3. O Método dos Elementos Finitos Aplicado a Análise Não-Linear

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1 3. O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 3.. Introdução este captulo, faz-se uma breve apresentação do Método dos Elementos Fntos e dos concetos aplcáves para elaboração e aplcação em análses nãolneares. Dscute-se a ntrodução de elementos de nterpolação, o tratamento necessáro para consderação das característcas do concreto armado, estratégas de solução adequadas a problemas de natureza não-lnear e os crtéros de convergênca necessáros. odos os concetos apresentados neste captulo, mesmo que resumdamente, fazem parte da modfcações mplementadas no programa FEPARCS e são de extrema mportânca para compreensão do trabalho desenvolvdo nos capítulos 4 e Método dos Elementos Fntos O método dos Elementos Fntos (MEF) é um processo numérco própro da era da nformátca, sendo muto utlzado para análse de problemas da mecânca e engenhara em geral. o caso específco de estruturas de concreto armado, desde a década de sessenta, com o trabalho ponero de go & Scordels (967), essa técnca tem sdo uma mportante ferramenta de análse. O MEF, baseado no método de Raylegh-Rtz, prevê a dvsão do domíno de ntegração, tornando o meo orgnalmente contnuo em dscreto através da dvsão em pequenas áreas denomnadas Elementos Fntos. q(x) base Meo altura P (q(x)) ós P n (q(x)) Elemento Malha de Elementos Fgura 3. Dvsão do domíno de ntegração em pequenas áreas denomnadas Elementos Fntos.

2 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 47 O número de dvsões do domíno é dretamente proporconal à precsão e aproxmação do resultado obtdo com a realdade do modelo, sendo esta dvsão do domíno chamada de malha de elementos fntos e as nterseções de nós. este caso, ao nvés de se procurar uma função admssível para todo o modelo ou domíno, as funções admssíves são defndas no domíno de cada elemento fnto. Para cada elemento é assocado um funconal Π, que junto aos outros elementos formam o funconal Π de todo o domíno: Π = n = Π, [3.] onde para cada elemento, forma-se uma função aproxmadora, v, através de varáves, a j referdas aos nós do elemento e por funções de forma φ j. Sendo j o número dos nós que compõe o elemento: m v = a j. φ [3.] j= j Desta forma, o funconal passa a ser expresso por: n j ) = Π (a j) = Π( a [3.3] A condção de estaconardade gera um sstema de equações algébrcas lneares, tal como: Π (a j) δπ(a j ) = δπ (a j) = = 0 [3.4] a j A solução do sstema de equações formado pela expressão anteror fornece os valores dos parâmetros nodas a j, que podem ser deslocamentos, forças nternas, ou ambos, dependendo da formulação que se utlza. o caso de descrever-se o campo de deslocamentos por funções aproxmadoras e empregar-se o prncípo da mínma energa potencal, as ncógntas são as componentes dos deslocamentos nodas, e o processo é denomnado de método dos elementos fntos modelo dos deslocamentos, ou método dos elementos fntos modelo da rgdez. Utlzando-se outra formulação, pode-se descrever o campo de tensões ou esforços nternos nodas por funções aproxmadoras e empregar-se o prncípo da mínma energa complementar, as ncógntas são tensões ou esforços nternos nodas, e o método dos elementos

3 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 48 fntos é denomnado de método dos elementos fntos modelo das forças, ou método dos elementos fntos modelo da flexbldade. o presente trabalho e na análse empregada pelo programa FEPARCS, a formulação do método dos elementos fntos utlza a composção do campo de deslocamentos através de funções aproxmadoras, onde os deslocamentos são tomados como varáves ndependentes, típco em um problema de análse de tensões Método dos Elementos Fntos Modelo da Rgdez a mecânca, a solução dos sstemas estruturas pode ser baseada nas parcelas referentes à energa de deformação e ao trabalho realzado, sempre em função de ações externas mplementadas ao sstema. Sendo assm, ao assocar-se um funconal Π a um domíno, na verdade assoca-se um funconal, uma função que depende de outra função, que representa a energa potencal total do sstema analsado. O funconal que representa a energa potencal total para uma solução aproprada ao tpo Raylegh-Rtz, é representado por: P = U + Ω, [3.5] onde: Π P energa potencal total do sstema; U energa de deformação da estrutura; Ω energa Potencal das ações externas ao sstema. A energa de deformação da estrutura corresponde ao trabalho realzado em função de tensão e, conseqüente deformação, no materal que compõe os elementos estruturas. Desta forma, pode-se defnr um cubo nfntesmal de materal da estrutura, e obter: du o = σ.dε + σ.dε + σ.dε + τ.d + τ.d + τ. d, [3.6] x x y Que também pode ser representado por: y z z xy Uo = {} σ = [ E]{} ε [ E]{ ε o } + { σ o }. [3.7] ε Sendo U o a energa de deformação por undade de volume, {ε} o vetor de deformações, {ε ο } o vetor de deformações ncas, [E] a matrz consttutva e xy yz yz zx zx

