Variáveis dummy: especificações de modelos com parâmetros variáveis

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1 Varáves dummy: especfcações de modelos com parâmetros varáves Fabríco Msso, Lucane Flores Jacob Curso de Cêncas Econômcas/Unversdade Estadual de Mato Grosso do Sul E-mal: Departamento de Estatístca - CCNE/UFSM E-mal: lfjacob@ccne.ufsm.br Resumo O presente trabalho busca estudar a regressão sobre varáves dummy, mas especfcamente, revsar a teora e os casos em que elas podem ser utlzadas, a fm de elaborar, de forma sucnta, um materal smples e abrangente sobre o assunto, capaz de auxlar em pesqusas e trabalhos. Após a formalzação, apresentou-se os procedmentos operaconas para executá-los, com ajuda de recursos computaconas, utlzando-se o software Statstca versão 5.. Palavras-chave: Regressão, Varável Dummy, Software Estatístco. Abstract The present work search to study the regresson on varables dummes. More specfcally, to revse the theory and the cases where they can be used, n order to elaborate, n a succnct form, a smple and ncludng materal on the subject, capable to assst n research and works. After the formalzaton, wll present the operatonal procedures to execute them, wth ad of computatonal resources, usng n such a way, the Statstca software verson 5.. Key-Words: Regresson, Varable Dummy, Statstca Software. Cênca e Natura, UFSM, 9 (): - 5, 007

2 . Introdução Na análse de regressão, a varável dependente pode ser nfluencada por varáves quanttatvas e qualtatvas. As varáves quanttatvas são faclmente mensuradas em alguma escala o que não ocorre com as varáves qualtatvas, uma vez que essas ndcam a presença ou a ausênca de uma qualdade ou atrbuto. Dessa forma, um método para "quantfcar" esses atrbutos é construr varáves artfcas que assumam valores de ou 0 ( ndcando ausênca de um atrbuto e ndcando a sua presença) que são conhecdas pela lteratura exstente de "varáves dummy". A rgor, não é essencal que as varáves dummy assumam os valores de 0 e. O par (0,) pode ser transformado em qualquer outro par por uma função lnear tal que Z a bd (b 0) em que a e b são constantes e em que D ou 0. Quando D, tem-se Z a b ; e quando D 0, tem-se Z a. Assm, o par (0,) se torna (a, a b). Observa-se que a atrbução de valores é puramente arbtrára, exgndo cudado na hora de nterpretar os resultados. A ntrodução de varáves qualtatvas (dummy) torna o modelo de regressão lnear uma ferramenta extremamente flexível capaz de ldar com mutos problemas encontrados, prncpalmente, em estudos empírcos. Os modelos que ncluem como varáves explcatvas somente varáves qualtatvas são chamados de modelos de análse de varânca (ANOVA), enquanto que os que ncluem também varáves quanttatvas são chamados de modelos de análse de covarânca (ANCOVA). Do ponto de vsta econômco, as varáves dcotômcas dummy são ntroduzdas no modelo para representar adequadamente os efetos dferencas produzdos pelo comportamento dos agentes (econômcos) devdo, prncpalmente, a dferentes causas, dentre as quas se destacam as de tpo temporal (estaconáras, etc), de caráter espacal (estado, país, etc), de caráter puramente qualtatvo (sexo, etc). Quanto à sua aplcação, este tpo de varável pode ser usado em modelos smples, em que a únca varável explcatva é a própra dummy, e em modelos mas complexos, em que uma varável categórca é desdobrada em duas ou mas varáves dummes. Atenção especal requer a especfcação de modelos que combnam dummes para dferentes categoras e para modelos que combnam dummes e varáves quanttatvas. Neste últmo caso, duas análses são possíves: ncorporar mudanças no ntercepto e/ou na declvdade de uma função; possbltar a dentfcação de mudanças estruturas. A lteratura especalzada referente à abordagem da análse de regressão sobre varáves dummy desenvolveu-se, prncpalmente, a partr das décadas de 70 e 80 do século passado, embora já tenha sdo objeto de estu- Cênca e Natura, UFSM, 9(): - 5, 007

