (A) +? (B) - 2 (C) 0 (D) -?. Consere a função g, e omíno R, efna or a g (x) b c e x se x 0 ln x se x > 0 Consere a sucessão e termo geral u n. n Qual é o valor e lm g (u n)? n "+? (A) +? (B) (C) 0 (D) -? 6. Na Fgura, está reresentaa, num referencal o. n. xoy, arte o gráfco a função f ', rmera ervaa e f. Seja a år + um onto o omíno e f, tal que f '(a) 0. Fgura Qual as afrmações seguntes é veraera? (A) (B) A função f tem um mínmo ara x a A função f tem um onto e nflexão ara x a (C) A função f é crescente em ]0, a[ (D) A função f é ecrescente em R 42

3 2.ª fase A Fgura 2 reresenta um entágono [ABCDE] no lano comlexo. Os vértces o entágono são as magens geométrcas as raízes e ínce n e um número comlexo w. O vértce A tem coorenaas (, 0). Fgura 2 Qual os números comlexos seguntes tem or magem geométrca o vértce D o entágono? (A) cs 6 (B) cs 6 (C) cs - (D) cs Seja w o número comlexo cuja magem geométrca está reresentaa na Fgura 3. A qual as rectas seguntes ertence a magem geométrca e w 6? (A) (B) (C) (D) Exo real Exo magnáro Bssectrz os quarantes ímares Bssectrz os quarantes ares Fgura 3 Gruo II Nas resostas aos tens este gruo, aresente toos os cálculos que tver e efectuar e toas as justfcações necessáras. Atenção: quano, ara um resultao, não é ea a aroxmação, aresente semre o valor exacto.. Em C, conjunto os números comlexos, consere z œ2 cs e z 2 3. Resolva os os tens seguntes, recorreno a métoos exclusvamente analítcos Determne o número comlexo w z Aresente o resultao na forma trgonométrca..2. Escreva uma conção, em C, que efna, no lano comlexo, a crcunferênca que tem centro na magem geométrca e z 2 e que assa na magem geométrca e z. 43

4 Exames Naconas 2. A Fgura 4 e a Fgura reresentam, resectvamente, as lanfcações e os aos cúbcos equlbraos, A e B. Fgura 4 Fgura Lançam-se, smultaneamente, os os aos. 2.. Seja X a varável aleatóra «soma os números saíos nas faces voltaas ara cma, em caa um os aos». Construa a tabela e strbução e robablaes a varável X. Aresente as robablaes na forma e fracção Consere que o número a face voltaa ara cma no ao A (Fgura 4) é a abcssa e um onto Q o referencal o. n. xoy, e que o número a face voltaa ara cma no ao B (Fgura ) é a orenaa esse onto Q. Consere agora os acontecmentos: J : «o número saío no ao A é negatvo»; L : «o onto Q ertence ao tercero quarante». Inque o valor e P (L J), sem alcar a fórmula a robablae conconaa. Aresente o resultao na forma e fracção. Numa comosção, exlque o seu racocíno, começano or referr o sgnfcao e P (L J) no contexto a stuação escrta. 3. Seja W o esaço e resultaos assocao a uma exerênca aleatóra. Sejam A e B os acontecmentos tas que A ƒ W, B ƒ W e 0 0. Mostre que P (A B) - P (A \B) P (A). (P esgna robablae; A esgna o acontecmento contráro e A ; P (A \B) esgna a robablae e A, ao B ) 4. Consere a função f, e omíno ]0, +?[, efna or a f (x) b c e x - 3x x x - ln x se 0 < x 2 se x > 2 Resolva os tens 4.. e 4.2., recorreno a métoos exclusvamente analítcos. 4.. Estue a função f quanto à exstênca e assmtotas oblíquas Mostre que a função f tem um extremo relatvo no ntervalo ]2, +?[

