Aplicações de Estimadores Bayesianos Empíricos para Análise Espacial de Taxas de Mortalidade

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1 Aplcações de Estmadores Bayesanos Empírcos para Análse Espacal de Taxas de Mortaldade Alexandre E. dos Santos, Alexandre L. Rodrgues, Danlo L. Lopes Departamento de Estatístca Unversdade Federal de Mnas Geras (UFMG) Caxa Postal Belo Horzonte MG Brasl {alexandrelas, alr, Abstract. Maps of rates are often used for spatal dsperson analyss of certan event occurrence rsk when data comes from counts by areas. However, the use of crude rates s assocated to a hgh nstablty n expressng the rsk of rare events n small populaton areas. As an alternatve, wll be ntroduced the emprcal Bayesan rates; they make use ether of the entre study regon or the neghborhood s nformaton n order to estmate the event occurrence rsk n each area. Ths paper computes the rates for a real database and ams advantages on usng emprcal Bayes estmators nstead of crude rates. Resumo. Mapas de taxas são comumente utlzados para a análse da dspersão espacal do rsco de ocorrênca de um determnado evento quando os dados estão dspostos a partr de contagens por áreas. Um grande problema assocado ao uso de taxas, porém, é a alta nstabldade que elas possuem para expressar o rsco de eventos raros em regões de população pequena. Alternatvamente, são apresentadas as taxas bayesanas empírcas, que utlzam nformações de toda a regão ou da vznhança para estmar o rsco de ocorrênca do evento em cada área. O presente artgo aplca o cálculo das taxas em um conjunto de dados reas e aponta as vantagens de utlzação dos estmadores de Bayes empírcos em relação às taxas brutas. 1. Introdução Mapas temátcos são extremamente utlzados em dversas áreas, como saúde públca e crmnologa, para vsualzar a dstrbução espacal de um evento, como uma doença ou um tpo de crme, e ndcar possíves áreas de alta ocorrênca ou predomíno desse evento, demonstrando a necessdade de ntervenção ou de nvestgação mas aprofundada das causas desse fato. Em mutas das aplcações, porém, em vez de observações assocadas a pontos com exata posção de ocorrênca do evento, os dados estão dspostos a partr de contagens por áreas, agregados por regões geografcamente defndas, como regões admnstratvas ou santáras. Essa agregação dos dados pode ocorrer por convenênca ou pode smplesmente refletr a forma como os dados foram dsponblzados. Em caso de dados agregados, a análse de dspersão espacal do rsco de ocorrênca de um acontecmento normalmente é feta va mapas de índces ou taxas de ncdênca, onde as áreas são sombreadas de acordo com os valores desta taxa. A taxa bruta é o estmador mas smples para o rsco de ocorrênca de um evento, defnndo-se como a razão entre o número de eventos ocorrdos na área e o número de