4 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 49 {σ o } o vetor de tensões ncas, através do tratamento matemátco adequado das expressões anterores, obtém-se: Uo = {} ε [ E]{} ε {} ε [ E]{ ε o } + { ε}{ σ o } [3.8] A energa de deformação da estrutura é calculada através da relação: U = U o dv [3.9] V onde dv é o volume nfntesmal de materal da estrutura. Substtundo a expressão [3.8] em [3.9], chega-se a expressão fnal para a energa de deformação da estrutura: U = {} ε [ E]{} ε {} ε [ E]{} ε + {} ε { σo} dv [3.0] V Utlzando-se os concetos de dscretzação e nterpolação por elementos fntos para os graus de lberdade, tem-se: {} [ ]{ } u = [3.] u L onde: {u} - campo de deslocamentos dos nós; [] - funções de nterpolação de deslocamentos para o tpo de elemento fnto utlzado; {u L } - deslocamentos nodas do elemento. Desta forma: {} ε = []{} u 0 εx x u ε y = 0 y v γ xy {} u {} ε y x [ ] [3.] que gera: {} ε = [ B]{ u } L εx,x 0... ε y = 0,y... γ xy,y,x... {} ε [ B] n,x 0,y 0 n,y n,x u v... u n vn {} u [3.3] onde:

5 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 50 [ B] = [ ]{ } é a Matrz que relacona deformações e deslocamentos, e [] é a matrz de operadores dferencas, que gera através das expressões de nterpolação do elemento fnto utlzado-se demonstradas na seção segunte. nós u =. u e = = nós v., O potencal correspondente às ações externas Ω, refere-se ao trabalho realzado pelas forças concentradas e/ou momentos aplcados se a estrutura recuperasse sua confguração orgnal. Desta forma, tem-se: x y {}{ u R } Ω = F u F v = [3.4] ext onde: {u} vetor de deslocamentos assocados aos graus de lberdade globas da estrutura; R ext vetor de forças externas nodas. Substtundo-se a expressão [3.3] em [3.0], seu produto em [3.5], e, também a expressão [3.4] em [3.5] obtém-se: = v P = nelem { u L} n [ k] n{ u L} n { u} { R ext} n= onde: {u L } n vetor de deslocamentos nodas do elemento n; [3.5] [ n ] [ B] n [ C] n [ B] n k = matrz de rgdez do elemento n. Executando-se o somatóro na expressão [3.5], obtém-se: P = {}[ u K]{} u {}{ u R ext} [3.6] onde, nelem [ ] = [ k] K [3.7] n= n sendo [K] a matrz rgdez global da estrutura. Aplcando-se o prncípo da energa potencal estaconára, menconado anterormente, tem-se: δ P = 0 que é o prncípo da energa potencal estaconára, utlzado em [3.6]: { u} [ K]{} u { δu}{ R } = 0 δ [3.8] ext

6 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 5 De [3.5], obtém-se: [ K]{} u { R ext } = {} 0 [3.9] que também pode ser escrto na forma: { Q} = { R } { F } { 0} [3.0] ext nt = com { } [ K]{} u F nt =, sendo o vetor de forças nternas ou equlbrantes, e, { Q} é o vetor das forças desbalanceadas. Soluconando-se o sstema representado pela expressão [3.9] obtém-se o vetor de deslocamentos nodas {u}, com o qual pode-se calcular: - As deformações mplementadas { } = [ B]{ } ε ; - As tensões decorrentes das deformações { } = [ ]{ ε} u L σ E Elementos Fntos Bdmensonas Planos Quando se deseja analsar o comportamento mecânco de uma estrutura utlzando-se o método dos elementos fntos, é de extrema mportânca a escolha adequada do campo de deslocamentos a ser empregado para defnr o melhor tpo de elemento fnto a ser utlzado. Dentre as possbldades podem ser ctados elementos bdmensonas com dos graus de lberdade por nó, elementos de casca possundo de três a nove graus de lberdade por nó e elementos não planos com três graus de lberdade por nó. Ao analsar-se pelo método dos elementos fntos uma placa de espessura e, composta por um determnado materal, solctada por forças externas P x e P y atuando em seu plano médo, este pode ser dscretzado por elementos de formas e funções aproxmadoras dferentes. Esta varação de elementos e sua adequação, dependem da forma que se deseja dar a malha composta por estes. y P x Placa de espessura e Plano médo x Fgura 3. Placa de espessura e solctada por forças externas atuando em seu plano médo. Os elementos mas utlzados são os retangulares com quatro e oto nós e os trangulares com três e ses nós, onde o sstema de coordenadas cartesanas é P y P y P x

7 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 5 convertdo em um sstema de coordenadas naturas. A utlzação de funções baseadas em coordenadas naturas na construção de elementos fntos, compõe a chamada formulação soparamétrca. De acordo com o elemento utlzado por esta versão do programa FEPARCS, serão analsados apenas os elementos soparamétrcos retangulares com quatro e oto nós. Elemento Isoparamétrco Q4 O elemento Q4 é composto por quatro nós, stuados nas arestas do elemento, e defne um campo retangular, ou quadrado, de nterpolação lnear, ou seja, todos os valores ntermedáros aos atrbuídos aos nós, terão sua posção defnda dentro do elemento através de funções ntepoladoras do prmero grau. Os valores atrbuídos a estes nós podem ser deslocamentos, tensões e deformações, sendo utlzadas as mesmas funções de nterpolação para todos os casos. η 4 3 ξ y,v ξ= ξ= / η ξ=+/ ξ=+ x,u 4 3 η=+ η=+/ η η= / η= Fgura 3. 3 a) Elem. soparamétrco Q4 no espaço ξη; b) Elem. soparamétrco Q4 no espaço xy rabalhando-se com elementos bdmensonas e cada um dos nós possundo dos graus de lberdade, tem-se oto possbldades de valores dferentes, sendo então os deslocamentos u e v aproxmados por polnômos completos do prmero grau em x e y: u(x,y) = d + d x + d 3 y + d 4 xy e v(x,y) = d 5 + d 6 x + d 7 y + d 8 xy As expressões acma podem ser colocadas em função de coordenadas naturas ξ = x / a e η = y / b. Resolvendo as mesmas para: ξ = - e η = -, ξ = + e η = -, ξ = + e η = + e ξ = - e η = +, e, explctando as funções aproxmadoras em relação aos deslocamentos nodas, com objetvo de:

8 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 53 4 u =. u e = = 4 v., = v tem-se: x y = transf.coord. l h x y = 4 a b ξ= x ; η= y b a = 4 ( ξ)( η) y x = transf.coord. h l x y = + 4 a b ξ= x ; η= y b a = 4 ( + ξ)( η) xy 3 = transf.coord. lh 3 x y = a b ξ= x ; η= y b a 3 = 4 ( + ξ)( + η) ξ= x ; η= x y 4 = transf.coord. x y 4 = + a l h 4 a b 4 = ( ξ)( + η) Que compõe a matrz [ ] = e de acordo com o exposto no níco desta seção: u v u =... v u 4 v 4 y b ε ε γ x y xy x = 0 y 0 u y v x

9 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 54 ε ε γ x y xy = 0,x,y 0,x,x,x 0,y Onde, ntroduzndo-se o conceto da matrz do Jacobano [J]: ξ η x ξ = x η y ξ x = y η y [] J 0,y,x x y 3,x 0 3,y 0 3,y 3,x 4,x 0 4,y 0 4,y 4,x u v... u 4 v4 Se J é o determnante do Jacobano, tem-se um fator de escala de área para o mapeamento que leva do espaço paramétrco para o espaço cartesano. Utlzando este conceto e de acordo com a expressão [3.5], obtém-se: [ k ] = [ B] [ E][ B] dv = [ B] [ E][ B ].t.dxdy = [ B] [ E][ ] V B.t. J dξdη Onde [k] é a matrz de rgdez do elemento soparamétrco Q4, e t é a espessura da placa representada pelo elemento fnto. Elemento Isoparamétrco Q8 O elemento Q8 é composto por oto nós, sendo quatro stuados nas arestas do elemento e mas quatro em seus pontos médos, e defne um campo retangular, ou quadrado, de nterpolação quadrátca. odos os valores ntermedáros aos atrbuídos aos nós, terão sua posção defnda, dentro do elemento, através de funções ntepoladoras do segundo grau. Como no elemento Q4, os valores atrbuídos a estes nós podem ser deslocamentos, tensões e deformações, sendo utlzadas as mesmas funções de nterpolação para todos os casos.

10 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 55 y η ξ= η ξ= η=+ ξ 8 6 η y,v 5 η= x,u x Fgura 3. 4 a) Elem. soparamétrco Q8 no espaço ξη; b) Elem. soparamétrco Q8 no espaço xy. rabalhando-se com elementos bdmensonas e cada um dos nós possundo dos graus de lberdade, obtém-se dezesses possbldades de valores dferentes, sendo então os deslocamentos u e v aproxmados por polnômos do segundo grau em x e y. u(x,y) = d + d x + d 3 y + d 4 x + d 5 xy + d 6 y + d 7 x y + d 8 xy v(x,y) = d 9 + d 0 x + d y + d x + d 3 xy + d 4 y + d 5 x y + d 6 xy Fazendo as expressões acma em função de coordenadas naturas ξ = x / a e η = y / b, resolvendo para: ξ = - e η = -, ξ = + e η = -, ξ = + e η = +, ξ = - e η = +, ξ = 0 e η = -, ξ = + e η = 0, ξ = 0 e η = + e ξ = - e η = 0, e, explctando as funções aproxmadoras em relação aos deslocamentos nodas, com objetvo de: obtém-se: nós u =. u e v = = + 4 nós =. = ( ξ)( η) ( ) = ( ξ )( η) 8 5 = ( + ξ)( η) ( ) = ( + ξ)( η ) v 5 6 = ( ξ)( η) ( ) = ( ξ )( + η) = ( ξ)( η) + ( ) = ( ξ)( η ) Sendo a formulação para montagem da matrz rgdez do elemento, semelhante ao procedmento apresentado para o elemento soparamétrco Q4.

11 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear Consderações Sobre o MEF e ão-lneardade A abordagem feta até a seção anteror descreve o Método dos Elementos Fntos para um modelo de materal sotrópco e de comportamento lnear. Contudo, mplementando-se uma relação consttutva não-lnear entre as tensões e as deformações, caso do concreto armado, o vetor das forças nternas passa a depender não lnearmente do vetor de deslocamentos {u}, logo a equação Q(u) = {R ext } {F nt } = 0, apresentada na seção 3.., será não lnear, tornando necessára a mplementação de uma solução ncremental e teratva (Crsfeld,99). Analsando estruturas de concreto armado, pode-se observar que as nãolneardades a serem mplementadas no método surgem, prncpalmente, através de fssuração, esmagamento, perda de encaxe do agregado e escoamento do aço. Apresentando um comportamento progressvo e vnculado ao carregamento mplementado na estrutura, é necessáro que a solução seja obtda aplcando-se ncrementos de carga, para possbltar uma boa aproxmação do comportamento real. De acordo com o exposto anterormente, constata-se a exstênca de dos pontos fundamentas na análse de estruturas de concreto armado pelo método dos elementos fntos:. Um modelo consttutvo capaz de descrever as não-lneardades do concreto e do aço;. Um método efcente para solução ncremental e teratva das equações de equlíbro. as seções seguntes serão apresentados o modelo consttutvo referente ao concreto armado e os tpos de solução ncremental mplementados no programa FEPARCS Modelos Adotados Orgnalmente a análse não-lnear de estruturas em concreto armado por elementos fntos é fundamental um modelo consttutvo capaz de representar as nãolneardades do materal de forma que o comportamento da formação e