5 2.ª fase Determne a área o trângulo [ABC], recorreno às caacaes gráfcas a sua calculaora. Sabe-se que: A, B e C são ontos o gráfco a função f. A e B são os ontos cujas abcssas são as soluções, no ntervalo ]0, 2], a equação f (x) f (). C é o onto cuja orenaa é o mínmo a função f, no ntervalo ]0, 2], e cuja abcssa ertence ao ntervalo ]0, 2]. Na sua resosta, eve: rerouzr o gráfco a função, ou os gráfcos as funções, que tver necessae e vsualzar na calculaora, evamente entfcao(s), ncluno o referencal; ncar as coorenaas os ontos A, B e C, com arreonamento às centésmas; aresentar o resultao eo, com arreonamento às écmas. e 2x 3 -. Consere a função f, e omíno R, efna or f (x) -x +. Resolva os os tens seguntes, recorreno a métoos exclusvamente analítcos... Mostre que f (x), tem, elo menos, uma solução em ]- 2, - [. Se utlzar a calculaora em eventuas cálculos numércos, semre que roceer a arreonamentos, use três casas ecmas..2. Determne a equação reuza a recta tangente ao gráfco e f no onto e abcssa x Um eósto e combustível tem a forma e uma esfera. A Fgura 6 e a Fgura 7 reresentam os cortes o mesmo eósto, com alturas e combustível stntas. Os cortes são fetos or um lano vertcal que assa elo centro a esfera. Sabe-se que: o onto O é o centro a esfera; a esfera tem 6 metros e âmetro; a amltue q, em raanos, o Fgura 6 Fgura 7 arco AB é gual à amltue o ângulo ao centro AOB corresonente. A altura AC, em metros, o combustível exstente no eósto é aa, em função e q, or h, e omíno [0, ]. Resolva os tens seguntes, recorreno a métoos exclusvamente analítcos. 6.. Mostre que h (q) 3-3 cos (q), ara qualquer q å ]0, [ Resolva a conção h (q) 3, q å ]0, [. 0 Interrete o resultao obto no contexto a stuação aresentaa. FIM 4

6 Sugestão e resolução Gruo I. Se a caxa contém aenas bolas e cor azul e roxo e se, extrano ao acaso uma bola a caxa, a robablae e ela ser azul é gual a, então a caxa tem gual número e bolas roxas e azus. 2 Portanto, como na caxa há 8 bolas azus, também há 8 bolas roxas. Resosta: (C). CAESMA2 Porto Etora 2. Há C 3 * 4 A' 2 C 3 * 4 2 números que têm, exactamente, três algarsmos. fl fl " Número e maneras e escolher, com ossível reetção, os os algarsmos ferentes e fl entre os quatro restantes. fl 2222" Número e maneras e escolher a osção os três algarsmos guas a entre as cnco osções Resosta: (B). ossíves 3. Na lnha o Trângulo e Pascal refera, aenas os os rmeros elementos e os os últmos são nferores a 0. Se os os elementos forem escolhos entre estes ( ) a sua soma é, no máxmo, gual a 30. Se elo menos um os os elementos for escolho entre os restantes elementos essa lnha, a soma os os será, necessaramente, sueror a 0. Portanto, o acontecmento a soma os os elementos é gual a 0 é mossível, elo que a sua robablae é gual a zero. Resosta: (D). 4. Se lm (h (x) - 2x) 0, a recta e equação y 2x é uma assmtota o gráfco a função h quano. Portanto, lm h (x) lm (2x) +?. Como h é uma função ar, lm h (x) lm h (x), ou seja, lm h (x) +?. Resosta: (A). x "-? x "-?. a g (x) b c e x se x 0 ln x se x > 0 lm g (x) lm ln x -? x " 0 + x " 0 + Dao que lm u n lm 0 + e ateneno à efnção e lmte e uma função num onto, n "+? seguno Hene, oemos conclur que lm g (u n ) lm g (x) -?. Resosta: (D). n "+? n2 n "+? x " Da observação a arte o gráfco a função f ' que se aresenta, oemos conclur que f '(x) > 0, A x å ]0, a[. Portanto, a função f é crescente em ]0, a[. Resosta: (C).

7 .ª fase Se os vértces o entágono são as magens geométrcas as raízes e ínce n e um número comlexo w temos que n, o entágono é regular e oe ser nscrto numa crcunferênca e centro na orgem o referencal. Se z é o número comlexo que tem or magem geométrca o vértce D o entágono, então: 2 \z OD OA e arg (z) 3 *. 6 Portanto, z cs 6. 2 Resosta: (B). 8. w r cs w r cs r 6 cs 6 * r6 cs (9) r 6 cs () Logo, a magem geométrca e w 6 ertence ao exo real. Resosta: (A). 42. z œ2 cs ; z 2 3 Gruo II.. w z œ2 cs (œ2) 4 cs 4 * cs (cos + sn ) + 4 w Portanto, 4(- + 0) + 4 \w œ œ4 2 * 2 4œ2 tg (arg w) 4 e 4 f ± é um argumento e w. arg w å. Q 4 g w 4œ2 cs ( ) * (- ) * (- ) z œ2 cs 42 œ2 cos 4 + sn 42 œ2 œ œ A crcunferênca que tem centro na magem geométrca e z 2 e que assa na magem geométrca e z é efna ela conção em C : \z - z 2 r CAESMA2 Porto Etora seno r \z - z 2. r \z - z 2 \ \- 2 + œ(- 2) œ Portanto, como z 2 3, a conção ea oe ser \z - 3 œ. CAESMA