3 dos há mutos anos. Do ponto de vsta de uma ordem cronológca, tem-se como referênca os estudos de SUITS (957, 984), CHOW (960), GUJARATI (970 a, b) KOOYMAN (976), ERLAT (978, 985), DUFOUR (980, 98, 98), KENNEDY (986) e, mas recentemente, STEWART (99), MADDALA (99), GREENE (99), HARDY (99), dentre outros. Observa-se que exste uma sére de textos relaconados à utlzação das varáves dummy na análse de regressão. Entretanto, este tópco ressente de um maor número de publcações, no sentdo de que as contrbuções ndvduas (explorada em cada texto) passem a ser ncorporadas em uma teora mas completa do que as apresentadas nos lvros textos de econometra prncpalmente, porque as demonstrações e análses fcam a posteror prejudcadas pela nacessbldade à grande parte destes materas. O objetvo do presente trabalho é desenvolver um estudo teórco-prátco sobre a utlzação de varáves dummy e suas prncpas aplcações. De forma sucnta, elaborar um materal smples e abrangente a fm de destacar os casos em que as varáves dummy são aplcadas e apresentar alguns resultados dessas aplcações usando o programa computaconal Statstca versão 5.. A metodologa a ser utlzada para apresentação dos resultados corresponde à dos lvros texto de econometra, tas como, GUJARATI (000), MADDALA (00) e HILL (999). Este trabalho constará, além desta ntrodução, de cnco seções onde se apresenta: na segunda o método de estmação sob varáves dummy em modelos com varações descontínuas nos parâmetros; na tercera, a estmação em modelos com varações contínuas; na quarta apresenta as regressões com varáves dummy sob modelos de análse de varânca (ANOVA) e covarânca (ANCOVA); e na qunta, como exemplo, o desenvolvmento destes modelos no programa computaconal Statstca versão 5.. As consderações fnas estarão na últma seção.. Utlzação de varáves dummy: o caso de varações descontínuas nos parâmetros Nesta sessão busca-se demonstrar, baseado em REBELO & VALLE (00), quando a utlzação de varáves dummy torna-se mportante na análse econométrca. Para tanto, consdera-se como exemplo um estudo (de caráter espacal, temporal ou puramente qualtatvo) em que, num prmero momento, se assume que a relação entre a varável dependente e a varável explcatva é estável para todas as observações de uma amostra. Ou seja; Cênca e Natura, UFSM, 9 (): - 5, 007

4 onde Y u ;,,... ; é uma varável quanttatva. n, ~ NID( 0, σ ) u (.) Supõe-se que a estmação desta equação de regressão apresenta um valor sgnfcatvo para a estatístca t assocada ao coefcente da varável e, smultaneamente, um valor para o coefcente de determnação ( ) R relatvamente baxo e/ou um valor do Durbn Watson ( D.W. ) longe de. A análse destes resultados leva à conclusão de que, embora consttua uma varável mportante na determnação do comportamento da varável Y, exste uma parcela relatvamente alta do comportamento desta varável que não é explcada pelo modelo. Em outras palavras, o modelo descrto anterormente pode encontrar-se mal especfcado por ncorreta omssão de varáves explcatvas. O gráfco a segur expressa a relação entre a varável dependente e o regressor ( ) retratado pela Fgura : Y ( Tercero grupo) ( Segundo grupo) ( Prmero grupo) Fgura : Formato das observações do estudo econométrco. Observa-se, pela Fgura, que o comportamento das varáves está relaconado postvamente. Entretanto, parece exstr uma relação dstnta entre as duas varáves para as observações que pertencem a cada um dos grupos. Isso explcara os resultados obtdos quando do ajustamento de uma únca reta de regressão para o conjunto de dados, ou seja, o valor relatvamente baxo de R. Neste caso, o ajustamento de únca reta traduz-se em uma estmatva de valor elevado para a varânca da varável res- 4 Cênca e Natura, UFSM, 9(): - 5, 007

