O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO À TRELIÇAS PLANAS

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1 O MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS PICDO À TREIÇS PNS Vsando eemplfcar os concetos ntroduzdos anterormente, trabalharemos com trelças planas. pesar do fato das trelças planas gerarem problemas etremamente smples, os concetos aqu ntroduzdos podem ser faclmente generalzados para a solução de outros problemas mas compleos.. REVISÃO DE CONCEITOS D RESISTÊNCI DOS MTERIIS.. PEÇS ESBETS SUJEITS CRREMENTO XI. CSO I - BRR CIÍNDRIC - ENSIO DE TRÇÃO PUR: nalsaremos o caso mas smples de uma barra de comprmento, com seção transversal clíndrca com dâmetro d, submetda a uma tração aal. Esta stuação ocorre por eemplo em um ensao de tração pura, conforme mostra a fgura -a. O materal será suposto sotrópco, elástco lnear, com Módulo de Young E e Coefcente de Posson ν. Incalmente despreza-se os efetos do peso própro. Supõe-se que ocorre um carregamento de tração na barra (carga P) que causa deformações, sendo que os pontos da barra sofrem deslocamentos. SISTEM DE COORDENDS DE REFERÊNCI: escolhemos um sstema cartesano ortogonal de coordenadas Oyz cuo eo concde com o eo da peça. MODEO MTEMÁTICO a ser soluconado está esquematzado na fgura -b: uma barra clíndrca engastada em e com carga P crescente de tração aplcada na etremdade lvre em. ' d seção transversal Fgura -a - Esquema de um ensao de tração. Fgura -b - Modelo matemátco. UFPR-CESEC

2 CINEMÁTIC: Hpóteses smplfcadoras: Fbras longtudnas ou se alongam ou se encurtam; Seções planas e normas ao eo aal da peça permanecem planas e normas a tal eo após a deformação; Seções paralelas permanecem paralelas após a deformação. Campo de deslocamentos: Para este modelo cnemátco, ou sea, quando se adotam as hpóteses cnemátcas smplfcadoras lstadas acma, o únco campo de deslocamentos possível é o que admte que a seção transversal, dstante da orgem, após a transformação tomará a + u. posção Fgura - Deslocamentos em um ensao de tração longamento: Da Resstênca dos Materas sabe-se que a deformação, ou sea, o alongamento segundo a dreção é dado por ε ( ) e como mostraremos mas tarde, tal relação é ε ( ) du d (.) (.) EQUÇÃO CONSTITUTIV: para um materal sotrópco elástco lnear: Eε σ (.) O esforço normal nterno N é defndo a partr de UFPR-CESEC

3 N σ d (4.) e para regões sufcentemente afastadas da zona de aplcação da carga concentrada, onde a σ pode ser consderada constante, pode-se escrever: tensão σ N σ d σ (5.) onde a área é d π é constante ao longo de. Como despreza-se o peso própro e o 4 únco carregamento eterno é a carga de tração aplcada no etremo, o esforço normal N N é constante ao longo da barra e portanto a equação dferencal de equlíbro fca dn d (6.) e usando-se as epressões que defnem a força normal, a tensão e a deformação em função do deslocamento, a relação anteror toma a forma d d E du d ( ) (7.) e como neste caso a área é constante E d u d (8.) CONTORNO: para mpõe-se para mpõe-se u N P UFPR-CESEC

4 Fgura - Forças aas na barra e condções de contorno. Resolvendo-se a equação dferencal acma com as condções de contorno, chega-se a solução P (9.) u E Caso esta uma carga dstrbuída longtudnal q a equação dferencal de equlíbro (ver POPOV - págnas 7 a ) fca: d d E du d q (.).. PEÇS ESBETS SUJEITS CRREMENTO XI. CSO ER. Estudemos o caso de uma barra B de comprmento, seção transversal varável com área, composta de materal sotrópco, elástco lnear, com Módulo de Young E e Coefcente de Posson ν, { } submetda ao sstema de cargas f P q, (onde P são cargas concentradas na dreção longtudnal da peça, aplcadas nos pontos de coordenadas e q, uma carga dstrbuída não necessaramente constante na dreção longtudnal aplcada em toda a barra) e a prescrção de u nos pontos de coordenadas. Supõe-se deslocamentos homogêneas do tpo blateral que ocorra uma transformação, ou sea, os pontos do contínuo sofram deslocamentos. UFPR-CESEC 4

