FUNÇÃO NO R PARA OBTENÇÃO DO DESENHO D-ÓTIMO EM MODELOS DE MISTURAS COM RESTRIÇÕES

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1 FUNÇÃO NO R PARA OBTENÇÃO DO DESENHO D-ÓTIMO EM MODELOS DE MISTURAS COM RESTRIÇÕES Edmlson Rodrgues Pnto Leandro Alves Perera Faculdade de Matemátca Faculdade de Matemátca Unversdade Federal de Uberlânda Unversdade Federal de Uberlânda edmlson@famat.ufu.br leandro@famat.ufu.br Resumo. Epermentos com msturas são usados em dversas áreas, especalmente nas ndústras uímcas e farmacêutcas. A obtenção de desenhos ótmos para msturas é de grande mportânca, prncpalmente uando estr restrções nos componentes da mstura e, neste caso, os desenhos, usados para as stuações padrão, não puderem ser aplcados. O obetvo deste trabalho é apresentar uma função desenvolvda em R para obtenção do desenho D_ótmo em epermentos de msturas com restrções. A função, nttulada D.otmo.m, fo desenvolvda orgnalmente em Fortran e posterormente convertda em uma bbloteca do R. Um eemplo de aplcação é apresentado e detalha o uso da função D.otmo.m. Palavras-chave: Epermentos ótmos para msturas com restrção, planeamentos D_ótmos, desenhos ótmos no R.. Introdução O termo mstura é usado para defnr uma formulação ou uma composção de determnadas substâncas. Mutos produtos são confecconados a partr da mstura de város componentes. Tntas, almentos, produtos uímcos e farmacêutcos são alguns eemplos. Um epermento com mstura é auele no ual dos ou mas componentes são msturados, em uasuer proporções e uma resposta é obtda para cada conunto dos componentes da mstura. O propósto geral em um epermento com msturas é tornar possível a estmatva da resposta de um problema de mstura com város componentes, a partr de um número lmtado de observações. Essas observações são obtdas de combnações pré-seleconadas dos componentes na tentatva de se determnar uas delas, de alguma manera, otmzam a resposta (Cornell, 00). Cornell (00) é a prncpal referênca sobre a teora de epermentos com mstura, onde se pode encontrar uma eposção abrangente e detalhada sobre esse tema. Myers & Montgomery (00) dedcam dos capítulos a epermentos com mstura, consttundo uma boa ntrodução ao assunto. Atknson (007) dedca um capítulo à obtenção de epermentos ótmos para msturas, utlzando o algortmo BLKL e o software SAS (Statstcal Analyss Software). Pnto & Ponce de Leon (006) apresentam um capítulo acerca dos epermentos ótmos para msturas. Em certos epermentos com mstura, pode haver a necessdade de restrngr a proporção de um ou mas componentes, ue, por motvos técncos ou prátcos, não podem satsfazer todas as proporções possíves. Com sso, a nova regão epermental passa a ser uma sub-regão da regão das proporções matematcamente possíves. Essas restrções nos componentes, ue são muto comuns nos casos ndustras, podem ser apenas lmtes superores, apenas lmtes nferores ou uma combnação das duas. Na prátca, há casos em ue mutos dos componentes de uma mstura possuem smultaneamente lmtes superores e nferores em suas composções. De um modo geral, essas restrções podem ser representadas da segunte forma: 0 l u, =,,..., () Onde l é o lmte nferor e u é o lmte superor para o componente de mstura. Agradecmento à FAPEMIG pelo apoo fnancero

2 Com essas restrções, a regão epermental nas proporções dos componentes pode ter forma bem dferente da regão sem restrções. Nesses casos, não é vável recorrer mas aos planeamentos epermentas tradconas apresentados na lteratura, e, mutas vezes, recorre-se a algortmos computaconas para a escolha da localzação dos pontos epermentas, havendo a necessdade de consderar alguns aspectos técncos. Quando possível recorre-se a transformações lneares das varáves orgnas para transformar um problema de mstura com as restrções () em um problema de mstura rrestrto, tornando o