12 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 57 propagação de fssuras, esmagamento e perda de encaxe de agregados sejam descrtos realstcamente ao longo da hstóra de carregamento da estrutura Modelo Consttutvo Hpoelástco Para o Concreto Smples De acordo com o modelo hpoelástco ortotrópco, orgnalmente desenvolvdo por Elw & Murray (979), defne-se um modelo consttutvo para concreto na forma de uma equação ncremental tensão x deformação, sendo os parâmetros dos materas atualzados através de relações tensão x deformação unaxal equvalente ntroduzdas por Darwn & Pecknold (977). Para smular e descrever as característcas de resstênca do concreto sob estados multaxas de tensão e deformação, o modelo utlza o conceto das superfíces de ruptura de Wllam & Warkne (974) utlzando cnco parâmetros. As prncpas característcas deste modelo são: - O materal é ortotrópco, com os exos de ortrotopa segundo os exos de deformações prncpas; - Desacoplamento entre tensões normas e deformações csalhantes; - Dependênca das tensões às trajetóras de equlíbro; - Reversbldade ncremental dos estados de tensão e de deformação Relação Consttutva Incremental As relações ncrementas consttutvas são dadas por: { σ} = [ C]{ dε} d [3.] sendo {dσ} o vetor de tensões ncrementas, {dε} o vetor de deformações ncrementas e [C] a matrz consttutva ncremental. De acordo com Darwn & Pecnold (977), para o estado plano de tensões, a matrz consttutva hpoelástca [C] é dada em função de ses constantes ndependentes ( E, E, µ, µ 3, µ 3, G ), e assume a forma: onde: [ ] ( µ 3 ) ( EE )(. µ 3µ 3 + µ ) E ( µ ) E 0 C = φ 3 0 [3.] Smétrco Gφ

13 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 58 µ = µ = ν ν µ 3 = µ 3 = ν 3 ν 3 µ 3 = µ 3 = ν 3 ν 3 φ = - µ - µ 3 - µ 3 - µ µ 3 µ 3 E e E são os módulos de elastcdade longtudnal de acordo com os exos prncpas de ortotropa, G é o módulo de elastcdade transversal do materal dado em relação aos exos ortotrópcos e, e ν j são os coefcentes de Posson em relação aos exos de ortotropa e j Deformação Unaxal Equvalente Deve-se então ncorporar o conceto de deformação unaxal equvalente de modo a tornar possível a dervação dos parâmetros correntes dos materas em função do nível de tensão corrente. Ou seja: d dσ ε u =, =,,3 [3.3] de sendo que dε e, corresponde fscamente, ao ncremento de deformação que o materal exbra se submetdo a um ncremento de tensão dσ, com as outras tensões guas a zero. Integrando a expressão anteror: ε u d = σ E, =,,3 [3.4] sendo ε u a deformação unaxal equvalente total, para as dreções, pela ntegração da expressão [3.3] ao longo da trajetóra de carregamento. O que pode ser nterpretado no modelo utlzado, que para um ponto qualquer do materal fazse segur e concdr os exos de ortotropa com os exos das deformações prncpas até a fssuração. Desta manera, ε u não provê a hstóra de deformação em uma dreção fxa, mas na dreção contnuamente modfcada do exo de ortotropa ( Chen & Salleb, 98 ).

14 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 59 Relação ensão x Deformação Unaxal Equvalente Para Compressão A relação unaxal tensão x deformação para a compressão mplementada no modelo desenvolvdo por Elw & Murray (979), segue a relação de Saenz (964) que nterpola os dados do concreto. Esta relação em termos de deformação unaxal equvalente assume a segunte forma: o u σ = [3.5] Eo εu εu + E s E. ε ε c + ε c Sendo E o o módulo de elastcdade ncal, E s o módulo de elastcdade secante dado por: σ c E s = [3.6] εc onde, σ c é a tensão máxma, assocada a dreção, que ocorre para um estado corrente de tensões prncpas, ε c é a correspondente deformação unaxal equvalente. O módulo de elastcdade ncremental pode ser defndo como: dσ E = [3.7] d ε Efetuando-se a dervação, tem-se: E εu Eo c ε = [3.8] E o εu εu + + E s εc c ε A curva tensão x deformação unaxal equvalente para a compressão é descrta em termos de suas componentes no ponto crítco ( σ cu, ε cu ) que corresponde a ( σ c, ε c ) e dos módulos de elastcdade ncal E o e secante E s. A análse de comportamento do materal mplementado no modelo pode se dvdda em três etapas: recho de curva ascendente do gráfco, onde o materal resste plenamente às ações ntroduzdas no sstema e deve ser consderado ntacto e pratcamente elástco;

15 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 60 recho de curva descendente do gráfco, onde se ndca que exste esmagamento parcal, com o materal anda apresentando uma reserva de resstênca, e módulo de elastcdade representado por seu valor secante; Atngda a deformação ε cf o materal é consderado rompdo por esmagamento, não havendo mas qualquer reserva de resstênca em termos de tensão. Fgura 3. 5 Relação tensão x deformação unaxal para compressão do concreto Relação ensão x Deformação Unaxal Equvalente Para ração e ensão x Dstorção A relação tensão x deformação unaxal equvalente para tração e csalhamento são representados em sua parte ascendente do gráfco pela mesma expressão da relação para compressão, que é equação de Saenz. Fgura 3. 6 Relação tensão x deformação unaxal para tração e tensão x dstorção respectvamente.