5 SISTEM DE COORDENDS DE REFERÊNCI: escolhemos um sstema cartesano ortogonal de coordenadas Oyz cuo eo concde com o eo da peça. CINEMÁTIC: Hpóteses smplfcadoras: Fbras longtudnas ou se alongam ou se encurtam; Seções planas e normas ao eo aal da peça permanecem planas e normas a tal eo após a deformação; Seções paralelas permanecem paralelas após a deformação. Campo de deslocamentos Para este modelo cnemátco, ou sea, quando se adotam as hpóteses cnemátcas smplfcadoras lstadas acma, o únco campo de deslocamentos possível é o que admte que a seção transversal, dstante da orgem, após a transformação tomará a posção + u. Falta dentfcar quas os tpos de restrções que, por hpótese, poderão ser mpostas ao campo y C B dy M d Fgura 4 - Paralelogramo nfntesmal. de deslocamentos. Por smplcdade, adotamos apenas restrções blateras e homogêneas. Por restrções blateras entende-se aquelas que, se o deslocamento está mpeddo em uma dreção, também estará mpeddo na dreção oposta. Por restrções homogêneas entende-se aquelas que mpõe deslocamentos nulos nos pontos de mpedmentos. Componentes nfntesmas de deformação: Teora Infntesmal, segundo REEN, é aquela na qual assume-se que as componentes do vetor u ) e suas dervadas em relação aos eos de deslocamento (neste caso, a componente coordenados (neste caso, a dervada do deslocamento u em relação a, du d ) e em relação ao tempo t são pequenas, de forma que pode-se neglgencar os termos não lneares se comparados com os termos lneares. Toma-se um paralelogramo nfntesmal de arestas paralelas aos eos coordenados e y, com comprmentos d e dy, conforme mostra a fgura 4. Com a deformação do contínuo, ocorre uma varação no comprmento de suas arestas. Como os UFPR-CESEC 5

6 deslocamentos varam ponto a ponto no contínuo e supondo-se conhecdo o deslocamento do ponto M, de coordenadas (,y), gual a d M u (.) pode-se, por utlzação da fórmula de Taylor, obter os valores dos deslocamentos em pontos prómos a M. ssm, no ponto B de coordenadas ( + d, y), a componente do vetor do deslocamento fca u du d u + d + d+ d d (.) Neglgencando-se os termos de ordem superor perante os lneares, a componente do vetor deslocamento neste ponto toma a forma u du + d d (.) Esta relação é lnear e portanto retas paralelas são transformadas em retas paralelas. ssm o paralelogramo nfntesmal no estado fnal contnuará sendo um paralelogramo, apenas que agora alongado na dreção, conforme mostra a fgura 5. Como o vetor deslocamento do ponto M é d M u (4.) e o vetor deslocamento do ponto d du u + d d (5.) sendo o vetor untáro na dreção, então d d é dado por M du d d M d d (6.) Da análse da fgura 5, verfca-se que o comprmento do segmento M' ' vale UFPR-CESEC 6 du (7.) M' ' d + ( d d M ) d + d d enquanto o comprmento do segmento M vale

7 M d (8.) Da Resstênca dos Materas sabe-se que a deformação, ou sea, o alongamento segundo a dreção é dado por ε M' ' M M du d + d d d d (9.) ou sea, ε du d como adotado no tem anteror. C B C' B' M M' ' y d d M d d - d M Fgura 5 - Paralelogramo nfntesmal antes e após a transformação. ESFORÇOS INTERNOS: estênca de esforços nterores fca evdente quando observa-se que ao submeter-se um corpo deformável a ações de forças eternas, suas partículas permanecem undas. Portanto alguma força nterna deve ser responsável por este fenômeno. título de lustração, analsemos como se age quando se quer saber se alguma correa está adequadamente tensonada. Para tal, tratamos de deslocá-la da posção ncal, e portanto mpomos um alongamento da correa (ou sea, uma deformação vrtual) que nos permtrá ter uma déa da tensão na correa através do trabalho realzado para eecutar este movmento. Portanto para o problema da barra submetda a tração aal, vamos ntroduzr o conceto de trabalho realzado pelos esforços nternos W,, em UFPR-CESEC 7

8 conseqüênca de um campo de deformações vrtuas gerado a partr de um campo de deslocamentos vrtuas, pela segunte defnção: ( ) W σ δε db σ d δε d B N δε d (.) para toda (qualquer) deformação vrtual δε ( ). Desta defnção reconhece-se em N esforço nterno generalzado assocado ao alongamento da barra, sendo este EQUÇÃO CONSTITUTIV: o N σ d (.) como á defnmos anterormente, para um materal sotrópco elástco lnear: FORÇS EXTERNS: σ Eε Imagnemos que uma determnada caa encontra-se no pso desta sala. Para termos uma déa do seu peso, tentamos levantá-la. Portanto tal avalação é feta através do trabalho realzado para levantar a caa. Ou sea, ntroduzndo-se um deslocamento vrtual em contraposção a posção natural de repouso, pode-se avalar o trabalho realzado e conseqüentemente a força necessára para levantar a caa e fnalmente seu peso. Para formalzar a déa anteror, no problema em questão, ntroduzmos o conceto de trabalho eterno W e realzado pelas forças eternas {, } em conseqüênca de um campo de deslocamentos vrtuas δu f P q defnção:, pela segunte + ( ) W q δu d P δu e (.) para todo (qualquer) deslocamento vrtual δu EQUIÍBRIO:. Para defnção de equlíbro adota-se o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas, ou sea Dz-se que uma barra B encontra-se em equlíbro com o sstema de forças f, se para todo deslocamento vrtual δu, que satsfaça as condções de contorno, a dstrbução de esforços nternos generalzados N assocada ao sstema de cargas é tal que UFPR-CESEC 8

