Modelagem da proporção de produtos defeituosos usando Modelo de Quase-verossimilhança

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1 XXV Encontro Nac. de Eng. de Produção Porto Alegre, RS, Brasl, 29 out a 01 de nov de 2005 Modelagem da proporção de produtos defetuosos usando Modelo de Quase-verossmlhança Ângelo Márco O. Sant Anna (UFRGS) angelo@producao.ufrgs.br Carla Schwengber ten Caten (UFRGS) tencaten@producao.ufrgs.br Resumo A proporção de produtos defetuosos em um determnado conjunto de observações, ou proporção de produtos não conforme as especfcações, é uma mportante nformação a respeto do comportamento do processo de produção de uma ndústra. A modelagem da proporção de produtos defetuosos ou de tens não conforme as especfcações através de um modelo de regressão tradconal nem sempre é recomendada, uma vez que estes modelos requerem certas pressuposções para uso. Desta forma, o uso dos modelos de Quaseverossmlhança (MQV s) propostos por Wedderburn (1974) são mas adequados. O objetvo deste artgo é apresentar o uso do MQV, bem como a sua flexbldade na modelagem de dados mensurados em proporção, lustrada por uma aplcação numérca. Palavras-chave: MLG, Quase-verossmlhança, Proporções. 1. Introdução O processo de fabrcação de um produto consste bascamente na determnação das característcas de qualdade conforme uma dada especfcação, entretanto em mutos casos, fatores de varabldade podem dar orgem à fabrcação de produtos que apresentem as suas característcas de qualdade fora das especfcações, ou seja, como produtos defetuosos. A dentfcação da proporção de produtos defetuosos ou não conforme as especfcações é feta a partr de uma nspeção nos produtos após a sua fabrcação e constatado que estes produtos não apresentam um funconamento adequado para uso. Segundo Park (1996) é fundamental que as empresas busquem desenvolver um processo robusto, de produção de bens e fornecmento de servços. Embora, apenas o desenvolvmento deste processo não garanta a empresa o fm da produção de produtos defetuosos, fazendo-se mportante a realzação de etapas complementares, como por exemplo, a modelagem das nformações produzdas pelo processo. Neste contexto, Montgomery e Peck (1992) relatam, que a construção de um modelo de regressão permte nvestgar possíves efetos que nfluencam no processo. Conforme Montgomery e Peck (1992) para uso da abordagem estatístca, ao analsar um processo, é necessáro prevamente possur uma déa do que será estudado, como os dados serão coletados, classfcação da natureza dos dados (dscretos ou contínuos) e um entendmento qualtatvo de como serão analsados, portanto, antes de se ncar a modelagem dos dados é necessáro caracterzar a varável dependente como dscreta ou contínua. O número de produtos defetuosos em uma amostra é classfcado como uma varável aleatóra dscreta, pos esta pode ser representada por um valor de grandeza no conjunto dos números reas (LEWIS et al.,2001) e esta varável segue a dstrbução de probabldade bnomal. Segundo Cordero e Lma Neto (2004) a proporção de produtos defetuosos também segue uma dstrbução bnomal, as quas apresentam mensurações sempre postvas e restrtas ao ntervalo [0,1]. Portanto, conhecer as causas (varáves ndependentes) e os respectvos efetos sobre a proporção de produtos defetuosos (varável dependente) através de modelos ENEGEP 2005 ABEPRO 1459

2 XXV Encontro Nac. de Eng. de Produção Porto Alegre, RS, Brasl, 29 out a 01 de nov de 2005 de regressão pode ser uma estratéga poderosa. A modelagem da proporção de produtos defetuosos em um determnado conjunto de observações através de um modelo de regressão lnear múltpla nem sempre é recomendada, uma vez que este modelo requer a suposção de que os dados seguem a dstrbução normal. Pelo fato dos dados serem uma proporção dfclmente apresentará normaldade, portanto deve-se buscar uma nova forma de relaconar as varáves ndependentes à varável dependente, para sto pode-se utlzar os concetos de modelos lneares generalzados, mas especfcamente os modelos de quase-verossmlhança. Este trabalho tem como objetvo apresentar o uso do modelo de quase-verossmlhança, bem como a sua efcênca na modelagem da proporção de produtos defetuosos. Ademas, apresenta-se uma aplcação numérca para lustrar os concetos teórcos abordados. 