5 dual o que pode produzr uma estatístca t assocada ao coefcente não sgnfcatva. Além dsso, cabe explctar que o ajuste do modelo utlzando apenas a varável como ndependente sgnfca a omssão de uma nformação conhecda, ou seja, a não utlzação de uma varável que ndca os dferentes grupos onde foram tomadas as observações. A nclusão desta varável, neste caso, sgnfca a ncorporação de duas varáves dummy no modelo. Para resolver este problema, consdera-se, em separado, cada um dos grupos de observações e utlza-os em três modelos dstntos, pos, como mostra a Fgura, as retas de regressão que melhor se ajustam aos dados parecem dferr apenas no termo ntercepto ( ) e não na nclnação ( ). Em termos formas; Y u para o prmero grupo (.) Y u para o segundo grupo (.) Y u para o tercero grupo (.4) Contudo, a estmação dos três dferentes modelos certamente não produzrá o mesmo valor para o parâmetro que, para efeto de análse, fo consderado comum a ambas as especfcações, pos se os três grupos reagem de forma smlar a uma varação em, deve-se reunr todas as observações para ajustar um modelo de regressão que produza três termos ndependentes, mas uma estmatva únca para o coefcente de nclnação. Dessa forma, a defnção de regressores dummy apresenta-se como o procedmento adequado para este caso. Em termos formas, a defnção de varáves sera a segunte: D D, 0,, 0, se a observação verfca a característca que defne o segundo grupo; caso contráro se a observação verfca a característca que defne o tercero grupo; caso contráro; onde a ntrodução da varável dummy D tem por objetvo captar (e o valor dela representa) a dferença entre os termos ndependentes das equações de regressão relatvas aos dos prmeros grupos. De forma análoga, a Cênca e Natura, UFSM, 9 (): - 5, 007 5

6 dummy D refere-se às dferenças exstentes entre o tercero e prmero grupo. Logo, com a ntrodução de regressores dummy pode-se ajustar a equação de regressão da segunte forma; Y D D u ;,,..., n; ( ) ( ) ( 0, ) u ~ NID σ (.5) ou, de forma equvalente; Y δ D δd u ;,,..., n; u ~ NID( 0, σ ) (.6) onde: δ ( ) e δ ( ). Pela equação anteror é possível se obter uma únca estmatva para o parâmetro e, smultaneamente, três ordenadas, na orgem, dstntas. A tradução geométrca da estrutura estmada neste modelo pode ser representada conforme a Fgura : Y yˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ yˆ ( ˆ ˆ ) ˆ yˆ ˆ ˆ ˆ Fonte: REBELO & VALLE (00) Fgura : Estrutura geométrca do modelo (.6). Observa-se que na Fgura tem-se que δ > 0, δ > 0, δ > δ. Neste caso, para cada grupo o modelo de regressão sera dado por: Y u se D D 0 (prmero grupo) (.7) ( δ) u Y se D e D 0 (segundo grupo) (.8) O grupo, categora ou classfcação desgnado pelo valor 0 é freqüentemente referdo como categora-base. É "base" no sentdo de que as comparações são fetas em relação a esta categora. 6 Cênca e Natura, UFSM, 9(): - 5, 007

7 ( δ) u Y se 0 D e D (tercero grupo) (.9) Admtu-se que o coefcente de nclnação é semelhante a todos os modelos. Neste caso, vale ressaltar que se consdera como hpótese mplícta, que as varáves de ntercepto sejam adtvas. O efeto de cada fator qualtatvo é somado ao ntercepto de regressão, e o efeto de qualquer varável bnára é ndependente de qualquer outro fator qualtatvo. Às vezes, é possível que os efetos de fatores qualtatvos não sejam ndependentes, sto é, o modelo pode ser multplcatvo. Em outras palavras, pode haver nteração entre as varáves qualtatvas. A stuação oposta também pode ocorrer. As retas de regressão podem ter o mesmo ntercepto com coefcentes de nclnação dstntos. Dessa forma, as retas de regressão que representam essas especfcações, para cada um dos dferentes grupos, devem ser especfcadas novamente, como a segur: Y u (para o prmero grupo) (.0) Y u (para o segundo grupo) (.) Y u (para o tercero grupo) (.) Segundo Hll et all. (00) o produto de uma varável dummy por uma varável contínua resulta no que se pode chamar de "varável dummy de nclnação e/ou varável de nteração", e é recomendável, a fm de que se possa, em um únco modelo, produzr uma estmatva para o termo ndependente e três coefcentes de nclnação dstntos. O modelo que deve ser estmado é: ( )( D) ( )( D ) u Y ;,...,n u ~ NID ( 0, σ ) (.), onde as varáves D e D são as varáves dummy defndas anterormente e medem, portanto, a dferença entre os declves de dos modelos de regressão. Ou, de forma equvalente, o modelo anteror pode ser representado por: ( D) ( D ) u Y,,...,n; γ γ ( 0, ) u ~ NID σ ; (.4), Cênca e Natura, UFSM, 9 (): - 5, 007 7