2 pessoas expostas à ocorrênca desse evento. Um grande problema assocado ao uso de taxas, porém, é a alta nstabldade que elas possuem para expressar o rsco de um determnado evento quando ele é raro e a população da regão de ocorrênca é pequena. As varações bruscas que ocorrem com estas taxas podem nada ter a ver com o fenômeno e sm com uma varabldade assocada às observações. Flutuações aleatóras casuas, como a ocorrênca de um ou dos casos do evento a mas ou a menos numa localdade, causam varações substancas nas taxas brutas se a sua população for pequena, efeto este não verfcado em localdades de população grande. Além dsso, para stuações em que não ocorrem casos do evento em algumas regões, a taxa bruta estma o rsco de ocorrênca do evento como zero, algo rreal tratando-se de dados como doenças ou crmes. Mapas de eventos baseados dretamente nessas estmatvas brutas são de dfícl nterpretação e freqüentemente geram falsas conclusões. A metodologa estma taxas corrgdas a partr dos valores observados utlzando-se concetos de nferênca bayesana. O estmador Bayes empírco global calcula uma méda ponderada entre a taxa bruta da localdade e a taxa global da regão (razão entre o número total de casos e a população total). O estmador Bayes empírco local nclu efetos espacas, calculando a estmatva localmente, utlzando somente os vznhos geográfcos da área na qual se deseja estmar a taxa, convergndo em dreção a uma méda local em vez de uma méda global. As taxas corrgdas são menos nstáves, pos levam em conta no seu cálculo não só a nformação da área, mas também a nformação de sua vznhança. Mapas baseados nessas estmatvas são mas nterpretatvos e nformatvos. O método de Bayes empírco fo aplcado para a correção das taxas de óbtos por neoplasa malgna do esôfago por mcrorregões dos estados de regão Sul e São Paulo, entre os anos de 1996 e O presente artgo também demonstra as vantagens de utlzação de taxas bayesanas empírcas em vez de taxas brutas na estmação do rsco de morte por neoplasa malgna do esôfago na regão analsada. Rotnas para o cálculo de taxas bayesanas global e local estão dsponíves dentro do pacote spdep do ambente estatístco lvre R ( e também dentro do software lvre de geoprocessamento TerraVewPlus 3.0.3, dsponível no endereço eletrônco este últmo fo aqu utlzado para o cálculo de ambas as estmatvas bayesanas empírcas pos apresenta a vantagem de se poder acessar as suas funções através de uma nterface amgável, enquanto no prmero as funções são acessadas através de janela de comandos. 2. Metodologa Em uma abordagem bayesana, assummos que os conhecmentos e as ncertezas acerca do real valor do rsco de ocorrênca de um determnado evento em cada área dentro de uma determnada regão podem ser representados por uma dstrbução de probabldade. Mas especfcamente, os valores desconhecdos e fxos das taxas seram realzações de varáves aleatóras com uma certa dstrbução conjunta. O objetvo é atualzar nosso conhecmento acerca destas quantdades desconhecdas após a observação dos dados. O conhecmento prévo sobre os rscos θ de ocorrênca do evento é expresso na dstrbução de probabldade a pror (p(θ)); as observações dos dados possuem uma dstrbução de probabldade que depende dos reas rscos de ocorrênca do evento em

3 cada área, os parâmetros que se desejam estmar. Essa dstrbução das observações é conhecda como função de verossmlhança (p(x θ)); a partr da dstrbução a pror e da função de verossmlhança é possível determnar, va teorema de Bayes, a dstrbução de probabldade a posteror (p(θ x)), uma atualzação de seus conhecmentos anterores. A partr da dstrbução a posteror pode-se dervar estmatvas pontuas para os reas rscos de ocorrênca do evento em cada regão. Para maores nformações sobre métodos de análse bayesana, veja Gelman (1995). Tpcamente a dstrbução a posteror é de forma muto complexa, o que mpossblta o cálculo analítco de quantdades de nteresse, tas como a méda a posteror dos parâmetros e os seus desvos padrão a posteror. Este problema é contornado utlzando-se smulações va MCMC [Gelman 1995]. Os métodos que se utlzam dessa estmação, denomnados completamente bayesanos, são preferíves por poderem ser generalzados para modelos mas complexos, apesar do grande esforço computaconal que eles requerem; alternatvamente exstem os métodos bayesanos empírcos, que se destacam por utlzar os dados observados para estmar os parâmetros da pror, não estando assocados às dfculdades de determnação da dstrbução, seja por uma nsufcênca de conhecmentos sobre a varável em estudo ou por uma certa subjetvdade envolvda na escolha da mesma. Bernardnell e Montomol (1992) apresentam um nteressante estudo comparando métodos completamente bayesanos e bayesanos empírcos. Para o problema em estudo os métodos bayesanos empírcos apresentam resultados semelhantes àqueles apresentados pelos métodos completamente bayesanos e possuem a vantagem de serem de fácl ntegração a ambentes de geoprocessameto estando dsponíves em dversos deles, como TerraVew, GeoDa, dentre outros. Marshall (1991) propõe um método extremamente smples de ser mplementado para o cálculo das estmatvas bayesanas empírcas θˆ e que não supõe nenhuma dstrbução específca para os θ : θ ˆ = C r + (1 C ) mˆ em que C 2 s mˆ / n =, mˆ é a taxa global dos eventos, 2 s mˆ / n + mˆ / n n é o número médo de pessoas em rsco, n é o número de pessoas observadas na área, 2 2 n ( r mˆ ) s =, n é o número de pessoas observadas em todas as áreas juntas e r é n a taxa observada na área. A taxa bayesana empírca global é, portanto, uma méda ponderada entre a taxa bruta da localdade e a taxa global da regão. Se a localdade apresentar uma população consderável, sua taxa apresentará pequena varabldade e ela permanecerá pratcamente nalterada. Se, por outro lado, a localdade apresentar uma população pequena, a estmatva da taxa bruta terá grande varânca e pouco peso será atrbuído a essa taxa