2. Modelos Lneares Generalzados Os Modelos Lneares Generalzados (MLG s) englobam uma classe de modelos de regressão usuas em Estatístca, tas como o modelo lnear normal, modelo logístco, modelos loglneares, modelos de quase-verossmlhança, entre outros. Na verdade, esta capacdade de "unfcação" de modelos é uma das característcas prncpas dos MLG s. Segundo McCullagh e Nelder (1989) estes modelos de regressão são utlzados para nvestgar e modelar a relação entre a varável dependente e duas ou mas varáves ndependentes, sendo esta relação descrta por uma função matemátca, com dversos termos assocados a cada varável ndependente. A partr da expressão matemátca que modela o fenômeno em estudo é possível estmar o valor da varável dependente para dferentes valores das varáves ndependentes. Conforme Dobson (1990) os modelos lneares generalzados, propostos por Nelder e Wedderburn (1972), permtem o ajuste de modelos de regressão quando a dstrbução da varável dependente pertencer à famíla exponencal de dstrbuções, que contempla, as dstrbuções bnomal, normal e posson, dentre outras. Em lnhas geras, as dstrbuções pertencentes à famíla exponencal devem possur a mesma função densdade de probabldade dependente de um parâmetro θ. Esta função pode ser escrta na forma: f(y;θ) = exp [a(y)b(θ) + c(θ) + d(y)], onde a(y), b(θ) e c(θ) são funções específcas, sendo θ o parâmetro natural da dstrbução e y a varável aleatóra da dstrbução. Para McCullagh e Nelder (1989) a função pode ser escrta da forma f(y;θ, φ) = exp {a(φ) -1 [yθ - b(θ)] + c(y;φ)}, onde a(.), b(.) e c(.) são funções conhecdas, θ é o parâmetro de localzação e φ > 0 é o parâmetro de dspersão, algumas vezes denomnado de σ 2. Os MLG s são essencalmente caracterzados por possuírem três componentes: a componente aleatóra, que dentfca a dstrbução de probabldade da varável dependente y pertencente à famíla exponencal; a componente sstemátca, que especfca a estrutura das varáves ndependentes, que é utlzada como predtor lnear η; e a função de lgação, que descreve a relação funconal entre a componente sstemátca e o valor esperado da componente aleatóra (a méda µ da varável dependente y). Além dsso, tas modelos admtem não-homogenedade de varânca da varável dependente e uma função de varânca específca (FAHRMEIR e TUTZ, 1994). Conforme Dobson (1990) a varável dependente (proporção de produtos defetuosos) segue uma dstrbução de probabldade bnomal, esta dstrbução é demonstrada na lteratura que pertence à famíla exponencal. Segundo Cordero et al.(2004) o estudo de dados na forma de proporção é descrto formalmente como um modelo lnear, pos modela a proporção esperada π de sucesso de um referdo evento ocorrer (por exemplo, possur defeto), em um conjunto ENEGEP 2005 ABEPRO 1460

3 XXV Encontro Nac. de Eng. de Produção Porto Alegre, RS, Brasl, 29 out a 01 de nov de 2005 de n dados nvestgados, em termos das varáves ndependentes x, através de uma função de lgação que relacona a méda (µ ) da varável dependente à estrutura lnear das varáves ndependentes (x ), = (1,..., p). A forma da estrutura das varáves ndependentes que compõem o modelo de regressão é de uma soma lnear, caracterzando a parte sstemátca do modelo, defnda como η = β 0 + β 1 x β p x p, onde a função lnear η é denomnada de predtor lnear e β s parâmetros desconhecdos. Além dsso, outra característca da componente sstemátca de um modelo lnear é que a méda µ da varável dependente y pode ser expressa por uma função conhecda g(.), denomnada de função de lgação (MYERS et al., 1997), a qual descreve a relação funconal (lgação) entre a méda µ e o predtor lnear η, descrevendo a forma g(µ ) = η =β 0 + β 1 x β p x p. Conforme Lews et al.