9 W + We para todo δ u (.) ou sea, o trabalho vrtual dos esforços nternos generalzados e das cargas aplcadas é nulo para toda ação vrtual de deslocamento admssível. epressão () pode ser escrta eplctamente da forma: δε ( ) δ δ para todo δ N d + q u d + P u u (4.) onde N N ε pela equação consttutva. é o esforço nterno generalzado assocado a deformação ε ( ) Resta-nos provar que a epressão (4) representa a forma ntegral ou "fraca" da equação dferencal (), nclundo as condções de contorno. Para sto, parte-se da epressão (4) e usa-se (), () e (4) para se chegar a dδu du E d + q δu d + P δu para todo δ d d ( ) ( ) (5.) evando-se em consderação a segunte relação ou anda e ntegrando-se d d v du dv du v d u (6.) + + d d d d dv du d d d d v du v d + u (7.) d d dv du d d d d d v du d d v d u d d v du v d + u d d d + (8.) o ou sea, utlzando-se a regra de ntegração por partes. Substtundo-se em (5) fca E d u δud + qδud + Pδu + d E u du du E u δ + δ para todo δu d d (9.) UFPR-CESEC 9

10 e reagrupando-se E d u + q u d P u ( ) d δ + δ + E u du du E u δ + δ para todo δu d d (.) Como a gualdade anteror deve ser nula para qualquer deslocamento vrtual δu então a gualdade varaconal acma é equvalente às seguntes epressões: E d u q d (.) para para u( ) ou N P u ou N P (.). MÉTODOS DE SOUÇÃO:.. FORMUÇÃO DIRET DO EEMENTO DE TREIÇ: Usaremos neste tem apenas os concetos de equlíbro para obter as equações referentes a este elemento. Cada barra de uma trelça poderá ser dentfcada naturalmente como um elemento fnto. Um nó é localzado em cada etremdade da barra ( e ). Identfca-se que cada nó da barra poderá apenas se deslocar na dreção aal (eo local). Isto sgnfca que cada nó possu U u U Fgura 6 - raus de lberdade do elemento de barra de trelça. um grau de lberdade ou DOF-degrees of freedom - U e U conforme mostra a fgura 6. Já a fgura 7 mostra as forças nodas assocadas a estes graus de lberdade, P e P respectvamente. UFPR-CESEC

11 P P Fgura 7 - Forças nodas do elemento de barra de trelça. equação de equlíbro das forças na dreção nos fornece P P (.) e usando-se a relação (5) e a fgura 8, pode-se obter as relações de equlíbro nodal abao P N σ (4.) P N σ (5.) N σ σ N Fgura 8 - Equlíbro nodal. Usando-se a relação (), tem-se P ε E (6.) P ε E (7.) Da Resstênca dos Materas sabe-se que a deformação, ou sea, o alongamento segundo a dreção é dado por ε U U (8.) e portanto, P E U U (9.) UFPR-CESEC

12 P E U U (4.) ou anda, rescrevendo-a na forma matrcal E U U que é a forma matrcal da relação forças com deslocamentos. P P (4.).. FORMUÇÃO DO EEMENTO DE TREIÇ VI PRINCÍPIOS VRICIONIS: Relembremos o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas: Dz-se que uma barra B encontra-se em equlíbro com o sstema de forças f, se para todo deslocamento vrtual δu, que satsfaça as condções de contorno, a dstrbução de esforços nternos generalzados N assocada ao sstema de cargas é tal que N δε d + q δu d + P δu para todo δu onden N ( ε ) é o esforço nterno generalzado assocado a deformação ε consttutva. Ou anda pela equação φ( ) φ () φ ( ) φ( ) φ () φ ( ) Fgura 9 - Funções de nterpolação. dδu du E d + q δu d + P δu para todo δu d d Propondo-se a segunte nterpolação: ( ) ( ) u U φ + U φ (4.) δu δu φ + δu φ (4.) onde φ e φ são as funções de nterpolação representadas na fgura 9. e U, U deslocamentos nos nós e, ou sea: os valores dos UFPR-CESEC