8 onde: γ ( ) e γ ( ). Assm, a utlzação de varáves dummy permte determnar a equação relatva a cada grupo ; Y u se D D 0 (prmero grupo) (.5) Y u se D e D 0 (segundo grupo) (.6) Y u se D 0 e D (tercero grupo) (.7) A representação gráfca desta stuação é mostrada pela Fgura, onde γ > 0, γ > 0, γ > γ : Y y ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) y ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ yˆ ˆ ˆ Fonte: REBELO & VALLE (00) Fgura : Estrutura geométrca do modelo (.4). Observa-se que esta análse pode ser combnada. Pode-se estmar uma equação de regressão com dferentes nterceptos e dferentes coefcentes de nclnação.. Utlzação de varáves dummy: o caso de varações contínuas nos parâmetros Nesta classe de modelos a varação no declve da reta de regressão não é descontínua, embora seja bastante acentuada. Por exemplo, pretende-se ajustar um modelo de regressão para os dados lustrados na Fgura 4; Outra forma de se obter esses resultados é calcular as dervadas parcas (ver Maddala 00). 8 Cênca e Natura, UFSM, 9(): - 5, 007

9 Y c c Fonte: REBELO & VALLE (00) Fgura 4: Estudo Econométrco Hpotétco. Efetvamente, pela smples lustração da Fgura 4 é possível se observar que a estmação do modelo do tpo Y u não é correta. A melhor forma de se obter uma estmatva que represente os dados é ajustar os seguntes modelos de regressão [esse método é apresentado em alguns lvros textos como regressão lnear por partes (Gujarat, 000)]: Y u para c (.) Y u para c c (.) Y u para c (.) D D Desse modo podem ser defndas duas varáves dummy, a saber:, Se c c 0, Caso contráro, Se c ; 0, Caso contráro; Logo, a especfcação do modelo correta sera semelhante a que se segue, permtndo uma aproxmação adequada do problema em questão: Cênca e Natura, UFSM, 9 (): - 5, 007 9

10 0 Cênca e Natura, UFSM, 9(): - 5, 007,,..., n; ( ) 0, ~ σ NID u (.4) Entretanto, o problema resultante da estmação deste modelo é que para ( ) c Y E e ( ) c Y E obtêm-se dos valores dferentes. Em síntese, sso sgnfca que o modelo de regressão não é contínuo, para torná-lo contínuo, é necessáro defnr as seguntes restrções lneares: c c c c que, por smples manpulações algébrcas, tornam-se: ( ) c ( ) c Impondo-se essas restrções ao modelo (.4), ele se transforma em; ( ) ( ) ( ) ( ) u c D c D Y (.5) ou, de forma equvalente; ( ) ( ) u c D c D Y γ γ (.6) Logo, para cada segmento da reta de regressão, têm-se as seguntes combnações de valores das varáves dummy, observando-se que para o prmero caso a reta de regressão vale para o ntervalo c, a segunda para o ntervalo c c e a tercera para o ntervalo c. ( ) ( ) u c u c u Y γ γ γ γ (.7) Observe que neste caso, o processo de estmação produzrá um coefcente nclnação dstnto para cada uma das categoras. A sgnfcânca das mudanças estmadas nos declves pode ser testada por um teste F. Na classe de modelos em que a varação no declve da reta de re- ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) u D D D D Y