(2001) a função de lgação g(.) é responsável pela transformação da méda da varável dependente, e não dos dados. A escolha da função de lgação depende do problema de modelagem em partcular e, que em mutas vezes pode apresentar uma função de lgação dferente conforme o conjunto de observações. Segundo McCullagh e Nelder (1989) quando os dados seguem uma dstrbução bnomal, as funções de lgação g(.) mas π adequadas são: função Logt ( ) 1 g µ = log, função Probt g( µ ) = Φ ( π ) e função 1 π Complemento log-log g( µ ) = log { log( 1 π )}, pos preservam as restrções sobre o valor da probabldade π. Para Keschnck e McCullogh (2003) a escolha da função de lgação mas adequada não mplca em qualdade de ajuste do modelo de regressão, o que é mas mportante. Assm como, o uso da função de log-verossmlhança, que é defnda pelo logartmo da dstrbução de probabldade da varável dependente, na estmação dos parâmetros desconhecdos (β s) do modelo. 2.2 Modelo de Quase-verossmlhança Como fo vsto anterormente, para alguns modelos de regressão realzar a modelagem de um conjunto de observações, prmero deve-se assumr que os dados seguem uma dstrbução de probabldade conhecda e que esta pertença à famíla exponencal, em alguns casos não é adequado escolher uma dstrbução de probabldade a pror para os dados, pos os dados podem não segur algumas dstrbuções de probabldade. Nestes casos, Weddeburn (1974) propôs os modelos de quase-verossmlhança (MQV s) pertencentes à classe dos MLG s, pos estes modelos apresentam uma componente sstemátca (estrutura lnear das varáves ndependentes) e função de lgação que relacona a méda (µ ) da varável dependente à estrutura lnear das varáves ndependentes (x ), = (1,..., p). Porém para estes modelos, não há a necessdade de assumr a prncípo alguma dstrbução de probabldade para a varável dependente. Por consegunte, a esperança matemátca e a varânca da varável aleatóra não são conhecdas a pror. Segundo Cox (1996) quando modelamos um conjunto de dados usando os MQV s, a varânca é modelada como uma função da méda da varável dependente, multplcada anda por um parâmetro de dspersão constante. Desta forma, a dstrbução da varável dependente fcará determnada quando a função de varânca escolhda concdr com a função de varânca de alguma dstrbução de probabldade pertencente à famíla exponencal. Vejamos então, seja y uma varável aleatóra qualquer de nteresse, que assume a E[y ] = µ e uma varânca defnda por Var[y ] = φ*v (µ), onde a função de varânca V (µ) = µ(1- µ) é uma função conhecda da méda µ e φ é o parâmetro de dspersão constante. A função de ENEGEP 2005 ABEPRO 1461

4 XXV Encontro Nac. de Eng. de Produção Porto Alegre, RS, Brasl, 29 out a 01 de nov de 2005 y t V () t dt = µ y φ quase-verossmlhança para um modelo de regressão é defnda por Q( y ; µ ), para µ esta varável aleatóra apresenta a forma Q( y ) ( ) dt ; µ =. O logartmo da função de φ y µ 1 µ quase-verossmlhança fca nesse caso dado por µ Q ( y ; µ ) = y ln + ln( 1 µ ), que µ 1 conforme McCullagh e Nelder (1989), corresponde a função de varânca V[µ] =µ(1-µ) e a função de log-verossmlhança da dstrbução bnomal µ L ( y ; µ ) = y ln + n ( µ ) µ ln 1 1. Nota-se portanto, que a prncpal dferença está em que quando se usa a função de quaseverossmlhança para estmar os coefcentes (parâmetros desconhecdos), apenas se defne a relação da varânca da varável dependente com a sua méda, não sendo necessáro defnr anterormente uma dstrbução de probabldade. De acordo com Cox (1996) uma vantagem da flexbldade de uso dos MQV s na modelagem de uma varável dependente em conjunto de dados, é que poderíamos utlzar uma função de varânca que melhor se ajuste aos dados, sem assumr a pror uma dstrbução de probabldade para esta varável dependente. 