16 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 6 Em sua parte descendente consdera-se um modelo smplfcado com o comportamento descrto por segumentos lneares, onde as curvas são descrtas em termos dos módulos de elastcdade ncal E o e secante E s, e dos valores correspondentes a tensão máxma, ( σ tu, ε tu ) para tração e ( τ cu, γ cu ) para csalhamento. Além destes pontos, há anda aqueles referentes a ruptura, ( σ tf, ε tf ) para tração e ( τ cf, γ cf ) para csalhamento. Para tração consdera-se anda o valor σ fs correspondente a ε tu, sendo σ fs um parâmetro de entrada podendo assumr o valor de 0,0σ tu a σ tu (Elw, 990). Este ponto de descontnudade é para smular a perda nstantânea de parte da resstênca à tração devda a energa consumda durante a formação brusca da fssura. Incorporando-se no modelo a energa de fratura G f, defnda como sendo a energa por undade de área consumda na formação e propagação das mcrofssuras. O segmento reto da parte descendente é descrto em função de G f, σ fs, ε tu e ε tf, e serve para ndcar o grau de redução de tensão com a propagação das mcrofssuras. Assm como na análse da curva de compressão, a análse de comportamento do materal mplementado no modelo para tração e csalhamento pode se dvdda em três etapas: recho de curva ascendente do gráfco, onde o materal resste plenamente as ações ntroduzdas no sstema e deve ser consderado ntacto e pratcamente elástco; recho onde o materal apresenta-se fssurado para tração e com perda gradual do encaxe do agregado para o csalhamento; Por fm o materal não apresenta mas resstênca mecânca quando expermenta fssuras largas à tração e perda de encaxe do agregado ao csalhamento. a parte pós-pco os módulos de elastcdade longtudnal e transversal também são representados por seus valores secantes. O fator α DBR para a curva de csalhamento x dstorção é para ndcar o grau de redução gradual do efeto de engrenamento do agregado.

17 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear Coefcente de Posson Para mplementação da relação ncremental tensão x deformação é necessáro determnar, além dos módulos de elastcdade longtudnas e transversas, o coefcente de Posson. De acordo com resultados obtdos em ensaos de compressão unaxal realzados por Kupfer et al (969) e após ajustes das curvas expermentas pelo método dos mínmos quadrados, Elw & Murray (979) representam o coefcente de Posson em função da deformação unaxal equvalente ε u, como segue: 3 ε u εu εu ν = ν0,0 +,3763 5, , 586 [3.9] εc εc εc onde, ν 0 e ν são coefcentes de Posson ncal e corrente e ε c é a deformação correspondente ao ponto de tensão máxma Superfíce de Ruptura de Wllam-Warnke Para obtenção da relação tensão x deformação unaxal equvalente são necessáros os valores de σ c e ε c correspondentes ao ponto crítco da curva, sendo estes parâmetros modfcados de acordo com o estado de tensões corrente, o que gera a necessdade da aplcação de crtéros de ruptura convenentes. Para obtenção dos valores de σ c defne-se uma superfíce de ruptura no espaço das tensões, da qual possa ser gerada uma superfíce análoga no espaço das deformações unaxas para se obter os valores de ε c. A superfíce de Wllam- Warnke (974) é descrta no espaço das tensões ou deformações prncpas em termos dos nvarantes de tensão ou deformação. rata-se de um crtéro de ruptura de cnco parâmetros obtdos através de dados expermentas. O modelo consttutvo de Elw & Murray (979) utlza a formulação proposta por Wllam-Warnke (974), tendo, de acordo com Smões (998), como prncpas característcas: - Sua construção requer cnco parâmetros envolvendo nvarantes de tensão e deformação do materal utlzado. São estes: Espaço das tensões: f c - Resstênca unaxal à compressão do concreto;

18 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 63 f t - Resstênca unaxal à tração do concreto ; f cb - Resstênca baxal à compressão para uma razão entre as tensões prncpas de ; (-ξ, ρ ) - Ponto qualquer sobre o merdano de tração normalzado com respeto a f c para altos valores de tensão hdrostátca ; (-ξ, ρ ) - Ponto qualquer sobre o merdano de compressão normalzado com respeto a f c para altos valores de tensão hdrostátca. Espaço das deformações: ε c - deformação correspondente a f c ; κ t - deformação correspondente a f t ; κ cb - deformação correspondente à f bc em uma das dreções de carregamento; (-β, λ ) - Ponto qualquer sobre o merdano de tração normalzado com respeto a ε c para altos valores de deformação hdrostátca; (-β, λ ) - Ponto qualquer sobre o merdano de tração normalzado com respeto a ε c para altos valores de deformação hdrostátca; Sendo os três prmeros parâmetros utlzados para descrever os merdanos de compressão e tração, e os outros dos para descrever a seção transversal da superfíce; - Possu seção desvadora não-crcular, composta por trechos de elpse a cada 0, e seus merdanos descrtos por parábolas do grau; - É valda para todas as combnações tensão / deformação em compressão e tração, e possu relatos de boas aproxmações com resultados expermentas; - É suave, possundo um únco gradente em cada ponto (dervada contínua); - em convexdade garantda tanto nos planos desvadores, quanto ao longo dos merdanos, desde que algumas condções báscas sejam satsfetas (Chen,99).