8 Exames Naconas Na segunte tabela aresentam-se toos os ossíves valores a varável aleatóra X : P (X -3) P (X -2) CAESMA2 Porto Etora P (X -) P (X 0) 36 P (X ) Tabela e strbução a varável aleatóra X : x P (X x ) P (L \J) reresenta a robablae e o onto Q ertencer ao tercero quarante sabeno que o número saío no ao A é negatvo. Ora, se o número saío no ao A é negatvo, o onto Q tem abcssa negatva, elo que ertence ao seguno ou ao tercero quarante. Assm, o onto Q ertencerá ao tercero quarante se a sua orenaa for negatva, o que acontecerá se no ao B sar a face numeraa com o número -. A robablae e tal acontecer é gual a. Portanto, P (L \J) P (A B) - P (A \B) P (A B) - P (A B) P (A B) - P (A B) P (A) + - P (A B) - ( - P (A B)) P (A) + - P (A B) - + P (A B) P (A) P (A B) P (B \ A) - P (A B) f (x) D f ]0, +?[ Seja y mx + b a equação a assmtota oblíqua o gráfco a função f, caso exsta. m b a b c e x - 3x x lm f (x) x lm lm (f (x) - mx) lm se 0 < x 2 x - ln x se x > 2 x - ln x lm x - ln x x 2 - x - ln x - x 2 - lm ln x x - 0 lm (ln x) -? Portanto, como não exste b år, o gráfco a função f não tem assmtotas oblíquas. 48

9 2.ª fase Para x > 2, f'(x) x - ln x 2 ' x 2 ' - (ln x)' - x x - x f '(x) 0 x > 2 x - x 0 x > 2 x. x 2 +? f ' n f n. Mín. Como a função f tem um mínmo relatvo ara x, oemos conclur que f tem um extremo relatvo no ntervalo ]2, +?[ Recorreno à calculaora obtvemos o gráfco a função f no ntervalo ]0, 2] bem como a recta e equação y f (), ou seja, y 3 - ln. Determnano o mínmo e f no ntervalo ]0, 2] e a ntersecção o gráfco com a recta, foram obtas as coorenaas os ontos A, B e C, seno A (0,0 ; 0,29), B (,7 ; 0,29) e C (,00 ; - 0,28). Tem-se, então, que AB ),7-0,0,2 e a altura o trângulo [ABC] relatvamente à base [AB] é aa, com aroxmação às centésmas, or 0,29 - (- 0,28) 0,7. Portanto, a área o trângulo [ABC] é, com aroxmação às écmas, aa or A [ABC] ) 0,7 *,2 2 ) 0,4. f (x) - x + e 2x 3 - ; D f R.. f é uma função contínua or ser efna ela comosta e soma e funções contínuas. Logo, f é contínua em [- 2, - ] ƒ R. f (- 2) -(-2) + e 2* e -7 ) 2,000 f (- ) -(-) + e 2* e - 3 ),00 CAESMA2 Porto Etora Como f (-) <, < f (- 2), elo coroláro o Teorema e Bolzano, oemos conclur que E c å ]- 2, - [ : f (c),, ou seja, a equação f (x), tem, elo menos, uma solução em ]- 2, - [. 49

10 Exames Naconas.2. f (x) - x + e 2x 3 - f '(x) (-x + e 2x3 - )' - + (2x 3 -)' * e 2x x e 2x3 - Seja y mx + b a equação ea. Ponto e tangênca: Declve: f (0) -0 + e 2 * 03 - e - ; e m f '(0) * 0 * e - - P 0, e2 Seno m - e a orenaa na orgem, b, gual a f (0), a equação retena é y -x +. e e CAESMA2 Porto Etora Se q å a altura o combustível é aa or AC OA - OC OC OC cos q cos q OC 3 cos q OB 3 h (q) AC OA - OC 3-3 cos q Se q å 4 0, , 3 a altura o combustível é aa or AC OA + OC OC cos ( OC - q) -cos q OC -3cos q OB 3 h (q) AC OA + OC 3-3 cos q Portanto, h (q) 3-3 cos q, ara qualquer q å ]0, [ h (q) cos q 3-3 cos q 0 cos q 0 Como q å ]0, [, h (q) 3 q 2 Quano a altura o combustível no eósto é gual a 3 metros, a amltue o ângulo ao centro AOB é gual a raanos. Neste caso, a suerfíce o combustível assa no centro a esfera e o 2 volume o combustível é gual a metae a caacae o eósto. 420