2.3 Adeqüabldade do Modelo A adequação de um modelo é avalada pela sua capacdade predtva e defnda a partr dos própros dados utlzados na determnação do modelo. Modelos de regressão com bom desempenho estatístco apresentam pequena dscrepânca entre os dados reas e seus respectvos valores predtos. Em mutas aplcações, o coefcente de determnação (R 2 ) é utlzado como ndcador numérco que permte comparar o desempenho de dferentes modelos. Ademas, segundo Cordero e Lma Neto (2004) na adequação do modelo aos dados é fundamental a análse de técncas gráfcas como, avalação do gráfco de resíduos, presença de possíves outler (valores anômalos) e a observação de pontos nfluentes (valores que nfluencam na estmatva da méda da varável dependente). Em uma modelagem, varáves ndependentes e/ou a combnação destas varáves (tal como nteração de varáves ndependentes) só devem ser acrescentadas ao modelo se apresentarem sobre o comportamento da varável dependente, um nível explanatóro sgnfcatvo. Para garantr a nclusão somente de varáves sgnfcatvas no modelo, procedem-se testes de sgnfcânca estatístca. 3. Aplcação Numérca O estudo de aplcação dos modelos fo desenvolvdo com as nformações de uma empresa de artefatos de couro, onde se buscou avalar a qualdade das peças de couro, conforme certas característcas na sua lnha de produção. Tas característcas foram defndas como varáves relevantes para a modelagem, mesmo apresentando uma natureza qualtatva. Neste caso, as varáves ndependentes qualtatvas foram tratadas com o auxílo de varáves dummy. O uso deste tpo de varável permte uma análse de assocação entre os níves das varáves ndependentes em relação a varável dependente. Sendo elas: Seleção - A matéra-prma em cnco dferentes estágos (conforme qualdade e preço, escala de 1 = baxo a 5 = alto); Procedênca - A orgem da matéra-prma adqurda pela empresa (locas de orgem, escala de 1 a 5); Classfcador - Profssonal que avala as peças de couro, de dferentes seleções e orgem 1 y µ ENEGEP 2005 ABEPRO 1462

5 XXV Encontro Nac. de Eng. de Produção Porto Alegre, RS, Brasl, 29 out a 01 de nov de 2005 (profssonas, escala de 1 a 3); Rebaxamento - Estado da textura da matéra-prma couro (escala: 1 = não e 2 = sm); O classfcador recebe um lote de dferentes tamanhos contendo os produtos e as avala se os mesmos encontram-se conforme a especfcação, por métodos cogntvos (utlzando alguns dos sentdos: vsão, olfato e tato). Assm, a proporção de produtos defetuosos ou produtos não conforme as especfcações fo consderada a varável de nvestgação (varável dependente) e a seleção (x 1 ), procedênca (x 2 ), classfcador (x 3 ) e rebaxamento (x 4 ) foram consderadas possíves fatores de nfluênca (varáves ndependentes), numa amostra de 754 lotes. O nteresse encontra-se na modelagem da proporção de produtos defetuosos pelas varáves ndependentes acma descrtas avalada segundo o modelo de quaseverossmlhança. O modelo de quase-verossmlhança proposto fo realzado no software estatístco R Análse dos Efetos Realzando uma análse prelmnar dos efetos das varáves ndependentes e a varável dependente proporção de produtos defetuosos, nota-se na Fgura 2 (a), que a proporção de produtos defetuosos para a varável seleção apresenta uma tendênca crescente da proporção à medda que aumenta o nível da varável seleção. Na Fgura 2 (b) a varável procedênca não apresenta uma relação de tendênca com a proporção de defetuosos. Observa-se que o avalador 3 da varável classfcador apresentou maor proporção de defetuosos que os outros dos avaladores e que o nível rebaxado da varável rebaxamento apresenta menor proporção de defetuosos, conforme Fguras 2(c) e (d). Proporção de defetuosos 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 2,3% 16,3% 16,2% 21,4% 24,4% Tpo 1 Tpo 2 Tpo 3 Tpo 4 Tpo 5 Seleção (a) Proporção de defetuosos 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,8% 23,7% 20,6% 24,2% 24,2% Orgem 1 Orgem 2 Orgem 3 Orgem 4 Orgem 5 Procedênca (b) Proporção de defetuosos 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,8% 14,7% 25,6% Avalador 1 Avalador 2 Avalador 3 Proporção de defetuosos 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 Não 23,5% 12,4% Sm Classfcador (c) Rebaxamento (d) Fgura 2 Gráfcos das proporções de defetuosos em função das varáves ndependentes 3.2 Análse do Ajuste do Modelo A análse ncal deste conjunto de dados fo realzada por Arrba (2005), consstndo num ajuste de um modelo de regressão lnear múltpla com as quatro varáves ndependentes e ENEGEP 2005 ABEPRO 1463