13 φ a + b (44.) φ ( ) (45.) φ ou anda, resolvendo a equação acma e φ ( ) φ a + b φ ( ) φ ( ) (46.) (47.) ou anda φ (48.) Substtundo-se (48) e (46) em (44) tem-se para a nterpolação a segunte função: ( ) u U U + (49.) que será utlzada tanto para u como para δu. Precsamos anda calcular o valor da sua dervada: du U d U du U d U (5.) (5.) Substtundo-se (5) na prmera parte de (4) tem-se: E du d u E U δ (5.) d d d U Para o caso de cargas aplcadas nos nós e P P u ( ) δ P (5.) UFPR-CESEC

14 e assm na ausênca de cargas de corpo q repete-se a epressão (4). - TRNSFORMÇÃO DE COORDENDS: Nas seções anterores utlzamos o elemento de barra sob esforço aal referencado a um sstema de coordenadas local concdente com o eo da peça. Para que possamos trabalhar com trelças, torna-se obrgatóro obter as matrzes referencadas a um sstema de coordenadas global, não concdente com o eo local. Portanto, consdere agora o elemento de barra como na fgura. U θ Y U X Fgura - Elemento de barra nclnado. relação entre o deslocamento U, na dreção, e suas componentes U e V, nas dreções X e Y, respectvamente, é U U cosθ + V senθ (54.) onde θ é o angulo meddo no sentdo ant-horáro, entre X e, e portanto fca U U cosθ senθ U V cosθ senθ U V (55.) Uma força aal P pode ser decomposta em componentes nas dreções X e Y como: P Pcosθ (56.) P y P senθ (57.) e entre as componentes nodas nas dreções globas e as forças na dreção local UFPR-CESEC 4

15 P cosθ Py senθ P Py Substtundo-se (54) e (57) em (4) fca P senθ P cosθ (58.) P k k k k Py k k k k P k k k k P k k k k y U V U V (59.) sendo k E cos θ cosθsenθ cos θ cosθsenθ cosθsenθ sen θ cosθsenθ sen θ cos θ cosθsenθ cos θ cosθsenθ cosθsenθ sen θ cosθsenθ sen θ (6.) sendo k é a matrz de rgdez segundo os eos globas. 4 - EXEMPO: TREIÇ COMPOST POR BRRS E NÓS Determnar os deslocamentos nodas na trelça esquematzada abao: E E E E UFPR-CESEC 5 P

16 Fgura - Trelça do eemplo comprmento m Módulo de Elastcdade E Pa, m P. KN a) Identfcação do problema físco; b) Escolha do sstema de coordenadas de referênca; c) Cração do modelo de Elementos Fntos: c.)eometra: Coordenadas nodas Incdênca NÓ X Y Barra Nó ncal Nó fnal Y X Fgura Modelo de Elementos Fntos c.) Defnção das propredades materas, carregamentos e condções de contorno: propredades materas: barras e E Pa, m barra E 4Pa, m carregamentos: NÓ PY KN carga concentrada aplcada na dreção do eo Y no sentdo contráro. condções de contorno: NÓ U V engastado g NÓ U smplesmente apoado d) Cálculo das matrzes de rgdez elementares: d.) Barra ncdênca UFPR-CESEC 6

17 Y X U V V U θ 9 U V Y X V U Fgura - Eos e graus de lberdade da barra matrz de rgdez local: E (4.6.) ângulo θ 9, cosθ e senθ, matrz de rotação: cosθ R senθ cosθ senθ (4.6.) matrz de rgdez global: E (4.6.) k d.) Barra ncdênca matrz de rgdez local: E (4.64.) ângulo θ 5, cos θ e senθ, matrz de rotação: UFPR-CESEC 7

18 sen R cosθ θ cosθ senθ Y V U (4.65.) V U Y X V θ 5 U X Fgura 4 - Eos e graus de lberdade da barra matrz de rgdez global: V U k E (4.66.) d.) Barra ncdênca V V V V U U U U Y Y θ X X UFPR-CESEC 8

19 matrz de rgdez local: Fgura 5 - Eos e graus de lberdade da barra E (4.67.) ângulo θ 9, cosθ e senθ, matrz de rotação: sen R cosθ θ sen cosθ θ (4.68.) matrz de rgdez global: k E e) montagem da matrz de rgdez global: (4.69.) k E f) mposção das condções de contorno: cargas aplcadas: P, P P, P y y UFPR-CESEC 9 reações nos vínculos: P R, Py Ry P R deslocamentos prescrtos homogêneos: U, V U vetor de cargas transposto: { y } T P P P P P

20 vetor deslocamentos transposto: Resolvendo-se fca: U V V { } T U U V V 7 P, E 4P, 4 E P, E UFPR-CESEC