11 gressão é descontínua, e sendo esta bastante acentuada, a especfcação de um únco modelo, tal como proposto em (.6), pode ser uma aproxmação nadequada para o problema em questão. Neste caso, a especfcação de um modelo como o apresentado em (.4) soluconara este problema, muto embora a resultante fosse três equações de regressão totalmente dstntas e dos valores totalmente dferentes para E( Y ) e E( Y ). Observe, portanto, que a técnca apresentada anterormente, de mpor restrções ao modelo de tal forma a torná-lo contnuo, busca soluconar através da especfcação de um modelo aproxmado o problema da obtenção de dferentes retas de regressão, uma vez que sua aplcação proporcona como resultado retas de regressão em que apenas o coefcente de nclnação dfere entre elas. c c 4. Regressão com varáves dummy sob modelos de análse de varânca (ANOVA) e covarânca (ANCOVA) Antes de serem analsados os modelos de varânca e covarânca separadamente, admte-se que as retas de regressão para os dstntos grupos dferem apenas no termo de ntercepto, mantendo-se os mesmos coefcentes angulares, conforme pode ser observado na Fgura apresentado anterormente. Neste caso, a varável dummy é ncorporada ao modelo de regressão para captar o efeto do deslocamento do ntercepto como resultado de algum fator qualtatvo. Para exemplfcar a prmera classe de modelos em que as varáves explcatvas são exclusvamente dummes, apresenta-se o segunte modelo de regressão (4.) (Gujarat, 000); onde através do uso de varáves dummy busca-se dentfcar se exste dferença entre os saláros médos recebdos por professores e professoras unverstáros. A hpótese mplícta deste modelo é de que os professores unverstáros receberam um saláro maor. Neste caso, mantdos constantes todos os demas fatores, caso a dferença se confrme, pode-se especular sobre a possbldade de haver dscrmnação com relação ao saláro pago às professoras. Observe, contudo, que se nos dstntos pontos de mudança a descontnudade da reta for muta acentuada, a estmação através de um modelo aproxmado pode gerar uma estmatva ncorreta. Neste caso, soluconar-se-am os problemas com a obtenção de dstntas retas de regressão, muto embora as estmatvas obtdas não representem felmente os dados que estão sendo analsados. Cênca e Natura, UFSM, 9 (): - 5, 007

12 O modelo de regressão é dado por; y D u (4.) onde: y saláro anual de um professor unverstáro; D se do sexo masculno, 0 caso contráro. Admtndo-se que as perturbações satsfaçam as hpóteses usuas do modelo clássco de regressão lnear [ ~ NID( 0, ); E( ) 0] u σ, temse, de (4.); u - Saláro-médo de uma professora unverstára: E( 0) Y D - Saláro-médo de um professor unverstáro: E( ) Y D onde o coefcente de nclnação nforma em quanto o saláro médo de um professor unverstáro dfere do saláro-médo de uma professora. Caso os resultados obtdos mostrem que é estatstcamente sgnfcatvo, conclu-se que, o saláro de um professor, de fato, é superor ao de uma professora. Grafcamente, este resultado pode ser apresentado como na Fgura 5. ^ ^ Professores ^ Professoras ^ Fgura 5: Funções saláros (médos). 4. Estmação e teste de parâmetros do modelo A estmação do modelo na forma matrcal requer que os seguntes cálculos sejam efetuados 4 : 4 A matrz representa a matrz dos coefcentes do modelo. Neste caso, D. Observa-se que, especfcando-se adequadamente a matrz, os resultados apresentados valem para todos os modelos abordados ao longo deste trabalho. Cênca e Natura, UFSM, 9(): - 5, 007

13 a) Calcular ' (onde, Matrz transposta de, matrz orgnal); b) Obter ( ) ; c) Calcular, Y ; De posse desses cálculos pode-se obter as estmatvas dos parâmetros do modelo de regressão através da fórmula: ^ B,,, ( ) Y Contudo, falta avalar se o valor estmado para o parâmetro é estatstcamente sgnfcatvo, sto é, testar em nível de sgnfcânca de %, a hpótese H 0 : 0 contra a hpótese alternatva H : > 0 5. Para tanto, calcula-se a análse de varânca de regressão, apresentada genercamente na Tabela ; CV Regressão Resíduo Tabela : Análse de Varânca. GL K nk, ^ SQ _, b yny ^,, y yb, y, ^ QM _, b yny, ^ K,, y yb y nk Total n _, y yny OBS: K é o número de parâmetros estmados. Para o caso do modelo (4.) K. A partr da análse de varânca pode-se determnar o grau de ajuste do modelo, bem como realzar o teste de sgnfcânca dos parâmetros. Logo, o coefcente de determnação (ou grau de ajuste do modelo) é dado SQE K por R SQT n. 5 Observa-se que a hpótese alternatva pode ser especfcada de forma dferente, como por exemplo, H : 0. Neste caso, ela fo defnda como sendo maor que zero dado a hpótese mplícta de que podera haver um dferencal postvo entre os saláros médos recebdos pelos professores unverstáros em comparação aos saláros recebdos pelas professoras unverstáras. Cênca e Natura, UFSM, 9 (): - 5, 007