6 XXV Encontro Nac. de Eng. de Produção Porto Alegre, RS, Brasl, 29 out a 01 de nov de 2005 sem utlzar transformação na varável dependente. O ajuste deste modelo apresentou a varável procedênca sem sgnfcânca estatístca e um coefcente de determnação de 0,24 (R 2 = 0,24). Ademas, seu ajuste fo feto de uma forma geral, sem avalar a nfluênca dos níves de cada varável ndependente. Neste artgo utlzou-se um modelo pertencente à classe dos modelos lneares generalzados, o modelo de quase-verossmlhança, apresentado anterormente. Consderando ncalmente o modelo g(µ ) = β 0 + β j x j +ε, com = (1,..., 754) ; j = (1,..., 4) e não é assumdo a pror que a varável dependente (proporção de produtos defetuosos) possu uma dstrbução de probabldade, apenas escolheu-se uma função de varânca, do tpo V (µ) = µ(1- µ), as varáves ndependentes (x 1, x 2, x 3 e x 4 ) como estrutura lnear e a função de lgação logt (descrta anterormente). A estmação dos parâmetros fo realzada pelo método da maxmzação da função de quase-verossmlhança apresentada pelo modelo. Na Tabela 1, apresenta-se as estmatvas dos parâmetros e teste t para o modelo de quaseverossmlhança ajustado, contendo apenas as varáves ndependentes que são estatstcamente sgnfcantes para explcar a varável dependente proporção de produtos defetuosos ou produtos não conforme as especfcações, ao nível explanatóro de 1%. Construndo então o modelo, ŷ = -3, ,0475(seleção 2) + 2,2857(seleção 3) + 2,5226(seleção 4) + 2,7583(seleção 5) + 0,2672(avalador 2) + 0,4483(avalador 3) 0,8357(rebaxado), o qual apresenta um coefcente de determnação (R 2 ) de 0,467. Nota-se que a varável procedênca não apresentou um nível explanatóro sgnfcatvo para permanecer no modelo, confrmando com os resultados apresentados por Arrba (2005). Avalando as estmatvas encontradas pelo modelo, observa-se que exp[β 1 ] = exp [2,0475] = 7,75 o que sgnfca estmar que, a seleção tpo 2 apresenta 7,75 vezes mas chances de produzr proporção de produtos defetuosos que a seleção tpo 1. Bem como a seleção tpo 5, apresenta 15,77 vezes mas chances (exp[β 4 ] = exp [2,7583] = 15,77) que a seleção tpo 1. O mesmo ocorre para a varável ndependente classfcador, que os avaladores 2 e 3 aumentam as chances de produzr produtos não conforme as especfcações em 30% e 56% respectvamente. Para a varável ndependente rebaxamento, o fato de a estmatva do parâmetro ser negatva (β 7 = -0,8357), ndca que com o estado de textura da matéra-prma estar rebaxado à chance de produzr proporção de produtos não conforme as especfcações dmnu em 43,3% (exp[β 7 ] = exp [-0,8357] = 0,4335). Parâmetro Estmatva Erro padrão t 0 P-valor Intercepto -3,7692 0,3844-9,805 < 0,001 Seleção de Couro Tpo Tpo 2 2,0475 0,4219 4,853 < 0,001 Tpo 3 2,2857 0,3886 5,882 < 0,001 Tpo 4 2,5226 0,3878 6,505 < 0,001 Tpo 5 2,7583 0,3913 7,049 < 0,001 Classfcador Avalador Avalador 2 0,2672 0,1095 2,441 0,0150 Avalador 3 0,4483 0,0877 5,111 < 0,001 Rebaxamento Não Sm -0,8357 0,0917-9,113 < 0,001 Dspersão (φ) 0, ,5015 Tabela 1 Estmatvas dos parâmetros e Teste t para o Modelo de Quase-verossmlhança ENEGEP 2005 ABEPRO 1464

7 XXV Encontro Nac. de Eng. de Produção Porto Alegre, RS, Brasl, 29 out a 01 de nov de Análse da Adequação do Modelo Para avalar a adequação do modelo, apresenta-se alguns gráfcos de dagnóstco (resíduos padronzados versus valores predtos, resíduos padronzados versus índces das observações, resíduos Devance versus índces das observações e dstânca de Cook s versus índces das observações). Nota-se na Fgura 1 (a) e (b) que há dos pontos com valor resdual acma 2,0, correspondendo às observações 685 e 702. Na Fgura 1 (c) verfca-se apenas os pontos 685 e 702 que estão com valor resdual superor aos outros. Fahrmer e Tutz (1994) recomendam que na análse dos resíduos convêm observar a aleatoredade dos resíduos e nvestgar quando há valores dscrepantes, pos auxlam na verfcação da adequação das funções: de lgação e de varânca, utlzadas. Em relação à dstânca de Cook s, McCullagh e Nelder (1989) sugerem que é convenente analsar os casos em que d > 0,5, ou