Exames Nacionais. Prova Escrita de Matemática A 2008 VERSÃO ano de Escolaridade Prova 635/1.ª Fase. Grupo I

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1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei n. 74/004, e 6 e Março Prova Escrita e Matemática A. ano e Escolariae Prova 6/.ª Fase Duração a Prova: 0 minutos. Tolerância: 0 minutos 008 VERSÃO Para responer aos itens e escolha múltipla, escreva, na folha e respostas, o número o item; a letra ientificativa a alternativa correcta. Não apresente cálculos, nem justificações. Nos itens e resposta aberta com cotação igual ou superior a pontos e que impliquem a proução e um texto, o omínio a comunicação escrita em língua portuguesa representa cerca e 0% a cotação. Grupo I Os oito itens este grupo são e escolha múltipla. Em caa um eles, são inicaas quatro alternativas e resposta, as quais só uma está correcta. Se apresentar mais o que uma alternativa, a resposta será classificaa com zero pontos, o mesmo aconteceno se a letra transcrita for ilegível. Cotações. O João e a Maria conviaram três amigos para irem, com eles, ao cinema. Compraram cinco bilhetes com numeração seguia, numa eterminaa fila, e istribuíram-nos ao acaso. Qual é a probabiliae e o João e a Maria ficarem sentaos um ao lao o outro? (A) (C) (B) (D) 4. Seja W o espaço e resultaos associao a uma certa experiência aleatória, e sejam A e B ois acontecimentos (A ƒ W e B ƒ W). Sabe-se que: P (A B) = 80% P (B) = 60% P (A B) = 0% Qual é o valor e P (A)? (P esigna probabiliae.) (A) 0% (B) 0% (C) 0% (D) 40%

2 .ª fase 008. Amita que a variável peso, expressa em gramas, as maçãs e um pomar é bem moelaa por uma istribuição normal N (60 ; ), em que 60 é o valor méio e é o valor o esvio-parão a istribuição. Retira-se, ao acaso, uma essas maçãs. Consiere os acontecimentos: A : «O peso a maçã retiraa é superior a 66 gramas» B : «O peso a maçã retiraa é inferior a 48 gramas» Qual as seguintes afirmações é veraeira? (A) P (A) = P (B) (B) P (A) < P (B) (C) P (B) < P (A) (D) P (A) + P (B) = 4. Seja a um número real maior o que. Qual os seguintes valores é igual a log a a? (A) - (B) - (C) (D). Na figura, está representaa parte o gráfico e uma função f e omínio ]-?, [. A recta t, e equação y = - x -, é assimptota o gráfico e f quano x tene para -?. Qual é o valor o lim (f (x) + x + )? x "-? (A) - (B) 0 (C) (D) +? Fig. 6. A figura representa parte o gráfico e uma função f e omínio R. Fig. Em qual as figuras seguintes poe estar parte a representação gráfica e f ', erivaa e f? (A) (B) (C) (D)

3 7. Seja z = i um número complexo. Qual os seguintes valores é um argumento e z? (A) 0 (B) (C) p (D) p p 8. Consiere, em C, a conição z + z =. Em qual as figuras seguintes poe estar representao, no plano complexo, o conjunto e pontos efinios por esta conição? (A) (B) (C) (D)

4 .ª fase 008 Grupo II Na resposta a itens este grupo, apresente o seu raciocínio e forma clara, inicano toos os cálculos que tiver e efectuar e toas as justificações necessárias. Atenção: quano, para um resultao, não é peia a aproximação, apresente sempre o valor exacto.. Em C, conjunto os números complexos, consiere z = - œ i e z = 8 cis 0 (i esigna a uniae imaginária)... Mostre, sem recorrer à calculaora, que (- z ) é uma raiz cúbica e z... No plano complexo, sejam A e B as imagens geométricas e z e e z = z.i 46, respectivamente. Determine o comprimento o segmento [AB].. Uma turma o. ano e uma escola secunária está a organizar uma viagem e finalistas... Os alunos a turma eciiram vener rifas, para angariarem funos para a viagem. A numeração as rifas é uma sequência e três algarismos (como, por exemplo, 0), iniciano-se em 000. De entre as rifas, que foram toas venias, será sorteaa uma, para atribuir um prémio. Qual é a probabiliae e a rifa premiaa ter um único algarismo cinco? Apresente o resultao na forma e ízima, com aproximação às centésimas... A turma é constituía por oze raparigas e ez rapazes, que pretenem formar uma comissão organizaora a viagem. Sabe-se que a comissão terá obrigatoriamente três raparigas e ois rapazes. A Ana e o Miguel, alunos a turma, não querem fazer parte a comissão em simultâneo. Explique, numa composição, que o número e comissões iferentes que se poe formar é ao por: C * 0 C - C *. Em uas caixas, A e B, introuziram-se bolas inistinguíveis ao tacto: na caixa A : algumas bolas veres e algumas bolas azuis; na caixa B : três bolas veres e quatro azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola a caixa A e coloca-se na caixa B. De seguia, retira-se, também ao acaso, uma bola a caixa B. Sabeno que a probabiliae e a bola retiraa a caixa B ser azul é igual a, mostre que a bola que foi retiraa a caixa A e colocaa na caixa B tinha cor vere.

