4.2 Modelação da estrutura interna

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1 4.2 Modelação da estrutura interna AST434: C4-25/83 Para calcular a estrutura interna de uma estrela como o Sol é necessário descrever como o gás que o compõe se comporta. Assim, determinar a estrutura interna equivale a descrever como as diferentes grandezas; densidade/massa, pressão e temperatura, bem como os diferentes aspectos relativos à produção e transporte de energia, se interligam. Só assim é possível compreender e descrever como o Sol funciona. Necessitamos então estabelecer quais são as relações físicas básicas necessárias para representar o que se passa no interior de uma estrela. A estas relações, que se aplicam a estrelas em equilíbrio, chamam-se equações de estrutura estelar. De forma a simplificar a descrição matemática consideram-se hipóteses simplificativas. Entre elas, simetria esférica (dependência apenas na distância "r" ao centro) e equilíbrio hidrostático (não há rotação nem variações com o tempo) Grandezas e quantidades relevantes AST434: C4-26/83 São as equações de estrutura, sujeitas a condições fronteira como, a massa total [M], o raio [R], a luminosidade [L] ou a temperatura à superfície [Teff]; que nos permitem modelar, e compreender, o tipo de estrutura interna que a estrela tem. Vejamos então quais são as equações a considerar.

2 1) massa - quantidade de matéria contida numa esfera de raio r AST434: C4-27/83 As quantidades relevantes para descrever a estrutura interna de uma estrela, como o Sol, são: e densidade - quantidade de massa por undidade de volume 2) pressão - força por unidade de área 3) temperatura - mede a energia cinética das particulas do gás 4) luminosidade - energia que atravessa a esfera de raio r por unidade de tempo Equação para a massa AST434: C4-28/83 Se considerarmos um anel esférico, à distância r do centro da estrela, e de espessura r, então a massa contida nele é dada por, Se considerarmos que m(r) é a massa contida na esfera de raio r, então teremos que Tal relação equivale a dizer que a variação de m(r) é dada por; Esta equação descreve a forma como a massa se distribui no interior da estrela.

3 AST434: C4-29/83 Ou seja, a massa contida num volume V (da esfera de raio r), de um gás com densidade ρ(r) é dada por Sendo m(r)=m a condição fronteira que temos de impôr. Pelo facto da densidade ser muito superior nas regiões centrais da estrela, a maioria da massa está no núcleo. O envelope da estrela em geral quase não contribuí para a massa, embora tenha um volume muito superior. A distribuição da massa com o raio é essencial para estabelecer a estrutura da estrela pois esta está na origem do campo gravítico que define a configuração da estrela. Assim, ao determinarmos a distribuição da massa da estrela com o raio estamos a definir como a gravidade se comportará no interior da estrela. Energia gravitacional: AST434: C4-30/83 Por definição a energia gravitacional total de uma esfera de massa total M é dada por Esta quantidade descreve o campo gravítico criado pela distribuição de massa m(r). Se M é a massa total e R o raio da estrela, então podemos definir que De onde resulta que

4 Aceleração da gravidade: AST434: C4-31/83 A aceleração da gravidade é uma quantidade que descreve o peso que está associado ao campo gravitíco criado pela distribuição de massa da estrela. A aceleração em cada ponto da estrela depende de m(r), sendo dada por; pois m(r) é a massa contida na esfera de raio r. A gravidade à superfície da estrela, em particular, corresponde a No Sol este valor corresponde a cm/s 2 (28 vezes superior à gravidade na superfície da Terra) Equilíbrio de forças AST434: C4-32/83 De entre os tipos de forças (gravitacional, electromagnética, nuclear fraca e nuclear forte) que podem contribuir para a estrutura de uma estrela, a força gravitacional é a mais importante. Em geral forças electromagnéticas também estão presentes, mas tendo uma contribuição pequena para o equilíbrio de forças no interior das estrelas. Assim, para compensar o efeito do peso, a estrela precisa de construir uma estrutura que trave a contração devido ao peso. Para tal esta recorre, na maioria dos casos, a um gradiente de pressão de forma a poder encontrar um equilíbrio. Mas ao faze-lo a estrela é obrigada a gastar energia daí que o equilíbrio só pode ser sustentado se a estrela encontrar uma fonte que reponha a energia necessária para sustentar um gradiente de pressão.