19 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 64 De acordo com o menconado, pode-se defnr a superfíce de ruptura no espaço das tensões, empregada neste trabalho, por: f (, τ, θ) 0 σ [3.30] m m = sendo σ m e τ m as tensões normal e csalhante médas, θ o ângulo de smlardade, onde estas grandezas são consttuídas através das tensões prncpas σ, σ e σ 3 compondo as funções: σ + σ + σ3 σ m = [3.3] 3 ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) τ m = 3 3, [3.3] 5 cos 3 θ = 0 θ 60 ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) σ σ σ 3 3 : [3.33] sendo σ > σ > σ 3. Defndo um espaço trdmensonal de tensões em função das grandezas admensonas σ / f c, σ / f c e σ 3 / f c para descrever a superfíce de ruptura no espaço das tensões, esta forma-se no entorno do exo hdrostátco. Perpendcularmente a este exo, defndo por σ = σ = σ 3, tem-se o plano desvador, defndo pelo nvarante admensonal ρ, e posconado ao longo do exo hdrostátco pelo também nvarante admensonal ξ. Fgura 3. 7 Espaço trdmensonal de tensões, exo hdrostátco e plano desvador.

20 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 65 Os nvarantes ρ e ξ são defndos a partr das expressões [3.3] e [3.3], e são expressos por: m ξ = [3.34] f ' c 3 σ τm ρ = 5 f ' [3.35] c ota-se que ao compor as possbldades para um valor constante de ξ, contdo no plano desvador, se formará em função de ρ um contorno composto por três trechos de elpse defndos a cada 0, que é chamado de seção desvadora, sendo que para análse, esta seção só necessta ser descrta no ntervalo de 0 < θ < 60. O contorno desta seção é expresso por: ρ ( ξ, θ) ρ = c ( ρ c ρ t ) cosθ + ρ ( ) ( c c ρt ρc 4 ρ ρ t ) 4( ρ c ρ t ) cos θ + ( ρ ρ ) c t cos θ + 5ρ t 4ρ ρ [3.36] onde ρ c e ρ t são os raos máxmo para θ = 60 e mínmo para θ = 60 da seção desvadora, para um determnado valor de ξ. t c Fgura 3. 8 Superfíce de Wllam-Warnke: seção desvadora.

21 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 66 Os parâmetros ρ c e ρ t varam de acordo a tensão hdrostátca, o que gera alterações na seção desvadora ao longo do exo hdrostátco, produzndo merdanos de tração e compressão, ou seções merdonas. Fgura 3. 9 Superfíce de Wllam-Warnke: Seção merdonal. Estes merdanos são descrtos por parábolas do grau, e são construídos a partr dos cnco nvarantes de tensão e deformação do materal utlzado, menconados no níco da seção, e podem ser expressos por: sendo, t ( ξ) = a + a ξ + a ξ ρ [3.37] c 0 ( ξ) = b + b ξ + b ξ 0 ρ [3.38] a a a b 0 4 = αbca α a bc + αbc [3.39] ( α α ) 6 α α t bc = bc t a + [3.40] 3 5 αbc + α t 6 6 ξ( α t αbc ) α tαbc + ρ (αbc + α t ) = 5 5 [3.4] (αbc + α t )( ξ αbcξ + α tξ α tαbc ) ξ0b ξ0b = [3.4] 6 3ρ b b 5 = ξ + + [3.43] 3 3ξ

22 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 67 ( ξ + ξ ) ρ ξ0 + 0 = 3 5 b [3.44] ( ξ + ξ ) ξ ξ os coefcentes da parábola do grau, e 0 3 a a 4a 0a ξ 0 = [3.45] a o vértce comum das parábolas ou apex da superfíce. A defnção da superfíce de Wllam-Warnke (974) em termos das deformações unaxas equvalentes possu expressões análogas Modelo Elasto-Plástco Multlnear Para Armadura Incal Orgnalmente fo utlzado para se descrever o comportamento das armações de reforço transversal e longtudnal o modelo elasto-plástco multlnear, onde os elementos de armadura podem ser nterpolados lnearmente ou de forma quadrátca, e podem fcar de forma arbtrára no nteror do elemento de concreto (Elw & Hrudey, 989; Pnto, 98). Esta curva, Fgura 3.0, é descrta em função dos pontos ( σ, ε ), obtdos através de ensaos do materal utlzado nos reforços ou, na ausênca destes, através de curvas correspondentes exstentes na lteratura. Fgura 3. 0 Relação tensão x deformação que descreve o comportamento do materal utlzado nos reforços. A relação consttutva é dada por: σ = σ - + E ( ε ε - ) [3.46]

23 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 68 onde, σ - e ε - são os valores prescrtos da tensão e da deformação, e E é o módulo de elastcdade secante dado por: σ σ E = [3.47] ε ε o caso de descarregamento a relação assume um comportamento lnear da forma: σ = Ε ( ε ε P ), [3.48] onde, σ e ε são a tensão e deformação total e ε P é a deformação plástca acumulada. Este modelo é bastante flexível, pos permte a descrção de uma grande varedade de comportamentos, já que os pontos obtdos no ensao do aço entram como nput para a descrção da curva Modelo Elasto-Plástco Multlnear Modfcado Para o Reforço De acordo com o modelo mplementado no programa FEPARCS, descrevese o comportamento das armações de reforço transversal e longtudnal utlzando cnco pontos do comportamento tensão x deformação, nclundo a orgem, para que seja descrto o comportamento do materal utlzado na análse. este trabalho adapta-se a formatação de entrada para dados de reforço fazendo-se com que o programa admnstre e ntroduza reforços no sstema estrutural, tanto antes do níco do cálculo como também após um número determnado de steps do tpo de análse não-lnear utlzada. Fgura 3. Relação tensão x deformação que descreve o materal dos reforços nserdos durante o cálculo.