4 nstável, tornando a taxa bayesana mas próxma do valor esperado de uma área escolhda ao acaso naquela regão. A dstrbução a pror para θ em todas as estmatvas bayesanas dscutdas acma são não-espacas; sto é, a méda e a varânca a pror são estabelecdas como constantes para todas as áreas. O estmador bayesano empírco pode ser generalzado para nclur efetos espacas, ao se exgr que a estmatva ajustada para uma área se aproxme de uma méda da vznhança em vez de uma méda global (consdera-se como vznhança da área todas as demas áreas que compartlham frontera com a - ésma área). Com sso adcona-se uma suavdade espacal ao modelo, pos as estmatvas bayesanas globas não varam segundo a confguração espacal das áreas, o que não parece razoável na maora das stuações. Para o cálculo de estmatvas bayesanas empírcas locas modfca-se a dstrbução a pror de θ para permtr que a méda e a varânca sejam relaconadas à vznhança de, em vez de permanecerem constantes para todas as áreas; então a taxa observada em pequenas populações rá convergr para uma méda local em vez da global. A estmatva bayesana local consste em uma pequena alteração do método proposto por Marshall (1991): em vez de mˆ e n utlzam-se mˆ e n, representando, respectvamente, a taxa local na vznhança da área e o número médo de eventos nesta vznhança. 3. Aplcações do método Como uma aplcação do método de Bayes empírco, foram utlzados dados de óbtos de ndvíduos do sexo masculno entre 50 e 59 anos por neoplasa (tumor) malgna do esôfago para as 157 mcrorregões dos estados de São Paulo, Paraná, Santa Catarna e Ro Grande do Sul entre os anos de 1996 e 2002, bem como os seus respectvos totas populaconas, ambos obtdos a partr do endereço eletrônco do Departamento de Informação e Informátca do SUS DATASUS ( O software TerraVewPlus fo utlzado para o cálculo das taxas brutas e das taxas bayesanas global e local. Fgura 1. Gráfco de dspersão do logartmo populaconal versus taxa bruta de ocorrênca de neoplasa malgna do esôfago na população masculna com dade entre 50 e 59 anos no ano de 1999.