problema mas smples. Isso é chamado de pseudocomponentes (Cornell, 00). Quando não for possível o uso de pseudo componentes, desenhos ótmos devem ser usados. Kefer (96) provou ue os planeamentos em rede smple sem restrções nos componentes, usados para modelos polnomas de prmera e segunda ordem, são D-ótmos. Para epermentos com restrções nos componentes, McLean e Anderson (966) sugerem ue seam usados os pontos etremos da regão de epermentação. Saena e Ngam (97) mostrou ue o planeamento ótmo também pode conter conuntos de pontos na regão de epermentação ue não são necessaramente pontos de etremos. Snee e Maruardt (974) através do algortmo XVERT demonstrou ue os pontos de vértce, o centro da regão e os pontos médos das retas ue delmtam a regão são canddatos a ponto ótmo. O conunto de pontos ótmos será um subconunto dos pontos canddatos. Este trabalho apresenta uma função no R para obtenção do desenho ótmo para um epermento de msturas com restrções, consderando o modelo uadrátco de Sheffé com três varáves. O crtéro utlzado para obtenção dos pontos ótmos é a D-otmzação. Este trabalho tem como prncpal obetvo fornecer essa ferramenta de grande mportânca e aplcabldade em sua versão gratuta através do R, o ue pode representar uma grande contrbução para as nsttuções de ensno e pesusa. O R é um software fleível, potente e confável para realzar tarefas estatístcas de ualuer tpo, desde as mas elementares às mas avançadas. Ele conta com a vantagem de ser gratuto e de seus processos de nstalação e uso serem smples. Um dos prncpas motvos da grande utlzação do R é o fato de ualuer profssonal poder melhorar o códgo do software básco ou escrever códgos para tarefas específcas, aprovetando todos os recursos á estentes. Além da gratudade, a outra grande vantagem de se utlzar o R para mplementação da função apresentada neste trabalho é a possbldade de utlza-la dentro de outros programas, além de ser um software de acetação mundal e conhecdo nas mas varadas áreas do conhecmento. Na seção é apresentada uma breve ntrodução sobre epermentos com msturas e a regão epermental para o caso de três componentes com e sem restrções. Na seção é apresentada a função D.otmo.m e um eemplo de aplcação. As conclusões fnas deste artgo são apresentadas na Seção 4.. Modelos para componentes de msturas Seam, =,...,, as varáves ue representam as proporções dos componentes da mstura. Em epermentos envolvendo mstura, a soma das proporções dos componentes é sempre gual a, ou sea, = e 0, =,..., () = Ao modfcar a formulação no sentdo de alterar as propredades de uma determnada mstura em estudo, as novas proporções devem contnuar obedecendo a essa restrção. Assm sendo, em planeamento de epermentos com mstura devem ser adotados proetos ue consderem esta restrção. As restrções em () são mostradas na Fgura, para o caso de dos e três componentes. Devdo à restrção, a regão epermental se reduz a uma regão smple de

3 dmensão -. Cada lado do trângulo corresponde a uma mstura bnára e os vértces dos trângulos correspondem às formulações de componentes puros. No nteror do trângulo, estão stuadas as possíves msturas ternáras. Neste caso, são necessáras apenas duas dmensões para representar grafcamente o epermento, como pode ser vsto na Fgurac. Como cada componente é representado por um vértce, uma fgura geométrca com três vértces e duas dmensões, ou sea, um trângulo eülátero, representa o espaço fatoral restrto de uma mstura ternára. (a) (b) (c) Fgura : Representação do espaço epermental smple para varáves ndependentes e msturas (a) para duas varáves, (b) e (c) para três varáves.. Polnômos canôncos Para se obter o melhor auste da resposta, modelos matemátcos devem ser austados aos dados obtdos do planeamento epermental. Em procedmentos com modelos de msturas, eperêncas têm demonstrado