24 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 69 Assm, a curva tensão x deformação modfcada, Fgura 3., como a orgnal, é descrta em função dos pontos ( σ, ε ), sendo o ponto dos correspondente à orgem real do sstema, e de acordo com o estado de tensões atuante em cada elemento de reforço. A relação consttutva é dada por: σ = σ - + E ( ε ε - ) E ncal ε ncal [3.49] onde, E ncal e ε ncal são, respectvamente, o módulo de elastcdade e a deformação do elemento analsado no momento da atvação do reforço, σ - e ε - são os valores prescrtos da tensão e da deformação e E é o módulo de elastcdade secante dado por: σ σ E = [3.50] ε ε o caso de descarregamento a relação assume um comportamento lnear da forma: σ = Ε ( ε ε P ε ncal ) [3.5] onde, σ e ε são a tensão e deformação total e ε P é a deformação plástca acumulada Estratégas De Solução Para Análse ão-lnear O Método de ewton-raphson O método de ewton-raphson é uma estratéga muto utlzada na solução de problemas que envolvem equações de equlíbro não-lneares, sendo o método mplementado através da aproxmação da trajetóra de equlíbro da estrutura por tangentes à mesma, até a obtenção da convergênca. A formulação do método permte dos tpos de abordagens: através de controle de deslocamentos, e através do controle de carga. O controle de deslocamentos é feto através da defnção de ncrementos pelo analsta e os ncrementos de carga correspondentes obtdos por processo teratvo, e o controle de cargas e feto através da defnção préva de ncrementos pelo analsta e os deslocamentos correspondentes obtdos por processo teratvo. este trabalho e nos programas desenvolvdos, toda a formulação e comentáros sobre o método de ewton-raphson dzem respeto à formulação baseada em controle de carga.

25 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 70 O método consste em obter o ncremento de deslocamento { u} -, para uma teração típca de um passo de solução a b, através de sucessvas aproxmações da forma, [ ] K { u} { Q} = [3.5] Fgura 3. Representação gráfca do Método de ewton-raphson standard. sendo [K ] - a matrz de rgdez tangente na teração -, { u} é uma correção do vetor de deslocamento corrente u, e { Q} - é o vetor de forças não equlbradas dada por: b { Q} = ϕ { R } { F } o nt [3.53] com {R 0 } sendo o vetor das cargas de referênca, {F nt } - é o vetor das forças nternas na teração -, e ϕ b é o fator de carga assocado ao passo de solução a b. Ao fnal de cada teração, calculado o vetor de ncrementos de deslocamento{ u}, o mesmo é utlzado para corrgr o vetor de deslocamento total {u}, ou seja, {} {} u = u + { u} [3.54] Sendo que, as equações acma estão sujetas às seguntes condções ncas: o [ ] [ K ] a K = [3.55] o { } { F } a F = [3.56] nt {} o {} u a nt u = [3.57] De acordo com a expressão [3.5] e o exposto na Fgura 3., tem-se que a matrz de rgdez é atualzada a cada teração, caracterzando o método de

26 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 7 ewton-raphson padrão ou standard. De acordo com o procedmento para atualzação da matrz de rgdez, a técnca de ewton-raphson admte duas varações: Método de ewton-raphson modfcado (MRm), onde a matrz de rgdez é atualzada apenas no níco de cada passo de carga, reduzndo a expressão [3.5] à forma: [ ] a { } { } K u = Q [3.58] Fgura 3. 3 Representação gráfca do Método de ewton-raphson modfcado. Método de ewton-raphson com rgdez ncal(mr), onde a matrz de rgdez, prevamente calculada, é utlzada em todos os passos de carga subseqüentes, reduzndo a expressão [3.5] à forma: [ ] 0 { } { } K u = Q [3.59] Fgura 3. 4 Representação gráfca do Método de ewton-raphson rgdez ncal.

27 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 7 A vantagem em se utlzar o Método de ewton-raphson com rgdez ncal (MR) e o Método de ewton-raphson modfcado (MRm), está no menor esforço computaconal assocado a cada teração executada, não necesstando-se calcular, reduzr e armazenar a matrz rgdez da estrutura ao fnal de cada uma destas etapas. Contudo, o Método de ewton-raphson standard conduz a uma convergênca mas rápda ao ponto de equlíbro. Mesmo sendo amplamente aplcável, o Método de ewton-raphson possu lmtações e só pode ser aplcado com sucesso enquanto a matrz de rgdez do sstema permanece postva e defnda, o que, em geral, ocorre no trecho ascendente da curva carga x deslocamento (Smões, 998). Sendo assm, a aplcação da estratéga a problemas que envolvem ponto-lmte não permte que a trajetóra de equlíbro do sstema seja seguda completamente (apoleão, 994). Desta forma, ao aplcar-se o MRs para problemas de ponto lmte, sempre acontecerá de a matrz de rgdez [K] tender a se sngularzar nas proxmdades deste ponto em sua trajetóra ascendente. Mesmo ao se aplcar MR ou MRm, manpulando-se a matrz de rgdez [K] para que não atnja a sngulardade, o fato de os ncrementos serem controlados pelo analsta gera dfculdade em se stuar o equlíbro para as forças desequlbradas. Deve-se portanto, buscar outros métodos de solução, para que assocado com o método de ewton-raphson seja possível detectar e ultrapassar o ponto lmte. Fgura 3. 5 ípca trajetóra de equlíbro com ponto-lmte para o caso undmensonal.