5 4. Seja f a função e omínio [- p, +?[, efinia por: a e - 4x + se x 0 f (x) = b sin (x) se - p x < 0 c x Estue a função f quanto à existência e assimptotas o seu gráfico, paralelas aos eixos coorenaos, escreveno as suas equações, caso existam.. Consiere, num referencial ortonormao xoy, os gráficos as funções f e g, e omínio [0, ], efinias por f (x) = ln (x + ) e g (x) = e - e x -. (ln esigna logaritmo e base e.) Determine a área e um triângulo [OAB], com aproximação às écimas, recorreno às capaciaes gráficas a sua calculaora. Para construir o triângulo [OAB], percorra os seguintes passos: visualize as curvas representativas os gráficos as uas funções, no omínio inicao; reprouza, na sua folha e respostas, o referencial e as curvas visualizaas na calculaora; assinale, aina: a origem O o referencial; o ponto A e intersecção o gráfico as uas funções, inicano as suas coorenaas, com aproximação às écimas; o ponto B e intersecção o gráfico a função g com o eixo Ox. 6. Seja h a função e omínio ]-, +?[, efinia por h (x) = 4 - x + ln (x + ) (ln esigna logaritmo e base e.) Resolva, usano métoos analíticos, os ois itens seguintes. Nota: A calculaora poe ser utilizaa em eventuais cálculos interméios; sempre que proceer a arreonamentos, use, pelo menos, uas casas ecimais. 6.. Estue a função h, quanto à monotonia, no seu omínio. Inique os intervalos e monotonia e, se existir algum extremo relativo, etermine-o. 6.. Justifique, aplicano o Teorema e Bolzano, que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo ], 6[. 7. Num eterminao ia, um grupo e amigos eciiu formar uma associação esportiva. Amita que, t ias após a constituição a associação, o número e sócios é ao, aproximaamente, por: 000 N (t) =, t 0 + e -0,0t Resolva, usano métoos analíticos, os ois itens seguintes. Nota: A calculaora poe ser utilizaa em eventuais cálculos interméios; sempre que proceer a arreonamentos, use aproximações às milésimas. 7.. Determine N (0) e lim N (t). t "+? Interprete os valores obtios, no contexto o problema. 7.. Ao fim e quantos ias se comemorou a inscrição o sócio número 000? 0 FIM

6 Sugestão e resolução Grupo I. Número e casos possíveis:! Número e casos favoráveis: *! * 4 fl fl fl " número e posições que o par João Maria poe ocupar no início a fila, fl fl entre os restantes três amigos ou no fim a fila fl fl fl fl " número e maneiras e orenar os restantes três amigos P = *! * 4! Resposta: (B). = fl fl " poe ser Maria João ou João Maria. P (A B) = 80% = 0,8 ; P (B) = 60% = 0,6 ; P (A B) = 0% = 0, P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B) 0,8 = P (A) + 0,6-0, P (A) = 0, P (A) = 0% Resposta: (C).. N (60, ) é uma istribuição normal e valor méio m = 60 e esvio-parão s = : A : O peso a maçã retiraa é superior a 66 gramas B : O peso a maçã retiraa é inferior a 48 gramas P (A) = área A P (B) = área B Ateneno à simetria a curva normal tem-se que P (B) < P (A). Resposta: (C). 4. log a a = * = Resposta: (D). log a a x = x, para too a år + \ {}. Se a recta t, e equação y =-x -, é assimptota o gráfico e uma função f quano x "-?, tem-se que lim (f (x) - (- x - )) = 0, ou seja, lim (f (x) + x + ) = 0. Resposta: (B). x "-? x "-? 6. Por observação o gráfico e f verifica-se que: CAESMA Porto Eitora Não existe f ' (0) porque, no ponto e abcissa zero, a semitangente à esquera tem eclive iferente a semitangente à ireita. Ficam excluías as hipóteses (A) e (B). f é estritamente crescente para x < 0. Logo, para x < 0, a erivaa e f não poe ser negativa. Fica excluía a hipótese (D). Resposta: (C).