ue y pode ser estmado utlzando um polnômo de Taylor (Bo et al., 978). Para duas varáves, um modelo uadrátco podera ser: torna: ( y) = β 0 + β + β + β E = = < Entretanto, uando a condção para msturas é aplcada ao modelo polnomal, a euação se Onde: β β + β + β β = 0 = β β β,, =,,...,, < ( y) = β + β E = < O polnômo apresentado em (4) é descrto como o polnômo de segunda ordem ou polnômo uadrátco de Sheffé (Cornell, 00). Este polnômo faz parte de um grupo de polnômos especas para epermentos com mstura. Consderando ue a resposta é dada por y, em geral, tas polnômos podem tomar as seguntes formas: Modelo lnear: Modelo uadrátco E ( y) = = β ( y) = β + β E = <

4 Modelo cúbco especal Modelo cúbco completo E ( y) E. A Função D.otmo.m ( y) = β + β + = < < < k β = β + β + βk k + = < < < k < k β k ( Neste trabalho, a obtenção dos pontos D-ótmos envolvem procedmentos numércos como cálculos matrcas e mamzação sueta a restrções. Para esse fm, softwares de programação matemátca como Matlab ou Fortran são mas adeuados. Para construção da função D.otmo.m fo utlzado como base um programa escrto em Lnguagem Fortran 90. Esse complador possu rcas bbloteca de funções matemátcas. Este programa fo então complado e convertdo em uma bbloteca do tpo DLL para a lnguagem R, através de um pacote de conversões da lnguagem R chamado Rtools. A nstalação da função d.otmo.m é smples, basta copar todos os aruvos ue fazem parte da função no dretóro de trabalho do R. Geralmente este dretóro é defndo como sendo a pasta meus documentos, eceto uando o mesmo é alterado pelo usuáro. Para habltar a função no R, o usuáro deverá dgtar na lnha de prompt do R o comando source( dotmom.r ) e salvar a área de trabalho para ue o comando não precse ser dgtado posterormente. Esta função poderá ser adurda através de contato por emal com os autores. Para uso da função, supõe-se ue o usuáro tenha conhecmentos báscos de R... Eemplo de Aplcação O eemplo abao fo reproduzdo de Atknson et al. (007). Sea uma mstura composta por três componentes, suetos às seguntes restrções: 0, 07, 0, 06, 0, 06, ) Sea também um modelo uadrátco de Sheffé para a mstura apresentada, com ses parâmetros: E( y) = β + β + β + β + β + β As restrções geram um heágono, de forma bem dferente da regão smple regular. Para este problema deve-se, prmeramente, obter os pontos canddatos e depos obter os pontos ótmos através de algum método numérco. Para obtenção da regão epermental e dos pontos canddatos pode-se utlzar a Fgura c. Nesta fgura as lnhas nternas representam os eos relatvos à, e onde serão traçadas as lnhas de restrção. A área nterna delmtada por estas lnhas de restrção será a regão de epermentação. Cada ponto de vértce desta área será um ponto canddato, untamente com os pontos médos das lnhas de restrção e o ponto central da regão. Este esuema está apresentado na Fgura. A regão epermental está representada pelas lnhas em negrto e os pontos em preto representam os pontos canddatos. Tendo em mãos estes pontos e o modelo especfcado, estamos prontos para eecutar a função D.otmo.m no R.

5 Fgura : Regão epermental e pontos canddatos Para eecutar a função D.otmo.m usa-se a segunte comando: Obeto <- d.otmo.m(c(a,a,a ),c (b % ),c( c % ),c(modelo),c( l % ),c( u % )) Onde o vetor Obeto representa a matrz ue receberá os resultados. As varáves a, a e a representam o número de pontos canddatos, o número de varáves e o número de parâmetros do modelo, respectvamente. O número de pontos canddatos deve ser no mínmo gual ao numero de parâmetros. O Vetor b % contém os pontos canddatos. Estes pontos devem ser dgtados em seüênca e separados apenas por vírgulas. O vetor c % contem os pesos dos pontos canddatos. Estes pesos devem ter soma gual a um. O obeto modelo contém os parâmetros do modelo. Cada parâmetro a ser estmado