5 Equilíbrio entre a pressão e a gravidade: AST434: C4-33/83 Equação de estado - gás ideal: AST434: C4-34/83 A forma usual da estrela controlar a pressão é através do calor. Isto é, a estrela aquece ou arrefece de forma a obter o comportamento necessário da pressão. A equação de estado descreve a relação entre as quantidades termodinâmicas que caracterizam o gás: pressão, temperatura e densidade. Para um gás ideal a equação de estado é; R g = x 10 7 erg K -1 mole -1 µ = peso médio por partícula do gás Uma estimativa do valor da pressão no centro do Sol dá: Já que devido à produção de energia o Sol têm uma temperatura central da ordem de 1.5x10 7 K. Tal corresponde ainda a uma densidade de cerca de 150 g/cm 3.

6 AST434: C4-35/83 No caso de um gás ideal a forma mais fácil numa estrela para se aumentar a pressão P é através do aumento da temperatura T. Para um gás ideal, a energia interna específica (por unidade de massa) é dada por: Sendo uma medida da quantidade de energia usada por unidade de massa para aquecer o gás até à temperatura T. Equilíbrio hidrostático: AST434: C4-36/83 O gradiente de pressão entre o centro e a superfície (onde a pressão é quase nula) pode ser estimado de acordo com; Este valor dá uma estimativa da força disponível devido à variação com o raio da pressão do gás. O gradiente de pressão é a forma de que a estrela dispõe para cancelar o efeito do seu próprio peso. Se não o fizer contrair-se-á! Para anular o peso em cada ponto do seu interior a estrela gere um gradiente de pressão que produza uma força exactamente igual à força de gravidade nesse ponto.

7 AST434: C4-37/83 Se considerarmos um anel esférico de gás com espessura r à distância r do centro, este estará sujeito a duas forças: a gravidade e o gradiente de pressão. A força devido à variação da pressão é dada por: Enquanto que a força devido à gravidade que actua na massa m do anel é dada por Logo a soma das forças que actuam sobre o anel esférico é: AST434: C4-38/83 Para um anel esférico, à distância r do centro, de espessura r, então a massa contida nele é dada por Logo, a soma das forças que actuam no anel corresponde a Para o gás no interior da estrela estar em equilíbrio é necessário que a força total que actua sobre o anel esférico seja nula. Tal imposição leva a que o equilíbrio só seja possível se:

8 AST434: C4-39/83 Este equilíbrio entre a gravidade (cuja força é dirigida para o centro) e o gradiente de pressão (cuja força é dirigida para o exterior) é então descrito pela seguinte equação de equilíbrio hidrostático; O Sol, tal como muitas outras estrela que estão na fase da Sequência principal, está em equilíbrio hidrostático. Isto é, a sua configuração actual não varia em escalas de tempo da ordem de mil milhões de anos. Assim permanecerá enquanto tiver energia disponível para manter o gradiente de pressão necessário. Pois de forma a ter uma pressão que descresce do centro para a superfície, o Sol assegura um gradiente de temperatura à custa de um fluxo de energia que é continuamente perdida à superfície. Tempo de queda livre: AST434: C4-40/83 De forma a estimarmos a escala de tempo na qual a estrela evolui, se não tiver um gradiente de pressão para obter o equilíbrio, podemos considerar a queda livre da sua superfície devido ao peso da estrela; Integrando a equação (duas vezes) para uma variação de r=r até r=0, obtém-se o seguinte limite superior para o tempo de queda da superfície até o centro: Tal corresponde a cerca de 2250 s, no caso do Sol. Este valor confirma que o tempo associado ao colapso em queda livre de uma estrela é muito curto, pelo que podemos usar a equação de equilíbrio hidrostático para modelar a estrutura interna do Sol.

9 4.2.4 Teorema do Virial AST434: C4-41/83 Numa estrela que esteja em quase equilíbrio (isto é, que não altere a sua estrutura em escalas de tempo curtas) temos um balanço entre as diversas componentes da energia da estrela. Tal resulta num balanço entre a energia gravitacional total V e a energia interna total U (calor), dada por; Usando a equação para a massa e a equação de equilíbrio hidrostático, aplicadas a um gás ideal, pode-se obter a seguinte condição; Assim o Teorema do Virial diz-nos que a um aumento da energia interna total U (positiva) corresponde um decréscimo da energia gravitacional total V (que se torna mais negativa). Energia total e tempo de Kelvin-Helmotz : AST434: C4-42/83 A energia total E de uma estrela resulta da soma da energia gravitacional e da energia interna: Se considerarmos que a estrela sobrevive devido exclusivamente à sua energia total (isto é, não dispondo de nenhuma fonte de energia adicional) então o período de tempo para o qual a estrela consegue suportar uma luminosidade L é dado por: Esta escala de tempo corresponde a cerca de 10 7 anos, no caso de uma estrela como o Sol.