7 7. z = i p z é um imaginário puro e coeficiente positivo. Logo, é um argumento e z. Resposta: (B). CAESMA Porto Eitora 8. Seja, em C, a conição z + z =. Fazeno z = x + yi vem: (x + yi) + (x - yi) = x = x = A conição z + z = efine, no plano complexo, a recta e equação x =. Resposta: (B). Grupo II. z = - œ i ; z = 8 cis 0.. Para mostrar que - z é uma raiz cúbica e z é suficiente verificar que (- z ) = z. Comecemos por escrever - z - z = - + œ i na forma trigonométrica. \- z = Seja q um argumento e - z : a b c tg q = œ - =- œ q é o. quarante - z = cis p (- z ) p = cis = Œ ( - ) + ( œ ) = œ + = = cis * p = 8 cis p = = 8 cis 0 = z p ± q = p - ± q = p Como (- z ) = z, poemos concluir que - z é uma raiz cúbica e z... z = - œ i z = z.i 46 = ( - i) * i = ( - i) * (- ) = - + i œ œ œ O resto a ivisão inteira e 46 por 4 é. Como z é o simétrico e z as suas imagens, A e B, no plano complexo, são simétricas relativamente à origem o referencial. Logo, AB = OA + OB = \z + \- z = \- z = * = 4

8 .ª fase Amitino que foram feitas toas as rifas nas conições o enunciao, tem-se que: Número e casos possíveis: 0 * 0 * 0 = Número e casos favoráveis: * no. algarismo Probabiliae no. algarismo P = * * 0 = 4 00 ) no. algarismo.. Dao que há C maneiras e escolher três raparigas entre oze e 0 C maneiras e escolher ois rapazes entre ez, C * 0 C é o número total e comissões iferentes que é possível formar com três raparigas e ois rapazes escolhios entre as oze raparigas e os ez rapazes a turma. O número total e comissões, formaas nas conições o enunciao, que incluem a Ana e o Miguel, é ao por C * ao que, se a Ana faz parte a comissão, C é o número e maneiras e escolher um conjunto e uas alunas entre as onze restantes e, se o Miguel também faz parte a comissão, C = é o número e maneiras e escolher um rapaz entre os nove restantes. Finalmente, poemos concluir que a iferença C * 0 C - C * representa o número e comissões iferentes com três raparigas e ois rapazes que é possível formar com os alunos a turma, não incluino, simultaneamente a Ana e o Miguel.. Sabe-se que inicialmente estavam na caixa B três bolas veres e quatro azuis. Ora, se após se transferir uma bola a caixa A para a caixa B, é retiraa uma bola a caixa B e a probabiliae e esta ser azul é, poemos concluir que existiam nesta caixa tantas bolas veres como azuis. Então, a bola retiraa a caixa A e colocaa na caixa B só poe ser vere. 4. a e -4x + se x 0 f (x) = b sin (x), D f = [- p, +?[ c se x < 0 x Assimptotas verticais: A função f é contínua em too o seu omínio, com a possível excepção o ponto x = 0. Logo, apenas a recta e equação x = 0 poerá ser uma assimptota vertical o seu gráfico. lim x " 0 - sin x sin x f (x) = lim = lim * lim =-?* =-? x " 0 - x " 0 - x x " 0 - x Como lim f (x) =-?, a recta e equação x = 0 é uma assimptota vertical o gráfico a função f. x " 0 - x Assimptotas horizontais: CAESMA Porto Eitora D f = [- p, +?[ é limitao inferiormente. Logo, apenas poerá existir assimptota horizontal o gráfico e f quano x "+?. Como lim f (x) = lim e - 4x + = 0, x "+? x "+? a recta e equação y = 0 é uma assimptota horizontal o gráfico a função f.

9 . Usano a calculaora foram obtios os elementos peios: CAESMA Porto Eitora Seno A (,4 ;,) e B (, 0) a área o triângulo [AOB] é aa, com aproximação às écimas, por *, =,. 6. h (x) = 4 - x + ln (x + ) ; D h = ]-, +?[ (x + )' 6.. h'(x) = (4 - x + ln (x + ))' = x + = - + x + = - x - + = - x x + x + - x h'(x) = 0 = 0 x = 0 x + x - 0 +? h' (x) h (x) 4 h (0) = ln (0 + ) = 4 A função é monótona crescente em ]-, 0] e monótona ecrescente em [0, +?[. h (0) = 4 é o máximo absoluto e h. 6.. Como a função h é contínua em ]-, +?[ então é contínua em [, 6]. h () = ln (6) ) 0,7 h (6) = ln (7) ) - 0,0 Dao que h é contínua em [, 6] e que h () * h (6) < 0 poemos concluir, pelo Teorema e Bolzano, que existe pelo menos um x å ], 6[ tal que h (x) = N (t) =, t 0 + e -0,0t N (0) = = = + * = e + e 00 = 0-0,0*0 0 Significa que a associação foi funaa por 0 sócios N (t) = lim = + e + * 0 = 000 t "+? -0,0t lim t "+? Significa que, com o ecorrer o tempo, o número e sócios tene a estabilizar à volta e N (t) = 000 = 000 = = + e - 0,0t + e -0,0t + e -0,0t ln e - 0,0t = e - 0,0t = - 0,0t = ln t = - 0,0 Logo, t ), A inscrição o sócio número 000 comemorou-se ao fim e 0 ias.