5 A grande varabldade das taxa brutas ao expressar o rsco de morte por neoplasa do esôfago em localdades de população pequena está representada na Fgura 1. No gráfco, o exo horzontal é o logartmo do total populaconal e cada ponto representa uma mcrorregão. Observa-se um formato de funl com a varação das taxas sendo muto maor nas mcrorregões com menor contngente populaconal. Essa grande varabldade em mcrorregões pequenas está assocada à pura flutuação aleatóra. Por exemplo, a mcrorregão de Bananal (SP), que não regstrou nenhum caso de morte por tumor no esôfago em homens entre 50 e 59 anos no ano de 1999, tera a sua taxa aumentada de 0 para 103 óbtos por neoplasa do esôfago por ndvíduos caso ocorresse apenas um únco caso de morte pela doença entre os seus 969 homens entre 50 e 59 anos. Caso sso ocorresse o rsco de morte pela doença em Bananal em vez de nulo sera estmado como o otavo maor dentro da regão em estudo. Fgura 2. Gráfcos de dspersão da taxa bruta versus taxas bayesanas globas e locas de óbtos por neoplasa malgna do esôfago para população masculna com dade entre 50 e 59 anos no ano de A Fgura 2 apresenta gráfcos de dspersão entre as taxas brutas e as taxas bayesanas empírcas das mcrorregões analsadas. Verfca-se um grande número de mcrorregões cujos rscos de mortaldade por neoplasa do esôfago são estmados pela taxa bruta como nulos, o que sgnfcara dzer que a população masculna entre 50 e 59 anos daquela mcrorregão não está sujeta ao rsco de morte por neoplasa do esôfago,

6 algo que obvamente não correspondente à realdade. A Fgura 3 apresenta gráfcos de dspersão das taxas bayesanas contra o logartmo do total populaconal. A taxa bayesana global apresenta um formato de funl nverso daquele observado para a taxa bruta, pos o método de Bayes empírco global aproxma a taxa bayesana da taxa global para as pequenas populações, enquanto para as populações grandes a taxa bayesana global aproxma-se da taxa bruta e ncorpora a sua varabldade. Já para a taxa local, quando a população é pequena a taxa se aproxma da taxa de eventos de cada vznhança, e por sso o padrão verfcado no gráfco de dspersão é uma nuvem de pontos. Fgura 3. Gráfcos de dspersão obtdos a partr das taxas bayesana global (acma) e local (abaxo) de neoplasa malgna do esôfago versus o logartmo populaconal. Ambos obtdos com dados da população masculna, com dade entre 50 e 59 anos no ano de A Fgura 4 apresenta mapas temátcos para as três taxas: bruta, bayesana global e bayesana local. No mapa de taxas brutas observa-se um predomíno das cores azus, que representam valores baxos de taxas, e a exstênca de algumas mcrorregões soladas em vermelho, que representa valores altos de taxas. Para o mapa de taxas bayesanas globas o padrão observado é de predomíno de valores em torno de uma méda global, com algumas mcrorregões apresentando taxas bem menores e outras

7 apresentando taxas bem maores. Isso se deve à tendênca do método de Bayes Empírco Global possu de aproxmar as estmatvas da méda global. Já para o mapa de taxas bayesanas locas observa-se um padrão mas suave de cores, com mcrorregões próxmas no espaço possundo proxmdade de tons, permtndo que se vsualze mas perfetamente grupos de mcrorregões com altos ou baxos índces de mortaldade pela doença. Fgura 4. Mapas temátcos para as três taxas obtdas de óbtos por neoplasa malgna do esôfago para população masculna com dade entre 50 e 59 anos no ano de 1999: taxa bruta (esquerda); taxa bayesana global (dreta) e taxa bayesana local (abaxo).

8 Fgura 5. Gráfcos de dspersão obtdos com a taxa bruta do período de 1996 a 2002 versus taxas brutas (alto), bayesana global (centro) e bayesana local (abaxo) do ano de Para se testar o poder de estmação do rsco de morte por neoplasa do esôfago das taxas bayesanas frente à estmação feta pela taxa bruta fo utlzado o segunte procedmento: ncalmente calculou-se uma taxa do período de 1996 a 2002 como a