14 , ^ A realzação do teste de sgnfcânca dos parâmetros exge que se calcule a varânca do modelo e, posterormente, a matrz de varâncacovarânca de onde se obtém, para cada parâmetro ndvdualmente, a sua respectva varânca (dagonal prncpal). O teste F de sgnfcânca global para os parâmetros de regres-, b y n y K são pode ser calculado por: F ^,,,. Entretanto, neste caso de- y y b y n K vem-se especfcar novamente as hpóteses, ou seja, este teste é utlzado para testar a hpótese de que todos os coefcentes de nclnação são smultaneamente guas a zero contra a hpótese alternatva que pelo menos um dos coefcentes é dferente de zero. ^ Cálculo da varânca: σ SQR. Logo, a matrz de varânca- n K covarânca para ^ B pode ser mostrada como: _ ( ) (, ) (, ) ( ) ^ ^, var cov varcov b σ ( ) cov var Sabe-se que os elementos da dagonal prncpal representam as varâncas de ^ ^ e, respectvamente, e suas raízes quadradas fornecem os correspondentes erros padrões. De posse destes dados pode-se, utlzar o teste t para testar a sgnfcânca dos parâmetros. Para ^, tem-se que: ^ t ^ ep (4.) ( ) Logo, pela regra de decsão sabe-se que, t cal > t t crítco /, ( nk), rejeta-se a hpótese nula. Neste caso, se o valor observado da estatístca calculada superar o seu valor crítco, não se pode afrmar que o coefcente ^ é estatstcamente gual a zero, ou seja, sso sgnfca que os resultados ndcam que os saláros-médos das duas categoras são dferentes. Para a segunda classe de modelos, onde as varáves explcatvas são tanto de ordem qualtatvas (dummy) como quanttatvas, nca-se o 4 Cênca e Natura, UFSM, 9(): - 5, 007

15 estudo da regressão sobre uma varável quanttatva e uma varável qualtatva com apenas duas classes 6. Para exemplfcar, apresenta-se o segunte modelo de regressão: Y D (4.) u onde: anos de experênca de ensno e as demas varáves seguem como antes defndas. Admtndo-se que as perturbações satsfaçam as hpóteses usuas [ E ( u ) 0], tem-se que: - Saláro médo de uma professora unverstára: E( Y, D 0) - Saláro médo de um professor unverstáro: E Y, D ( ) ( ) Isso sgnfca que as funções saláros, em relação aos anos de experênca de ensno, têm a mesma nclnação ( ), mas dferentes nterceptos, ou seja, o saláro dos professores dfere do saláro das professoras, mas a taxa de varação méda anual, dada pelos anos de experênca, é gual para ambos os sexos. Grafcamente, esses resultados podem ser representados na Fgura 6: Saláro anual ^ ^ Anos de experênca Fgura 6: Funções saláros em relação aos anos de experênca. Logo, a partr do modelo (4.) para estmar o saláro dos professores a relação fca; Y u ( ) 6 Varável qualtatva com duas classes, a saber, homem e mulher. Cênca e Natura, UFSM, 9 (): - 5, 007 5