é nformado pelo nome da varável ou da nteração ue ele deve descreve, entre parênteses. A nteração é representada pelo símbolo. Se o modelo tver a constante, essa deve ser nformada como numero. Os vetores l % e u % contem os lmtes nferores e superores para os componentes da mstura, respectvamente. A segur apresentamos o comando para o eemplo apresentado. Os resultados (pontos ótmos e pesos) são colocados em um vetor ualuer, ue no eemplo, recebeu o nome de Des_m : Des_m <- d.otmo.m(c(,,6),c(0.6,0.,0.,0.,0.6,0.,0.7,0.,0.,0.4,0.,0.,0.,0.4,0.,0.,0.,0.5), c(0.076,0.076,0.076,0.076,0.076,0.076,0.076,0.076,0.076,0.076,0.076,0.076,0.088),c("","","","","",""),c(0.,0.,0.),c(0.7,0.6,0.6)) Quadro : Pontos canddatos e desenhos ótmos obtdos pela função d.otmo.m em R no caso contínuo, e usando o algortmo BLKL, no caso dscreto, mplementado em Fortran. Pontos Pontos ótmos obtdos pelo função D.otmo.m e pelo algortmo BLKL Pesos Pontos canddatos (BLKL) 0,7 0, 0, 0,7 0, 0, 0, 0,008 0, 0,6 0, 0, 0,6 0, 0, 0,008 0,7 0, 0, 0,7 0, 0, 0, 0, , 0, 0,6 0, 0, 0,6 0, 0, , 0,6 0, 0, 0,6 0, 0, 0, , 0, 0,6 0, 0, 0,6 0, 0, ,7 0,5 0,5 8 0, 0,4 0,4 0, 0,4 0,999 0, 0, ,5 0, 0,4 0,5 0, 0,999 0, 0,08 0 0,5 0,6 0,5 0,5 0,4 0, 0, ,4 0,084 0, 0,084 0,5 0,5 0,6 0,4 0, 0, 0,999 0,999 0, 0,07 0,070 Pesos (D.otmo.m)

6 O Quadro apresenta os pontos canddatos e os pontos ótmos obtdos pela função D.otmo.m. O tempo gasto pelo software para retornar os resultados fo em torno de 4 segundos, para um computador com processador de.0 Ggahertz e Ggabyte de memóra RAM. Após a eecução da função, 0 pontos ótmos foram encontrados, concdndo com os resultados obtdos pelo algortmo BLKL (Atknson, 007) valdando os resultados encontrados. Note ue os pontos ecluídos do epermento foram os pontos centras dos segumentos de reta menores ue delmtam a regão de epermentação (Fgura ). O Quadro apresenta também os pesos obtdos pelo algortmo BLKL e pela função D.otmo.m. Novamente os resultados foram apromadamente concdentes. Os pesos em cada ponto fcaram dstrbuídos de forma ue o ponto central teve menor peso e os pontos centras dos segumentos de reta maores tveram maor peso. 4. Conclusões Este artgo apresentou uma função alternatva para obtenção de desenhos d-ótmos em epermentos de msturas com restrções. A função fo mplementada no R e apresentada através de um eemplo. A mplementação em R A aplcação dessa função mostrou ue pode haver uma dmnução consderável de pontos de epermentação em relação aos pontos canddatos, o ue pode representar grande economa e agldade no processo de epermentação. 5. Referêncas Atknson, A. C., Donev, A. N., Tobas, R. D.; Optmum epermental Desgns wth SAS. London, Oford Statstcal Scence Seres, Oford unversty Press, 007. Bo, G. E., Hunter, W. G., Hunter, J. S.; Statstcs for Epermenters. John Wley & Sons, New York, 978. Cornell, J.A.; Eperments wth mtures: desgns, models and the analyss of mtures data. Segunda Edção, Jonh Wley & Sons, New York, 98. Kefer, J.; Optmum desgns n regresson problems II. Annals of Mathematcal Statstcs,, pp. 98 5, 96. McLean, R. A., Anderson, V. L.; Etreme vertces desgn of mture eperments. Technometrcs, 8, pp , 966. Myers, R.H., Montgomery, D.C.; Response Surface Methodology. Segunda Edção, John Wley & Sons, New York, 00. Pnto, E. R., Ponce de Leon, A. C. M.; Planeamento Ótmo de Epermentos. XVII Smpóso Naconal de Probabldade e Estatístca, Caambu, Assocação Braslera de Estatístca, 006. Prescott, P.; Modellng n msture eperments ncludng nteractons wth process varables. Qualty Technology & Quanttatve Management,, pp. 87-0, 004. Saena, S. K., Ngam, A. K.; Symmetrc-smple block desgns for mtures. Journal of the Royal Statstcal Socety, Seres B, 5, pp , 97. Snee, R. D., Maruardt, D. W.; Etreme vertces desgns for lnear mture models. Technometrcs, 6, pp , 974.