9 razão entre o número total de óbtos de ndvíduos do sexo masculno entre 50 e 59 anos por neoplasa malgna do esôfago e a soma das populações correspondentes de cada ano do período analsado. Sob a suposção de que o rsco de morte pela doença possu um comportamento lnear dentro do período de 1996 a 2002, esta taxa total do período pode ser consderada uma boa estmatva para o rsco de morte pela doença no meo do período, que, no caso, corresponde ao ano de Como o período em estudo não é muto extenso, essa suposção pode ser faclmente adotada. Assm, espera-se que as melhores estmatvas do rsco de morte geradas somente a partr dos dados de 1999 estejam próxmas da taxa calculada a partr de todo o período de 1996 a A Fgura 5 apresenta gráfcos de dspersão entre a taxa total do período e cada uma das taxas utlzadas no presente artgo: bruta, bayesana global e bayesana local. Observa-se que, para as taxas bayesanas o gráfco se aproxma da reta com nclnação 1 e ntercepto 0, ndcando uma proxmdade entre a taxa total do período e as taxas bayesanas do ano de 1999, enquanto no gráfco de taxa bruta versus a taxa do período exste uma nuvem de pontos que não ndca nenhuma relação aparente. Essa análse aponta evdêncas do quão vantajosas são as taxas bayesanas para estmação do rsco de ocorrênca do evento. Fgura 6. Gráfcos de dspersão obtdos a partr de dados de neoplasa malgna do esôfago para a população masculna de dade entre 60 a 69 anos do ano de Taxas bayesana global (acma) e local (abaxo) versus taxa bruta do período de 1996 a 2002.

10 É mportante ressaltar que nem mesmo os métodos bayesanos conseguem estmar com exatdão o rsco de ocorrênca em stuações em que o fenômeno em estudo é muto raro ou as populações são extremamente baxas. Por exemplo, para a faxa etára de 60 a 69 anos, por exemplo, os valores estmados pela taxa bayesana global convergram em grande parte para a méda global, como demonstrado na Fgura 6; sso se deve prncpalmente aos baxos valores de população observados para essa faxa etára, o que transmte uma grande ncerteza às estmatvas da taxa bruta. Para as faxas etáras mas jovens as estmatvas bayesanas são muto nstáves devdo à extrema rardade dessa causa de morte em dades mas jovens. 4. Dscussões e Conclusões A partr dos dados utlzados para análse foram apontadas vantagens da aplcação de taxas bayesanas empírcas em relação às taxas brutas. As taxas bayesanas demonstraram apresentar menor varabldade e uma maor adequação aos reas rscos de ocorrênca do evento em cada área da regão em estudo. Para aquelas áreas em que a taxa bruta apresentara grande varabldade, o método de Bayes Empírco Global estas taxas em dreção a méda global da regão. O método de Bayes Empírco Local adcona um efeto espacal às estmatvas, tornando-as próxmas de uma méda local, o que gera uma certa suavdade no mapa temátco. No ano em estudo, os métodos de Bayes Empírcos estmaram de forma extremamente satsfatóra o real rsco de ocorrênca do evento em cada área para aquelas faxas etáras em que o número de casos e os totas populaconas são sufcentes. Faxas etáras em que as contagens são pequenas os estmadores bayesanos empírcos perdem em grande parte a qualdade de estmação do rsco real, mas anda se apresentam melhor do que as taxas brutas. Para o conjunto de dados analsado as taxas bayesanas empírcas locas apresentaram melhores estmatvas do que as taxas bayesanas globas, demonstrando que uma varação do rsco suave é adequada para o conjunto de dados. Bblografa Assunção, R. M. (2003). Estmadores Bayesanos Empírcos Espacas de Taxas, September. Baley T. C., Gatrell A. C. (1995) Interactve spatal data analyss. Harlow Essex, England: Longman Scentfc & Techncal; New York, NY: J. Wley, p Bernardnell, L., Montomol, C. (1992) Emprcal Bayes versus fully Bayesan analyss of geographcal varaton n dsease rsk. Statstcs n Medcne, 11, Gelman, A. (1995) Bayesan data analyss. London; New York: Chapman & Hall. Marshall, R. M. (1991) Mappng dsease and mortalty rates usng Emprcal Bayes Estmators, In Journal of the Royal Statstcal Socety, Seres C: Appled Statstcs, Vol. 40, No. 2, pages London, England.