16 e para estmar o saláro das professoras; Y u Os cálculos de "a" a "c", ctados anterormente, devem ser realzados. O vetor das estmatvas dos parâmetros neste caso é dado por: ^ B,, ( ) Y Falta-se avalar se o valor estmado para o parâmetro ^ é estatstcamente sgnfcatvo, para tanto, calcula-se a análse de varânca de regressão como apresentado na Tabela. Os mesmos cálculos podem ser realzados para se obter o grau de ajuste do modelo e/ou para testar a sgnfcânca global dos parâmetros da regressão. Assm, a matrz de varânca-covarânca para ^ é defnda como: ( ) (, ) (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) (, ) ( ) var cov cov ^ ^, varcov b σ ( ) cov var cov cov cov var Pelos elementos da dagonal prncpal, que representam as varâncas de, e ^ ^ ^, respectvamente, pode-se obter seus correspondentes erros padrões. De posse destes dados utlza-se o teste t, como mostrado em (4.), para testar a sgnfcânca dos parâmetros. Ressalta-se a necessdade de se fazer uma análse dos resíduos do modelo, a fm de que, em conjunto com o valor de R, possa ser estabelecdo a qualdade do ajuste, em qualquer um dos casos estudados. 5. Aplcações com saídas do software statstca, versão 5. Inca-se com o exemplo do modelo (4.) apresentado na sessão anteror em que a varável explcatva é uma varável dummy. Para a realzação deste exemplo, consdera-se os seguntes dados hpotétcos representados na Tabela. 6 Cênca e Natura, UFSM, 9(): - 5, 007

17 Tabela : Dados sobre os saláros médo de professores (as) unverstáros (as). Coluna I II III IV V Professor Saláro Incal (Y) Sexo (D ) (anos de experênca) D D º 0 º º º, º 8, º 0 7º 0, º º 7, º, 0 Fonte: Adaptado de Gujarat (000) OBS: As varáves D e D são varáves dummy defndas como se segue: no prmero caso, a varável dummy admte valor zero quando o elemento da amostra for uma professora e quando, professor. A varável dummy D nverte esta relação. Utlzando-se o programa Statstca 5. para realzar este exemplo, os seguntes passos devem ser efetuados: () Ao se ncar o programa, escolhe-se a opção Multple Regresson e em seguda clqua-se em Swtch to Fgura 7; em seguda, dgtase os dados conforme mostra Fgura 8; Fgura 7: Incando o programa. Cênca e Natura, UFSM, 9 (): - 5, 007 7

18 Fgura 8: Da dsposção dos dados. () A segur, clca-se com o botão esquerdo do mouse sobre a barra de ferramentas em Analyss - Startup panel e uma janela como mostrado na Fgura 9 abaxo aparecerá; em seguda, clca-se em Varables e selecona-se a varável dependente (neste caso a varável ) e a ndependente (varável ) e depos clca-se em OK Fgura 0. Fgura 9: Defnção das varáves. 8 Cênca e Natura, UFSM, 9(): - 5, 007

19 Fgura 0: Varável dependente e ndependente. () A janela anterormente apresentada na Fgura 7 aparecerá de novo com a defnção das varáves. Clca-se em OK. A janela a segur aparecerá com os resultados da regressão Fgura. Fgura : Caxa de seleção dos resultados da regressão. (4) Clca-se em Regresson Summary para obter um resumo das estatístcas. A segunte janela será mostrada pelo programa. Cênca e Natura, UFSM, 9 (): - 5, 007 9

20 Fgura : Tela com o resultado das estmatvas para o modelo e suas sgnfcâncas. (5) Para voltar à janela apresentada em () clca-se em Contnue. A segur obtém-se a análse de varânca clcando em Analyss of varance. A segunte janela aparecerá; Fgura : Tela com o resultado da Análse de varânca. (6) Observa-se que o programa oferece uma sére de opções que podem ser testadas a fm de melhorar a análse. Clca-se em Contnue e, por exemplo, obtém-se a análse dos resíduos clcando em Resdual Analyss. Para o segundo exemplo, onde o modelo apresenta uma varável quanttatva e uma varável qualtatva com duas classes (modelo 4.), temse que, pelo programa computaconal os seguntes passos devem ser segudos: Repete-se os passos apresentados anterormente observando, contudo, que a dsposção dos dados deve ser feta conforme a Fgura 4, assm como a defnção das varáves ndependentes, tas como lustrado na Fgura 5. (7) A janela anterormente apresentada em (9) aparecerá de novo com a defnção das varáves. Clca-se em OK. A janela a segur aparecerá com os resultados da regressão.todos os demas passos, para este caso, podem ser repetdos como mostrado anterormente 0 Cênca e Natura, UFSM, 9(): - 5, 007

21 Fgura 4: Da nova dsposção dos dados. Fgura 5: Defnção da varável dependente e ndependente. Cênca e Natura, UFSM, 9 (): - 5, 007