28 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear O Método do Comprmento de Arco Esta técnca caracterza-se por apresentar um controle concomtante de carga e deslocamento, através do conceto do comprmento de arco (Smões, 998). Sendo assm, surgem duas ncógntas: o ncremento do fator de carga ϕ e o vetor de ncrementos de deslocamento { u}. Em cada passo de solução, as trajetóras de teração são perpendculares aos arcos, que por sua vez podem ser aproxmados por tangentes à trajetóra de equlíbro, nos pontos ncas destes passos, conforme (Ramm, 98). Fgura 3. 6 Representação gráfca do Método do Comprmento de Arco com processo teratvo do tpo ewton-raphson modfcado para um caso undmensonal. rata-se de um método muto efcente, pos ao defnr-se um comprmento de arco fnto, na forma de equação de restrção, determna-se a exstênca de uma relação únca entre o comprmento de arco, o fator de carga e a norma de ncremento de deslocamentos. O método do comprmento de arco com o processo de teração tpo ewton- Raphson modfcado (Ramm, 98) é lustrado grafcamente para um passo de solução a b, em um problema não-lnear, onde, objetva-se encontrar o ponto de equlíbro b a partr de a, sobre a trajetóra de equlíbro, na forma carga x deslocamento de uma estrutura qualquer. Consderando-se uma teração típca j, o vetor teração{ w} j é ortogonal ao vetor comprmento de arco {A} A, sendo que o últmo tem a dreção da matrz

29 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 74 de rgdez tangente [K ] A da estrutura no ponto a. Como componentes do vetor comprmento de arco, tem-se: a : ({ u} ; ϕ ) [3.60] sendo { u} o prmero vetor de ncrementos de deslocamento do passo de solução a b, e ϕ o prmero ncremento do fator de carga no referdo passo. Como componentes do vetor de teração, tem-se: ({ u} ; ϕ ) w : [3.6] sendo { u} correspondente aos ncrementos de deslocamento assocados a teração, e ϕ correspondente ao ncremento do fator de carga nesta teração. Pode-se mpor a condção de ortogonaldade, o que mplca o produto escalar entre o vetor comprmento de arco{} a transposto e o vetor teração ser nulo, ou seja: a.{ w} = 0 [3.6] portanto, u u + ϕ ϕ = 0 ; =,3,... [3.63] As equações de equlíbro para -ésma teração podem ser escrtas como: a [ ] { } { } { } K u = ϕ R + Q [3.64] o onde {R 0 } é o vetor de cargas de referênca e { Q} é o vetor de cargas não equlbradas ao fnal da teração -, dado por: { Q} = { R } { F } ext nt [3.65] sendo, {R ext } - o vetor das forças externas e {F nt } - o vetor de forças nodas nternas, ao fnal da teração, este últmo é obtdo através da ntegração das tensões. O vetor {R ext } deve ser escrto em função do fator de carga ϕ -, atualzado ao fnal da teração anteror, e do vetor cargas de referênca {R 0 }, constante, através da relação: { R ext } ϕ { R } = [3.66] o Colocando-se em forma matrcal as expressões [3.63] e [3.64], que formam um sstema de ordem n+, equvalendo n ao numero de graus de lberdade da estrutura, tem-se:

30 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 75 a [ K ] { R o} ( u) ϕ { } u { Q} = [3.67] ϕ 0 Pode-se notar que a resolução acma, mesmo que a matrz de rgdez [K ] a seja sngular, gera um sstema de equações com solução não-trval, o que representa uma grande vantagem para solução de problemas com ponto lmte. Contudo, exste o problema de a matrz rgdez não ser smétrca, o que torna desaconselhável, em termos prátcos, a resolução do sstema. Afm de contornar este problema, Welssels (977) propôs uma alternatva que consstu em dvdr o vetor de ncremento de deslocamentos { u} em duas parcelas, { u Q } e { u R }, ou seja: { w} = { u } ( ;0) + ( ϕ { u }; ϕ ) [3.68] R onde, tas parcelas são obtdas pela resolução dos sstemas: Ro a [ ] { } { } K u = Q [3.69] Q a [ K ] { u } = { R } R o Fgura 3. 7 Decomposção do vetor { w} segundo Welssels (977). Fgura 3. 8 Representação gráfca dos sstemas de equações, caso undmensonal, da decomposção de Welssels (977).

31 O Método dos Elementos Fntos Aplcado a Análse ão-lnear 76 Implementando-se mas uma vez o conceto de ortogonaldade dado pela expressão [3.6], obtém-se: u { u } + ϕ u { u } + ϕ ϕ = 0 Q R, [3.70] de onde se pode-se obter o ncremento do fator de carga, colocando-o em evdênca na expressão acma: { u } u Q ϕ = [3.7] u { u } + ϕ R Crtéros de Convergênca Com objetvo de lmtar os processos teratvos descrtos neste tem, são estabelecdos dos crtéros de convergênca: um para deslocamentos e outro para forças. O crtéro de convergênca para deslocamentos deve obedecer a relação: { u} j= { u} j u ol [3.7] onde o numerador é a norma eucldana do ncremento de deslocamento correspondente a teração, ao passo que o denomnador é a norma eucldana do ncremento de deslocamento acumulado, desde a prmera teração até a -ésma teração. Esta relação deve ser menor ou gual a tolerânca arbtrada pelo analsta para deslocamentos u ol. O crtéro de convergênca para forças deve obedecer a relação: { Q} a ( ϕ ϕ ){ R } o Q ol [3.73] onde o numerador é a norma eucldana do ncremento da carga não equlbrada correspondente a teração, ao passo que o denomnador é a norma eucldana do ncremento de força do passo de solução. Esta relação deve ser menor ou gual a tolerânca arbtrada pelo analsta para forças Q ol.