seja, que no gráfco da dstânca de Cook s se verfque a presença de observações com valores acma de 0,5. Nota-se na Fgura 1 (d) que as observações 685, 702 e 745 aparecem em destaque, ndcando que elas são observações nfluentes. Segundo Cordero e Lma Neto (2004) as observações nfluentes não devem ser retradas do modelo, pos sua exclusão pode mplcar mudanças substâncas nas estatístcas do modelo. Portanto, as observações 685 e 702 que embora apareceram como pontos dscrepantes nos gráfcos de resíduos, são também pontos nfluentes e não podem ser retradas do modelo. (a) (b) (c) (d) Fgura 2 Gráfcos de dagnóstco para os dados com o ajuste do modelo de quase-verossmlhança ENEGEP 2005 ABEPRO 1465

8 XXV Encontro Nac. de Eng. de Produção Porto Alegre, RS, Brasl, 29 out a 01 de nov de Consderações Fnas Este trabalho apresenta a modelagem estatístca da proporção de produtos defetuosos em uma empresa de artefatos de couro. Para os fns da modelagem, realzou-se a avalação das característcas na lnha de produção através de um conjunto de varáves ndependentes relevantes, consderadas como possíves fatores de nfluênca. O uso dos modelos de regressão tradconas, tal como modelo lnear múltplo, necessta certas pressuposções. Entretanto, sabe-se que tas suposções são frequentemente voladas na prátca, já que nem todos os fenômenos podem ser bem modelados supondo dstrbução normal, pos conforme mutos autores o valor em proporção ou percentual seguem a dstrbução bnomal. Fo demonstrado neste artgo que os MLG s, mas especfcamente os modelos de quase-verossmlhança, apresentam flexbldade na modelagem de dados na forma de proporções ou percentuas, facldade na utlzação e bom ajuste do modelo. O modelo de quase-verossmlhança usado se mostrou estar adequado na modelagem da proporção de produtos defetuosos, gerando o valor do coefcente de determnação (R 2 ) superor ao encontrado pela regressão lnear múltpla e estmatvas precsas e confáves dos parâmetros do modelo, bem como a dentfcação dos níves das varáves ndependentes que nfluencam na proporção de produtos defetuosos produzdos na lnha de produção da empresa de artefatos de couro. Observa-se a mportânca da escolha adequada do modelo de regressão a ser utlzado e os procedmentos a serem realzados nas possíves varáves ndependentes para avalar a nfluênca na varável dependente. Referêncas ARRIBA, G.D. (2005) Otmzação de um processo de classfcação de couros wet blue: Um caso em uma ndústra curtdora. Dssertação de Mestrado. Unversdade Federal do Ro Grande do Sul UFRGS. Escola de Engenhara EE/PPGEP/UFRGS. Porto Algegre. RS. Brasl. CORDEIRO, G.M. & LIMA NETO, E.A. (2004) Modelos Paramétrcos. Lvro texto de mncurso, XVI Smpóso Naconal de Probabldade e Estatístca. Águas de Lndóa. São Paulo. 246 p. COX, C. (1996) Nonlnear quas-lkelhood models: applcatons to contnuous proportons. Computatonal Statstcal & Data Analyss, Vol. 21, p DOBSON, A.J. (1990) An Introducton to Generalzed Lnear Models. Chapman & Hall. London. FAHRMEIR, L. & TUTZ, G. (1994) Multvarate Statstcal Modelng based on Generalzed Lnear Models. Sprnger. New York. KIESCHNICK, R. & McCULLOUGH, B.D. (2003) Regresson Analyss of varates observed on (0,1): percetages, proportons and fractons. Statstcal Modellng, Vol. 3, p LEWIS, S.R.; MONTGOMERY, D.C. & MYERS, R.H. (2001) Examples of desgned experments wth nonnormal responses. Journal of Qualty Technology, Vol. 33, p McCULLAGH, P. & NELDER, J.A. (1989) Generalzed Lnear Models. Chapman & Hall. 2 a Edção. London. MYERS, R.H. & MONTGOMERY, D.C. (1997) A Tutoral on Generalzed Lnear Models. Journal of Qualty Technology, Vol. 29, p MONTGOMERY, D.C. & PECK, E.A. (1992) Introducton to Lnear Regresson. John Wley. New York. NELDER, J.A. & WEDDERBURN, R.W.M. (1972) Generalzed Lnear Models. Journal of the Royal Statstcal Socety A, Vol. 135, p PARK, S.H. (1996) Robust Desgn and Analyss for Qualty Control. Chapman & Hall. London. WEDDERBURN, R.W.M. (1974) Quas-lkelhood functons, generalzed lnear models and the Gauss- Newton method. Bometrka. Vol. 61, p ENEGEP 2005 ABEPRO 1466