22 Fgura 6: Caxa de seleção dos resultados da regressão do novo modelo. Observa-se, portanto, com base nos procedmentos computaconas descrtos acma, que o software estatístco Statstca versão 5. é uma ferramenta útl na estmatva da equação de regressão com varáves ndependentes classfcadas como dummes, permtndo desta forma, uma maor agldade na estmação desta classe de modelos, a destacarse, prncpalmente, pela smplcdade de operaconalzação requerda pelo programa. Cênca e Natura, UFSM, 9(): - 5, 007

23 6. Consderações fnas A ntrodução das varáves dummy na análse de regressão, como mostrado no presente trabalho, consttu-se em mportante nstrumento que ampla, de certa forma, o poder de análse dos modelos. Isso se deve ao fato de que este nstrumental permte ncorporar nos modelos varáves mportantes no contexto que se pretende analsar, e que não podem ser meddas quanttatvamente. Nesse sentdo, o presente trabalho teve por objetvo apresentar, resumdamente, stuações em que as varáves dummy podem ser nserdas na análse, em especal, no caso em que estas são consderadas varáves ndependentes. Observou-se, neste caso, que o software estatístco Statstca versão 5. é uma ferramenta computaconal útl nas estmatvas de equações que levam em consderação este tpo de varáves. Ressalta-se, no entanto, que o trabalho lmtou-se estudar a nclusão da varável dummy na análse de regressão como uma varável ndependente. Neste caso, como sugestão para trabalhos futuros, recomenda-se o estudo de modelos de regressão que utlzem a varável dummy como uma varável dependente, especfcamente, o estudo dos modelos logt, probt, tobt e/ou o modelo de probabldade lnear. Observa-se, anda, que o mesmo lmtou-se também à stuação em que o ajuste do modelo de regressão leva em consderação uma únca varável ndependente quanttatva e que o uso de varáves dummy pode ser estenddo, com as devdas adaptações, para o caso da presença de duas ou mas varáves ndependentes quanttatvas no modelo. Cênca e Natura, UFSM, 9 (): - 5, 007

24 7. Referêncas bblográfcas CHOW, G. C. "Tests of Equalty Between sets of coeffcents n two Lnear Regressons". Econometrca, V. 8, n., pp , 960. DUFOUR, J. M. Dummy Varables and Predctve Tests for Structural Changes: A coordnate Free Approach. Internatonal Economc Revew, Vol., pp , Dummy Varables and Predctve Tests for Structural Change. Economc Letters, Vol. 6, pp. 4-47, 98.. Generalzed Chow Tests for Structural Change: A Coordnate- Free Approach. Internatonal Economc Revew, Vol., n., pp , 98. ERLAT, H. "On the Chow Test when the Degrees of Freedom are Inadequate", METU Studes n Development, n., pp. 7-48, Testng for Structural Change at More than One Swtch Pont: Inadequate Degrees of Freedom and Dummy Varables. Oxford Bulletn of Economcs and Statstcs, Vol. 47, n., pp 9-0, 985. GUJARATI, D. Use of Dummy Varables n Testng for Equalty between Sets of Coeffcents n Two Lnear Regressons: A Note. The Amercan Statstcan, Vol. 4, n., pp. 50-5, 970a..Use of Dummy Varables n Testng for Equalty between Sets of Coeffcents n Two Lnear Regressons: A Generalsaton, The Amercan Statstcan, Vol. 4, n. 5, pp 8-, 970b.. Econometra básca. São Paulo: Makron Boooks, 000. GREENE, W. H. Econometrc Analyss. New York: Macmllan Publshng Company, 99. HARDY, M. A. Regresson Wth Dummy Varables. Newbury Park: Sage Publcatons, 99. HILL, C. et al. Econometra. São Paulo: Sarava, 999. HOFFMAN, R. Estatístca para Economstas. São Paulo, Ponera, 998. KENNEDY, P. Interpretng Dummy Varables. The Revew of Economcs and Statstcs, Vol. 68(), pp , 986. KOOYMAN, M. A. Dummy Varables n Econometrcs. Netherlands: Tlburg Unversty Press, 976. MADDALA, G.S. Introdução à Econometra. Ro de Janero, LTC, Cênca e Natura, UFSM, 9(): - 5, 007

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